上海市普陀区2019届高三数学一模试卷

合集下载

2019年上海市普陀区高考数学一模试卷

2019年上海市普陀区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应位置直接填写结果1．（4分）函数f（x）＝的定义城为．2．（4分）若sinα＝，则cos（）＝．3．（4分）设α∈{，﹣1，﹣2，3}，若f（x）＝xα为偶函数，则α＝．4．（4分）若直线l经过抛物线C：y2＝4x的焦点且其一个方向向量为＝（1，1），则直线l的方程为．5．（4分）若一个球的体积是其半径的倍，则该球的表面积为．6．（4分）在一个袋中装有大小、质地均相同的9只球，其中红色、黑色、白色各3只，若从袋中随机取出两个球，则至少有一个红球的概率为．（结果用最简分数表示）7．（5分）设（x﹣1）（x+1）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a6x6，则a3＝（结果用数值表示）8．（5分）设a＞0且a≠1，若log a（sin x﹣cos x）＝0，则sin8x+cos8x＝．9．（5分）如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为4，记A1C1∩B1D1＝F，BC1∩B1C＝E，若AE⊥BF，则此棱柱的体积为．10．（5分）某人的月工资由基础工资和绩效工资组成2010年每月的基础工资为2100元、绩效工资为2000元从2011年起每月基础工资比上一年增加210元、绩效工资为上一年的110%．照此推算，此人2019年的年薪为万元（结果精确到0.1）11．（5分）已知点A（﹣2，0），设B、C是圆O：x2+y2＝1上的两个不同的动点，且向量＝t+（1﹣t）（其中t为实数），则＝．12．（5分）设a为常数记函数f（x）＝+log a（a＞0且a≠1，0＜x＜a）的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（）+f﹣1（）+f﹣1（）+……+f﹣1（）＝．二、选择题（本大题共有4题满分20分.每题5分）每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置将代表正确选项的小方格涂黑13．（5分）下列关于双曲线Γ：＝1的判断，正确的是（）A．渐近线方程为x±2y＝0B．焦点坐标为（±3，0）C．实轴长为12D．顶点坐标为（±6，0）14．（5分）函数y＝2cos（2x+）的图象（）A．关于原点对称B．关于点（﹣）C．关于y轴对称D．关于直线x＝轴对称15．（5分）若a、b、c表示直线，α、β表示平面，则“a∥b”成立的一个充分非必要条件是（）A．a⊥b，b⊥c B．a∥α，b∥αC．a⊥β，b⊥βD．a∥c，b⊥c 16．（5分）设f（x）是定义在R上的周期为4的函数，且f（x）＝，记g（x）＝f（x）﹣a，若0＜a≤则函数g（x）在区间[﹣4，5]上零点的个数是（）A．5B．6C．7D．8三、解答题17．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边依次为a，b，c，且cos C＝．（1）求2cos2+2sin2C的值；（2）设c＝2，求a+b的取值范围．18．已知曲线Γ：＝1的左、右顶点分别为A，B，设P是曲线Γ上的任意一点．（1）当P异于A，B时，记直线P A，PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1•k2是定值；（2）设点C满足＝λ（λ＞0），且|PC|的最大值为7，求λ的值．19．如图所示，某地出土的一种“钉”是由四条线段组成，其结构能使它任意抛至水平面后，总有一端所在的直线竖直向上，并记组成该“钉”的四条线段的公共点为O，钉尖为A i （i＝1，2，3，4）．1）设OA1＝a（a＞0），当A1，A2，A3在同一水平面内时，求OA1与平面A1A2A3所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．（2）若该“钉”的三个钉尖所确定的三角形的面积为3cm2，要用某种线型材料复制100枚这种“钉”（损耗忽略不计），共需要该种材料多少米？20．设数列{a n}满足a1＝，a n+1＝（n∈N*）．（1）求a2，a3的值；（2）求证：{﹣1}是等比数列，并求（﹣n）的值；（3）记{a n}的前n项和为S n，是否存在正整数k，使得对于任意的n（n∈N*且n≥2）均有S n≥k成立？若存在，求出k的值：若不存在，说明理由．21．已知函数f（x）＝2x（x∈R），记g（x）＝f（x）﹣f（﹣x）．（1）解不等式：f（2x）﹣f（x）≤6；（2）设k为实数，若存在实数x0∈（1，2]，使得g（2x0）＝k•g2（x0）﹣1成立，求k的取值范围；（3）记h（x）＝f（2x+2）+a•f（x）+b（其中a，b均为实数），若对于任意的x∈[0，1]，均有|h（k）|，求a，b的值．2019年上海市普陀区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应位置直接填写结果1．（4分）函数f（x）＝的定义城为（﹣∞，0）∪（0，1]．【考点】33：函数的定义域及其求法．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】根据偶次根式中被开方非负，分母不为0列式解得．【解答】解：由解得：x≤1且x≠0，故答案为：（﹣∞，0）∪（0，1]【点评】本题考查了函数的定义域及其求法．属基础题．2．（4分）若sinα＝，则cos（）＝．【考点】GO：运用诱导公式化简求值．【专题】33：函数思想；4R：转化法；56：三角函数的求值．【分析】由已知直接利用三角函数的诱导公式化简求值．【解答】解：∵sinα＝，∴cos（）＝﹣sin．故答案为：﹣．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，是基础题．3．（4分）设α∈{，﹣1，﹣2，3}，若f（x）＝xα为偶函数，则α＝﹣2．【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【专题】11：计算题；33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】可以看出，只有α＝﹣2时，f（x）为偶函数，从而得出α＝﹣2．【解答】解：f（x）＝x﹣2是偶函数；∴α＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】考查偶函数的定义，偶函数图象的特点．4．（4分）若直线l经过抛物线C：y2＝4x的焦点且其一个方向向量为＝（1，1），则直线l的方程为x﹣y﹣1＝0．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】35：转化思想；4G：演绎法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出抛物线y2＝4x的焦点，求出直线l的斜率，用点斜式求直线方程，并化为一般式．【解答】解：抛物线y2＝4x的焦点为（1，0），方向向量为＝（1，1）的直线l的斜率为1，故直线l的方程是y﹣0＝1•（x﹣1），即y＝x﹣1，故答案为：x﹣y﹣1＝0．【点评】本题考查用点斜式求直线方程的方乘，抛物线的简单性质，确定斜率是解题的关键．5．（4分）若一个球的体积是其半径的倍，则该球的表面积为4．【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】设球的半径为R，根据题意列方程可得．【解答】解：设球的半径为R，则πR3＝R，∴πR2＝1，球的表面积为：4πR2＝4，故答案为：4．【点评】本题考查了球的体积和表面积，属中档题．6．（4分）在一个袋中装有大小、质地均相同的9只球，其中红色、黑色、白色各3只，若从袋中随机取出两个球，则至少有一个红球的概率为．（结果用最简分数表示）【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】从袋中随机取出两个球，基本事件总数n＝＝36，至少有一个红球的对立事件是没有红球，由此能求出至少有一个红球的概率．【解答】解：在一个袋中装有大小、质地均相同的9只球，其中红色、黑色、白色各3只，从袋中随机取出两个球，基本事件总数n＝＝36，至少有一个红球的对立事件是没有红球，∴至少有一个红球的概率为P＝1﹣＝．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．（5分）设（x﹣1）（x+1）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a6x6，则a3＝0（结果用数值表示）【考点】DA：二项式定理．【专题】35：转化思想；49：综合法；5P：二项式定理．【分析】把（x+1）5按照二项式定理展开，可得a3的值．【解答】解：∵（x﹣1）（x+1）5＝（x﹣1）（x5+5x4+10x3+10x2+5x+1）＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a6x6，则a3＝10﹣10＝0，故答案为：0．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．8．（5分）设a＞0且a≠1，若log a（sin x﹣cos x）＝0，则sin8x+cos8x＝1．【考点】4H：对数的运算性质；GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】35：转化思想；56：三角函数的求值；57：三角函数的图象与性质．【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变变换和对数的应用求出结果．【解答】解：设a＞0且a≠1，若log a（sin x﹣cos x）＝0，所以：sin x﹣cos x＝a0＝1，所以：sin x•cos x＝0，则：sin x﹣cos x＝1，则：sin8x+cos8x＝（sin4x﹣cos4x）2+2sin4x•cos4x，＝[（sin2x+cos2x）（sin2x﹣cos2x）]2+2sin4x•cos4x，＝[（sin x+cos x）（sin x﹣cos x）]2﹣0，＝1，故答案为：1．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．9．（5分）如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为4，记A1C1∩B1D1＝F，BC1∩B1C＝E，若AE⊥BF，则此棱柱的体积为32．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离．【分析】建立空间直角坐标系，设出直四棱柱的高h，求出的坐标，由数量积为0求得h，则棱柱的体积可求．【解答】解：建立如图所示空间直角坐标系，设DD1＝h，又AB＝BC＝4，则A（4，0，0），E（2，4，），B（4，4，0），F（2，2，h），∴，，∵AE⊥BF，∴4﹣8+＝0，即h＝．∴此棱柱的体积为．故答案为：．【点评】本题考查棱柱体积的求法，考查利用空间向量求解线线垂直问题，是中档题．10．（5分）某人的月工资由基础工资和绩效工资组成2010年每月的基础工资为2100元、绩效工资为2000元从2011年起每月基础工资比上一年增加210元、绩效工资为上一年的110%．照此推算，此人2019年的年薪为10.4万元（结果精确到0.1）【考点】81：数列的概念及简单表示法．【专题】11：计算题；38：对应思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．【分析】由题意可得，基础工资是以2100元为首项，以210元公差的等差数列，绩效工资以为2000元首项，以公比为1.1的等比数列，即可求出2019年的每月的工资，即可求出年薪【解答】解：由题意可得，基础工资是以2100元为首项，以210元公差的等差数列，绩效工资以为2000元首项，以公比为1.1的等比数列，则此人2019年每月的基础工资为2100+210（10﹣1）＝3990元，每月的绩效工资为2000×1.19≈4715.90元，则此人2019年的年薪为12（3990+4715.90）≈10.4万元，故答案为：10.4．【点评】本题考查了等差数列和等比数列在实际生活中的应用，属于中档题．11．（5分）已知点A（﹣2，0），设B、C是圆O：x2+y2＝1上的两个不同的动点，且向量＝t+（1﹣t）（其中t为实数），则＝3．【考点】9E：向量数乘和线性运算；9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11：计算题；5A：平面向量及应用．【分析】由向量＝t+（1﹣t）（其中t为实数），可得：A，B，C三点共线，且，同向，设圆O与x轴正半轴交于点E，与x轴负半轴交于点D，由割线定理可得，|AB||AC|＝|AD||AE|＝1×3＝3【解答】解：由向量＝t+（1﹣t）（其中t为实数），可得：A，B，C三点共线，且，同向，设圆O与x轴正半轴交于点E，与x轴负半轴交于点D，由圆的割线定理可得，|AB||AC|＝|AD||AE|，∴•＝||||cos0＝|AB||AC|＝|AD||AE|＝1×3＝3故答案为：3【点评】本题考查了向量中三点共线的判断，及圆的割线定理，属中档题12．（5分）设a为常数记函数f（x）＝+log a（a＞0且a≠1，0＜x＜a）的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（）+f﹣1（）+f﹣1（）+……+f﹣1（）＝a2．【考点】4R：反函数．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】先求出反函数，然后求出f﹣1（x）+f﹣1（1﹣x）＝a，所以等于a个a．【解答】解：由f（x）＝+log a，得f﹣1（x）＝，∴f﹣1（1﹣x）＝＝，∴f﹣1（x）+f﹣1（1﹣x）＝+＝a，∴原式＝a•a＝a2，故答案为：a2【点评】本题考查了反函数，属基础题．二、选择题（本大题共有4题满分20分.每题5分）每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置将代表正确选项的小方格涂黑13．（5分）下列关于双曲线Γ：＝1的判断，正确的是（）A．渐近线方程为x±2y＝0B．焦点坐标为（±3，0）C．实轴长为12D．顶点坐标为（±6，0）【考点】KC：双曲线的性质．【专题】35：转化思想；4O：定义法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】关于双曲线Γ：＝1，a2＝6，b2＝3，c2＝9，即可得答案．【解答】解：关于双曲线Γ：＝1，a2＝6，b2＝3，c2＝9，则渐近线方程为x±y＝0；焦点为（±3，0）；实轴2a＝2，顶点坐标为（±，0）．故选：B．【点评】本题考查双曲线的方程、几何性质，属于基础题．14．（5分）函数y＝2cos（2x+）的图象（）A．关于原点对称B．关于点（﹣）C．关于y轴对称D．关于直线x＝轴对称【考点】H7：余弦函数的图象；HB：余弦函数的对称性．【专题】35：转化思想；56：三角函数的求值；57：三角函数的图象与性质．【分析】直接利用余弦函数的性质求出结果．【解答】解：对于选项：A，当x＝0时y＝，故错误．对于选项C：当x＝0时，y＝，故错误．对于选项D：当x＝时，y＝﹣，故错误．故选：B．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．15．（5分）若a、b、c表示直线，α、β表示平面，则“a∥b”成立的一个充分非必要条件是（）A．a⊥b，b⊥c B．a∥α，b∥αC．a⊥β，b⊥βD．a∥c，b⊥c【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；5L：简易逻辑．【分析】在A中，a与b相交、平行或异面；在B中，a与b相交、平行或异面；在C 中，a⊥β，b⊥β，则a∥b，反之a∥b，不一定得到a⊥β，b⊥β；在D中，a与b相交或异面．【解答】解：由a、b、c表示直线，α、β表示平面，在A中，a⊥b，b⊥c，则a与b相交、平行或异面，故A错误；在B中，a∥α，b∥α，则a与b相交、平行或异面，故B错误；在C中，a⊥β，b⊥β，则a∥b，反之a∥b，不一定得到a⊥β，b⊥β，故C正确；在D中，a∥c，b⊥c，则a与b相交或异面，故D错误．故选：C．【点评】本题考查命题成立的一个充分非必要条件的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16．（5分）设f（x）是定义在R上的周期为4的函数，且f（x）＝，记g（x）＝f（x）﹣a，若0＜a≤则函数g（x）在区间[﹣4，5]上零点的个数是（）A．5B．6C．7D．8【考点】53：函数的零点与方程根的关系．【专题】13：作图题；51：函数的性质及应用．【分析】分别作出y＝f（x）与直线y＝a（1＜a≤）的图象，观察交点个数即可【解答】解：由图可知：直线y＝a（0）与y＝f（x）在区间[﹣4，5]上的交点有8个，故选：D．【点评】本题考查了数形结合的思想及作图能力．三、解答题17．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边依次为a，b，c，且cos C＝．（1）求2cos2+2sin2C的值；（2）设c＝2，求a+b的取值范围．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【专题】11：计算题；49：综合法；58：解三角形．【分析】（1）利用同角三角函数基本关系式可求sin C，利用三角函数恒等变换的应用即可计算得解．（2）由余弦定理，基本不等式可求a+b的最大值，利用三角形两边之和大于第三边可求a+b＞c＝2，即可得解a+b的取值范围．【解答】解：（1）∵cos C＝，∴sin C＝＝，∴2cos2+2sin2C＝1+cos（A+B）+2sin2C＝1﹣cos C+4sin C cos C＝1﹣+4×＝．…（6分）（2）∵c＝2，cos C＝，∴由余弦定理可得：4＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣ab，∵a2+b2≥2ab，可得：ab≤，当且仅当a＝b时等号成立，∴可得：（a+b）2＝4+ab≤，可得：a+b≤，当且仅当a＝b时等号成立，∵a+b＞c＝2，∴a+b的取值范围为：（2，]．…（12分）【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，基本不等式，三角形两边之和大于第三边等知识的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18．已知曲线Γ：＝1的左、右顶点分别为A，B，设P是曲线Γ上的任意一点．（1）当P异于A，B时，记直线P A，PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1•k2是定值；（2）设点C满足＝λ（λ＞0），且|PC|的最大值为7，求λ的值．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；K4：椭圆的性质．【专题】34：方程思想；4C：分类法；4I：配方法；5C：向量与圆锥曲线．【分析】（1）由已知椭圆方程求出A，B的坐标，设P（x0，y0）（﹣4≤x0≤4），由斜率公式及点P在椭圆上即可证明k1•k2是定值；（2）设C（m，0）（﹣4＜m＜4），写出两点间的距离公式，分类利用配方法求最值，可得m值，结合＝λ（λ＞0），求得λ的值．【解答】（1）证明：由椭圆方程可得A（﹣4，0），B（4，0），设P（x0，y0）（﹣4≤x0≤4），则，，∴k1•k2＝＝为定值；（2）解：设C（m，0）（﹣4＜m＜4），则＝＝．若m≥0，则＝7，解得m＝3．此时，，，由＝λ，得λ＝7；同理，若m＜0，可得m＝﹣3，此时求得．故λ的值为7或．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查两点间距离公式的应用，训练了利用配方法求最值，是中档题．19．如图所示，某地出土的一种“钉”是由四条线段组成，其结构能使它任意抛至水平面后，总有一端所在的直线竖直向上，并记组成该“钉”的四条线段的公共点为O，钉尖为A i （i＝1，2，3，4）．1）设OA1＝a（a＞0），当A1，A2，A3在同一水平面内时，求OA1与平面A1A2A3所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．（2）若该“钉”的三个钉尖所确定的三角形的面积为3cm2，要用某种线型材料复制100枚这种“钉”（损耗忽略不计），共需要该种材料多少米？【考点】MI：直线与平面所成的角．【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（1）组成该种钉的条线段长必相等，且两两所成的角相等，A1，A2，A3，A4两两连结后得到的四面体A1A2A3A4为正四面体，延长A4O交平面A1A2A3于B，则A4B⊥平面A1A2A3，连结A1B，则∠OA1B就是OA1与平面A1A2A3所成角，由此能求出OA1与平面A1A2A3所成角的大小．（2）推导出＝3，A1A2＝a，从而a＝cm，由此能求出要用某种线型材料复制100枚这种“钉”（损耗忽略不计），共需要该种材料的长度．【解答】解：（1）根据题意，可知组成该种钉的四条线段长必相等，且两两所成的角相等，A1，A2，A3，A4两两连结后得到的四面体A1A2A3A4为正四面体，延长A4O交平面A1A2A3于B，则A4B⊥平面A1A2A3，连结A1B，则A1B是OA1在平面A1A2A3上的射影，∴∠OA1B就是OA1与平面A1A2A3所成角，设A1A4＝l，则A1B＝，在Rt△A4A1B中，＝，即，∴l＝a，∴，cos∠OA1B＝＝（其中0＜），∴∠OA1B＝，∴OA1与平面A1A2A3所成角的大小为arccos．（2）＝3，根据（1）可得A1A2＝a，∴a＝cm，∴要用某种线型材料复制100枚这种“钉”（损耗忽略不计），共需要该种材料：＝2（米）．∴要用某种线型材料复制100枚这种“钉”（损耗忽略不计），共需要该种材料2米．【点评】本题考查线面角的求法，考查需要材料数量的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题．20．设数列{a n}满足a1＝，a n+1＝（n∈N*）．（1）求a2，a3的值；（2）求证：{﹣1}是等比数列，并求（﹣n）的值；（3）记{a n}的前n项和为S n，是否存在正整数k，使得对于任意的n（n∈N*且n≥2）均有S n≥k成立？若存在，求出k的值：若不存在，说明理由．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【专题】35：转化思想；51：函数的性质及应用；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）直接利用关系式求出结果．（2）利用定义证明数列{﹣1}是等比数列，并求出极限值．（3）首先求出数列的关系式，进一步利用数列的单调性求出函数的存在问题的条件，进一步确定k的值．【解答】解：（1）数列{a n}满足a1＝，a n+1＝（n∈N*）．所以：，，（2）由于数列{a n}满足a1＝，a n+1＝（n∈N*）．所以：（常数），所以：：{﹣1}是以为首项，为公比的等比数列．所以：，所以：，故：，＝，＝2．（3）由于：，所以，，，所以：a n+1﹣a n＝＜0，所以：数列{a n}为递减数列，则：当n≥2时，k≤S2＝，所以：k＝1．所以：存在k＝1，使得对于任意的n（n∈N*且n≥2）均有S n≥k成立．【点评】1本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，叠加法在求数列的通项公式中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．21．已知函数f（x）＝2x（x∈R），记g（x）＝f（x）﹣f（﹣x）．（1）解不等式：f（2x）﹣f（x）≤6；（2）设k为实数，若存在实数x0∈（1，2]，使得g（2x0）＝k•g2（x0）﹣1成立，求k 的取值范围；（3）记h（x）＝f（2x+2）+a•f（x）+b（其中a，b均为实数），若对于任意的x∈[0，1]，均有|h（k）|，求a，b的值．【考点】3R：函数恒成立问题；6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】33：函数思想；48：分析法；51：函数的性质及应用．【分析】（1）函数f（x）＝2x，f（2x）﹣f（x）≤6，即为22x﹣2x﹣6≤0，即为（2x+2）（2x﹣3）≤0，可得解集；（2）根据g（2x0）＝k•g2（x0）﹣1，利用换元法，求解最值，即可求解k的取值范围；（3）根据h（x）＝f（2x+2）+a•f（x）+b（其中a，b均为实数），x∈[0，1]，均有|h（k）|，建立关系即可求解a，b的值．【解答】解：（1）函数f（x）＝2x，f（2x）﹣f（x）≤6，即为22x﹣2x﹣6≤0，即为（2x+2）（2x﹣3）≤0，即有2x≤3，解得x≤log23，即解集为（﹣∞，log23]；（2）存在实数x0∈（1，2]，使得g（2x0）＝k•g2（x0）﹣1成立，即为1+2﹣2＝k（2﹣2）2，设t＝2﹣2，在（1，2]递增，可得＜t≤，（2+2）2＝2+2+2＝t2+4，即有1+＝kt2，则k＝+，设m＝，m∈[，），即有y＝m+，在m∈[，）递增，可得y∈（，]，即有k∈（，]，（3）h（x）＝f（2x+2）+a•f（x）+b＝22x+2+a•2x+b＝4（2x）2+a•2x+b，令v＝2x，∵x∈[0，1]，∴v∈[1，2]，∴h（x）＝φ（v）＝4v2+av+b．若对于任意的x∈[0，1]，均有|h（x）|，即对任意v∈[1，2]，|φ（v）|＝|4v2+av+b|．∴，解得：a＝﹣12，b＝13.5．【点评】本题主要考查了函数恒成立问题的求解，分类讨论以及转化思想的应用，二次函数闭区间是的最值以及单调性的应用．。

上海普陀区2019高三上年末质量抽测试题--数学(理)

上海普陀区2019高三上年末质量抽测试题--数学（理）一．填空题〔本大题总分值56分〕本大题共有14题，要求直接将结果填写在答题纸的对应的空格，每个空格填对得4分，填错或不填在正确的位置一律得零分、1.函数()22sin cos 22x x f x =-的最小正周期是、 2.二项式61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是、〔请用数值作答〕3.函数y =的定义域是、 4.设1e 与2e 是两个不共线的向量，1212122,3,2AB e ke CB e e CD e e =+=+=-，那么当,,A B D 三点共线时，k = 、5.各项均为正数的等比数列{}n a中，131,1a a =那么此数列的各项和S = 、6.直线l 的方程为230x y --=，点()1,4A 与点B 关于直线l 对称，那么点B 的坐标为、7.如图，该框图所对应的程序运行后输出的结果的值为、8.假设双曲线的渐近线方程为3y x =±，它的一个焦点的坐标为)，那么该双曲线的标准方程为、9.如图，需在一张纸上印上两幅大小完全相同，面积都是232cm 的照片，排版设计为纸上左右留空各3cm ，上下留空各2.5cm ，图间留空为1cm ，照此设计，那么这张纸的最小面积是 2cm 、10.给出问题：ABC ∆满足cos cos a A b B ⋅=⋅，试判断ABC ∆的形状，某学生的解答如下： ()()()()()22222222222222222222222222b c a a c b a b bc aca b c a b a c b a b c a b a b c a b +-+-⋅=⋅⇔+-=+-⇔-⋅=-+⇔=+故ABC ∆事直角三角形、〔ii 〕设ABC ∆外接圆半径为R ，由正弦定理可得，原式等价于2sin cos 2sin cos sin 2sin 2R A A R B B A B A B=⇔=⇔=故ABC ∆是等腰三角形、综上可知，ABC ∆是等腰直角三角形、请问：该学生的解答是否正确？假设正确，请在下面横线中写出解题过程中主要用到的思想方法；假设不正确，请在下面横线中写出你认为此题正确的结果、11.数列{}n a 是等比数列，其前n 项和为n S ，假设102020,60,S S ==那么3010S S = 、12.假设一个底面边长为2的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，那么此球的体积为、13.用红、黄、蓝三种颜色分别去涂图中标号为1,2,3,…9的个9小正方形〔如右图〕，需满足任意相邻〔有公共边的〕小正方形涂颜色都不相同，且标号“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色，那么符合条件的所有涂法中，恰好满足“1、3、5、7、9”为同一颜色，“2、4、6、8”为同一颜色的概率为、14.设*,n n N a ∈表示关于x 的不等式12)45(log log 144-≥-⨯--n x x n 的正整数解的个数，那么数列{}n a 的通项公式n a = 、二、选择题〔本大题总分值20分〕本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中，每题选对得5分，不选、选错或选出的代号超过一个〔无论是否都写在空格内〕，或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分、15.“lg ,lg ,lg x y z 成等差数列”是“2y xz =”成立的〔〕A 、充分非必要条件； B.必要非充分条件； C.充要条件 D.既非充分也非必要条件16.设θ是直线l 的倾斜角，且cos 0a θ=<，那么θ的值为〔〕A 、arccos a π-； B. arccos a C. arccos a - D. arccos a π+17.设全集为R ，集合22|14x M x y ⎧⎫=+=⎨⎬⎩⎭3,|01x N x x -⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭，那么集合2231|24x x y ⎧⎫⎪⎪⎛⎫++=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭可表示为〔〕A 、M N ⋃B 、M N ⋂C 、RC M N ⋂D 、R M C N ⋂A 、假设,,a m a n ⊥⊥,m n αα≠≠⊂⊂，那么a α⊥；B 、假设//,,a b b α≠⊂那么//a α；C 、假设,,//,//a b a b ββαα≠≠⊂⊂，那么//a β；D 、//,,,a a b βαγβγ⋂=⋂=那么//a b 、【三】解答题〔本大题总分值74分〕本大题共有5题，解答以下各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤、19、〔此题总分值12分〕函数()2,0f x kx k =+≠的图像分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，且22AB i j =+，函数()26g x x x =--、当满足不等式()()f x g x >时，求函数()()1g x y f x +=的最小值、20、〔此题总分值12分，第1小题总分值6分，第2小题总分值6分〕如图，圆锥体SO 的侧面积为15π，底面半径OA 和OB 互相垂直，且3OA =，P 是母线BS 的中点、（1）求圆锥体的体积；（2）异面直线SO 与PA 所成角的大小〔结果用反三角函数表示〕21、〔本大题总分值14分，第1小题总分值7分，第2小题总分值7分〕ABC ∆中，1AC =，23ABC π∠=，设,BAC x ∠=计()f x AB BC =⋅ （1）求()f x 的解析式及定义域；（2）设()()61g x m f x =⋅+，是否存在实数m ，使函数()g x 的值域为31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦？所存在，求出m 的值；假设不存在，请说明理由、22、〔本大题总分值16分，第1小题总分值5分，第2小题总分值5分，第3小题总分值6分〕数列{}n a 是首项为2的等比数列，且满足12()n n n a pa n N *+=+∈（1）求常数p 的值和数列{}n a 的通项公式；（2）假设抽去数列中的第一项、第四项、第七项、、、、、、、、第32n -项，、、、、、、，余下的项按原来的顺序组成一个新的数列{}n b ，试写出数列{}n b 的通项公式；（3）在〔2〕的条件下，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，是否存在正整数n ，使得1113n n T T +=？假设存在，试求所有满足条件的正整数n 的值，假设不存在，请说明理由。

上海市普陀区教育学院附属中学2019年高三数学理模拟试题含解析

上海市普陀区教育学院附属中学2019年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为A．B．C．D．参考答案：A略2. 设全集为实数集，，，则图1中阴影部分所表示的集合是A． B．C． D．参考答案：D，由集合运算得结果知阴影部分为,所以，选D.3. 若关于的方程有四个不同的实数解，则k的取值范围为A. B. C. D.参考答案：C4. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与左视图都是边长为2的正三角形，则这个几何体的侧面积为 ( )参考答案：B5. 已知x、y∈R，且2x＋3y>2－y＋3－x，则下列各式中正确的是( )A．x－y >0 B．x＋y<0C．x＋y >0 D．x－y<0参考答案：C略6. 命题“使得”的否定是A．均有B．均有C．使得D．均有参考答案：B7. 函数的单调递增区间是 ( )参考答案：A略8. 已知函数一个周期内的图象如图所示，，为图象上的最高点，则的值为（）A． B． C.D．参考答案：B9. 在中,所对的边分别为,边上的高,则的最小值为（A）（B）（C）（D）参考答案：D10. 给定函数①，②，③y=|x﹣1|，④y=2x+1，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（）A．①②B．②③C．③④D．①④参考答案：B【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】本题所给的四个函数分别是幂函数型，对数函数型，指数函数型，含绝对值函数型，在解答时需要熟悉这些函数类型的图象和性质；①为增函数，②为定义域上的减函数，③y=|x﹣1|有两个单调区间，一增区间一个减区间，④y=2x+1为增函数．【解答】解：①是幂函数，其在（0，+∞）上即第一象限内为增函数，故此项不符合要求；②中的函数是由函数向左平移1个单位长度得到的，因为原函数在（0，+∞）内为减函数，故此项符合要求；③中的函数图象是由函数y=x﹣1的图象保留x轴上方，下方图象翻折到x轴上方而得到的，故由其图象可知该项符合要求；④中的函数图象为指数函数，因其底数大于1，故其在R上单调递增，不合题意．故选B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知非空集合，则的取值范围是____________参考答案：12. 已知命题. 若命题p是假命题，则实数的取值范围是 .参考答案：因为命题为假命题，所以。

2019年上海市高三数学一模分类汇编：立体几何

2（2019杨浦一模）. 已知扇形的半径为6，圆心角为3π，则扇形的面积为 5（2019普陀一模）. 若一个球的体积是其半径的43倍，则该球的表面积为 5（2019长嘉一模）. 若圆锥的侧面面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为 5（2019虹口一模）. 若一个球的表面积为4π，则它的体积为5（2019青浦一模）. 已知直角三角形△ABC 中，90A ∠=︒，3AB =，4AC =，则△ABC 绕直线AC 旋转一周所得几何体的体积为6（2019杨浦一模）. 若圆锥的母线长5()l cm =，高4()h cm =，则这个圆锥的体积等于 3()cm8（2019浦东一模）. ，母线与底面所成角为3π，则该圆锥的表面积为8（2019崇明一模）. 设一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则此圆锥的体积等于 9（2019普陀一模）. 如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为4，记1111AC B D F =I ，11BC B C E =I ，若AE BF ⊥，则此棱柱的体积为9（2019闵行一模）. 如图，在过正方体1111ABCD A B C D -的任意两个顶点的所有直线中，与直线1AC 异面的直线的条数为10（2019金山一模）. 在120︒的二面角内放置一个半径为6的小球，它与二面角的两个半平面相切于A 、B 两点，则这两个点在球面上的距离是10（2019静安一模）. 已知球的半径为24cm ，一个圆锥的高等于这个球的直径，而且球的表面积等于圆锥的表面积，则这个圆锥的体积是 3cm （结果保留圆周率π）10（2019宝山一模）. 将函数y =y 轴旋转一周所得的几何容器的容积是14（2019徐汇一模）. 魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为:4π，若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为（）A. 16B. 163C. 163D. 128314（2019金山一模）. 给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件14（2019虹口一模）. 关于三个不同平面α、β、γ与直线l ，下来命题中的假命题是（） A. 若αβ⊥，则α内一定存在直线平行于βB. 若α与β不垂直，则α内一定不存在直线垂直于βC. 若αγ⊥，βγ⊥，l αβ=I ，则l γ⊥D. 若αβ⊥，则α内所有直线垂直于β14（2019奉贤一模）. 若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件14（2019闵行一模）. 已知a 、b 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，a αβ=I ，a ∥b ，则下列结论不可能成立的是（）A. b β，且b ∥αB. b α，且b ∥βC. b ∥α，且b ∥βD. b 与α、β都相交14（2019浦东一模）. 下列命题正确的是（）A. 如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行B. 如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行C. 如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行D. 如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行15（2019黄浦一模）. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点中任取两个点作直线，与直线1A B 异面且夹角成60︒的直线的条数为（）A. 3B. 4C. 5D. 615（2019青浦一模）. 对于两条不同的直线m 、n 和两个不同的平面α、β，以下结论正确的是（）A. 若m α，n ∥β，m 、n 是异面直线，则α、β相交B. 若m α⊥，m β⊥，n ∥α，则n ∥βC. mα，n ∥α，m 、n 共面于β，则m ∥n D. 若m α⊥，n β⊥，α、β不平行，则m 、n 为异面直线15（2019普陀一模）. 若a 、b 、c 表示直线，α、β表示平面，则“a ∥b ”成立的一个充分非必要条件是（）A. a b ⊥，b c ⊥B. a ∥α，b ∥αC. a β⊥，b β⊥D. a ∥c ，b c ⊥17（2019浦东一模）. 已知直三棱柱111A B C ABC -中，11AB AC AA ===，90BAC ︒∠=.（1）求异面直线1A B 与11B C 所成角；（2）求点1B 到平面1A BC 的距离.17（2019金山一模）. 如图，三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，M 是 BC 的中点，若底面ABC 是边长为2的正三角形，且PB 与底面ABC 所成的角为3π. 求：（1）三棱锥P ABC -的体积；（2）异面直线PM 与AC 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）17（2019黄浦一模）. 如图，一个圆锥形量杯的高为12厘米，其母线与轴的夹角为30︒.（1）求该量杯的侧面积S ；（2）若要在该圆锥形量杯的一条母线PA 上，刻上刻度，表示液面到达这个刻度时，量杯里的液体的体积是多少，当液体体积是100立方厘米时，刻度的位置B 与顶点P 之间的距离是多少厘米（精确到0.1厘米）？17（2019奉贤一模）. 如图，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，AB AC =，D 是BC 的中点.（1）求证：BC ⊥平面11A AD ；（2）若90BAC ︒∠=，4BC =，三棱柱111ABC A B C -的体积是83，求异面直线1A D 与1AB 所成角的大小.17（2019青浦一模）. 已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为3，15A D =.（1）求该正四棱柱的侧面积与体积；（2）若E 为线段1A D 的中点，求BE 与平面ABCD 所成角的大小.17（2019闵行一模）. 如图，正三棱柱111ABC A B C -的各棱长均为2，D 为棱BC 的中点.（1）求该三棱柱的表面积；（2）求异面直线AB 与1C D 所成角的大小.17（2019宝山一模）. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，正方形ABCD 的边长为2，4PA =，设E 为侧棱PC 的中点.（1）求正四棱锥E ABCD -的体积V ；（2）求直线BE 与平面PCD 所成角θ的大小.17（2019崇明一模）. 如图，设长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，直线1A C 与平面ABCD 所成的角为4π. （1）求三棱锥1A A BD -的体积；（2）求异面直线1A B 与1B C 所成角的大小.17（2019徐汇一模）. 如图，已知正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1.（1）正方体ABCD A B C D ''''-中哪些棱所在的直线与直线A B '是异面直线？（2）若M 、N 分别是A B '、BC '的中点，求异面直线MN 与BC 所成角的大小.17（2019虹口一模）. 在如图所示的圆锥中，底面直径与母线长均为4，点C 是底面直径AB 所对弧的中点，点D 是母线PA 的中点.（1）求该圆锥的侧面积与体积；（2）求异面直线AB 与CD 所成角的大小.17（2019杨浦一模）. 如图，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，1PA AB ==，2AD =，点F 是PB 的中心，点E 在边BC 上移动.（1）求三棱锥E PAD -的体积；（2）证明：无论点E 在边BC 的何处，都有AF ⊥PE .18（2019静安一模）. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，PA AC AB ==，E 、F 分别是CD 、PD 的中点.（1）求证：CD ⊥平面PAE ；（2）求异面直线AF 与PE 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）18（2019长嘉一模）. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与地面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，首届中国国际进口博览会的某展馆棚顶一角的钢结构可以抽象为空间图形阳马，如图所示，在阳马P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD .（1）已知4AD CD m ==，斜梁PB 与底面ABCD 所成角为15︒，求立柱PD 的长；（精确到0.01m ）（2）求证：四面体PDBC 为鳖臑.19（2019普陀一模）. 如图所示，某地出土的一种“钉”是由四条线段组成，其结构能使它任意抛至水平面后，总有一端所在的直线竖直向上，并记组成该“钉”的四条线段的公共点为O ，钉尖为i A （1,2,3,4i =）.（1）记i OA a =（0a >），当1A 、2A 、3A 在同一水平面内时，求1OA 与平面123A A A 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）若该“钉”的三个钉尖所确定的三角形的面积为232cm ，要用某种线型材料复制100枚这种“钉”（耗损忽略不计），共需要该种材料多少米？。

2019年最新上海市普陀区第二次高考模拟高三数学试卷及答案解析

第二学期高三数学质量调研考生注意:1. 本试卷共4页，21道试题，满分150分. 考试时间120分钟.2. 本考试分试卷和答题纸. 试卷包括试题与答题要求. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.3. 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.1. 计算：=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→311lim n n .2. 函数⎪⎭⎫⎝⎛-=x y 11log 2的定义域为 . 3. 若παπ<<2，53sin =α，则=2tan α. 4. 若复数()21i i z ⋅+=（i 表示虚数单位），则=z . 5. 曲线C ：⎩⎨⎧==θθtan sec y x （θ为参数）的两个顶点之间的距离为 .6. 若从一副52张的扑克牌中随机抽取2张，则在放回抽取的情形下，两张牌都是K 的概率为（结果用最简分数表示）.7. 若关于x 的方程0cos si n =-+m x x 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上有解，则实数m 的取值范围是 .8. 若一个圆锥的母线与底面所成的角为6π,体积为π125,则此圆锥的高为 . 9. 若函数1log log )(222+-=x x x f （2≥x ）的反函数为)(1x f-，则)3(1-f= .10. 若三棱锥ABC S -的所有的顶点都在球O 的球面上，⊥SA 平面ABC ，2==AB SA ，4=AC ，3π=∠BAC ，则球O 的表面积为 .11.设0<a ，若不等式01cos )1(sin 22≥-+-+a x a x 对于任意的R ∈x 恒成立，则a 的取值范围是 .12.在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，M 是直线DE 上的动点.若△ABC 的面积为1，则2+⋅的最小值为 .二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13. 动点P 在抛物线122+=x y 上移动，若P 与点()1,0-Q 连线的中点为M ，则动点M 的轨迹方程为……………………………………………………………………………………………………………（）)A ( 22x y = ()B 24x y = ()C 26x y = ()D 28x y =14. 若α、β∈R ，则“βα≠”是“βαt an t an ≠”成立的……………………………………（）)A (充分非必要条件()B 必要非充分条件()C 充要条件()D 既非充分也非必要条件15. 设l 、m 是不同的直线，α、β是不同的平面，下列命题中的真命题为…………………………（）)A ( 若α//l ，β⊥m ，m l ⊥，则βα⊥ ()B 若α//l ，β⊥m ，m l ⊥，则 βα//()C 若α//l ，β⊥m ，m l //，则βα⊥ ()D 若α//l ，β⊥m ，m l //，则βα//16. 关于函数x y 2sin =的判断，正确的是……………………………………………………………（）)A (最小正周期为π2，值域为[]1,1-，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上是单调减函数()B 最小正周期为π，值域为[]1,1-，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上是单调减函数()C 最小正周期为π，值域为[]1,0，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上是单调增函数()D 最小正周期为π2，值域为[]1,0，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上是单调增函数三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分在正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是BC 、11D A 的中点. （1）求证：四边形EDF B 1是菱形；（2）求异面直线C A 1与DE 所成角的大小 (结果用反三角函数值表示) .18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分已知函数x b x a x f cos sin )(+=（a 、b 为常数且0≠a ，R ∈x ）.当4π=x 时，)(x f 取得最大值. （1）计算⎪⎭⎫⎝⎛411πf 的值；（2）设⎪⎭⎫⎝⎛-=x f x g 4)(π，判断函数)(x g 的奇偶性，并说明理由.1A1B1C1D BDA CEF19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分某人上午7时乘船出发，以匀速v 海里/小时（54≤≤v ）从A 港前往相距50海里的B 港，然后乘汽车以匀速ω千米/小时（10030≤≤ω）自B 港前往相距300千米的C 市，计划当天下午4到9时到达C 市.设乘船和汽车的所要的时间分别为x 、y 小时，如果所需要的经费()()y x P -+-+=853100（单位：元）（1）试用含有v 、ω的代数式表示P ；（2）要使得所需经费P 最少，求x 和y 的值，并求出此时的费用.20. （本题满分16分）本题共有3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分.已知曲线Γ：13422=+y x ，直线l 经过点()0,m P 与Γ相交于A 、B 两点. （1）若()3,0-C 且2=PC ，求证：P 必为Γ的焦点；（2）设0>m ，若点D 在Γ上，且PD 的最大值为3，求m 的值；（3）设O 为坐标原点，若3=m ，直线l 的一个法向量为()k ,1=，求∆A O B 面积的最大值.21.（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分. 已知数列{}n a （*N ∈n ），若{}1++n n a a 为等比数列，则称{}n a 具有性质P .（1）若数列{}n a 具有性质P ，且3,1321===a a a ，求4a 、5a 的值；（2）若()nn n b 12-+=，求证：数列{}n b 具有性质P ；（3）设=+++n c c c 21n n +2，数列{}n d 具有性质P ，其中11=d ，123c d d =-，232c d d =+，若310>m d ，求正整数m 的取值范围.xyo高三数学质量调研一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.1.12. ()()+∞∞-,10,3.34. i +-15.26.1691 7. 21≤≤m . 8. 5 9. 4 10.π20 11. 2-≤a 12. 3二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分【解】设正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系，如图所示：则()1,0,11B ,⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21,1E ,()0,1,0D ,⎪⎭⎫⎝⎛1,21,0F ……1分⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0,21,1,⎪⎭⎫⎝⎛-=0,21,11FB……2分所以1FB =,即1//FB DE 且1FB DE =,故四边形EDF B 1是平行四边形……3分又因为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1,21,01B ,25==……5分故平行四边形EDF B 1是菱形……6分（2）因为()0,1,11=C A ()()1,1,101,0--=-,⎪⎭⎫⎝⎛-=0,21,1DE……8分设异面直线C A 1与DE 所成的角的大小为θ……9分cos =θ……10分()()15152111110121)1(11222222=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅+-+-⨯+⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-+⨯-=……12分所以1515arccos=θ……13分, 故异面直线C A 1与DE 所成的角的大小为1515arccos……14分 18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分【解】（1）x b x a x f cos sin )(+=()ϕ++=x b a sin 22，其中abarctan=ϕ……2分根据题设条件可得，224b a f +=⎪⎭⎫⎝⎛π 即()2222b a b a +=+ ……4分化简得()()2222b a b a +=+，所以0222=+-b ab a即()02=-b a ，故0=-b a ……………5分所以()022411cos 411sin411=-=+=⎪⎭⎫⎝⎛b a b a f πππ……………6分（2）由（1）可得，b a =，即()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=4sin 2cos sin )(πx a x x a x f ……8分故x a x a x a x f x g cos 22sin 244sin 24)(=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫⎝⎛-=ππππ所以x a x g cos 2)(=（R ∈x ）…………10分对于任意的R ∈x ，x a x a x g cos 2)cos(2)(=-=-（0≠a ）……12分即)()(x g x g =-，所以)(x g 是偶函数.…………14分19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分【解】（1）v x 50=，204≤≤v ，得22510≤≤x ……2分 ω300=y ，10030≤≤ω，得103≤≤y ……4分()()y x P -+-+=853100⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=ω30085053100v所以ω300150123--=v P （其中204≤≤v ，10030≤≤ω）……6分（2）()()y x P -+-+=853100)3(123y x +-=其中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤+≤10322510149y x y x ，……9分令目标函数y x k +=3,，()3,6 …12分则当3,11==y x 时，333max =+=k 所以8736123min =-=P （元）,此时115050==x v ，1003300==ω 答：当3,11==y x 时，所需要的费用最少，为87元。

上海普陀区2019年高三1月质量调研卷--数学(理)

上海普陀区2019年高三1月质量调研卷--数学（理）数学〔理〕考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚，并在规定的区域贴上条形码.2.本试卷共有23道题，总分值150分.考试时间120分钟. 一.填空题〔本大题总分值56分〕本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否那么一律得零分.1.不等式1|2|≤-x 的解为.2.函数x x y 2cos 2sin +=的最小正周期=T .3.假设集合}156|{>+=x x A ，集合1{-=B ,0,1,2,}3，那么A B =. 4.【理科】如图，正方体1111D C B A ABCD -中，直线1BD 与平面11B BCC 所成的角的大小为〔结果用反三角函数值表示〕.5.【理科】假设函数3()log f x a x =-的图像经过点)1,1(，那么=--)8(1f .6.假设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，1442=+a a ，770S =，那么数列}{n a 的通项公式为.7.在一个袋内装有同样大小、质地的五个球，编号分别为1、2、3、4、5，假设从袋中任意取两个，那么编号的和是奇数的概率为〔结果用最简分数表示〕.（第4题图）8.在210(2x 的二项展开式中，常数项等于. 9.假设函数)2sin()(ϕ+=x A x f 〔0>A ,22πϕπ<<-〕的部分图像如右图，那么=)0(f .10.在ABC △中，假设2AB AC ⋅=,7-=⋅=.11.【理科】假设函数()f x 满足)9(2)10(+=+x f x f ，且1)0(=f ，那么=-)10(f _.12.【理科】假设)0,3(-C 、)0,3(D ，M 是椭圆2214x y +=上的动点，那么11MC MD+的最小值为.13.三棱锥S ABC -中，E 、F 、G 、H 分别为SA 、AC 、BC 、SB 的中点，那么截面EFGH将三棱锥S ABC -分成两部分的体积之比为. 14.函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤+=1,21210,1)(x x x x f x ，设0a b >≥，假设)()(b f a f =，那么)(a f b ⋅的取值范围是.二、选择题〔本大题总分值20分〕本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否那么一律得零分.15.函数=y )(x f (R x ∈)，那么“)2()1(f f <”是“函数=y )(x f 在R 上是增函数”的〔〕（第13题图）SBAEHGFA.充分非必要条件.B.必要非充分条件.C.充要条件.D.非充分非必要条件. 16.【理科】双曲线22221x y a b λλ+=--〔22b a >>λ〕的焦点坐标为〔〕 A.)0,(22b a +±.B.)0,(22b a -±. C.)0,2(22λ-+±b a .D.),0(22b a +±. 17.0>a ,0>b ,假设11lim 5n n n nn a b a b ++→∞-=-，那么b a +的值不可能．．．是〔〕 A.7B.8C.9D.1018.如图,四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得CD DE =.假设动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，其中AP AB AE λμ=+，以下判断正确的选项是．．．．．．〔〕 A.满足λμ+2=的点P 必为BC 的中点. B.满足1λμ+=的点P 有且只有一个. C.λμ+的最大值为3. D.λμ+的最小值不存在.三、解答题〔本大题总分值74分〕本大题共有5题，解答以下各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.〔此题总分值12分〕本大题共有2小题，第1小题总分值6分，第2小题总分值6分.如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成.球的直径是6cm ，圆柱筒长2cm .P（第18题图）〔1〕这种“浮球”的体积是多少3cm 〔结果精确到0.1〕？〔2〕要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需胶多少？20.〔此题总分值14分〕本大题共有2小题，第1小题总分值6分，第2小题总分值8分.动点),(y x A 到点)0,2(F 和直线2-=x 的距离相等. （1）求动点A 的轨迹方程；（2）记点)0,2(-K ，假设AF AK 2=，求△AFK 的面积21.〔此题总分值14分〕本大题共有2小题，第1小题题8分.a 、b 、c 是ABC △中A ∠、B ∠、C ∠的对边,34=a ,6=b ，31cos -=A 、〔1〕求c ；〔2〕求)42cos(π-B 的值、22.〔此题总分值16分〕本大题共有3小题，第1小题总分值5分，第2小题总分值5分，第3小题总分值6分.【理科】在平面直角坐标系xOy 中，点n A 满足)1,0(1=OA ，且)1,1(1=+n n A A ；点n B 满足)0,3(1=OB ，且)0,)32(3(1n n nBB ⋅=+，其中*n N ∈、〔1〕求2OA 的坐标，并证明．．点n A 在直线1y x =+上；〔2〕记四边形11n n n n A B B A ++的面积为n a ，求n a 的表达式；〔3〕对于〔2〕中的n a ，是否存在最小的正整数P ，使得对任意*n N ∈（第20题图）都有P a n <成立？假设存在，求P 的值；假设不存在，请说明理由、 23.〔此题总分值18分〕本大题共有3小题，第1小题总分值4分，第2小题总分值6分，第3小题总分值8分.【理科】设函数)(x f 和)(x g 都是定义在集合M 上的函数,对于任意的x M ∈，都有))(())((x f g x g f =成立，称函数)(x f 与)(x g 在M 上互为“H 函数”.〔1〕函数x x f 2)(=与x x g sin )(=在M 上互为“H 函数”，求集合M ；〔2〕假设函数x a x f =)((0a a >≠且1)与1)(+=x x g 在集合M 上互为“H 函数”, 求证：1>a ；（3）函数2)(+=x x f 与)(x g 在集合1|{->=x x M 且32-≠k x ，*N k ∈}上互为“H函数”，当10<≤x 时,)1(log )(2+=x x g ，且)(x g 在)1,1(-上是偶函数,求函数)(x g在集合M 上的解析式.参考答案【一】填空题1.[1,3]2.π3.}0,1{-4.【理科】22arctan；【文科】 605.936.32n a n =-〔*N n ∈〕7.538.1809.1-10.311.【理科】1021【文科】10212.113.1:114.)2,43[【二】选择题15. 16. 17. 18. BBDC三、解答题19.【解】〔1〕cm d 6=，cm R 3=，πππ362734343=⋅==R V 球3cm …………2分2=h ，πππ18292=⨯⨯=⋅=h R V 圆柱3cm …………2分=V 圆柱球V V +6.169541836≈=+=πππ3cm …………2分〔2〕πππ369442=⨯⨯==R S球表2cm …………2分πππ122322=⨯⨯⨯==Rh S 圆柱侧2cm …………2分1个“浮球”的表面积πππ4411048101236=+=S 2m 2500个“浮球”的表面积的和ππ121048250042500=⨯=S 2m 所用胶的质量为ππ120012100=⨯〔克〕…………2分答：这种浮球的体积约为6.1693cm ；供需胶π1200克.20.【解】〔1〕由题意可知，动点A 的轨迹为抛物线，其焦点为)0,2(F ，准线为2-=x设方程为px y 22=，其中22=p ，即4=p ……2分所以动点A 的轨迹方程为x y 82=……2分〔2〕过A 作l AB ⊥，垂足为B ,根据抛物线定义，可得||||AF AB =……2分由于AF AK 2=，所以AFK ∆是等腰直角三角形………2分其中4||=KF …………2分所以84421=⨯⨯=∆AFKS …………2分 21.【解】〔1〕在ABC △中，…………2分)31(6236482-⨯⨯⨯-+=c c …………2分即01242=-+c c ，0)2)(6(=-+c c ，解得〔2〕由031cos <-=A 得A 为钝角，所以322sin =A …………2分在ABC △中，由正弦定理，得sin sin a b A B=那么36343226sin sin =⨯=⋅=aAb B …………2分由于B 为锐角，那么33cos =B ……2分313221sin 212cos 2-=⋅-=-=B B32233362cos sin 22sin =⋅⋅=⋅=B B B所以)42cos(π-B 624)32231(22)2sin 2(cos 22-=+-=+=B B ………2分22.【理科】【解】〔1〕由条件得，(1,1)21=A A ,=21A A 2OA 1OA -,所以(1,2)2=OA ……2分(1,1)1=+n n A A ，那么)1,1(1=-+n n OA OA设),(nn n y x OA =，那么11=-+n n x x ，11=-+n n y y所以11)1(0-=⋅-+=n n x n ；n n y n =⋅-+=1)1(1………2分即),1(n n A n -=满足方程1y x =+，所以点n A 在直线1y x =+上.………1分〔证明n A 在直线1y x =+上也可以用数学归纳法证明.〕〔2〕由〔1〕得),1(n n A n -)0,)32(3(11n n n n n OB OB B B ⋅=-=++………1分设),(n n n v u B ，那么31=u ，01=v01=-+n n v v ，所以0=n vn n n u u )32(31⋅=-+，逐差累和得，))32(1(9n n u -=，所以)0),)32(1(9(nn B -………2分设直线1y x =+与x 轴的交点()1,0P -，那么()111121210911092323n n n n n nn PA B PA B a S S n n+++∆∆⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-+--⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦na 1)32)(2(5--+=n n ，*N n ∈……2分〔3〕由〔2〕na 1)32)(2(5--+=n n ，*N n ∈()()111224251523333n n n n n n a a n n --+⎡⎤⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+--+-=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦…2分于是，54321a a a a a =<<<， >>>765a a a ………2分数列{}na 中项的最大值为4516527a a ==+，那么27165>P ,即最小的正整数p 的值为6，所以，存在最小的自然数6=p ，对一切*n N ∈都有pa n <成立.……2分【文科】22.【解】〔1〕证明：函数)(x f 与)(x g 互为“H 函数“,那么对于R x ∈∀,))(())((x f g x g f =恒成立.即n b ax m b n mx a ++=++)()(在R 上恒成立………………2分化简得)()(n bm amx b an amx ++=++………………2分所以当n bm b an +=+时，))(())((x f g x g f =，即)()(b g n f =…1分〔2〕假设函数)(x f 与)(x g 互为“H 函数”，那么对于任意的M x ∈))(())((x f g x g f =恒成立.即x x 22cos cos =，对于任意]2,2[-∈x 恒成立 (2)分.当0=x 时，10cos 0cos ==.不妨取1=x ，那么1cos 1cos 2=，所以1cos 1cos 2≠………………2分所以假设不成立，在集合M 上，函数)(x f 与)(x g 不是互为“H 函数”………1分.〔3〕由题意得，11+=+x x a a 〔0>a 且1≠a 〕………2分变形得，1)1(=-a a x ，由于0>a 且1≠a11-=a a x，因为0>x a ，所以011>-a ，即1>a ………2分此时)1(log --=a x a ，集合}1),1(log |{>--==a a x x M a ………2分 23.【解】〔1〕由))(()((x f g x g f =得x x 2sin sin 2= 化简得，0)cos 1(sin 2=-x x ，0sin =x 或1cos =x ………2分解得πk x =或πk x 2=，Z k ∈，即集合}|{πk x x M ==Z k ∈………2分 (假设学生写出的答案是集合},|{Z k k x x M ∈==π的非空子集，扣1分，以示区别。

上海普陀区2019高考一模--数学(文科)

上海普陀区2019高考一模--数学（文科）考生注意：2018.11.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚，并在规定的区域贴上条形码.2.本试卷共有23道题，总分值150分.考试时间120分钟.一.填空题〔本大题总分值56分〕本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否那么一律得零分. 1.不等式1|2|≤-x 的解为.2.函数x x y 2cos 2sin +=的最小正周期=T .3.假设集合}156|{>+=x x A ，集合1{-=B ,0,,2,}3，那么A B =. 4.【文科】正方体1111D C B A ABCD -中，异面直线C B 1与D C 1所成的角的大小为.5.【文科】假设函数x x f 3log 1)(-=，那么=--)8(1f.6.假设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，1442=+a a ，770S =，那么数列}{n a 的通项公式为.7.在一个袋内装有同样大小、质地的五个球，编号分别为1、2、3、4、5，假设从袋中任意取两个，那么编号的和是奇数的概率为〔结果用最简分数表示〕. 8.在210(2x 的二项展开式中，常数项等于. 9.假设函数)2sin()(ϕ+=x A x f 〔0>A ,22πϕπ<<-图，那么=)0(f .10.在ABC △中，假设2AB AC ⋅=,7-=⋅BC AB .11.【文科】假设函数()f x 满足)9(2)10(+=+x f x f ，且1)0(=f ，那么=)10(f _. 12.【文科】假设1F 、2F 是椭圆2214x y +=的左、右两个焦点，M 是椭圆上的动点，那么（第13题图）S B ACE HGFA BCD1A 1B 1C 1D （第4题图）2111MF MF +的最小值为.13.三棱锥S ABC -中，E 、F 、G 、H 分别为SA 、AC 、BC 、SB 的中点，那么截面EFGH将三棱锥S ABC -分成两部分的体积之比为. 14.函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤+=1,21210,1)(x x x x f x ，设0a b >≥，假设)()(b f a f =，那么)(a f b ⋅的取值范围是.二、选择题〔本大题总分值20分〕本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否那么一律得零分. 15.函数=y )(x f (R x ∈)，那么“)2()1(f f <”是“函数=y )(x f 在R 上是增函数”的…………………………………………………………………………………………〔〕〔A 〕充分非必要条件.〔B 〕必要非充分条件. 〔C 〕充要条件.〔D 〕非充分非必要条件. 16.【文科】双曲线17922=-+-λλy x 〔97<<λ〕的焦点坐标为…………………………〔〕〔A 〕)0,4(±.〔B 〕)0,2(±. 〔C 〕)4,0(±.〔D 〕)2,0(±.17.0>a ,0>b ,假设11lim 5n n n n n a b a b++→∞-=-，那么b a +的值不可能．．．是…………………〔〕〔A 〕7.〔B 〕8.〔C 〕9.〔D 〕10.18.如图,四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得CD DE =.假设动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，其中AP AB AE λμ=+，以下判断正确的选项是．．．．．．…………………………………………………………………………………〔〕〔A 〕满足λμ+2=的点P 必为BC 的中点. 〔B 〕满足1λμ+=的点P 有且只有一个.P（第18题图）〔C 〕λμ+的最大值为3. 〔D 〕λμ+的最小值不存在.三、解答题〔本大题总分值74分〕本大题共有5题，解答以下各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.〔此题总分值12分〕本大题共有2小题，第1小题总分值6分，第2小题总分值6分.如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成.球的直径是6cm ，圆柱筒长2cm .〔1〕这种“浮球”的体积是多少3cm 〔结果精确到0.1〕？〔2〕要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需胶多少？20.〔此题总分值14分〕本大题共有2小题，第1小题总分值6动点),(y x A 到点)0,2(F 和直线2-=x 的距离相等. （1）求动点A 的轨迹方程；（2）记点)0,2(-K ，假设AFAK 2=，求△AFK 的面积.21.〔此题总分值14分〕本大题共有2小题，第1小题6分，第2a 、b 、c 是ABC △中A ∠、B ∠、C ∠的对边,34=a ,6=b ，31cos -=A 、〔1〕求c ；〔2〕求)42cos(π-B 的值、22.〔此题总分值16分〕本大题共有3小题，第1小题总分值5分，第2小题总分值5分，第3小题总分值6分.【文科】)(x f 和)(x g 都是定义在集合M 上的函数,对于任意的x M ∈，都有))(())((x f g x g f =成立，称函数)(x f 与)(x g 在M 上互为“H 函数”.〔1〕假设函数b ax x f +=)(，n mx x g +=)(，)(x f 与)(x g 互为“H 函数”,证明：)()(b g n f =.〔2〕假设集合]2,2[-=M ，函数2)(x x f =，x x g cos )(=，判断函数)(x f 与)(x g 在M上是否互为“H 函数”，并说明理由.（第20题图） 6cm〔3〕函数x a x f =)((0a a >≠且1)，1)(+=x x g 在集合M 上互为“H 函数”,求a 的取值范围及集合M .23.〔此题总分值18分〕本大题共有3小题，第1小题总分值4分，第2小题总分值6分，第3小题总分值8分. 【文科】在平面直角坐标系xOy 中，点nA 满足)1,0(1=OA ，且)1,1(1=+n n A A ；点n B 满足)0,3(1=OB ，且)0,)32(3(1n n n B B ⋅=+，其中*n N ∈、〔1〕求2OA 的坐标，并证明．．点nA 在直线1y x =+上；〔2〕记四边形11n n n n AB B A ++的面积为n a ，求na 的表达式；〔3〕对于〔2〕中的na ，是否存在最小的正整数P ，使得对任意*n N ∈都有P a n <成立？假设存在，求P 的值；假设不存在，请说明理由、2018学年第一学期普陀区高三理科数学质量调研评分标准【一】填空题〔本大题总分值56分〕本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否那么一律得零分. 1.[1,3]2.π3.}0,1{- 4.【理科】22arctan；【文科】 60 5.93 6.32na n =-〔*N n ∈〕7.538.1809.1-10.311.【理科】1021【文科】10212.113.1:114.)2,43[【二】选择题〔本大题总分值20分〕本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否那么一律得零分.的规定区域内写出必要的步骤. 19.【解】〔1〕cm d 6=，cm R 3=，πππ362734343=⋅==R V 球3cm …………2分 2=h ，πππ18292=⨯⨯=⋅=h R V 圆柱3cm …………2分 =V 圆柱球V V +6.169541836≈=+=πππ3cm …………2分〔2〕πππ369442=⨯⨯==R S 球表2cm …………2分πππ122322=⨯⨯⨯==Rh S 圆柱侧2cm …………2分1个“浮球”的表面积πππ4411048101236=+=S 2m 2500个“浮球”的表面积的和ππ121048250042500=⨯=S 2m 所用胶的质量为ππ120012100=⨯〔克〕…………2分答：这种浮球的体积约为6.1693cm ；供需胶π1200克. 20.【解】〔1〕由题意可知，动点A 的轨迹为抛物线，其焦点为)0,2(F ，准线为2-=x设方程为px y 22=，其中22=p，即4=p ……2分所以动点A 的轨迹方程为x y 82=……2分B ,根据抛物线定义，可得||||AF AB =……2分由于AK 是等腰直角三角形………2分其中|所以84421=⨯⨯=∆AFKS …………2分 21.ABC △A bc c b a cos 2222-+=…………2分)31(6236482-⨯⨯⨯-+=c c …………2分即01242=-+c c ，0)2)(6(=-+c c ，解得2=c …………2分〔2〕由031cos <-=A 得A 为钝角，所以322sin =A …………2分在ABC △中，由正弦定理，得sin sin a b A B=那么36343226sin sin =⨯=⋅=aAb B …………2分由于B 为锐角，那么33cos =B ……2分313221sin 212cos 2-=⋅-=-=B B32233362cos sin 22sin =⋅⋅=⋅=B B B所以)42cos(π-B 624)32231(22)2sin 2(cos 22-=+-=+=B B ………2分22.【理科】【解】〔1〕由条件得，(1,1)21=A A ,=21A A 2OA 1OA -,所以(1,2)2=OA ……2分(1,1)1=+n n A A ，那么)1,1(1=-+n n OA OA设),(n n n y x OA =，那么11=-+n n x x，11=-+n n y y所以11)1(0-=⋅-+=n n x n ；n n y n=⋅-+=1)1(1………2分即),1(n n A n -=满足方程1y x =+，所以点n A 在直线1y x =+上.………1分〔证明n A 在直线1y x =+上也可以用数学归纳法证明.〕〔2〕由〔1〕得),1(n n A n-)0,)32(3(11n n n n n OB OB B B ⋅=-=++………1分设),(nn n v u B ，那么31=u ，01=v01=-+n n v v ，所以0=n vn n n u u )32(31⋅=-+，逐差累和得，))32(1(9n n u -=，所以)0),)32(1(9(nn B -………2分设直线1y x =+与x 轴的交点()1,0P -，那么()111121************n n n nn nn PA B PA B a S S n n +++∆∆⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-+--⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦na 1)32)(2(5--+=n n ，*N n ∈……2分〔3〕由〔2〕na1)32)(2(5--+=n n ，*N n ∈()()111224251523333n n n n n n a a n n --+⎡⎤⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+--+-=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦…2分于是，54321a a a a a =<<<， >>>765a a a ………2分数列{}n a 中项的最大值为4516527a a ==+，那么27165>P ,即最小的正整数p的值为6，所以，存在最小的自然数6=p ，对一切*n N ∈都有p a n <成立.……2分【文科】22.【解】〔1〕证明：函数)(x f 与)(x g 互为“H 函数“,那么对于R x ∈∀,))(())((x f g x g f =恒成立.即n b ax m b n mx a ++=++)()(在R 上恒成立………………2分化简得)()(n bm amx b an amx ++=++………………2分所以当n bm b an +=+时，))(())((x f g x g f =，即)()(b g n f =…1分〔2〕假设函数)(x f 与)(x g 互为“H 函数”，那么对于任意的M x ∈ ))(())((x f g x g f =恒成立.即x x 22cos cos =，对于任意]2,2[-∈x 恒成立…2分. 当0=x 时，10cos 0cos ==.不妨取1=x ，那么1cos 1cos 2=，所以1cos 1cos 2≠………………2分所以假设不成立，在集合M 上，函数)(x f 与)(x g 不是互为“H 函数”………1分.〔3〕由题意得，11+=+x x a a 〔0>a 且1≠a 〕………2分变形得，1)1(=-a a x ，由于0>a 且1≠a11-=a a x，因为0>x a ，所以011>-a ，即1>a ………2分此时)1(log --=a x a ，集合}1),1(log |{>--==a a x x M a ………2分 23.【解】〔1〕由))(()((x f g x g f =得x x 2sin sin 2=化简得，0)cos 1(sin 2=-x x ，0sin =x 或1cos =x ………2分解得πk x =或πk x 2=，Z k ∈，即集合}|{πk x x M ==Z k ∈ (2)分(假设学生写出的答案是集合},|{Z k k x x M ∈==π的非空子集，扣1分，以示区别。

上海普陀区2019年高三1月质量调研卷--数学(理)

上海普陀区2019年高三1月质量调研卷--数学（理）数学（理）考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚，并在规定旳区域贴上条形码.2.本试卷共有23道题，满分150分.考试时间120分钟.一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号旳空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1. 不等式1|2|≤-x 旳解为 .2. 函数x x y 2cos 2sin +=旳最小正周期=T .3. 若集合}156|{>+=x x A ，集合1{-=B ,0,1,2,}3，则A B = .4.【理科】如图，正方体1111D C B A ABCD -中，直线1BD 与平面11B BCC 所成旳角旳大小为（结果用反三角函数值表示）.5.【理科】若函数3()log f x a x =-旳图像经过点)1,1(，则=--)8(1f .6. 若等差数列}{n a 旳前n 项和为n S ，1442=+a a ，770S =，则数列}{n a 旳通项公式为 .7. 在一个袋内装有同样大小、质地旳五个球，编号分别为1、2、3、4、5，若从袋中任意（第4题图）取两个，则编号旳和是奇数旳概率为（结果用最简分数表示）. 8.在210(2x 旳二项展开式中，常数项等于 . 9. 若函数)2sin()(ϕ+=x A x f （0>A ,22πϕπ<<-）旳部分图像如右图，则=)0(f .10. 在ABC △中，若2AB AC ⋅=,7-=⋅=.11. 【理科】若函数()f x 满足)9(2)10(+=+x f x f ，且1)0(=f ，则=-)10(f _.12. 【理科】若)0,3(-C 、)0,3(D ，M 是椭圆2214x y +=上旳动点，则11MC MD+ 旳最小值为 .13. 三棱锥S ABC -中，E 、F 、G 、H 分别为SA 、AC 、BC 、SB 旳中点，则截面EFGH将三棱锥S ABC -分成两部分旳体积之比为 . 14. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤+=1,21210,1)(x x x x f x ，设0a b >≥，若)()(b f a f =，则)(a f b ⋅旳取值范围是 .二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸旳相应编号上，将代表答案旳小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.（第13题图）S BAEHGF15. 已知函数=y )(x f (R x ∈)，则“)2()1(f f <”是“函数=y )(x f 在R 上是增函数”旳（）A.充分非必要条件.B.必要非充分条件.C.充要条件.D.非充分非必要条件. 16. 【理科】双曲线22221x y a b λλ+=--（22b a >>λ）旳焦点坐标为（） A.)0,(22b a +±. B.)0,(22b a -±. C.)0,2(22λ-+±b a . D.),0(22b a +±. 17. 已知0>a ,0>b ,若11lim 5n n n nn a b a b ++→∞-=-，则b a +旳值不可能．．．是（） A.7 B.8 C.9 D.10 18. 如图,四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得CD DE =.若动点P 从点A 出发，沿正方形旳边按逆时针方向运动一周回到A 点，其中AP AB AE λμ=+，下列判断正确．．旳是（） A.满足λμ+2=旳点P 必为BC 旳中点. B.满足1λμ+=旳点P 有且只有一个. C.λμ+旳最大值为3. D.λμ+旳最小值不存在.三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号旳规定区域内写出必要旳步骤.19. （本题满分12分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.P（第18题图）如图，某种水箱用旳“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成. 已知球旳直径是6cm ，圆柱筒长2cm .（1）这种“浮球”旳体积是多少3cm （结果精确到0.1）？（2）要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需胶多少？20. （本题满分14分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知动点),(y x A 到点)0,2(F 和直线2-=x 旳距离相等. （1）求动点A 旳轨迹方程；（2）记点)0,2(-K ，若AF AK 2=，求△AFK 旳面积.21.（本题满分14分）本大题共有2小题，第1小题6分，第2小题8分.已知a 、b 、c 是ABC △中A ∠、B ∠、C ∠旳对边,34=a ,6=b ，31cos -=A ．（1）求c ；（第20题图）（第19题图）6cm（2）求)42cos(π-B 旳值．22. （本题满分16分）本大题共有3小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分.【理科】在平面直角坐标系xOy 中，点n A 满足)1,0(1=OA ，且)1,1(1=+n n A A ；点n B 满足)0,3(1=，且)0,)32(3(1n n nBB ⋅=+，其中*n N ∈．（1）求2OA 旳坐标，并证明．．点n A 在直线1y x =+上；（2）记四边形11n n n n A B B A ++旳面积为n a ，求na 旳表达式；（3）对于（2）中旳na ，是否存在最小旳正整数P ，使得对任意*n N ∈都有P a n <成立？若存在，求P 旳值；若不存在，请说明理由．23.（本题满分18分）本大题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.【理科】设函数)(x f 和)(x g 都是定义在集合M 上旳函数,对于任意旳x M ∈，都有))(())((x f g x g f =成立，称函数)(x f 与)(x g 在M 上互为“H 函数”.（1）函数x x f 2)(=与x x g sin )(=在M 上互为“H 函数”，求集合M ；（2）若函数x a x f =)((0a a >≠且1)与1)(+=x x g 在集合M 上互为“H 函数”, 求证：1>a ；（3）函数2)(+=x x f 与)(x g 在集合1|{->=x x M 且32-≠k x ，*N k ∈}上互为“H函数”，当10<≤x 时,)1(log )(2+=x x g ，且)(x g 在)1,1(-上是偶函数,求函数)(x g在集合M 上旳解析式.参考答案一、填空题1.[1,3]2.π3.}0,1{-4.【理科】22arctan；【文科】 60 5.93 6.32na n =-（*N n ∈） 7.53 8.180 9.1-10.3 11.【理科】1021【文科】102 12.1 13.1:114.)2,43[二、选择题15. 16. 17. 18. BBDC三．解答题19.【解】（1）cm d 6=，cm R 3=，πππ362734343=⋅==R V 球3cm …………2分2=h ，πππ18292=⨯⨯=⋅=h R V圆柱3cm …………2分 =V 圆柱球V V +6.169541836≈=+=πππ3cm …………2分（2）πππ369442=⨯⨯==R S球表2cm …………2分πππ122322=⨯⨯⨯==Rh S圆柱侧2cm …………2分1个“浮球”旳表面积πππ4411048101236=+=S 2m 2500个“浮球”旳表面积旳和ππ121048250042500=⨯=S 2m所用胶旳质量为ππ120012100=⨯（克）…………2分答：这种浮球旳体积约为6.1693cm ；供需胶π1200克.20.【解】（1）由题意可知，动点A 旳轨迹为抛物线，其焦点为)0,2(F ，准线为2-=x设方程为px y 22=，其中22=p，即4=p ……2分所以动点A 旳轨迹方程为x y 82=……2分（2）过A 作l AB ⊥，垂足为B ,根据抛物线定义，可得||||AF AB =……2分由于AF AK 2=，所以AFK ∆是等腰直角三角形 ………2分其中4||=KF …………2分所以84421=⨯⨯=∆AFKS …………2分21.【解】（1）在ABC △中，由余弦定理得，A bc c b a cos 2222-+=…………2分)31(6236482-⨯⨯⨯-+=c c …………2分即01242=-+c c ，0)2)(6(=-+c c ，解得2=c …………2分（2）由031cos <-=A 得A 为钝角，所以322sin =A …………2分在ABC △中，由正弦定理，得sin sin a b A B=则36343226sin sin =⨯=⋅=aAb B …………2分由于B 为锐角，则33cos =B ……2分313221sin 212cos 2-=⋅-=-=B B32233362cos sin 22sin =⋅⋅=⋅=B B B所以)42cos(π-B 624)32231(22)2sin 2(cos 22-=+-=+=B B ………2分22.【理科】【解】（1）由已知条件得，(1,1)21=A A ,=21A A 2OA 1OA -,所以(1,2)2=OA ……2分(1,1)1=+n n A A ，则)1,1(1=-+n n OA OA设),(nn n y x OA =，则11=-+n n x x ，11=-+n n y y所以11)1(0-=⋅-+=n n x n ；n n y n =⋅-+=1)1(1………2分即),1(n n A n -=满足方程1y x =+，所以点n A 在直线1y x =+上. (1)分（证明n A 在直线1y x =+上也可以用数学归纳法证明.）（2）由（1）得),1(n n A n -)0,)32(3(11n n n n n OB OB B B ⋅=-=++ ………1分设),(n n n v u B ，则31=u ，01=v01=-+n n v v ，所以0=n vn n n u u )32(31⋅=-+，逐差累和得，))32(1(9n n u -=，所以)0),)32(1(9(nn B -………2分设直线1y x =+与x 轴旳交点()1,0P -，则()111121210911092323n n n nn nn PA B PA B a S S n n+++∆∆⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-+--⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦na 1)32)(2(5--+=n n ，*N n ∈……2分（3）由（2）na 1)32)(2(5--+=n n ，*N n ∈()()111224251523333n n n n n n a a n n --+⎡⎤⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+--+-=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦…2分于是，54321a a a a a =<<<， >>>765a a a ………2分数列{}na 中项旳最大值为4516527a a ==+，则27165>P ,即最小旳正整数p旳值为6，所以，存在最小旳自然数6=p ，对一切*n N ∈都有p a n <成立.……2分【文科】22. 【解】（1）证明：函数)(x f 与)(x g 互为“H 函数“,则对于R x ∈∀,))(())((x f g x g f = 恒成立.即n b ax m b n mx a ++=++)()(在R 上恒成立………………2分化简得)()(n bm amx b an amx ++=++………………2分所以当n bm b an +=+时，))(())((x f g x g f =，即)()(b g n f =…1分（2）假设函数)(x f 与)(x g 互为“H 函数”，则对于任意旳M x ∈ ))(())((x f g x g f = 恒成立.即x x 22cos cos =，对于任意]2,2[-∈x 恒成立…2分.当0=x 时，10cos 0cos ==.不妨取1=x ，则1cos 1cos 2=，所以1cos 1cos 2≠………………2分所以假设不成立，在集合M 上，函数)(x f 与)(x g 不是互为“H 函数”………1分.（3）由题意得，11+=+x x a a （0>a 且1≠a ）………2分变形得，1)1(=-a a x ，由于0>a 且1≠a 11-=a a x，因为0>x a ，所以011>-a ，即1>a ………2分此时)1(l o g --=a x a ，集合}1),1(log |{>--==a a x x M a ………2分23.【解】（1）由))(()((x f g x g f =得x x 2sin sin 2= 化简得，0)cos 1(sin 2=-x x ，0sin =x 或1cos =x ………2分解得πk x =或πk x 2=，Z k ∈，即集合}|{πk x x M ==Z k ∈………2分 (若学生写出旳答案是集合},|{Z k k x x M ∈==π旳非空子集，扣1分，以示区别。

2019-2020学年上海市普陀区高考数学一模试卷

上海市普陀区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）设全集U={1，2，3，4，5}，若集合A={3，4，5}，则∁U A= ． 2．（4分）若，则= ．3．（4分）方程log 2（2﹣x ）+log 2（3﹣x ）=log 212的解x= ．4．（4分）的二项展开式中的常数项的值为．5．（4分）不等式的解集为．6．（4分）函数的值域为．7．（5分）已知i 是虚数单位，是复数z 的共轭复数，若，则在复平面内所对应的点所在的象限为第象限．8．（5分）若数列{a n }的前n 项和（n ∈N *），则= ．9．（5分）若直线l ：x +y=5与曲线C ：x 2+y 2=16交于两点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），则x 1y 2+x 2y 1的值为．10．（5分）设a 1、a 2、a 3、a 4是1，2，3，4的一个排列，若至少有一个i （i=1，2，3，4）使得a i =i 成立，则满足此条件的不同排列的个数为．11．（5分）已知正三角形ABC 的边长为，点M 是△ABC 所在平面内的任一动点，若，则的取值范围为．12．（5分）双曲线绕坐标原点O 旋转适当角度可以成为函数f （x ）的图象，关于此函数f （x ）有如下四个命题： ①f （x ）是奇函数； ②f （x ）的图象过点或； ③f （x ）的值域是；④函数y=f （x ）﹣x 有两个零点；则其中所有真命题的序号为．祝您高考马到成功！二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．（5分）若数列{a n }（n ∈N *）是等比数列，则矩阵所表示方程组的解的个数是（）A ．0个B ．1个C ．无数个D ．不确定14．（5分）“m ＞0”是“函数f （x ）=|x （mx +2）|在区间（0，+∞）上为增函数”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件15．（5分）用长度分别为2、3、5、6、9（单位：cm ）的五根木棒连接（只允许连接，不允许折断），组成共顶点的长方体的三条棱，则能够得到的长方体的最大表面积为（）A ．258cm 2B ．414cm 2C ．416cm 2D ．418cm 216．（5分）定义在R 上的函数f （x ）满足，且f （x ﹣1）=f （x +1），则函数在区间[﹣1，5]上的所有零点之和为（）A ．4B ．5C ．7D ．8三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17．（14分）如图所示的圆锥的体积为，底面直径AB=2，点C 是弧的中点，点D 是母线PA 的中点．（1）求该圆锥的侧面积；（2）求异面直线PB 与CD 所成角的大小．祝您高考马到成功！18．（14分）某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x 台机器人的总成本p （x ）=+x +150万元．（1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？（2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排m 人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣（如图），经实验知，每台机器人的日平均分拣量q （m ）=（单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？19．（14分）设函数f （x ）=sin （ωx +φ）（ω＞0，），已知角φ的终边经过点，点M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2）是函数f （x ）图象上的任意两点，当|f （x 1）﹣f （x 2）|=2时，|x 1﹣x 2|的最小值是．（1）求函数y=f （x ）的解析式；（2）已知△ABC 面积为，角C 所对的边，，求△ABC 的周长．祝您高考马到成功！20．（16分）设点F 1、F 2分别是椭圆（t ＞0）的左、右焦点，且椭圆C 上的点到点F 2的距离的最小值为，点M 、N 是椭圆C 上位于x 轴上方的两点，且向量与向量平行．（1）求椭圆C 的方程；（2）当时，求△F 1MN 的面积；（3）当时，求直线F 2N 的方程．21．（18分）设d 为等差数列{a n }的公差，数列{b n }的前n 项和T n ，满足（n ∈N *），且d=a 5=b 2，若实数m ∈P k ={x |a k ﹣2＜x ＜a k +3}（k ∈N *，k ≥3），则称m 具有性质P k ．（1）请判断b 1、b 2是否具有性质P 6，并说明理由；（2）设S n 为数列{a n }的前n 项和，若{S n ﹣2λa n }是单调递增数列，求证：对任意的k （k ∈N *，k ≥3），实数λ都不具有性质P k ；（3）设H n 是数列{T n }的前n 项和，若对任意的n ∈N *，H 2n ﹣1都具有性质P k ，求所有满足条件的k 的值．祝您高考马到成功！上海市普陀区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）设全集U={1，2，3，4，5}，若集合A={3，4，5}，则∁U A= {1，2} ．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5}，集合A={3，4，5}， ∴∁U A={1，2}．故答案为：{1，2}．2．（4分）若，则=．【解答】解：，∴=．故答案为：．3．（4分）方程log 2（2﹣x ）+log 2（3﹣x ）=log 212的解x= ﹣1 ．【解答】解：∵方程log 2（2﹣x ）+log 2（3﹣x ）=log 212，∴，即，解得x=﹣1．故答案为：﹣1．4．（4分）的二项展开式中的常数项的值为 ﹣84 ．【解答】解：二项展开式的通项=，祝您高考马到成功！由，得r=3．∴的二项展开式中的常数项为．故答案为：﹣84．5．（4分）不等式的解集为 [0，1）∪（1，2] ．【解答】解：由题意得：，解得：0≤x ＜1或1＜x ≤2，故答案为：[0，1）∪（1，2]．6．（4分）函数的值域为 [﹣1，3] ．【解答】解：∵=sinx +cosx +1=2sin （x +）+1，∵sin （x +）∈[﹣1，1]，∴f （x ）=2sin （x +）+1∈[﹣1，3]．故答案为：[﹣1，3]．7．（5分）已知i 是虚数单位，是复数z 的共轭复数，若，则在复平面内所对应的点所在的象限为第一象限．【解答】解：，设z=a +bi ，则z ×2i ﹣（1+i ）=0，即（a +bi ）×2i ﹣1﹣i=0，则2ai ﹣2b ﹣1﹣i=0，∴﹣2b ﹣1+（2a ﹣1）i=0，则，则，∴z=﹣i ，则=+i ，∴则在复平面内所对应的点位于第一象限，故答案为：一．祝您高考马到成功！8．（5分）若数列{a n }的前n 项和（n ∈N *），则= ﹣2 ．【解答】解：数列{a n }的前n 项和（n ∈N *），可得n=1时，a 1=S 1=﹣3+2+1=0；当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=﹣3n 2+2n +1+3（n ﹣1）2﹣2n +2﹣1=﹣6n +5，则==（﹣2+）=﹣2+0=﹣2．故答案为：﹣2．9．（5分）若直线l ：x +y=5与曲线C ：x 2+y 2=16交于两点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），则x 1y 2+x 2y 1的值为 16 ．【解答】解：直线l ：x +y=5与曲线C ：x 2+y 2=16交于两点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），则：，所以：2x 2﹣10x +9=0，则：x 1+x 2=5，，则：x 1y 2+x 2y 1=x 1（5﹣x 2）+x 2（5﹣x 1），=5（x 1+x 2）﹣2x 1x 2，=25﹣9， =16．故答案为：16．10．（5分）设a 1、a 2、a 3、a 4是1，2，3，4的一个排列，若至少有一个i （i=1，2，3，4）使得a i =i 成立，则满足此条件的不同排列的个数为 15 ．【解答】解：根据题意，a 1、a 2、a 3、a 4是1，2，3，4的一个排列，则所有的排列有A 44=24个，假设不存在i （i=1，2，3，4）使得a i =i 成立，则a 1可以在第2、3、4位置，有3种情况，祝您高考马到成功！假设a 1在第二个位置，则a 1可以在第1、3、4位置，也有3种情况，此时a 3、a 4只有1种排法，剩余的两个数在其余两个位置，有1种情况，则不存在i （i=1，2，3，4）使得a i =i 成立的情况有3×3=9种，则至少有一个i （i=1，2，3，4）使得a i =i 成立排列数有24﹣9=15个；故答案为：15．11．（5分）已知正三角形ABC 的边长为，点M 是△ABC 所在平面内的任一动点，若，则的取值范围为 [0，6] ．【解答】解：以A 点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A （0，0），B （，0），C （，），∵，不妨设M （cosθ，sinθ）， ∴++=（﹣cosθ，﹣sinθ）+（﹣cosθ，﹣sinθ）+（﹣cosθ，﹣sinθ）=（﹣3cosθ，﹣3sinθ）， ∴|++|2=（﹣3cosθ）2+（﹣3sinθ）2=9（2﹣cosθ﹣sinθ）=18﹣18sin （θ+），∵﹣1≤sin （θ+）≤1，∴0≤18﹣18sin （θ+）≤36，∴的取值范围为[0，6]，故答案为：[0，6]祝您高考马到成功！12．（5分）双曲线绕坐标原点O 旋转适当角度可以成为函数f （x ）的图象，关于此函数f （x ）有如下四个命题： ①f （x ）是奇函数； ②f （x ）的图象过点或； ③f （x ）的值域是；④函数y=f （x ）﹣x 有两个零点；则其中所有真命题的序号为 ①② ．【解答】解：双曲线关于坐标原点对称，可得旋转后得到的函数f （x ）的图象关于原点对称，即有f （x ）为奇函数，故①对；由双曲线的顶点为（±，0），渐近线方程为y=±x ，可得f （x ）的图象的渐近线为x=0和y=±x ，图象关于直线y=x 对称，可得f （x ）的图象过点，或，由对称性可得f （x ）的图象按逆时针60°旋转位于一三象限；按顺时针旋转60°位于二四象限；故②对；祝您高考马到成功！f （x ）的图象按逆时针旋转60°位于一三象限，由图象可得顶点为点，或，不是极值点，则f （x ）的值域不是；f （x ）的图象按顺时针旋转60°位于二四象限，由对称性可得f （x ）的值域也不是．故③不对；当f （x ）的图象位于一三象限时，f （x ）的图象与直线y=x 有两个交点，函数y=f （x ）﹣x 有两个零点；当f （x ）的图象位于二四象限时，f （x ）的图象与直线y=x 没有交点，函数y=f （x ）﹣x 没有零点．故④错．故答案为：①②．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．（5分）若数列{a n }（n ∈N *）是等比数列，则矩阵所表示方程组的解的个数是（）A ．0个B ．1个C ．无数个D ．不确定【解答】解：根据题意，矩阵所表示方程组为，又由数列{a n }（n ∈N *）是等比数列，祝您高考马到成功！则有===，则方程组的解有无数个；故选：C ．14．（5分）“m ＞0”是“函数f （x ）=|x （mx +2）|在区间（0，+∞）上为增函数”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【解答】解：∵m ＞0，∴函数f （x ）=|x （mx +2）|=|mx 2+2x |，∵f （0）=0，∴f （x ）在区间（0，+∞）上为增函数”；∵函数f （x ）=|x （mx +2）|=|mx 2+2x |在区间（0，+∞）上为增函数，f （0）=0，∴m ∈R ，∴“m ＞0”是“函数f （x ）=|x （mx +2）|在区间（0，+∞）上为增函数”的充分非必要条件．故选：A ．15．（5分）用长度分别为2、3、5、6、9（单位：cm ）的五根木棒连接（只允许连接，不允许折断），组成共顶点的长方体的三条棱，则能够得到的长方体的最大表面积为（）A ．258cm 2B ．414cm 2C ．416cm 2D ．418cm 2 【解答】解：设长方体的三条棱分别为a ，b ，c ，则长方体的表面积S=2（ab +bc +ac ）≤（a +b ）2+（b +c ）2+（a +c ）2，当且仅当a=b=c 时上式“=”成立．由题意可知，a ，b ，c 不可能相等，故考虑当a ，b ，c 三边长最接近时面积最大，此时三边长为8，8，9，祝您高考马到成功！用2、6连接，3、5连接各为一条棱，第三条棱为9组成长方体，此时能够得到的长方体的最大表面积为2（8×8+8×9+8×9）=416（cm 2）．故选：C ．16．（5分）定义在R 上的函数f （x ）满足，且f （x ﹣1）=f （x +1），则函数在区间[﹣1，5]上的所有零点之和为（）A ．4B ．5C ．7D ．8【解答】解：∵函数，且f （x ﹣1）=f （x +1），函数的周期为2，函数，的零点，就是y=f （x ）与y=图象的交点的横坐标，∴y=f （x ）关于点（0，3）中心对称，将函数两次向右平移2个单位，得到函数y=f （x ）在[﹣1，5]上的图象，每段曲线不包含右端点（如下图），去掉端点后关于（2，3）中心对称．又∵y==3+关于（2，3）中心对称，故方程f （x ）=g （x ）在区间[﹣1，5]上的根就是函数y=f （x ）和y=g （x ）的交点横坐标，共有三个交点，自左向右横坐标分别为x 1，x 2，x 3，其中x 1和x 3关于（2，3）中心对称，祝您高考马到成功！∴x 1+x 3=4，x 2=1，故x 1+x 2+x 3=5．故选：B ．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17．（14分）如图所示的圆锥的体积为，底面直径AB=2，点C 是弧的中点，点D 是母线PA 的中点．（1）求该圆锥的侧面积；（2）求异面直线PB 与CD 所成角的大小．【解答】解：（1）∵圆锥的体积为，底面直径AB=2，∴，解得PO=，∴PA==2， ∴该圆锥的侧面积S=πrl=π×1×2=2π．（2）∵圆锥的体积为，底面直径AB=2，点C 是弧的中点，点D 是母线PA 的中点．∴PO ⊥平面ABC ，OC ⊥AB ，∴以O 为原点，OC 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，则A （0，﹣1，0），P （0，0，），D （0，﹣，），B （0，1，0），C （1，0，0）， =（0，1，﹣），=（﹣1，﹣，），祝您高考马到成功！设异面直线PB 与CD 所成角为θ，则cosθ===，∴θ=．∴异面直线PB 与CD 所成角为．18．（14分）某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x 台机器人的总成本p （x ）=+x +150万元．（1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？（2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排m 人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣（如图），经实验知，每台机器人的日平均分拣量q （m ）=（单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？祝您高考马到成功！【解答】解：（1）由总成本p （x ）=+x +150万元，可得每台机器人的平均成本y==2．当且仅当，即x=300时，上式等号成立．∴若使每台机器人的平均成本最低，应买300台；（2）引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量q （m ）=，当1≤m ≤30时，300台机器人的日平均分拣量为160m （60﹣m ）=﹣160m 2+9600m ，∴当m=30时，日平均分拣量有最大值144000．当m ＞30时，日平均分拣量为480×300=144000． ∴300台机器人的日平均分拣量的最大值为144000件．若传统人工分拣144000件，则需要人数为人．∴日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少=75%．19．（14分）设函数f （x ）=sin （ωx +φ）（ω＞0，），已知角φ的终边经过点，点M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2）是函数f （x ）图象上的任意两点，当|f （x 1）﹣f （x 2）|=2时，|x 1﹣x 2|的最小值是．（1）求函数y=f （x ）的解析式；祝您高考马到成功！（2）已知△ABC 面积为，角C 所对的边，，求△ABC 的周长．【解答】解：（1）已知角φ的终边经过点，且，则：φ=﹣，点M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2）是函数f （x ）图象上的任意两点，当|f （x 1）﹣f （x 2）|=2时，|x 1﹣x 2|的最小值是．则：T=π，所以：ω=，所以：；（2）由于：=sin （）=，且0＜C ＜π，解得：C=，△ABC 面积为，所以：，解得：ab=20．由于：c 2=a 2+b 2﹣2abcosC ，c=2，所以：20=（a +b ）2﹣3ab ，解得：a +b=4，所以：．20．（16分）设点F 1、F 2分别是椭圆（t ＞0）的左、右焦点，且椭圆C 上的点到点F 2的距离的最小值为，点M 、N 是椭圆C 上位于x 轴上方的两点，且向量与向量平行．（1）求椭圆C 的方程；（2）当时，求△F 1MN 的面积；祝您高考马到成功！（3）当时，求直线F 2N 的方程．【解答】解：（1）点F 1、F 2分别是椭圆（t ＞0）的左、右焦点，∴a=t ，c=t ，∵椭圆C 上的点到点F 2的距离的最小值为，∴a ﹣c=t ﹣t=2﹣2，解得t=2， ∴椭圆的方程为+=1，（2）由（1）可得F 1（﹣2，0），F 2（2，0），点M 、N 是椭圆C 上位于x 轴上方的两点，可设N （2cosθ，2sinθ）， ∴=（2cosθ+2，2sinθ），=（2cosθ﹣2，2sinθ），∵， ∴（2cosθ+2）（2cosθ﹣2）+4sin 2θ=0，解得cosθ=0，sinθ=1， ∴N （0，2）， ∴=（﹣2，2）， ∴k==﹣1， ∵向量与向量平行，∴直线F 1M 的斜率为﹣1， ∴直线方程为y=﹣x ﹣2，联立方程组，解得x=0，y=﹣2（舍去），或x=﹣，y=，∴M （﹣，）， ∴|F 1M |==，祝您高考马到成功！点N 到直线直线y=﹣x ﹣2的距离为d==2， ∴△F 1MN 的面积=|F 1M |•d=××2=，（3）∵向量与向量平行，∴λ=，∴，∴（λ﹣1）||=，即λ＞1，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， ∴λ（x 1+2）=x 2﹣2，y 2=λy 1， ∴x 2=λx 1+2（λ+1） ∵+=1，∴x 22+2y 22=8，∴[λx 1+2（λ+1）]2+2λ2y 12=12λ2+8λ+4+4λ（λ+1）x 1=8，∴4λ（λ+1）x 1=（1﹣3λ）（λ+1）， ∴x 1==﹣3，∴y 12=4﹣， ∴||2=（x 1+2）2+y 12=（﹣3+2）2+4﹣=，∴||=，∴（λ﹣1）•=，∴λ2﹣2λ﹣1=0 解得λ=2+，或λ=2﹣（舍去）∴x 1=﹣3=﹣3=﹣1﹣，∴y 12=4﹣=2﹣==，祝您高考马到成功！∴y 1=，∴k ==﹣，∴直线F 2N 的方程为y ﹣0=﹣（x ﹣2），即为x +y ﹣2=021．（18分）设d 为等差数列{a n }的公差，数列{b n }的前n 项和T n ，满足（n ∈N *），且d=a 5=b 2，若实数m ∈P k ={x |a k ﹣2＜x ＜a k +3}（k ∈N *，k ≥3），则称m 具有性质P k ．（1）请判断b 1、b 2是否具有性质P 6，并说明理由；（2）设S n 为数列{a n }的前n 项和，若{S n ﹣2λa n }是单调递增数列，求证：对任意的k （k ∈N *，k ≥3），实数λ都不具有性质P k ；（3）设H n 是数列{T n }的前n 项和，若对任意的n ∈N *，H 2n ﹣1都具有性质P k ，求所有满足条件的k 的值．【解答】解：（1）（n ∈N *），可得n=1时，T 1+=﹣b 1=﹣T 1，解得b 1=﹣，T 2+=b 2=﹣+b 2+=b 2，T 3+=﹣b 3=﹣+b 2+b 3+，即b 2+2b 3=，T 4+=b 4=﹣+b 2+b 3+b 4+，即b 2+b 3=，解得b 2=，b 3=﹣，同理可得b 4=，b 5=﹣，b 6=，b 7=﹣， …，b 2n ﹣1=﹣，d=a 5=b 2，可得d=a 1+4d=，祝您高考马到成功！解得a 1=﹣，d=，a n =，P 6={x |a 4＜x ＜a 9}（k ∈N *，k ≥3）={x |0＜x ＜}，则b 1不具有性质P 6，b 2具有性质P 6；（2）证明：设S n 为数列{a n }的前n 项和，若{S n ﹣2λa n }是单调递增数列，可得S n +1﹣2λa n +1≥S n ﹣2λa n ，即为≥，化为4λ+6≤2n 对n 为一切自然数成立，即有4λ+6≤2，可得λ≤﹣1，又P k ={x |a k ﹣2＜x ＜a k +3}（k ∈N *，k ≥3），且a 1=﹣，d ＞0，可得P k 中的元素大于﹣1，则对任意的k （k ∈N *，k ≥3），实数λ都不具有性质P k ；（3）设H n 是数列{T n }的前n 项和，若对任意的n ∈N *，H 2n ﹣1都具有性质P k ，由于H 1=T 1=b 1=﹣，H 3=T 1+T 2+T 3=﹣，H 5=T 1+T 2+T 3+T 4+T 5=﹣，H 7=﹣+0﹣=﹣，…，H 2n ﹣1=H 2n ﹣3+b 2n ﹣1，（n ≥2），当k=3时，P 3={x |a 1＜x ＜a 6}={x |﹣＜x ＜}，当k=4时，P 4={x |a 2＜x ＜a 7}={x |﹣＜x ＜}，当k=5时，P 5={x |a 3＜x ＜a 8}={x |﹣＜x ＜1}，当k=6时，P 3={x |a 4＜x ＜a 9}={x |0＜x ＜}，显然k=5，6不成立，故所有满足条件的k 的值为3，4．祝您高考马到成功！。

上海普陀区2019年高三上12月调研数学试卷(文)含解析解析.doc

上海普陀区2019年高三上12月调研数学试卷(文)含解析解析【一】填空题〔本大题56分〕本大题共有14小题，要求直截了当将结果填写在答题纸对应旳空格中，每小空格填对得4分，填错或不正确旳位置一律得零分〕1、假设全集U=R ，集合M={x|x 〔x ﹣2〕≤0}，N={1，2，3，4}，那么N ∩∁U M= 、2、假设函数，，那么f 〔x 〕+g 〔x 〕= 、3、在〔2x ﹣1〕7旳二项展开式中，第四项旳系数为、4、在，那么函数y=tanx 旳值域为、5、〔文〕在数列{a n }中，a 1=1，，那么数列旳各项和为、6、假设函数f 〔x 〕=〔x ≥0〕旳反函数是f ﹣1〔x 〕，那么不等式f ﹣1〔x 〕＞f 〔x 〕旳解集为、7、设O 为坐标原点，假设直线与曲线相交于A 、B 点，那么扇形AOB 旳面积为、8、假设正六棱柱旳底面边长为10，侧面积为180，那么那个棱柱旳体积为、 9、假设在北纬45°旳纬度圈上有A 、B 两地，经度差为90°，那么A 、B 两地旳球面距离与地球半径旳比值为、10、方程旳解x= 、11、设P 是双曲线上旳动点，假设P 到两条渐近线旳距离分别为d 1，d 2，那么d 1•d 2= 、12、如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D ，假设在其12条棱中随机地取3条，那么这三条棱两两是异面直线旳概率是〔结果用最简分数表示〕13、假设F 是抛物线y 2=4x 旳焦点，点P i 〔i=1，2，3，…，10〕在抛物线上，且，那么= 、14、假设函数最大值记为g 〔t 〕，那么函数g 〔t 〕旳最小值为、【二】选择题〔本大题20分，共4小题，每题5分〕A 、假设a ＜b ＜0，那么B 、假设，那么0＜a ＜1C 、假设a ＞b ＞0，那么a 4＞b 4D 、假设a ＜1，那么16、假设集合，那么“x ∈A ”是“x ∈B ”成立旳〔〕A 、充分非必要条件B 、必要非充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件17、如图，在四面体ABCD ，AB=CD ，M ，N 分别是BC ，AD 旳中点，假设AB 与CD 所成旳角旳大小为60°，那么MN 和CD 所成旳角旳大小为〔〕A 、30°B 、60°C 、30°或60°D 、15°或60°18、假设函数，关于x 旳方程f 2〔x 〕﹣〔a+1〕f 〔x 〕+a=0，给出以下结论：①存在如此旳实数a ，使得方程由3个不同旳实根； ②不存在如此旳实数a ，使得方程由4个不同旳实根； ③存在如此旳实数a ，使得方程由5个不同旳实数根； ④不存在如此旳实数a ，使得方程由6个不同旳实数根、其中正确旳个数是〔〕A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个【三】解答题：〔本大题总分值74分〕本大题共有5题，解答以下各题必须在答题纸规定旳方框内写出必要旳步骤.19、如图，椭圆+=1旳左、右两个焦点分别为F 1、F 2，A 为椭圆旳右顶点，点P 在椭圆上且∠PF 1F 2=arccos 〔1〕计算|PF 1|旳值x 〔2〕求△PF 1A 旳面积、20、某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥旳底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥旳顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，圆柱旳底面周长为24πcm，高为30cm，圆锥旳母线长为20cm、〔1〕求这种“笼具”旳体积〔结果精确到0.1cm3〕；〔2〕现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料旳造价为每平方米8元，共需多少元？21、函数f〔x〕=2sin2x+sin2x﹣1、〔1〕求函数f〔x〕旳单调递增区间；〔2〕设，求sin2x旳值、22、n∈N*，数列{an }旳前n项和为Sn，且2an﹣Sn=1、〔1〕求证：数列{an}是等比数列，并求出通项公式；〔2〕关于任意ai 、aj∈{a1，a2，…，an}〔其中1≤i≤n，1≤j≤n，i、j均为正整数〕，假设ai 和aj旳所有乘积ai•aj旳和记为Tn，试求旳值；〔3〕设，假设数列{cn }旳前n项和为Cn，是否存在如此旳实数t，使得关于所有旳n都有成立，假设存在，求出t旳取值范围；假设不存在，请说明理由、23、集合M是满足以下性质旳函数f〔x〕旳全体，存在实数a、k〔k≠0〕，关于定义域内旳任意x均有f〔a+x〕=kf〔a﹣x〕成立，称数对〔a，k〕为函数f〔x〕旳“伴随数对”〔1〕推断f〔x〕=x2是否属于集合M，并说明理由；〔2〕假设函数f〔x〕=sinx∈M，求满足条件旳函数f〔x〕旳所有“伴随数对”；〔3〕假设〔1，1〕，〔2，﹣1〕差不多上函数f〔x〕旳“伴随数对”，当1≤x＜2时，；当x=2时，f〔x〕=0、求当2018≤x≤2016时，函数y=f〔x〕旳零点、2018-2016学年上海市普陀区高三〔上〕12月调研数学试卷〔文科〕参考【答案】与试题【解析】【一】填空题〔本大题56分〕本大题共有14小题，要求直截了当将结果填写在答题纸对应旳空格中，每小空格填对得4分，填错或不正确旳位置一律得零分〕M={3，4}、1、假设全集U=R，集合M={x|x〔x﹣2〕≤0}，N={1，2，3，4}，那么N∩∁U【考点】交、并、补集旳混合运算、【分析】求解一元二次不等式化简M，求出其补集，再由交集运算得【答案】、【解答】解：∵M={x|x〔x﹣2〕≤0}={x|0≤x≤2}，M={x|x＜0或x＞2}，∴∁U又N={1，2，3，4}，M={3，4}、∴N∩∁U故【答案】为：{3，4}、2、假设函数，，那么f〔x〕+g〔x〕=1〔0≤x≤1〕、【考点】函数【解析】式旳求解及常用方法、【分析】容易求出f〔x〕，g〔x〕旳定义域，求交集便可得出f〔x〕+g〔x〕旳定义域，并可求得f〔x〕+g〔x〕=、【解答】解：；解得，0≤x≤1；∴〔0≤x≤1〕、故【答案】为：、3、在〔2x﹣1〕7旳二项展开式中，第四项旳系数为﹣560、【考点】二项式系数旳性质、【分析】直截了当利用二项式定理写出结果即可即可、【解答】解：在〔2x﹣1〕7旳二项展开式中，第四项旳系数为：=﹣560、故【答案】为：﹣560、4、在，那么函数y=tanx旳值域为[﹣1，1]、【考点】正切函数旳图象、【分析】依照正切函数旳图象与性质，求出x∈[﹣，]时函数y=tanx旳值域即可、【解答】解：∵，∴﹣1≤tanx≤1，∴函数y=tanx旳值域为[﹣1，1]、故【答案】为：[﹣1，1]、5、〔文〕在数列{a n }中，a 1=1，，那么数列旳各项和为2、【考点】数列旳求和、【分析】利用等比数列旳通项公式及其前n 项和公式即可旳、【解答】解：∵a 1=1，，∴数列{a n }为等比数列，首项为1，公比为2、 ∴a n =2n ﹣1、∴=，∴数列是等比数列，首项为1，公比为、∴数列旳各项和==2、故【答案】为：2、6、假设函数f 〔x 〕=〔x ≥0〕旳反函数是f ﹣1〔x 〕，那么不等式f ﹣1〔x 〕＞f 〔x 〕旳解集为{x|x ＞1}、【考点】反函数、【分析】由y=f 〔x 〕=〔x ≥0〕，求出f ﹣1〔x 〕=x 3，x ≥0，由此能求出不等式f ﹣1〔x 〕＞f 〔x 〕旳解集、【解答】解：设y=f 〔x 〕=〔x ≥0〕，那么x=y 3，x ，y 互换，得f ﹣1〔x 〕=x 3，x ≥0，∵f ﹣1〔x 〕＞f 〔x 〕，∴，∴x 9＞x ，∴x 8＞1，解得x ＞1、∴不等式f ﹣1〔x 〕＞f 〔x 〕旳解集为{x|x ＞1}、故【答案】为：{x|x ＞1}、7、设O 为坐标原点，假设直线与曲线相交于A 、B 点，那么扇形AOB 旳面积为、【考点】直线与圆旳位置关系；扇形面积公式、【分析】通过曲线方程确定曲线表示单位圆在x轴上方旳部分〔含于x轴旳交点〕，y=时，∠AOB=π，即可求出扇形AOB旳面积、【解答】解：由曲线，得x2+y2=1〔y≥0〕∴曲线表示単位圆在x轴上方旳部分〔含于x轴旳交点〕y=时，∠AOB=π，扇形AOB旳面积为=、故【答案】为：、8、假设正六棱柱旳底面边长为10，侧面积为180，那么那个棱柱旳体积为450、【考点】棱柱、棱锥、棱台旳体积、【分析】依照侧面积公式求出棱柱旳高，依照底面边长求出底面积，代入体积公式得出体积、【解答】解：设棱柱旳底面边长为a，高为h，那么S=6ah=60h=180，侧解得h=3、S==150、底h=450、∴正六棱柱旳体积V=S底故【答案】为：450、9、假设在北纬45°旳纬度圈上有A、B两地，经度差为90°，那么A、B两地旳球面距离与地球半径旳比值为、【考点】球面距离及相关计算、【分析】求出球心角，然后A、B两点旳距离，求出两点间旳球面距离，即可求出A、B两地旳球面距离与地球半径旳比值、【解答】解：地球旳半径为R，在北纬45°，而AB=R，因此A、B旳球心角为：，因此两点间旳球面距离是：，因此A、B两地旳球面距离与地球半径旳比值为；故【答案】为：、3、10、方程旳解x=log2【考点】对数旳运算性质、【分析】化简可得4x﹣5=4〔2x﹣2〕，从而可得〔2x〕2﹣4•2x+3=0，从而解得、【解答】解：∵，∴4x ﹣5=4〔2x ﹣2〕，即〔2x 〕2﹣4•2x +3=0， ∴2x =1〔舍去〕或2x =3； ∴x=log 23，故【答案】为：log 23、11、设P 是双曲线上旳动点，假设P 到两条渐近线旳距离分别为d 1，d 2，那么d 1•d 2=、【考点】双曲线旳简单性质、【分析】先确定两条渐近线方程，设双曲线C 上旳点P 〔x ，y 〕，求出点P 到两条渐近线旳距离，结合P 在双曲线C 上，即可求d 1•d 2旳值、【解答】解：由条件可知：两条渐近线分别为x ±y=0 设双曲线C 上旳点P 〔x ，y 〕，那么点P 到两条渐近线旳距离分别为d 1=，d 2=因此d 1•d 2=•==、故【答案】为：、12、如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D ，假设在其12条棱中随机地取3条，那么这三条棱两两是异面直线旳概率是〔结果用最简分数表示〕【考点】列举法计算差不多事件数及事件发生旳概率；空间中直线与直线之间旳位置关系、【分析】正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D ，在其12条棱中随机地取3条，先求出差不多事件总数，再求出这三条棱两两是异面直线包含旳差不多事件个数，由此能求出这三条棱两两是异面直线旳概率、【解答】解：正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D ，在其12条棱中随机地取3条，差不多事件总数n==220，这三条棱两两是异面直线包含旳差不多事件个数m=8，∴这三条棱两两是异面直线旳概率是p===、故【答案】为：、13、假设F 是抛物线y 2=4x 旳焦点，点P i 〔i=1，2，3，…，10〕在抛物线上，且，那么=200、【考点】抛物线旳简单性质、【分析】依照抛物线旳定义得抛物线上旳点到焦点旳距离等于该点到准线旳距离，因此求出抛物线旳准线方程，结合题中数据加以计算，即可得到此题【答案】、【解答】解：∵抛物线y 2=4x 旳焦点为F 〔1，0〕，准线为x=﹣1，∴依照抛物线旳定义，P i 〔i=1，2，3，…，2018〕到焦点旳距离等于P i 到准线旳距离，即|P i F|=x i +1，，可得1﹣x 1+1﹣x 2+…+1﹣x 100=0，∴x 1+x 2+…+x 100=100 ∴|P 1F|+|P 2F|+…|P 100F|=〔x 1+1〕+〔x 2+1〕+…+〔x 100+1〕=〔x 1+x 2+…+x 100〕+100=100+100=200、故【答案】为：200、14、假设函数最大值记为g 〔t 〕，那么函数g 〔t 〕旳最小值为、【考点】函数旳最值及其几何意义、【分析】化简sinx+=sinx+3+﹣3，从而可得0≤sinx+3+﹣3≤，从而求得g 〔t 〕=f max 〔x 〕=，从而求值、【解答】解：∵sinx+=sinx+3+﹣3，∵﹣1≤sinx ≤1，∴2≤sinx+3≤4，∴3≤sinx+3+≤，∴0≤sinx+3+﹣3≤，∴g 〔t 〕=f max 〔x 〕=，∴当t=时，函数g〔t〕有最小值为；故【答案】为；、【二】选择题〔本大题20分，共4小题，每题5分〕15、以下命题中旳假命题是〔〕A、假设a＜b＜0，那么B、假设，那么0＜a＜1C、假设a＞b＞0，那么a4＞b4D、假设a＜1，那么【考点】命题旳真假推断与应用、【分析】正确选项进行证明，不正确选项，举出反例即可、【解答】解：关于A，a＜b＜0，那么•a＜•b，∴，正确关于B，，那么＞0，∴0＜a＜1，正确关于C，a＞b＞0，a4＞b4，正确；关于D，a=，=2＞1，不正确，应选：D、16、假设集合，那么“x∈A”是“x∈B”成立旳〔〕A、充分非必要条件B、必要非充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件旳推断、【分析】先分别求出集合A，B，然后依照必要条件、充分条件和充要条件旳定义进行推断、【解答】解：∵≥0，∴0≤x＜3，∴A=〔0，3]，∵lg|2x﹣3|＜0=lg1，∴|2x﹣3|＜1，且2x﹣3≠0，∴1＜x＜2，且x≠∴B=〔1，〕∪〔，2〕，∴“x∈A”是“x∈B”成立旳必要非充分条件，应选：B、17、如图，在四面体ABCD，AB=CD，M，N分别是BC，AD旳中点，假设AB与CD所成旳角旳大小为60°，那么MN和CD所成旳角旳大小为〔〕A、30°B、60°C、30°或60°D、15°或60°【考点】异面直线及其所成旳角、【分析】取BD中点O，连结MO、NO，由得∠ONM是MN和CD所成旳角〔或补角〕，且∠MON=60°，OM=ON，由此能求出MN和CD所成旳角旳大小、【解答】解：取BD中点O，连结MO、NO，∵在四面体ABCD，AB=CD，M，N分别是BC，AD旳中点，AB与CD所成旳角旳大小为60°，∴MO，NO，∴∠ONM是MN和CD所成旳角〔或所成角旳补角〕，且∠MON=60°，OM=ON，∴∠ONM=60°，或∠ONM=30°，∴MN和CD所成旳角为60°或30°、应选：C、18、假设函数，关于x旳方程f2〔x〕﹣〔a+1〕f〔x〕+a=0，给出以下结论：①存在如此旳实数a，使得方程由3个不同旳实根；②不存在如此旳实数a，使得方程由4个不同旳实根；③存在如此旳实数a，使得方程由5个不同旳实数根；④不存在如此旳实数a，使得方程由6个不同旳实数根、其中正确旳个数是〔〕A、1个B、2个C、3个D、4个【考点】根旳存在性及根旳个数推断、【分析】由f2〔x〕﹣〔a+1〕f〔x〕+a=0可解得f〔x〕=1或f〔x〕=a，作函数旳图象，从而讨论求解、【解答】解：∵f2〔x〕﹣〔a+1〕f〔x〕+a=0，∴f 〔x 〕=1或f 〔x 〕=a ，作函数旳图象如下，，当a=1时，方程有3个不同旳实根，故①正确；当a ＞1或a ≤﹣1时，方程有6个不同旳实根，故④不正确；当﹣1＜a ＜1时，方程有5个不同旳实根，故③正确；综上可知，不存在如此旳实数a ，使得方程由4个不同旳实根；故②正确；应选：C 、【三】解答题：〔本大题总分值74分〕本大题共有5题，解答以下各题必须在答题纸规定旳方框内写出必要旳步骤.19、如图，椭圆+=1旳左、右两个焦点分别为F 1、F 2，A 为椭圆旳右顶点，点P 在椭圆上且∠PF 1F 2=arccos 〔1〕计算|PF 1|旳值x 〔2〕求△PF 1A 旳面积、【考点】椭圆旳简单性质、【分析】〔1〕依照椭圆旳性质，可得|PF 1|=x ，那么|PF 2|=10﹣x ，|F 1F 2|=2=8，结合可余弦定理构造方程，解得x 值；〔2〕由出sin ∠PF 1F 2，进而计算△PF 1F 2旳面积，可得P 到x 轴旳距离d ，结合△PF 1A 旳底边|F 1A|=a+c=9，可得三角形面积、【解答】解：〔1〕∵椭圆+=1旳左、右两个焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆上一点，|PF 1|=x ，那么|PF 2|=10﹣x ，|F 1F 2|=2=8，∵∠PF 1F 2=arccos ，故cos ∠PF 1F 2==，解得：x=6，〔2〕由∠PF 1F 2=arccos ，可得：sin ∠PF 1F 2==，故△PF 1F 2旳面积S=〔5+〕•〔5﹣〕•=，故P 到x 轴旳距离d==，由|F 1A|=a+c=9，可得△PF 1A 旳面积为：×=20、某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥旳底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥旳顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，圆柱旳底面周长为24πcm ，高为30cm ，圆锥旳母线长为20cm 、〔1〕求这种“笼具”旳体积〔结果精确到0.1cm 3〕；〔2〕现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料旳造价为每平方米8元，共需多少元？【考点】棱柱、棱锥、棱台旳体积、【分析】〔1〕笼具旳体积等于圆柱旳体积减去圆锥旳体积；〔2〕求出笼具旳表面积即可，笼具旳表面积包括圆柱旳侧面，上底面和圆锥旳侧面、【解答】解：〔1〕设圆柱旳底面半径为r ，高为h ，圆锥旳母线长为l ，高为h 1，那么2πr=24π，解得r=12cm 、h 1=cm 、∴笼具旳体积V=πr 2h ﹣=π×=3552π≈11158.9cm 3、〔2〕圆柱旳侧面积S 1=2πrh=720cm 2，圆柱旳底面积S 2=πr 2=144πcm 2，圆锥旳侧面积为πrl=240πcm 2、故笼具旳表面积S=S 1+S 2+S 3=1104πcm 2、故制造50个如此旳笼具总造价为：元、答：这种笼具旳体积约为11158.9cm 3，生产50个笼具需要元、21、函数f 〔x 〕=2sin 2x+sin2x ﹣1、〔1〕求函数f 〔x 〕旳单调递增区间；〔2〕设，求sin2x 0旳值、【考点】三角函数中旳恒等变换应用；正弦函数旳单调性、【分析】〔1〕由三角函数公式可得f 〔x 〕=sin 〔2x ﹣〕，解2k π﹣≤2x ﹣≤2kπ+可得单调递增区间；〔2〕由变形可得sin 〔x 0﹣〕=，由和差角公式可得sinx 0﹣cosx 0=，平方由二倍角旳正弦可得、【解答】解：〔1〕变形可得函数f 〔x 〕=2sin 2x+sin2x ﹣1=sin2x ﹣〔1﹣2sin 2x 〕=sin2x ﹣cos2x=sin 〔2x ﹣〕，由2k π﹣≤2x ﹣≤2k π+可得k π﹣≤x ≤k π+，∴函数f 〔x 〕旳单调递增区间为[k π﹣，k π+]，k ∈Z ；〔2〕∵，∴f 〔〕=sin 〔x 0﹣〕=〔cos α﹣sin α〕〔cos α+sin α〕+sin 2α=cos2α﹣sin 2α+sin 2α=，即〔sinx 0﹣cosx 0〕=，∴sinx 0﹣cosx 0=，平方可得1﹣sin2x 0=，故sin2x 0=22、n ∈N *，数列{a n }旳前n 项和为S n ，且2a n ﹣S n =1、〔1〕求证：数列{a n }是等比数列，并求出通项公式；〔2〕关于任意a i 、a j ∈{a 1，a 2，…，a n }〔其中1≤i ≤n ，1≤j ≤n ，i 、j 均为正整数〕，假设a i 和a j 旳所有乘积a i •a j 旳和记为T n ，试求旳值；〔3〕设，假设数列{c n }旳前n 项和为C n ，是否存在如此旳实数t ，使得关于所有旳n 都有成立，假设存在，求出t 旳取值范围；假设不存在，请说明理由、【考点】数列与不等式旳综合；等比数列旳通项公式；数列旳极限、【分析】〔1〕当n ≥2时通过2a n ﹣S n =1与2a n ﹣1﹣S n ﹣1=1作差，进而计算可得结论；〔2〕通过〔1〕可得T n 旳表达式，进而计算即得结论；〔3〕通过〔1〕可知数列{c n }旳通项公式，利用并项相加、分n 为奇数、偶数两种情况讨论即可、【解答】〔1〕证明：∵2a n ﹣S n =1， ∴当n ≥2时，2a n ﹣1﹣S n ﹣1=1，两式相减，整理得：a n =2a n ﹣1〔n ≥2〕，又∵2a 1﹣S 1=1，即a 1=1，∴数列{a n }是首项为1、公比为2旳等比数列， ∴a n =2n ﹣1；〔2〕解：∵T n =〔1+2+22+…+2n ﹣1〕〔1+2+22+…+2n ﹣1〕=•=4n ﹣2•2n +1，∴==1；〔3〕结论：存在如此旳实数t ，使得关于所有旳n 都有成立、理由如下：由〔1〕可知，1+b n =3log 2a n =3n ﹣3，即b n =3n ﹣4，b n+1=3n ﹣1，故c n =〔﹣1〕n+1b n •b n+1=〔﹣1〕n+1〔3n ﹣4〕〔3n ﹣1〕，c n+1=〔﹣1〕n+2〔3n ﹣1〕〔3n+2〕，专门地，当n 为奇数时，有n+1为偶数，现在c n +c n+1=〔3n ﹣4〕〔3n ﹣1〕﹣〔3n ﹣1〕〔3n+2〕=﹣6〔3n ﹣1〕， ①假设n 为偶数，那么C n =〔c 1+c 2〕+〔c 3+c 4〕+…+〔c n ﹣1+c n 〕 =﹣6×[2+8+…+〔3n ﹣4〕] =﹣n 〔3n ﹣2〕，由可知t ≤﹣〔3﹣〕对所有正偶数n 都成立，故t ≤﹣；②假设n 为奇数，那么C n =C n ﹣1+c n 〔n ≥2〕，由①可知C n =﹣〔n ﹣1〕〔3n ﹣5〕+〔3n ﹣4〕〔3n ﹣1〕=n 2﹣3n ﹣，其中C 1=﹣2满足上式；由①②可得实数t 旳取值范围是：t ≤﹣，因此存在如此旳实数t ，使得关于所有旳n 都有成立、23、集合M是满足以下性质旳函数f〔x〕旳全体，存在实数a、k〔k≠0〕，关于定义域内旳任意x均有f〔a+x〕=kf〔a﹣x〕成立，称数对〔a，k〕为函数f〔x〕旳“伴随数对”〔1〕推断f〔x〕=x2是否属于集合M，并说明理由；〔2〕假设函数f〔x〕=sinx∈M，求满足条件旳函数f〔x〕旳所有“伴随数对”；〔3〕假设〔1，1〕，〔2，﹣1〕差不多上函数f〔x〕旳“伴随数对”，当1≤x＜2时，；当x=2时，f〔x〕=0、求当2018≤x≤2016时，函数y=f〔x〕旳零点、【考点】函数与方程旳综合运用、【分析】〔1〕由题意可得〔a+x〕2=k〔a﹣x〕2，化为〔1﹣k〕x2+2a〔1+k〕x+〔1﹣k〕a2=0对x∈R成立，需满足条件，解方程即可推断；〔2〕哟题意可得sin〔a+x〕=ksin〔a﹣x〕，运用两角和差公式，化简结合余弦函数旳值域即可得到所求数对；〔3〕由〔1，1〕和〔2，﹣1〕差不多上函数f〔x〕旳“伴随数对”，因此f〔1+x〕=f〔1﹣x〕且f〔2+x〕=﹣f〔2﹣x〕，可得f〔x〕为周期为4旳函数，求得0＜x＜1，1＜x＜2，2＜x＜3，3＜x＜4，x=0，1，2，3，4旳函数【解析】式，可得2018＜x＜2018，2018＜x ＜2016，x=2018，2018，2016旳【解析】式，即可得到所求零点、【解答】解：〔1〕由f〔x〕=x2及f〔a+x〕=kf〔a﹣x〕，可得〔a+x〕2=k〔a﹣x〕2，即为〔1﹣k〕x2+2a〔1+k〕x+〔1﹣k〕a2=0对x∈R成立，需满足条件，解得，故k=1≠0，a存在，因此f〔x〕=x2∈M、〔2〕由f〔x〕=sinx∈M得：sin〔a+x〕=ksin〔a﹣x〕，sinacosx+cosasinx=k〔sinacosx﹣cosasinx〕，因此〔1+k〕cosasinx+〔1﹣k〕sinacosx=0，sin〔x+φ〕=0对任意旳x∈R都成立，只有k2+2kcos2a+1=0，即cos2a=﹣〔k+〕，由于|k+|≥2〔当且仅当k=±1时，等号成立〕，因此|cos2a|≥1，又因为|cos2a|≤1，故|cos2a|=1、其中k=1时，cos2a=﹣1，a=nπ+，n∈Z；k=﹣1时，cos2a=1，a=nπ，n∈Z、故函数f〔x〕旳“伴随数对”为〔nπ+，1〕和〔nπ，﹣1〕，n∈Z、〔3〕因为〔1，1〕和〔2，﹣1〕差不多上函数f〔x〕旳“伴随数对”，因此f〔1+x〕=f〔1﹣x〕且f〔2+x〕=﹣f〔2﹣x〕，因此f〔x+4〕=f〔x〕，故函数f〔x〕是以4为周期旳函数、假设0＜x＜1，那么1＜2﹣x＜2，现在f〔x〕=f〔2﹣x〕=﹣cos〔x〕，假设2＜x＜3，那么1＜4﹣x＜2，现在f〔x〕=﹣f〔4﹣x〕=﹣cos〔x〕，假设3＜x＜4，那么0＜4﹣x＜1，现在f〔x〕=﹣f〔4﹣x〕=cos〔x〕，f〔x〕=故f〔x〕=当2018≤x≤2016时，函数f〔x〕旳零点分别为2018，2018，2016、2016年7月30日。

2019上海高三数学普陀一模

上海市普陀区2019届高三一模数学试卷2018.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 函数2()f x x =的定义域为2. 若1sin 3α=，则cos()2πα+= 3. 设11{,,1,2,3}32α∈--，若()f x x α=为偶函数，则α= 4. 若直线l 经过抛物线2:4C y x =的焦点且其一个方向向量为(1,1)d =u r ，则直线l 的方程为5. 若一个球的体积是其半径的43倍，则该球的表面积为 6. 在一个袋中装有大小、质地均相同的9只球，其中红色、黑色、白色各3只，若从袋中随机取出两个球，则至少有一个红球的概率为（结果用最简分数表示）7. 设523601236(1)(1=x x a a x a x a x a x -+++++⋅⋅⋅+），则3a = （结果用数值表示）8. 设0a >且1a ≠，若log (sin cos )0a x x -=，则88sin cos x x +=9. 如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为4，记1111AC B D F =I ，11BC B C E =I ，若AE BF ⊥，则此棱柱的体积为10. 某人的月工资由基础工资和绩效工资组成，2010年每月的基础工资为2100元，绩效工资为2000元，从2011年起每月基础工资比上一年增加210元，绩效工资为上一年的110%，照此推算，此人2019年的年薪为万元（结果精确到0.1）11. 已知点(2,0)A -，设B 、C 是圆22:1O x y +=上的两个不同的动点，且向量(1)OB tOA t OC =+-u u u r u u u r u u u r （其中t 为实数），则AB AC ⋅=u u u r u u u r12. 记a 为常数，记函数1()log 2a x f x a x=+-（0a >且1a ≠，0x a <<）的反函数为1()f x -，则11111232()()()()21212121a f f f f a a a a ----+++⋅⋅⋅+=++++二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 下列关于双曲线22:163x y Γ-=的判断，正确的是（） A. 渐近线方程为20x y ±= B. 焦点坐标为(3,0)±C. 实轴长为12D. 顶点坐标为(6,0)±14. 函数2cos(2)4y x π=+的图像（）A. 关于原点对称B. 关于点3(,0)8π-C. 关于y 轴对称D. 关于直线4x π=轴对称15. 若a 、b 、c 表示直线，α、β表示平面，则“a ∥b ”成立的一个充分非必要条件是（）A. a b ⊥，b c ⊥B. a ∥α，b ∥αC. a β⊥，b β⊥D. a ∥c ，b c ⊥16. 设()f x 是定义在R 上的周期为4的函数，且2sin 201()2log 14x x f x x x π≤≤⎧=⎨<<⎩，记()()g x f x a =-，若102a <<，则函数()g x 在区间[4,5]-上零点的个数是（） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 所对的边依次为a 、b 、c ，且1cos 4C =. （1）求22cos 2sin 22A B C ++的值；（2）设2c =，求a b +的取值范围.18. 已知曲线22:11612x y Γ+=的左、右顶点分别为A 、B ，设P 是曲线Γ上的任意一点. （1）当P 异于A 、B 时，记直线PA 、PB 的斜率分别为1k 、2k ，求证：12k k ⋅是定值；（2）设点C 满足AC CB λ=u u u r u u u r （0λ>），且||PC 的最大值为7，求λ的值.19. 如图所示，某地出土的一种“钉”是由四条线段组成，其结构能使它任意抛至水平面后，总有一端所在的直线竖直向上，并记组成该“钉”的四条线段的公共点为O ，钉尖为i A （1,2,3,4i =）.（1）记i OA a =（0a >），当1A 、2A 、3A 在同一水平面内时，求1OA 与平面123A A A 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）若该“钉”的三个钉尖所确定的三角形的面积为2，要用某种线型材料复制100枚这种“钉”（耗损忽略不计），共需要该种材料多少米？20. 设数列{}n a 满足135a =，132n n n a a a +=+（n ∈*N ）. （1）求2a 、3a 的值；（2）求证：1{1}n a -是等比数列，并求12111lim()n n n a a a →∞++⋅⋅⋅+-的值；（3）记{}n a 的前n 项和为n S ，是否存在正整数k ，使得对于任意的n （n ∈*N 且2n ≥）均有n S k ≥成立？若存在，求出k 的值，若不存在，说明理由.21. 已知函数()2x f x =（x ∈R ），记()()()g x f x f x =--.（1）解不等式：(2)()6f x f x -≤；（2）设k 为实数，若存在实数0(1,2]x ∈，使得200(2)()1g x k g x =⋅-成立，求k 取值范围；（3）记()(22)()h x f x a f x b =++⋅+（其中a 、b 均为实数），若对于任意[0,1]x ∈，均有1|()|2h x ≤，求a 、b 的值.参考答案一. 填空题1. (,0)(0,1]-∞U2. 13-3. 2-4. 1y x =-5. 46. 7127. 0 8. 19. 10. 10.4 11. 312. 2a二. 选择题13. B 14. B 15. C 16. D三. 解答题17.（1）68+；（2）(2,3.18.（1）34-；（2）7或17.19.（1）（2）34200.6.20.（1）2913a =，32735a =；（2）2；（3）1k =.21.（1）2(,log 3]-∞；（2）27119[,)2259；（3）12a =-，172b =.。

上海市普陀区2019学年高三数学一模试卷(含答案)

普陀区2019学年第一学期高三数学质量调研1．若抛物线2y mx =的焦点坐标为1(,0)2，则实数m 的值为 .2. 132lim 31n nnn +→∞+=+ . 3. 不等式11x>的解集为 . 4. 已知i 为虚数单位，若复数1i 1iz m =++是实数，则实数m 的值为 . 5. 设函数()log (4)a f x x =+（0a >且1a ≠），若其反函数的零点为2，则a =_______. 6. 631(1)(1)x x+-展开式中含2x 项的系数为__________（结果用数值表示）. 7. 各项都不为零的等差数列{}n a （*N n ∈）满足22810230a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且88a b =，则4911b b b = _ .8. 设椭圆Γ：()22211x y a a +=>，直线l 过Γ的左顶点A 交y 轴于点P ，交Γ于点Q ，若AOP ∆是等腰三角形（O 为坐标原点），且2PQ QA =u u u r u u u r，则Γ的长轴长等于_________.9. 记,,,,,a b c d e f 为1,2,3,4,5,6的任意一个排列，则()()()a b c d e f +++为偶数的排列的个数共有________.10. 已知函数()()()22+815f x x x ax bx c=+++(),,a b c R ∈是偶函数，若方程21axbx c ++=在区间[]1,2上有解，则实数a 的取值范围是___________.11. 设P是边长为123456A A A A A A 的边上的任意一点，长度为4的线段MN 是该正六边形外接圆的一条动弦，则PM PN ⋅u u u u r u u u r的取值范围为___________.12. 若M 、N 两点分别在函数()y f x =与()y g x =的图像上，且关于直线1x =对称，则称M 、N 是()y f x =与()y g x =的一对“伴点”（M 、N 与N 、M 视为相同的一对）. 已知()())22x f x x ⎧<=≥，()1g x x a =++，若()y f x =与()y g x =存在两对“伴点”，则实数a 的取值范围为 .二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13. “{}1,2m ∈”是“ln 1m <”成立的 ………………………（）)A (充分非必要条件 ()B 必要非充分条件()C 充要条件 ()D 既非充分也非必要条件14. 设集合{}1A x x a =-=，{}1,3,B b =-，若A ⊆B ，则对应的实数对(,)a b 有 …（） )A (1对 ()B 2对 ()C 3对 ()D 4对15. 已知两个不同平面α，β和三条不重合的直线a ，b ，c ，则下列命题中正确的是 ……（）)A (若//a α，b αβ=I ，则//a b()B 若a ，b 在平面α内，且c a ⊥，c b ⊥，则c α⊥()C 若a ，b ，c 是两两互相异面的直线，则只存在有限条直线与a ，b ，c 都相交 ()D 若α，β分别经过两异面直线a ，b ，且c αβ=I ，则c 必与a 或b 相交16. 若直线l ：212x y b a a b +=++经过第一象限内的点11(,)P a b，则ab 的最大值为 ……（） )A (76()B 4- ()C 5-()D 6-三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分如图所示的三棱锥P ABC -的三条棱PA ，AB ，AC 两两互相垂直，22AB AC PA ===,点D 在棱AC 上，且=AD AC λu u u r u u u r(0λ>).（1）当1=2λ时，求异面直线PD 与BC 所成角的大小；（2）当三棱锥D PBC -的体积为29时，求λ的值.C18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分设函数()221xxf x a -=. （1）当4a =-时，解不等式()5f x <；（2）若函数()f x 在区间[)2+∞，上是增函数，求实数a 的取值范围.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地AOB 进行改建.如图所示，平行四边形OMPN 区域为停车场，其余部分建成绿地，点P 在围墙AB 弧上，点M 和点N 分别在道路OA 和道路OB 上，且=60OA 米，=60AOB ∠︒，设POB θ∠=．（1）求停车场面积S 关于θ的函数关系式，并指出θ的取值范围；（2）当θ为何值时，停车场面积S 最大，并求出最大值（精确到0.1平方米）.20.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知双曲线Γ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距为4，直线:40l x my --=（m R ∈）与Γ交于两个不同的点D 、E ，且0m =时直线l 与Γ的两条渐近线所围成的三角形恰为等边三角形. （1）求双曲线Γ的方程；（2）若坐标原点O 在以线段DE 为直径的圆的内部，求实数m 的取值范围；（3）设A 、B 分别是Γ的左、右两顶点，线段BD 的垂直平分线交直线BD 于点P ，交直线AD 于点Q ，求证：线段PQ 在x 轴上的射影长为定值.NMPBAO21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.数列{}n a 与{}n b 满足1a a =，1n n n b a a +=-，n S 是数列{}n a 的前n 项和（*N n ∈）.（1）设数列{}n b 是首项和公比都为13-的等比数列，且数列{}n a 也是等比数列，求a 的值；（2）设121n n n b b +-=-，若3a =且4n a a ≥对*N n ∈恒成立，求2a 的取值范围；（3）设4a =，2n b =，22n n n S C λ+=（*N n ∈，2λ≥-），若存在整数k ，l ，且1k l >>，使得k lC C =成立，求λ的所有可能值.普陀区2019学年第一学期高三数学质量调研评分标准（参考）三、解答题17.（1）当1=2λ时，AD DC =，取棱AB 的中点E ，连接ED 、EP ，则//ED BC ，即PDE ∠是异面直线PD 与BC 所成角或其补角，……………… 2分又PA ，AB ，AC 两两互相垂直，则1PD DE EP ===,即PDE ∆是正三角形，则3PDE π∠=. ………………………… 5分则异面直线PD 与BC 所成角的大小为3π.…………………… 6分（2）因为PA ，AB ，AC 两两互相垂直，所以AB ⊥平面PAC ,…………… 3分则11112233239D PBC B PDC PDC V V AB S PA DC DC --∆==⋅=⨯⨯⋅==，即23DC =, …………………………… 7分又=AD AC λu u u r u u u r （0λ>），2AC =，则23λ=.………………… 8分说明：利用空间向量求解请相应评分.18.（1）当4a =-时，由22541x x -<-得24250x x -+⨯-<，…………………2分令2xt =，则2540t t -+<，即14t <<，…………………4分即02x <<，则所求的不等式的解为(0,2).……………………6分（2）任取122x x ≤<，因为函数()22xxf x a -=-在区间[)2+∞，上单调递增，E DCBA P17题图所以12()()0f x f x -<在[)2+∞，上恒成立， ………………2分则1122222+20xx x x a a ----<恒成立，即1212122222+02x x x x x x a +--<，()1212221+02x x x x a +⎛⎫-< ⎪⎝⎭，…………………4分又12x x <，则1222x x<，即122x x a +>-对122x x ≤<恒成立，…………………………6分又12216x x +>，即16a ≥-，则所求的实数a 的取值范围为[16,)-+∞.………………………………8分19.（1）由平行四边形OMPN 得，在OPN ∆中，120ONP ∠=o,60OPN θ∠=-o, 则sin sin sin ON OP PN OPN ONP PON==∠∠∠，即60sin(60)sin120sin ON PNθθ==-o o ，即)ON θ=-o，PN θ，……………………………4分则停车场面积sin sin(60)S ON PN ONP θθ=⋅⋅∠=-o，即sin(60)S θθ=-o，其中060θ<<o o .………………………6分（2）由（1）得1sin(60)(cos sin )22S θθθθθ=-=-o，即23600sin cos =1800sin 22S θθθθθ=-+-……………………4分则30)S θ=+-o……………………6分因为060θ<<o o ，所以30230150θ<+<o o o，则23090θ+=oo时，max 11039.2S =-=≈平方米. 故当30θ=o 时，停车场最大面积为1039.2平方米. ……………………………8分说明：（1）中过点P 作OB 的垂线求平行四边形面积，请相应评分. 20．（1）当0m =直线:4l x =与C 的两条渐近线围成的三角形恰为等边三角形，由根据双曲线的性质得，2221tan 303b a ==o，又焦距为4，则224a b +=， …………………3分解得a =1b =，则所求双曲线Γ的方程为2213x y -=.……………………………4分（2）设11(,)D x y ，22(,)E x y ，由221340x y x my ⎧-=⎪⎨⎪--=⎩，得22(3)8130m y my -++=，则12283m y y m +=-，122133y y m =-，且2226452(3)12(13)0m m m ∆=--=+>， ………………………………………………………………2分又坐标原点O 在以线段DE 为直径的圆内，则0OD OE ⋅<u u u r u u u r，即12120x x y y +<，即1212(4)(4)0my my y y +++<，即212124()(1)160m y y m y y ++++<，则22221313816033m m m m +-+<--， ……………………………4分即223503m m -<-，则m <<m <<，即实数m的取值范围(U . …………………6分（3）线段PQ 在x 轴上的射影长是p q x x -. 设00(,)D x y ，由（1）得点B ，又点P 是线段BD的中点，则点0)2y P ， ……………2分直线BD，直线AD，又BD PQ ⊥，则直线PQ的方程为0000(22y x x y x y -=-，即200000322x x y y x y y -=++，又直线AD的方程为y x =+，联立方程20000322x y y x y y x ⎧-=++⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，消去y化简整理，得2220003)22x y x x x -++=+，又220013x y =-，代入消去20y，得20002(3)1)(33x x x x x -+=，即1(3x x -=+，则x = 即点Q的横坐标为024x +， ……………5分则p q x x -==故线段PQ 在x 轴上的射影长为定值. ……6分说明：看作是PQ uuu r 在OB uuur 或(1,0)i =r 方向上投影的绝对值，请相应评分.21.（1）由条件得1()3n n b =-，*N n ∈，即11()3nn n a a +-=-，………………1分则2113a a -=-，23211()39a a -=-=，设等比数列{}n a 的公比为q ，则322113a a q a a -==--，又1(1)3a q -=-，则14a =. …………………………3分当14a =，13q =-时，111()43n n a -=-，*N n ∈，则111111111111()()()[()]()434334433n n n nn n a a --+-=---=--⨯-=-满足题意，故所求的a 的值为14. ………………………………………4分（2）当2n ≥时，1121n n n b b ---=-， 21221n n n b b ----=-，L ，2121b b -=-，以上1n -个式子相加得，12312222(1)n n n n b b n ----=++++--L ， ………2分又12123b a a a =-=-，则1222(12)(1)32412n n n b n a n a --=--+-=-+--，即224n n b n a =-+-. 由1210nn n b b +-=->知数列{}n b 是递增数列，………4分又1n n n b a a +=-，要使得4n a a ≥对*N n ∈恒成立，则只需34345400b a a b a a =-≤⎧⎨=-≥⎩，即32421080b a b a =+≤⎧⎨=+≥⎩，则281a -≤≤-. …………………6分（3）由条件得数列{}n a 是以4为首项，2为公差的等差数列，则42(1)22n a n n =+-=+，2(422)32n n n S n n ++==+，则223222n n n nS n n C λλ+++==. ………………………………2分则222111(1)3(1)23242222n n n n n n n n n n n C C λλλ++-++++++--+--=-=，当3n ≥时，224233428282(2)40n n λλλ--+-≤--+-=--≤--⨯-=-<，即3n ≥时，1n n C C +<，则当3k l >≥时，k l C C <与k l C C =矛盾. ………………………4分又1l >，即2l =时，232522k k k λλ+++=.当5k ≥时，225325352202216k k k λλλ+++⨯++≤=，又205207207(2)3016216168λλλ++----⨯--=≤=-<，即当5k ≥，2l =时，232522k k k λλ+++<，与232522kk k λλ+++=矛盾. 又2k l >≥，则3k =或4，当3k =时，2233233325222k k k λλλ+++⨯++==，解得1λ=-；当4k =时，2243243425222k k k λλλ+++⨯++==，解得2λ=-. 综上得λ的所有可能值为1-和2-. ……………………………。

2019年上海市普陀区高考数学模拟试卷(3月份)

2019年上海市普陀区高考数学模拟试卷（3月份）一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分．1．（4分）已知集合A＝{x||x﹣1|＞3}，U＝R，则∁U A＝．2．（4分）已知复数z＝（i是虚数单位），则Imz＝．3．（4分）计算＝．4．（4分）行列式中第2行第1列元素的代数余子式的值为﹣10，则k＝．5．（4分）502019+1被7除后的余数为．6．（4分）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积是7．（5分）已知tan（α+β）＝1，tan（α﹣β）＝7，则tan2β＝．8．（5分）从5名同学中任选3人担任上海进博会志愿者，则“甲被选中，乙没有被选中”的概率是．9．（5分）如果（x2）n的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的系数之和是．10．（5分）若关于x、y的二元一次方程组＝至少有一组解，则实数m的取值范围是．11．（5分）已知＝（a1，a2，a3），＝（b1，b2，b3），且||＝3，||＝4，＝12，则＝12．（5分）已知函数f（x）＝，若存在唯一的整数x，使得不等式＞0成立，则实数a的取值范围是．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．（5分）已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为，则球心O到平面ABC的距离为（）A．B．C．D．14．（5分）在△ABC中，AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝120°，若将△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的旋转体的体积是（）A．B．C．D．15．（5分）将函数y＝sin（x﹣）图象上的点P（，t）向左平移s（s＞0）个单位，得到点P′，若P′位于函数y＝sin2x的图象上，则（）A．t＝，s的最小值为B．t＝，s的最小值为C．t＝，s的最小值为D．t＝，s的最小值为16．（5分）已知x，y∈R，且，则存在θ∈R，使得x cosθ+y sinθ+1＝0成立的P（x，y）构成的区域面积为（）A．4﹣B．4﹣C．D．+三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．（14分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，E、F分别是棱AB、D1C1的中点，联结EF、FB1、F A1、D1E、A1E、B1E．（1）求三棱锥A1﹣FB1E的体积；（2）求直线D1E与平面B1EF所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．18．（14分）已知函数f（x）＝ax2﹣2ax+2（a＞0）在区间[﹣1，4]上的最大值为10．（1）求a的值及f（x）的解析式；（2）设g（x）＝，若不等式g（3x）﹣t•3x≥0在x∈[0，2]上有解，求实数t的取值范围．19．（14分）如图，某城市有一条从正西方AO通过市中心O后向东北OB的公路，现要修一条地铁L，在OA，OB上各设一站A，B，地铁在AB部分为直线段，现要求市中心O 与AB的距离为10（km），设地铁在AB部分的总长度为y（km）．（1）按下列要求建立关系式：（i）设∠OAB＝α，将y表示成α的函数；（i）设OA＝m，OB＝m用m，n表示y．（2）把A，B两站分别设在公路上离中心O多远处，才能使AB最短？并求出最短距离．20．（16分）已知动直线l与椭圆C：＝1交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两个不同的点，O为坐标原点．（1）若直线l过点（1，0），且原点到直线l的距离为，求直线l的方程；（2）若△OPQ的面积S△OPQ＝，求证：x12+x22和y12+y22均为定值；（3）椭圆C上是否存在三点D、E、G，使得S△ODE＝S△ODG＝S△OEG＝？若存在，判断△DEG的形状；若不存在，请说明理由．21．（18分）已知无穷数列{a n}的各项都不为零，其前n项和为S n，且满足a n•a n+1＝S n（n∈N*），数列{b n}满足，其中t为正整数．（1）求a2018；（2）若不等式对任意n∈N*都成立，求首项a1的取值范围；（3）若首项a1是正整数，则数列{b n}中的任意一项是否总可以表示为数列{b n}中的其他两项之积？若是，请给出一种表示方式；若不是，请说明理由．2019年上海市普陀区高考数学模拟试卷（3月份）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分．1．（4分）已知集合A＝{x||x﹣1|＞3}，U＝R，则∁U A＝[﹣2，4]．【考点】1F：补集及其运算．【专题】38：对应思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】求出A的等价条件，结合补集的定义进行求解即可．【解答】解：A＝{x||x﹣1|＞3}＝{x|x﹣1＞3或x﹣1＜﹣3}＝{x|x＞4或x＜﹣2}，则∁U A＝{x|﹣2≤x≤4}，故答案为：[﹣2，4]．【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据条件求出集合A的等价条件，结合补集的定义是解决本题的关键．2．（4分）已知复数z＝（i是虚数单位），则Imz＝﹣1．【考点】A5：复数的运算．【专题】38：对应思想；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z＝＝，∴Imz＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．（4分）计算＝．【考点】6F：极限及其运算．【专题】53：导数的综合应用．【分析】利用极限的运算法则即可得出．【解答】解：∵＝，∴＝．∴原式＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了极限的运算法则，属于基础题．4．（4分）行列式中第2行第1列元素的代数余子式的值为﹣10，则k＝﹣14．【考点】OY：三阶矩阵．【专题】11：计算题．【分析】根据余子式的定义可知，在行列式中划去第2行第1列后所余下的2阶行列式带上符号（﹣1）i+j为M21，求出其表达式列出关于k的方程解之即可．【解答】解：由题意得M21＝（﹣1）3＝2×2+1×k＝﹣10解得：k＝﹣14．故答案为：﹣14．【点评】此题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义，会进行矩阵的运算，是一道基础题．5．（4分）502019+1被7除后的余数为2．【考点】DA：二项式定理．【专题】49：综合法；4R：转化法；5P：二项式定理．【分析】利用二项式定理展开即可得出．【解答】解：502019+1＝（1+72）2019+1＝1++•（72）2+……+（72）2019+1＝72（+•72+……+•（72）2018）+2．∴502019+1被7除后的余数为2，故答案为：2．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．（4分）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积是4π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】15：综合题；34：方程思想；4G：演绎法；5F：空间位置关系与距离．【分析】观察三视图．得到这个几何体为圆锥，圆锥的高为6，底面圆的直径为4，再利用勾股定理计算出母线长，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式求解．【解答】解：这个几何体为圆锥，圆锥的高为6，底面圆的直径为4，所以圆锥的母线长＝＝2，所以该几何体的侧面积＝•4π•2＝4π．故答案为：4π．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了三视图．7．（5分）已知tan（α+β）＝1，tan（α﹣β）＝7，则tan2β＝．【考点】GP：两角和与差的三角函数．【专题】33：函数思想；4R：转化法；56：三角函数的求值．【分析】由已知结合tan2β＝tan[（α+β）﹣（α﹣β）]，展开两角差的正切求解．【解答】解：由tan（α+β）＝1，tan（α﹣β）＝7，得tan2β＝tan[（α+β）﹣（α﹣β）]＝＝＝．故答案为：﹣．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查两角差的正切，是基础题．8．（5分）从5名同学中任选3人担任上海进博会志愿者，则“甲被选中，乙没有被选中”的概率是．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】基本事件总数n＝＝10，“甲被选中，乙没有被选中”包含的基本事件有m＝＝3，由此能求出“甲被选中，乙没有被选中”的概率．【解答】解：从5名同学中任选3人担任上海进博会志愿者，基本事件总数n＝＝10，“甲被选中，乙没有被选中”包含的基本事件有m＝＝3，∴“甲被选中，乙没有被选中”的概率P＝＝．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．（5分）如果（x2）n的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的系数之和是．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】先用赋值法，在中，令x＝1可得，其展开式中的所有项系数和是（）n，进而根据题意，其展开式中中只有第四项的二项式系数最大，可得n的值为6，代入（）n中，即可得答案．【解答】解：根据题意，在中，令x＝1可得，其展开式中的所有项系数和是（）n，又由的展开式中中只有第四项的二项式系数最大，所以n＝6．则展开式中的所有项系数和是（）6＝；故答案为．【点评】本题考查二项式定理的应用，求二项式展开式所有项系数和的一般方法是令x ＝1，再计算二项式的值．10．（5分）若关于x、y的二元一次方程组＝至少有一组解，则实数m的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞）．【考点】OR：线性方程组解的存在性，唯一性．【专题】34：方程思想；4R：转化法；5B：直线与圆．【分析】先根据矩阵的乘法进行化简得到二元一次方程组，然后求出两直线平行的m的范围，取补集得答案．【解答】解：关于x，y的二元一次方程组＝，即二元一次方程组，若直线mx+y﹣（m+1）＝0与直线x+my﹣2m＝0平行，则，解得m＝﹣1．∴若关于x、y的二元一次方程组＝至少有一组解，则m≠﹣1，即m∈（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞）．【点评】本题考查了二元一次方程组的解的个数，考查矩阵的乘法运算，属于中档题．11．（5分）已知＝（a1，a2，a3），＝（b1，b2，b3），且||＝3，||＝4，＝12，则＝【考点】M6：空间向量的数量积运算．【专题】38：对应思想；49：综合法；5H：空间向量及应用．【分析】由平面向量的数量积求得、的夹角θ＝0，得出＝λ，计算λ的值，即可求得＝＝＝＝λ．【解答】解：由||＝3，||＝4，得＝||×||×cosθ＝3×4×cosθ＝12，∴cosθ＝1；又θ∈[0，π]，∴θ＝0；∴＝λ，且λ＞0；则||＝λ||，∴λ＝＝，∴＝＝＝λ＝，∴＝λ＝．故答案为：．【点评】本题考查了空间向量的坐标运算与数量积运算问题，是基础题．12．（5分）已知函数f（x）＝，若存在唯一的整数x，使得不等式＞0成立，则实数a的取值范围是[0，3]∪[4，15]．【考点】5B：分段函数的应用．【专题】11：计算题；31：数形结合；34：方程思想；35：转化思想；51：函数的性质及应用．【分析】根据题意，由函数f（x）的解析式作出f（x）的函数图象，得出f（x）的单调性和极值，对x的符号进行讨论，根据不等式只有1整数解得出a的范围．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝，其图象如图：分2种情况讨论：①，当x＞0时，f（x）≤f（1）＝4，若存在唯一的整数x，使得不等式＞0成立，即f（x）﹣a＞0有唯一的整数解，又f（2）＝0，则此时有0≤a＜4．②，当x＜0时，则f（x）≥f（0）＝0，若存在唯一的整数x，使得不等式＞0成立，即f（x）﹣a＜0有唯一的整数解，又由f（﹣1）＝3，f（﹣2）＝15，则此时有3＜a≤15，综合可得：0≤a≤3或4≤a≤15；则a的取值范围为[0，3]∪[4，15]；故答案为：[0，3]∪[4，15]．【点评】本题考查分段函数的应用，注意分析函数f（x）的图象，属于基础题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．（5分）已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为，则球心O到平面ABC的距离为（）A．B．C．D．【考点】LR：球内接多面体；MK：点、线、面间的距离计算．【专题】11：计算题；13：作图题；15：综合题．【分析】先确定内接体的形状，确定球心与平面ABC的关系，然后求解距离．【解答】解：显然OA、OB、OC两两垂直，如图，设O1为ABC所在平面截球所得圆的圆心，∵OA＝OB＝OC＝1，且OA⊥OB⊥OC，∴AB＝BC＝CA＝．∴O1为△ABC的中心．∴O1A＝．由OO12+O1A2＝OA2，可得OO1＝．故选：B．【点评】本题考查球的内接体问题，球心与平面的距离关系，考查空间想象能力，是中档题．14．（5分）在△ABC中，AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝120°，若将△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的旋转体的体积是（）A．B．C．D．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11：计算题．【分析】所形成的几何体是以ACD为轴截面的圆锥中挖去了一个以ABD为轴截面的小圆锥后剩余的部分，故用大圆锥的体积减去小圆锥的体积，即为所求．【解答】解：如图：△ABC中，绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体是以ACD为轴截面的圆锥中挖去了一个以ABD为轴截面的小圆锥后剩余的部分．∵AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝120°，∴AE＝AB sin60°＝，BE＝AB cos60°＝1，V1＝＝，V2＝＝π，∴V＝V1﹣V2＝，故选：D．【点评】本题考查圆锥的体积公式的应用，判断旋转体的形状是解题的关键．15．（5分）将函数y＝sin（x﹣）图象上的点P（，t）向左平移s（s＞0）个单位，得到点P′，若P′位于函数y＝sin2x的图象上，则（）A．t＝，s的最小值为B．t＝，s的最小值为C．t＝，s的最小值为D．t＝，s的最小值为【考点】HJ：函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】35：转化思想；49：综合法；57：三角函数的图象与性质．【分析】将x＝代入得：t＝，进而求出平移后P′的坐标，进而得到s的最小值．【解答】解：将x＝代入得：t＝sin＝，进而求出平移后P′的坐标，将函数y＝sin（x﹣）图象上的点P（，t）向左平移s（s＞0）个单位，得到点P′，若P′位于函数y＝sin2x的图象上，则sin（+2s）＝cos2s＝，则2s＝±+2kπ，k∈Z，则s＝±+kπ，k∈Z，由s＞0得：当k＝0时，s的最小值为，故选：C．【点评】本题考查的知识点是函数y＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象和性质，难度中档．16．（5分）已知x，y∈R，且，则存在θ∈R，使得x cosθ+y sinθ+1＝0成立的P（x，y）构成的区域面积为（）A．4﹣B．4﹣C．D．+【考点】7C：简单线性规划．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，求解x cosθ+y sinθ+1＝0成立的等价条件，利用数形结合求出对应的面积即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：对应的区域为三角形OAB，若存在θ∈R，使得x cosθ+y sinθ+1＝0成立，则（cosθ+sinθ）＝﹣1，令sinα＝，则cosθ＝，则方程等价为sin（α+θ）＝﹣1，即sin（α+θ）＝﹣，∵存在θ∈R，使得x cosθ+y sinθ+1＝0成立，∴|﹣|≤1，即x2+y2≥1，则对应的区域为单位圆的外部，由，解得，即B（2，2），A（4，0），则三角形OAB的面积S＝×＝4，直线y＝x的倾斜角为，则∠AOB＝，即扇形的面积为，则P（x，y）构成的区域面积为S＝4﹣，故选：A．【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据条件作出对应的图象，求出对应的面积是解决本题的关键．综合性较强．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．（14分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，E、F分别是棱AB、D1C1的中点，联结EF、FB1、F A1、D1E、A1E、B1E．（1）求三棱锥A1﹣FB1E的体积；（2）求直线D1E与平面B1EF所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；MI：直线与平面所成的角．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】（1）三棱锥A1﹣FB1E的体积＝＝，由此能求出结果．（2）以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线D1E与平面B1EF所成角的大小．【解答】解：（1）∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，E、F分别是棱AB、D1C1的中点，连结EF、FB1、F A1、D1E、A1E、B1E．∴三棱锥A1﹣FB1E的体积＝＝＝＝．（2）以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，D1（0，0，4），E（4，2，0），B1（4，4，4），F（0，2，4），＝（0，2，4），＝（﹣4，0，4），＝（﹣4，﹣2，4），设平面B1EF的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，﹣2，1），设直线D1E与平面B1EF所成角的大小为θ，则sinθ＝＝＝，∴直线D1E与平面B1EF所成角的大小为arcsin．【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．18．（14分）已知函数f（x）＝ax2﹣2ax+2（a＞0）在区间[﹣1，4]上的最大值为10．（1）求a的值及f（x）的解析式；（2）设g（x）＝，若不等式g（3x）﹣t•3x≥0在x∈[0，2]上有解，求实数t的取值范围．【考点】3V：二次函数的性质与图象；6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】33：函数思想；4R：转化法；53：导数的综合应用．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出a 的值，求出函数的解析式即可；（2）问题转化为t≤2﹣2（）+1＝2+在x∈[0，2]上有解，令＝u∈[，1]，根据函数的单调性求出t的范围即可．【解答】解：（1）f′（x）＝2ax﹣2a＝2a（x﹣1），（a＞0），令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：x＜1，故f（x）在[﹣1，1）递减，在（1，4]递增，∵1﹣（﹣1）＜4﹣1，故f（x）max＝f（4）＝16a﹣8a+2＝8a+2＝10，解得：a＝1，故f（x）＝x2﹣2x+2；（2）由（1）g（x）＝x+﹣2，若不等式g（3x）﹣t•3x≥0在x∈[0，2]上有解，则3x+﹣2﹣t•3x≥0在x∈[0，2]上有解，即t≤2﹣2（）+1＝2+在x∈[0，2]上有解，令＝u∈[，1]，∵x∈[0，2]，则t≤2+在u∈[，1]上有解，当u∈[，1]时，2+∈[，1]，于是t≤1，故实数t的范围是（﹣∞，1]．【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，换元思想，是一道综合题．19．（14分）如图，某城市有一条从正西方AO通过市中心O后向东北OB的公路，现要修一条地铁L，在OA，OB上各设一站A，B，地铁在AB部分为直线段，现要求市中心O 与AB的距离为10（km），设地铁在AB部分的总长度为y（km）．（1）按下列要求建立关系式：（i）设∠OAB＝α，将y表示成α的函数；（i）设OA＝m，OB＝m用m，n表示y．（2）把A，B两站分别设在公路上离中心O多远处，才能使AB最短？并求出最短距离．【考点】HU：解三角形．【专题】12：应用题；58：解三角形．【分析】（1）（i）过O作OH⊥AB于H，则由及直角三角形的三角关系可求AH＝10cotα，，而AB＝AH+BH，整理即可（ii）由等面积原理得，可求AB（2）选择方案一：结合正弦函数的性质可求AB的最小值选择方案二：由余弦定理得＝，结合基本不等式可求AB的最小值【解答】解：（1）（i）过O作OH⊥AB于H由题意得，且即AH＝10cotα…（2分）即…（4分）∴＝＝…（8分）（ii）由等面积原理得，即…（10分）（2）选择方案一：当时，…（12分）此时，而所以．…（14分）选择方案二：因为，由余弦定理得＝∴…（12分）即（当且仅当时取等号）…（14分）【点评】本题主要考查了解三角形在实际问题中的应用，综合考查了基本不等式的知识，解题的关键是合理的把实际问题转化为数学问题20．（16分）已知动直线l与椭圆C：＝1交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两个不同的点，O为坐标原点．（1）若直线l过点（1，0），且原点到直线l的距离为，求直线l的方程；（2）若△OPQ的面积S△OPQ＝，求证：x12+x22和y12+y22均为定值；（3）椭圆C上是否存在三点D、E、G，使得S△ODE＝S△ODG＝S△OEG＝？若存在，判断△DEG的形状；若不存在，请说明理由．【考点】KL：直线与椭圆的综合．【专题】15：综合题；38：对应思想；4R：转化法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）根据点到直线的距离公式即可求出．（2）分情况讨论，根据已知设出直线l的方程，利用弦长公式求出|PQ|的长，利用点到直线的距离公式求点O到直线l的距离，根据三角形面积公式，即可求得x12+x22和y12+y22均为定值；（3）假设存在D（u，v），E（x1，y1），G（x2，y2），使得S△ODE＝S△ODG＝S△OEG＝由（2）得u2+x12＝2，u2+x22＝2，x12+x22＝2；v2+y12＝1，v2+y22＝1，y12+y22＝1，从而求得点D，E，G，的坐标，可以求出直线DE、DG、EG的方程，从而得到结论．【解答】解：（1）设直线方程为x＝my+1，∵原点到直线l的距离为，∴d＝＝，解得m＝±1时，此时直线方程为x±y﹣1＝0，（2）1°当直线l的斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，所以x1＝x2，y1＝﹣y2，∵P（x1，y1）在椭圆上，∴+y12＝1 ①又∵S△OPQ＝，∴|x1||y1|＝②由①②得|x1|＝1，|y1|＝．此时x12+x22＝2，y12+y22＝1；2°当直线l的斜率存在时，是直线l的方程为y＝kx+m（m≠0），将其代入+y2＝1得（2k2+1）x2+4kmx+2（m2﹣1）＝0，△＝16k2m2﹣8（2k2+1）（m2﹣1）＞0即2k2+1＞m2，又x1+x2＝﹣，x1•x2＝，∴|PQ|＝•＝，∵点O到直线l的距离为d＝，∴S△OPQ＝|PQ|•d＝••＝••|m|又S△OPQ＝，即••|m|＝整理得2k2+1＝2m2，此时x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（）2﹣2×＝2，y12+y22＝（1﹣x12）+（1﹣x22）＝2﹣（x12+x22）＝1；综上所述x12+x22＝2，y12+y22＝1．结论成立．（3）椭圆C上不存在三点D，E，G，使得S△ODE＝S△ODG＝S△OEG＝，证明：假设存在D（u，v），E（x1，y1），G（x2，y2），使得S△ODE＝S△ODG＝S△OEG＝由（2）得u2+x12＝2，u2+x22＝2，x12+x22＝2；v2+y12＝1，v2+y22＝1，y12+y22＝1解得u2＝x12＝x22＝1；v2＝y12＝y22＝．因此u，x1，x2只能从±1中选取，v，y1，y2只能从±中选取，因此点D，E，G，只能在（±1，±）这四点中选取三个不同点，而这三点的两两连线中必有一条过原点，与S△ODE＝S△ODG＝S△OEG＝矛盾．所以椭圆C上不存在满足条件的三点D，E，G．【点评】本题考查了直线与椭圆的位置关系，弦长公式和点到直线的距离公式，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力．其中问题（3）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力，属于难题．21．（18分）已知无穷数列{a n}的各项都不为零，其前n项和为S n，且满足a n•a n+1＝S n（n∈N*），数列{b n}满足，其中t为正整数．（1）求a2018；（2）若不等式对任意n∈N*都成立，求首项a1的取值范围；（3）若首项a1是正整数，则数列{b n}中的任意一项是否总可以表示为数列{b n}中的其他两项之积？若是，请给出一种表示方式；若不是，请说明理由．【考点】8H：数列递推式；8K：数列与不等式的综合．【专题】35：转化思想；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）直接利用赋值法求出结果．（2）利用分类讨论法确定数列的首项的范围．（3）利用构造数列法求出数列的各项，进一步确定结果．【解答】解：（1）令n＝1时，a1a2＝S1，由于：无穷数列{a n}的各项都不为零，所以：a2＝1，由：a n•a n+1＝S n，所以：a n+1•a n+2＝S n+1，两式相减得：a n+2﹣a n＝1，所以：数列{a2n}是首项为1，公差为1的等差数列．则：．（2）由（1）知，数列{a2n}是首项为1，公差为1的等差数列，数列{a2n﹣1}的首项a1，公差为1的等差数列．故：a n＝，所以：．①当n为奇数时，，即：，即：对任意的正奇数n都恒成立，所以：，即：0＜a1＜2．②当n为偶数时，，即：，即：对任意的正偶数恒成立，所以：，即：，综合①②得：．（3）数列{a2n}是首项为1，公差为1的等差数列，数列{a2n﹣1}的首项a1，公差为1的等差数列．得知：数列的各项都为正值．设b n＝b m b k则：•取k＝n+2，则：a k﹣a n＝1，故：a m＝a n（a n+2+t），．当n为偶数时，方程b n＝b m b k的一组解是：，当n为奇数时，方程b n＝b m b k的一组解是：，故：数列{b n}中的任意一项总可以表示为数列{b n}中的其他两项之积．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的前n项和的应用．。

2019届上海市普陀区高三一模数学试题(解析版)

．
故答案为：．
【点睛】
本题考查幂函数的性质及偶函数的定义，属于基础题．
8．若直线l经过抛物线C：的焦点且其一个方向向量为，则直线l的方程为______．
【答案】
【解析】求出抛物线的焦点，求出直线l的斜率，用点斜式求直线方程，并化为一般式．
【详解】
抛物线的焦点为，方向向量为的直线l的斜率为1，
⑵设，写出两点间的距离公式，分类利用配方法求最值，可得m值，结合，求得的值．
【详解】
⑴由椭圆方程可得，，
设，
则，，
为定值；
⑵设，
则
．
若，则，解得．
此时，，，
由，得；
同理，若，可得，此时求得．
故的值为7或．
【点睛】
本题考查椭圆的简单性质，考查两点间距离公式的应用，训练了利用配方法求最值，是中档题．
4．设是定义在R上的周期为4的函数，且，记，若则函数在区间上零点的个数是（）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【解析】分别作出与直线的图象，观察交点个数即可.
【详解】
由图可知：直线与在区间上的交点有8个，
故选：D．
【点睛】
本题考查了函数的性质应用及零点问题，考查了数形结合的思想及作图能力，属于中等题.
所以：， =1,
又 + =1，
， =1，
又
=
=
=
，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了三角函数关系式的恒等变变换的应用，运用了对数的运算，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题．
13．如图，正四棱柱的底面边长为4，记，，若，则此棱柱的体积为______．