上海市普陀区2019届高三数学一模试卷

上海市普陀区2019届高三一模数学试卷

2018.12

一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）

1. 函数2()f x x

的定义域为 2. 若1sin 3

，则cos()2 3. 设11{,,1,2,3}32 ，若()f x x 为偶函数，则 4. 若直线l 经过抛物线2:4C y x 的焦点且其一个方向向量为(1,1)d ，则直线l 的方程为

5. 若一个球的体积是其半径的43

倍，则该球的表面积为 6. 在一个袋中装有大小、质地均相同的9只球，其中红色、黑色、白色各3只，若从袋中 随机取出两个球，则至少有一个红球的概率为 （结果用最简分数表示）

7. 设523601236(1)(1=x x a a x a x a x a x ），则3a （结果用数值表示）

8. 设0a 且1a ，若log (sin cos )0a x x ，

则88sin cos x x

9. 如图，正四棱柱1111ABCD A B C D 的底面边长为4，

记1111A C B D F ，11BC B C E ，若AE BF ，

则此棱柱的体积为

10. 某人的月工资由基础工资和绩效工资组成，2010年每月的基础工资为2100元，绩效工 资为2000元，从2011年起每月基础工资比上一年增加210元，绩效工资为上一年的110%， 照此推算，此人2019年的年薪为 万元（结果精确到0.1）

11. 已知点(2,0)A ，设B 、C 是圆22:1O x y 上的两个不同的动点，且向量(1)OB tOA t OC （其中t 为实数），则AB AC

12. 记a 为常数，记函数1()log 2

a x f x a x （0a 且1a ，0x a ）的反函数为1()f x ，则11111232()()()()21212121

a f f f f a a a a

二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13. 下列关于双曲线22:163

x y 的判断，正确的是（ ） A. 渐近线方程为20x y B. 焦点坐标为(3,0)

C. 实轴长为12

D. 顶点坐标为(6,0)

14. 函数2cos(2)4y x

的图像（ ）

A. 关于原点对称

B. 关于点3(,0)8

C. 关于y 轴对称

D. 关于直线4x

轴对称

15. 若a 、b 、c 表示直线， 、 表示平面，则“a ∥b ”成立的一个充分非必要条件是 （ ）

A. a b ，b c

B. a ∥ ，b ∥

C. a ，b

D. a ∥c ，b c

16. 设()f x 是定义在R 上的周期为4的函数，且2sin 201()2log 14x x f x x x

，记 ()()g x f x a ，若102

a ，则函数()g x 在区间[4,5] 上零点的个数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）

17. 在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 所对的边依次为a 、b 、c ，且1cos 4

C

. （1）求22cos 2sin 22A B C 的值； （2）设2c ，求a b 的取值范围.

18. 已知曲线22:11612

x y 的左、右顶点分别为A 、B ，设P 是曲线 上的任意一点. （1）当P 异于A 、B 时，记直线PA 、PB 的斜率分别为1k 、2k ，求证：12k k 是定值； （2）设点C 满足AC CB （0 ），且||PC 的最大值为7，求 的值.

19. 如图所示，某地出土的一种“钉”是由四条线段组成，其结构能使它任意抛至水平面后， 总有一端所在的直线竖直向上，并记组成该“钉”的四条线段的公共点为O ，钉尖为i A （1,2,3,4i ）.

（1）记i OA a （0a ），当1A 、2A 、3A 在同一水平面内时，求1OA 与平面123A A A 所成 角的大小（结果用反三角函数值表示）；

（2）若该“钉”的三个钉尖所确定的三角形的面积为2，要用某种线型材料复制100 枚这种“钉”（耗损忽略不计），共需要该种材料多少米？

20. 设数列{}n a 满足135a ，132n n n a a a （n *N ）. （1）求2a 、3a 的值；

（2）求证：1{1}n a 是等比数列，并求1

2111lim()n n n a a a 的值； （3）记{}n a 的前n 项和为n S ，是否存在正整数k ，使得对于任意的n （n *N 且2n ）均有n S k 成立？若存在，求出k 的值，若不存在，说明理由.

21. 已知函数()2x f x （x R ），记()()()g x f x f x .

（1）解不等式：(2)()6f x f x ；

（2）设k 为实数，若存在实数0(1,2]x ，使得200(2)()1g x k g x 成立，求k 取值范围；

（3）记()(22)()h x f x a f x b （其中a 、b 均为实数），若对于任意[0,1]x ，均 有1|()|2

h x

，求a 、b 的值.

参考答案

一. 填空题

1. (,0)(0,1]

2. 13

3. 2

4. 1y x

5. 4

6. 712

7. 0 8. 1

9. 10. 10.4 11. 3 12. 2a

二. 选择题

13. B 14. B 15. C 16. D

三. 解答题

17.（1）68 ；（2）(2,]3.

18.（1）3

4 ；（2）7或1

7.

19.（1）arccos 3（2）3

4200.6.

20.（1）29

13a ，327

35a ；（2）2；（3）1k .

21.（1）2(,log 3] ；（2）271

19

[,)2259；（3）12a ，17

2b .