刚体定轴转动的动能定理
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2
3 2
g.
又因棒在竖直位置时的角加速度 0（因此时合力矩为（4）可以由质心运动定理求出棒在竖直位置时，O 轴对棒的 反力 Fx 和 Fy：
Fy
Fx mact 0
Fx O
Fy mg macn
对于刚体，因其内部质点间无相对位移， 任何一对内力作功为零（对刚体的任何运动形式都 是成立的）。
若A外 A内非 0 E Ek EP 常量
则刚体系统的机械能守恒。
直线运动与定轴转动规律对照
质点的直线运动
v dx dt
a dv d2 x dt dt2
P mv F
EK
1 2
mv2
m
dA Fdx Fdt
A
Ek 2
Ek1
1 2
I22
1 2
I12
合外力矩对绕定轴转动的刚体做的功 = 刚体转动动能的增量
—— 刚体绕定轴转动的动能定理
刚体的重力势能：
刚体受保守力作用也有势能概念.
对于一个不太大的质量为 m 的物体，它的重
力势能应是组成刚体的各个质点的重力势能之和。
C • mi
hc
EP 0
h Epi mi ghi i
力的空间累积效应 力的功,动能,动能定理.
力矩的空间累积效应 力矩的功,转动动能,动能定理.
§7.4 定轴转动中的功能关系
F 一、力矩的功：
α
（设力F 在转动平面内）
dr P
d r
Z
rd
x dA F dr F dr sin rF sin d
力矩的元功：dA Ftrd Md
力矩作功：当刚体在外力矩作用下绕定轴转
B、对于定轴转动刚体，所有内力的功总和在任何过程 中均为零。（内力成对，大小相等方向相反，一对内力矩 的的功代数dA和为F零2 ；dr∴ 内相力对矩位的移功为总零和.）为零。另一角度，内力
C、功率：
p dA M d M
dt
dt
当 当
M M
与 与
同方向，A 和 p 为正; 反方向， A 和 p 为负.
x A 2 Md (力矩的空间
1
积累效应)
力矩作功的功率(power 作功的快慢):
P
dA dt
Md
dt
M
力矩的功： work done by torque
dA Mzd
2
A Mzd
1
A、 所谓力矩的功，实质上还是力的功，并无任何关于力
矩的功的新的定义，只是在刚体转动中，用力矩和角位移
的积来表示功更为方便而己。
三、刚体绕定轴转动的动能定理(theorem of kinetic energy)
在合外力矩 M 的作用下，刚体绕定轴转动，由 1 转 到 2 ，则合外力矩 M 做的功为
M I I d I d d I d
dt d dt
d
2 Md
1
2 Id
1
1 2
I22
1 2
I12
Ek
1 2
I2
称为刚体的转动动能
E 1 I 2 mg l ,
2
2
其中I
1 3
ml 2 .按机械能守恒有E
E0 , 所以得
1 I2 mg l 0
2
2
mgl 3g
I
l
（2）棒的转动动能
Ek
1 2
I 2
mg
l. 2
必须注意，在这里不能把棒的动能写成
1 2
mvc2
（3）质心的加速度
O
由线量和角量的关系可算出 c
acn
l 2
F ma
F d t P P0
F
d
x
1 2
mv2
1 2
mv02
刚体的定轴转动
d
dt
d d2
dt dt2
L I
EK
1 2
I2
M
I
d A M d M dt
M I
M d t L L0
M
d
1 2
I2
1 2
I02
[例题]装置如图所示，均质圆柱体质量为m1，半径为R，重锤 质量为m2 ，最初静止，后将重锤释放下落并带动柱体旋转，求 重锤下落 h 高度时的速率v，不计阻力，不计绳的质量及伸长.
（1）棒的角速度；（2）棒的转动动能；
（3）质心的加速度（不计摩擦阻力）；
（4）轴对棒的作用力。
c
O
O
c
[解] （1）棒的角速度
细棒在下摆过程中，只有作用于棒的 O 重力做功，故细棒的机械能守恒。
设细棒在水平位置时的重力势能为
c
势能零点，则总机械能
E0 0
细棒摆到竖直位置时的角速度设为 ，则机械能
动而发生角位移时，就称力矩对刚体做功。
对于转动过程：
力矩的功 A 2 Md （力矩的空间积累效应） 1
对于恒力矩：
A M
一. 力矩的功
力矩的功：当刚体在外力矩作用下绕定轴转 动而发生角位移时，就称力矩对刚体做功。
dA F dr F cos dr
F
dr
P
dr
Ft rd
dA Md
Z
2
总动能:
Ek
1 2
I
Z
2
二 刚体绕定轴转动的转动动能(kinetic energy)
Ek
i
Eki
i
1 2mi
vi2
1 2
(
i
mi ri2 )2
1 I2
2
刚体绕定轴转动的转动动能，等于刚体的转动惯 量与角速度二次方的乘积的一半。
比较
Ek
1 2
mv2
Ek
1 I2
2
质点的动能与刚体绕定轴转动的转动动能，形式相似。
Ep Epi mi ghi
i
i
mi hi
mg i m
EP mghc
（hc是刚体的质心位置坐标）
——一个不太大的刚体的重力势能等于质量集中在质心时 的重力势能.
三、定轴转动的功能原理：
质点系功能原理对刚体仍成立：
A外 A内非 Ek2 EP2 Ek1 EP1 E2 E1
二 刚体绕定轴转动的转动动能
(kinetic energy)
质点运动的动能:
Ek
1 mv2 2
刚体是由许多质点组成的,
第 i 小块质元的质量 mi
Oi ri
vi
mi
其动能：
Eki
1 2
mi vi 2
(vi ri)
绕定轴转
动刚体的
Ek
i
Ei
n i 1
1 2mi
ri
2
2
1 2
n i1
mi ri2
[解] 方法1. 利用质点和刚体转动的
R
动能定理求解.
m1
由质点动能定理
m2 gh
FTh
1 2
m2v 2
m2
h
由刚体动能定理
FT R
1 2
I 2
1 4
m1R2 2
约束关系 R h v R
联立得
v 2 m2 gh m1 2m2
方法2. 利用质点系动能定理求解
将转动柱体、下落物体视作质点系
由质点系动能定理
m2 gh
1 2
m2v 2
1 2
I 2
1 2
m2v 2
1 2
(1 2
m1R2 ) 2
约束关系 R h v R
联立得
v 2 m2 gh m1 2m2
[例题] 如图所示，一匀质细棒可绕水平轴 O 转动，已知棒长 为 l ，质量为 m ，开始时将棒置于水平状态，然后由静止摆下， 求棒摆到竖直的瞬间：
3 2
g.
又因棒在竖直位置时的角加速度 0（因此时合力矩为（4）可以由质心运动定理求出棒在竖直位置时，O 轴对棒的 反力 Fx 和 Fy：
Fy
Fx mact 0
Fx O
Fy mg macn
对于刚体，因其内部质点间无相对位移， 任何一对内力作功为零（对刚体的任何运动形式都 是成立的）。
若A外 A内非 0 E Ek EP 常量
则刚体系统的机械能守恒。
直线运动与定轴转动规律对照
质点的直线运动
v dx dt
a dv d2 x dt dt2
P mv F
EK
1 2
mv2
m
dA Fdx Fdt
A
Ek 2
Ek1
1 2
I22
1 2
I12
合外力矩对绕定轴转动的刚体做的功 = 刚体转动动能的增量
—— 刚体绕定轴转动的动能定理
刚体的重力势能：
刚体受保守力作用也有势能概念.
对于一个不太大的质量为 m 的物体，它的重
力势能应是组成刚体的各个质点的重力势能之和。
C • mi
hc
EP 0
h Epi mi ghi i
力的空间累积效应 力的功,动能,动能定理.
力矩的空间累积效应 力矩的功,转动动能,动能定理.
§7.4 定轴转动中的功能关系
F 一、力矩的功：
α
（设力F 在转动平面内）
dr P
d r
Z
rd
x dA F dr F dr sin rF sin d
力矩的元功：dA Ftrd Md
力矩作功：当刚体在外力矩作用下绕定轴转
B、对于定轴转动刚体，所有内力的功总和在任何过程 中均为零。（内力成对，大小相等方向相反，一对内力矩 的的功代数dA和为F零2 ；dr∴ 内相力对矩位的移功为总零和.）为零。另一角度，内力
C、功率：
p dA M d M
dt
dt
当 当
M M
与 与
同方向，A 和 p 为正; 反方向， A 和 p 为负.
x A 2 Md (力矩的空间
1
积累效应)
力矩作功的功率(power 作功的快慢):
P
dA dt
Md
dt
M
力矩的功： work done by torque
dA Mzd
2
A Mzd
1
A、 所谓力矩的功，实质上还是力的功，并无任何关于力
矩的功的新的定义，只是在刚体转动中，用力矩和角位移
的积来表示功更为方便而己。
三、刚体绕定轴转动的动能定理(theorem of kinetic energy)
在合外力矩 M 的作用下，刚体绕定轴转动，由 1 转 到 2 ，则合外力矩 M 做的功为
M I I d I d d I d
dt d dt
d
2 Md
1
2 Id
1
1 2
I22
1 2
I12
Ek
1 2
I2
称为刚体的转动动能
E 1 I 2 mg l ,
2
2
其中I
1 3
ml 2 .按机械能守恒有E
E0 , 所以得
1 I2 mg l 0
2
2
mgl 3g
I
l
（2）棒的转动动能
Ek
1 2
I 2
mg
l. 2
必须注意，在这里不能把棒的动能写成
1 2
mvc2
（3）质心的加速度
O
由线量和角量的关系可算出 c
acn
l 2
F ma
F d t P P0
F
d
x
1 2
mv2
1 2
mv02
刚体的定轴转动
d
dt
d d2
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L I
EK
1 2
I2
M
I
d A M d M dt
M I
M d t L L0
M
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1 2
I2
1 2
I02
[例题]装置如图所示，均质圆柱体质量为m1，半径为R，重锤 质量为m2 ，最初静止，后将重锤释放下落并带动柱体旋转，求 重锤下落 h 高度时的速率v，不计阻力，不计绳的质量及伸长.
（1）棒的角速度；（2）棒的转动动能；
（3）质心的加速度（不计摩擦阻力）；
（4）轴对棒的作用力。
c
O
O
c
[解] （1）棒的角速度
细棒在下摆过程中，只有作用于棒的 O 重力做功，故细棒的机械能守恒。
设细棒在水平位置时的重力势能为
c
势能零点，则总机械能
E0 0
细棒摆到竖直位置时的角速度设为 ，则机械能
动而发生角位移时，就称力矩对刚体做功。
对于转动过程：
力矩的功 A 2 Md （力矩的空间积累效应） 1
对于恒力矩：
A M
一. 力矩的功
力矩的功：当刚体在外力矩作用下绕定轴转 动而发生角位移时，就称力矩对刚体做功。
dA F dr F cos dr
F
dr
P
dr
Ft rd
dA Md
Z
2
总动能:
Ek
1 2
I
Z
2
二 刚体绕定轴转动的转动动能(kinetic energy)
Ek
i
Eki
i
1 2mi
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1 2
(
i
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1 I2
2
刚体绕定轴转动的转动动能，等于刚体的转动惯 量与角速度二次方的乘积的一半。
比较
Ek
1 2
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1 I2
2
质点的动能与刚体绕定轴转动的转动动能，形式相似。
Ep Epi mi ghi
i
i
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mg i m
EP mghc
（hc是刚体的质心位置坐标）
——一个不太大的刚体的重力势能等于质量集中在质心时 的重力势能.
三、定轴转动的功能原理：
质点系功能原理对刚体仍成立：
A外 A内非 Ek2 EP2 Ek1 EP1 E2 E1
二 刚体绕定轴转动的转动动能
(kinetic energy)
质点运动的动能:
Ek
1 mv2 2
刚体是由许多质点组成的,
第 i 小块质元的质量 mi
Oi ri
vi
mi
其动能：
Eki
1 2
mi vi 2
(vi ri)
绕定轴转
动刚体的
Ek
i
Ei
n i 1
1 2mi
ri
2
2
1 2
n i1
mi ri2
[解] 方法1. 利用质点和刚体转动的
R
动能定理求解.
m1
由质点动能定理
m2 gh
FTh
1 2
m2v 2
m2
h
由刚体动能定理
FT R
1 2
I 2
1 4
m1R2 2
约束关系 R h v R
联立得
v 2 m2 gh m1 2m2
方法2. 利用质点系动能定理求解
将转动柱体、下落物体视作质点系
由质点系动能定理
m2 gh
1 2
m2v 2
1 2
I 2
1 2
m2v 2
1 2
(1 2
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约束关系 R h v R
联立得
v 2 m2 gh m1 2m2
[例题] 如图所示，一匀质细棒可绕水平轴 O 转动，已知棒长 为 l ，质量为 m ，开始时将棒置于水平状态，然后由静止摆下， 求棒摆到竖直的瞬间：