【原创讲义】圆与方程(全面详细)

同学们我们在初中的时候已经学习了圆的几何性质，今天开始我们从代数坐标系的角度

再来学习圆的一些性质.

1.圆的要素：

在平面直角坐标系中，当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了.因此，确定一个圆的基本要素是圆心与半径，即位置与大小.

2.圆的定义：

描述一：在一个平面内，一动点以一定点为中心，以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线叫做圆.

描述二：在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆. 如图所示：O 为定点（圆心），P 为动点

()r b y a x =-+-⇒2

2)(根据点到点距离公式

我们将上面这个方程平方也就得到了圆的标准方程.

3.圆的标准方程： ()().

11)0,0(),()

0(22222称为单位圆的圆半径单位圆：我们把圆心为，半径圆心＞=+==-+-y x r r

b a r r b y a x

理解：

所说的标准方程其实也只是圆方程的一种书写形式，该方程的优势体现在能直观的看出圆心和半径长.其中标准方程的右边必须大于零才能表示圆，如果等于零，方程表示的只是一个点),(b a .现在我们将圆的标准方程括号去掉化简就可以得到圆的一般方程.

※圆与方程

4.圆的一般方程：

2

4-220

4-0222

2

22F E D r E

D F

E D

F Ey Dx y x +=

--+=++++）

，圆心（＞圆的判别式：一般方程：

.022项，也没有的系数相同且与理解：xy y x ≠

图像不存在

＜③表示点②表示圆

＞①一般方程：配方

⇒+--⇒=+⇒++=

+++−−→−=++++04-)

2

,2(04-04-4

4-)2()2(022*********

2

F E D E

D F

E D

F E D F

E D E y D x

F Ey Dx y x

圆的标准方程与一般方程在形式上存在区别，但又可以通过配方将二者相互转化.

5.圆的参数方程：（一般用于求最值）

()()[)πθθθθθθ2.0(sin cos sin cos 1

)()()0(222222

∈⎩⎨⎧+=+=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-⇒=-+-−−−−−−→−=-+-为参数，圆的参数方程＞等号左右两边同除以b r y a r x r

b y r a x r

b y r a x r r b y a x r

圆成立的条件很重要:

0422＞F E D -+

例1:写出以下方程的圆心、半径、参数方程再作出图像，将标准方程化为一般方程，将一般方程化为标准方程.

[)()

⎩⎨

⎧∈+====+-+=-+πθθθ2,02sin cos 1)2,0(0341

)2(2222y x r y y x y x ，圆心一般方程：例：

064)1(22=+-+y x y x 022)2(22=-++y x y x

2)1()2)(3(22=-++y x 3

1)33()4(22=+

+y x

2)1()1)(5(22=++-y x 0)6(22=++-y y x x

例2：的取值范围是表示圆，则方程m m y mx y x 05242

2=+-++ .

例3：写出下列圆的方程

.2),1,2()1(半径长是圆心- .1),,0()2(半径长是圆心m -

.),,()3(a b a 半径长是圆心- .1,)4(半径长是轴圆心在x

.,012)5(轴相切的圆且与上圆心在直线y y x =+-

)2,0(),3,2()6(为圆直径的两个端点分别

.)4,3(),2,1(),5,0()7(三个点圆的方程求过---C B A

.)5,2(),3,2(,032)8(的圆的标准方程且过点上求圆心在---=--B y x

类型一：点与圆位置关系

()()())

(0)()3()

(0)()2()

(0)()1()

,(002

020********

020********

02

02202

000r d F Ey Dx y x r b y a x r d F Ey Dx y x r b y a x r d F Ey Dx y x r b y a x y x ＞＞或＞点在圆外＜＜或＜点在圆内或点在圆上点++++-+-⇒++++-+-⇒==++++=-+-⇒

.,011122的取值范围求始终存在公共点与圆：直线例a ay x y x kx y =+++++=

例2：一束光线从点)1,1(-A 出发x 轴反射，到达圆1)3()2(:2

2

=-+-y x C 上一点的最短距离是多少？

：例3已知圆1)3()2(221=-+-y x C ：

，圆9)4()3(222=-+-y x C ：，N M 、分别是圆21C C 、上的动点，P 是x 轴上的动点，则PN PM +的最小值为？

：例4若点),15(a a M +在圆26)1(2

2=+-y x 的内部，则实数a 的取值范围是？

1：图形表示与判断方法

关系 相交 相切 相离

图 像

几 何 法

r d ＜

r d =

r d ＞

联立方程

方程组两个解

方程组一个解

方程组无解

直线与圆交点个数

两个公共点

一个公共点

没有公共点

判别式法

0＞∆

0=∆

0＜∆

：例1直线2+=kx y 与圆12

2=+y x 没有公共点，求k 的取值范围？

：例2不论k 为何实数，直线1+=kx y 与圆04222

22=--+-+a a ax y x 恒有交点，则实

数a 的取值范围是？

：例3若圆4)1(2

2=+-y x 关于直线022=+-+m y x 对称，则实数m 的值为？