可降阶的高阶微分方程改一阶线性微分方程

两端再积分得 y x3 3 x C2 利用 y x 0 1 , 得 C2 1, 因此所求特解为
y x3 3x 1
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例3. 求解 解:
代入方程得
则 y d p d p dy p d p dx dy dx dy
两端积分得 ln p ln y ln C1 , 即 p C1y,
积分得
即 y C(x 1)2
用常数变易法求特解. 令 y u (x) (x 1)2 , 则
y u (x 1)2 2u (x 1)
代入非齐次方程得 解得 故原方程通解为
u
2
(x
3
1) 2
C
3
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例2. 求下列方程的通解 解: 将方程变形可得
于是
所以 y e P(x) dx[ Q(x) e P(x)dxdx C]
1接例2
e
1 x ln
x
dx
[
Байду номын сангаас
a(1
1
)
e
x
1 ln
x
dx
dx
C
]
ln x
e
1 x ln
x
dx
[
a(1
1
)
e
x
1 ln
x
dx
dx
C
]
ln x
1 ln x
[
a(1
1 ln x
)
ln
xdx
C
]
1 [ax(ln x 2) C] ln x
2接例2
(2)
y
2x
1
y2
解： 调换自变量与因变量的地位 ,
例3. 求一连续可导函数
使其满足下列方程:
令 u xt
解:
x
f (x) sin x 0 f (u)d u
f (x) f (x) cos x
则有
f (0) 0
利用公式可求出
f (x) 1 (cos x sin x ex ) 2
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内容小结
1.可降阶微分方程解法 三种类型
故原方程的通解
y
e
P(x)d
x
Q(
x)
e
P(
x)
d
x
dx
C
即
y Ce P(x)d x e P(x)d x Q(x) e P(x)d xdx
齐次方程通解
非齐次方程特解
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例1. 解方程
解:
先解
dy 2y 0 , 即 dx x 1
dy 2dx y x 1
化为 dx 2x y2 , dy
用线性方程通解公式求解 .
设 P( y) 2 , Q( y) y2
于是
x
e
P(
y
) dy
[
Q( y) e P( y)dydy C]
3接例2
e2dy [
(
y
2
)
e
2dy
dy
C
]
e2 y [ y2 e2 ydy C]
y2 y 1 Ce2 y . 2 24
2.一阶线性微分方程 齐次方程 非齐次方程 常数变易法
作业 P261 3(1)(7) .
(一阶线性齐次方程)
故所求通解为
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例4. 求解
y ay2 0
y x0 0 ,
y x0 1
解: 令
则方程变为
积分得
1 p
ax
C1,
利用
p
x0 y
x0
1
得
C1
1
再解
dy dx
1 1 ax
,
并利用
y
x0
0,
定常数
C2
.
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6.3 一阶线性微分方程
2.2 可降阶高阶微分方程
一、 二、 三、
型的微分方程 型的微分方程
型的微分方程
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可降阶微分方程的解法 —— 降阶法 逐次积分
令 y p(x) , 令 y p(y) ,
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例1.
解: y e2x cos x d x C1
1 2
e2x
sin
x
C1
y
1 e2x 4
cos x
C1x C2
y
1 e2x 8
sin
x
C1 x 2
C2 x
C3
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例2. 求解 解:
(1 x2 )y 2xy y x0 1, y x0 3
代入方程得
(1 x2 ) p 2x p 分离变量
积分得 ln p ln (1 x2 ) ln C1 , 利用 y x 0 3 , 得 C1 3,于是有 y 3(1 x2 )
一阶线性微分方程标准形式: dy P(x) y Q(x) dx
若 Q(x) 0, 称为齐次方程 ;
若 Q(x) 0, 称为非齐次方程 .
1. 解齐次方程 dy P(x) y 0 dx
分离变量
两边积分得 ln y P(x)dx ln C
故通解为
y C e P(x)dx
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2. 解非齐次方程 dy P(x) y Q(x) dx
用常数变易法: 作变换 y(x) u(x) e P(x)d x , 则
ue P(x)d x P(x)u e P(x)d x P(x) u e P(x)d x Q(x)
即
两端积分得对应齐u 次 方Q程(x通) e解 P(x)ydx dCxeC P(x)dx