(完整word版)函数的最大值与最小值教案

§1.3 函数的最大值与最小值(第1课时)

泰和中学 胡常达

【教学目标】

1．使学生理解函数的最大值、最小值的概念，并能正确把握最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系．

2．使学生初步掌握求函数最大值、最小值的方法与步骤．

【教学重点】最大值、最小值概念，求函数最大值、最小值的方法。

【教学难点】闭区间[a,b]上连续函数的最值定理。

【教学方法】

发现式教学法，通过引入实例，进而对实例的分析，发现并抽象出普遍规律，这一点与上一堂完全一样。

【授课类型】新授课

【教 具】多媒体、实物投影仪

【教学过程】

一、复习引入：

1．求可导函数f(x)极值的步骤：

(1) 确定函数的定义域； (2)求导数f ’(x)； (3)求方程f ’(x ）=0的根；

(4)把定义域划分为部分区间，并列成表格，检查f ’(x)在方程根左右的符号 ①如果左正右负（+ ~ -）， 那么f(x)在这个根处取得极大值

②如果左负右正（- ~ +）， 那么f(x)在这个根处取得极小值；

2．连续函数的最大值和最小值定理

如果f(x)是闭区间[a , b]上的连续函数，那么f(x)在闭区间 [a , b]上有最大值和最小值。 注： 我们只考虑在闭区间[a ，b]上连续的，

并且在开区间(a ，b)内可导的函数．如果将这一

前提条件设为“在开区间(a ，b)上连续可导的函

数”，那么，会出现什么情况呢？如图图(1)中的

函数y=f(x)在(a ，b)上有最大值而无最小直；图

(2)中的函数y=f(x)在(a ，b)上有最小值而无最大

值；图(3)中的函数y=f(x)在(a ，b)上既无最大值

也无最小值；图(4)中的函数y=f(x)在(a ，b)上有

最大值也有最小值．

二、讲授新课

观察下图一个定义在区间[a,b]上的函数f(x)

的图象

问：①何处取得极大(小)值？能在x=a,x=b 处

取得极大(小)值吗？②何处取得最大(小)

值？最大(小)值可以怎样定义？③一般地,

极值与最值有何区别？最值处是否一定取

得极值？极值处是否一定取得最值？④一

般地，最大(小)值可以在何处取得？

1．最值的定义：可导函数f(x)在闭区间

[a ，b]上的一切点(包括端点a ，b)处的函数

值中的最大值(最小值)，叫做函数f(x)的最

大值(最小值)．

2．函数的最值与极值的区别与联系：

(1)函数的最值(最大值、最小值)是整体性概念，函数的极值(极大值、极小值)是局部性概念．

(2)一个函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个；而极大值、极小值可能有两个以上．

(3)可导函数的极大值、极小值不一定是最大值、最小值，但在定义区间内部(端点除外)的最大值、最小值一定是极大值、极小值．如上图3－15所示，f(x1)是最小值，也是极小值．

3．求f(x)在[a , b]上的最大值与最小值的步骤如下：

（1）求 f(x) 在（a , b ）内的极值；

（2）将f(x)的各极值与f(a) ，f(b)比较 ；最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。开区间(a , b)内连续函数f(x)不一定有最大值与最小值

三、讲解范例

例1 求函数4225y x x =-+在区间[]2,2-上的最大值与最小值。

解：'3444(1)(1)y x x x x x =-=+-

令'0y =，得0,1,1x =+-

四、巩固练习 课本P 132练习 五、知识拓展

例2 求函数()5f x x =+的值域．

解：由30

40x x +≥⎧⎨-≥⎩得()f x 的定义域为[]3,4-

'()5f x =+因为'()0f x >，所以()f x 在[]3,4-上单调递增。

∴ 当3x =-时，min 15y =-；当4x =时，min 20y =+

故的值域为15⎡-+⎣

六、小结及作业

1.小结

2.作业P134 T1(1)(2)

七、板书设计（略）八、教学后记：