夹逼定理练习

第六节 夹逼定理 无穷小的比较

一． 夹逼定理

定理1：如果数列{}n x 、{}n y 及{}n z 满足下列条件：

（1）n n n z x y ≤≤,( ,3,2,1=n )。

（2） a y n n =∞→lim ，a z n n =∞

→lim 。 则数列{}n x 的极限存在，且a x n n =∞

→lim 定理2：设函数)(x f 在点a 的的某一去心邻域),(δ∧

a U 内（或X x ≥时）

满足条件：（1）)()()(x h x f x g ≤≤。

（2） A x g a x =→)(lim ，A x h a x =→)(lim （或A x g x =∞→)(lim ，A x h x =∞→)(lim ）。 则)(lim x f a x →存在，且A x f a x =→)(lim （（或)(lim x f x ∞→存在，且A x f x =∞

→)(lim ）。 注：（1）夹逼定理不仅说明了极限存在，而且给出了求极限的方法。

（2） 定理1中的条件（1）改为：n n n z x y ≤≤,( ,3,2,1=n )，结论仍然成立。 例1： 求下列极限

（1）n n n 11lim +∞→ （2）)1...2111(lim 222n

n n n n ++++++∞→ 二．两个重要极限

（1）1sin lim 0=→x x x 。 （2）e x x x =+∞→)11(lim ，（e x x x =+→1

0)1(lim ，e n n n =+∞→)11(lim ）。 例2：求下列极限

（1） x x x tan lim 0→ （2） 30sin tan lim x x x x -→ （3）203cos cos lim x

x x x -→ 例3：求下列极限

（1） x x x 2)21(lim -∞→ （2） 21

2)2(lim -→x x x （3）x x x x )55(lim -+∞→ 三． 无穷小的比较：在极限的运算法则中，我们讨论了两个基本点无穷小的和、差及乘积仍是无穷小。那末两个无穷小的商的情况又如何呢？为此讨论下列极限。尽管,3,1,,,2x Cosx Sinx x x -都是0→x 时的无穷小量，但是它们趋向于零的快慢程度不一样。设)(x α，)(x β是当0x x →时的两个无穷小量，由极限的运算法则知：)()(x x βα+，)()(x x βα-，)()(x x βα⋅都是当0x x →时的无穷小量。

但)(/)(x x βα当0x x →时是否是无穷小量呢？

,)(x x =α，2)(x x =β，x x sin )(=γ，x x cos 1)(-=δ当0→x 时都是无穷小量，0)()(lim 0=→x x x αβ，1)

()(lim 0=→x x x αγ，21)()(lim 0=→x x x βδ，∞=→)

()(lim 0x x x βα。 1．定义：设0lim =α，0lim =β，

（1）如果0lim =α

β

，就说β是比α高阶的无穷小，记作)(αβo =； （2）如果∞=α

βlim ，就说β是比α低阶的无穷小； （3）如果0lim ≠=c α

β，就说β是与α同阶的无穷小； （4）如果1lim =αβ，就说β与α是等价无穷小，记作βα~。

2．等价无穷小的重要性质

定理3：设/~αα , /

~ββ,且//lim αβ存在，则αβlim =//lim αβ。 推论（1）：设/~αα , /

~ββ,且//)()(lim αβx g x f 存在，则αβ)()(lim x g x f 存在，且αβ)()(lim x g x f =//

)()(lim αβx g x f 。 注：在计算极限的过程中，可将分子或分母的的乘积因子换为与其等价的无穷小，这种替换有时可简化计算，但注意在加、减运算中不能用。

例4：求下列极限

（1） x

x x x x tan sin tan lim 20-→ （2） 1tan 1tan 1lim 0---+→x x e x x 例5：当0→x 时，试比较下列无穷小的阶

（1） 232x x +=α 2x =β （2）x x cos 2=α 2x =β

3．常用的等价无穷小替换

0→x ：x x ~sin ，x x ~tan ，x x ~arcsin ，x x ~arctan ，x x ~)1ln(+，x e x ~1-；

2

~cos 12

x x -，x x μμ~)1(+。