高考一轮复习专题5-3：三角恒等变换

第3节 三角恒等变换
题型54：化简求值
知识点摘要：
➢ 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
βαβαβαβαsin cos cos sin )(sin ±=±±：）
（S ； βαβαβαβαsin sin cos cos )cos(μ=±±：）
（C ； ⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈+≠±±=±±Z k k T ，，，：）
（ππβαβαβαβαβαβα2tan tan 1tan tan )(tan μ。

➢ 二倍角公式（倍角是相对的）
ααααcos sin 22sin 2=：S ；
αααααα22222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=：C ；
⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈+≠+≠-=Z k k k T ，，：422tan 1tan 22tan 22ππαππααααα
➢ 降幂公式：22cos 1cos 2αα+=；22cos 1sin 2αα-=；ααα2sin 2
1cos sin =
➢ 公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．
➢ 辅助角公式：
()ϕ++=+x b a x b x a sin cos sin 22，⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=+=+=a b b a a b a b ϕϕϕtan cos sin 2222，，
典型例题精讲精练：
54.1.套公式，直接用公式
1. 已知sin α＝35，α∈⎪⎭
⎫ ⎝⎛ππ，2，tan β＝－12，则tan(α－β)的值为( )【答案：A 】 A ．－211 B.211
C.112 D ．－112 2. (2019·呼和浩特调研)若()31sin =-απ且π2
≤α≤π，则sin 2α的值为( )【答案：B 】 A ．－229 B ．－429 C.229
D.429
3. 已知sin α＝13＋cos α，且α∈⎪⎭
⎫ ⎝⎛20π，，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+4sin 2cos παα的值为( )【答案：A 】 A ．－
23 B.23 C ．－13 D.13 4. 已知sin α＝45，且α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛2
32ππ，，则⎪⎭⎫ ⎝
⎛+32sin πα的值为________．【答案：－24＋7350】 54.2.公式逆用、公式变形 5. (2018·全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________【答案：－12
】
6. 计算：tan 25°＋tan 35°＋3tan 25°tan 35°＝________.【答案：3】
7. 设a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°，b ＝22(sin 56°－cos 56°)，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°
，则a ，b ，c 的大小关系是( )【答案：D 】
A ．a >b >c
B ．b >a >c
C ．c >a >b
D ．a >c >b 8. 已知534sin 6cos =+⎪⎭⎫ ⎝⎛
-απα，则=⎪⎭⎫ ⎝
⎛+6sin πα________.【答案：45】 9. 化简απαπα222sin 6sin 6sin -⎪⎭⎫ ⎝
⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-的结果是________．【答案：12】 54.3.角的变换和函数名的变换
三角公式求值中变角的解题思路
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
10. (2018·浙江高考改编)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ⎪⎭
⎫ ⎝⎛--5453
，，若角β满足sin(α＋β)＝513，则cos β的值为________．【答案：－5665或1665】 11. (2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55
. (1)求cos 2α的值；(2)求tan(α－β)的值．
【答案：－725.－211
.】
12. 已知tan θ＋1tan θ＝4，则=⎪⎭⎫ ⎝
⎛+4cos 2πθ( )【答案：C 】 A.12 B.13
C.14
D.15 13. (2018·济南一模)若⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈=⎪⎭⎫ ⎝⎛
+πππ，，410274sin A A 则sin A 的值为( )【答案：B 】 A.35 B.45
C.35或45
D.34 14. 已知sin α＝－45，α∈⎪⎭
⎫ ⎝⎛ππ，23，若sin (α＋β)cos β＝2，则tan(α＋β)＝( )【答案：B 】 A.613 B.136
C ．－613
D ．－136 54.4.三角函数式的化简
15. sin (180°＋2α)1＋cos 2α·cos 2αcos (90°＋α)
等于( )【答案：D 】 A ．－sin α B ．－cos α C ．sin α
D ．cos α
16. 化简：sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β)．【答案：sin βsin α
】
17. 化简：⎪⎭⎫ ⎝
⎛--4sin cos 22sin 2πααα＝________.【答案：22cos α】
18. 化简：⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--απαπα4cos 4tan 21cos 222；【答案：1】
54.5.三角函数式求值
19. cos 10°(1＋3tan 10°)cos 50°
的值是________．【答案：2】 20. 已知⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈=⎪⎭⎫ ⎝⎛
+ππαπα，，21024sin 求：(1)cos α的值； (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-42sin πα的值． 【答案：（1）cos α＝－35；（2）－17250
.】
21. 若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ，4，β∈⎥⎦
⎤⎢⎣⎡23ππ，，则α＋β的值是( )【答案：A 】 A.7π4 B.9π4
C.5π4或7π4
D.5π4或9π4
22. 求值：cos 20°cos 35°1－sin 20°
＝( )【答案：C 】 A ．1 B ．2 C. 2 D. 3
23. 已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝
33，则cos 2α＝( )【答案：A 】 A ．－53 B ．－59
C.59
D.53 24. 已知锐角α，β满足sin α＝55，cos β＝31010
，则α＋β等于( )【答案：C 】 A.3π4 B.π4或3π4 C.π4 D ．2k π＋π4(k ∈Z)
54.6.三角恒等变换综合应用
25. (2018·北京高考)已知函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x .
(1)求f (x )的最小正周期；(2)若f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-
m ，3π上的最大值为32，求m 的最小值． 【答案：π；π3。

】 26. 已知ω>0，函数23cos 3cos sin )(2-
+=x x x x f ωωω的最小正周期为π，则下列结论正确的是( )【答案：D 】
A ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π3对称
B ．函数f (x )在区间⎥⎦⎤⎢
⎣⎡12712ππ，上单调递增 C ．将函数f (x )的图象向右平移π6
个单位长度可得函数g (x )＝cos 2x 的图象 D ．当x ∈⎥⎦
⎤⎢⎣⎡20π，时，函数f (x )的最大值为1，最小值为－32 27. 已知函数33cos sin 4)(-⎪⎭⎫ ⎝⎛-
=πx x x f ；(1)求函数f (x )的单调区间；(2)求函数f (x )图象的对称轴和对称中心．
【答案】单增区间⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z)；单减区间⎣⎡⎦⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z)； 函数f (x )的对称轴方程为x ＝k π2＋5π12
(k ∈Z)；函数f (x )的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2＋π6，0(k ∈Z)．。