高考一轮复习专题5-3：三角恒等变换

第3节 三角恒等变换

题型54：化简求值

知识点摘要：

➢ 两角和与差的正弦、余弦、正切公式

βαβαβαβαsin cos cos sin )(sin ±=±±：）

（S ； βαβαβαβαsin sin cos cos )cos(μ=±±：）

（C ； ⎪⎭

⎫ ⎝⎛∈+≠±±=±±Z k k T ，，，：）

（ππβαβαβαβαβαβα2tan tan 1tan tan )(tan μ。 ➢ 二倍角公式（倍角是相对的）

ααααcos sin 22sin 2=：S ；

αααααα22222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=：C ；

⎪⎭

⎫ ⎝⎛∈+≠+≠-=Z k k k T ，，：422tan 1tan 22tan 22ππαππααααα

➢ 降幂公式：22cos 1cos 2αα+=；22cos 1sin 2αα-=；ααα2sin 2

1cos sin =

➢ 公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．

➢ 辅助角公式：

()ϕ++=+x b a x b x a sin cos sin 22，⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=+=+=a b b a a b a b ϕϕϕtan cos sin 2222，，

典型例题精讲精练：

54.1.套公式，直接用公式

1. 已知sin α＝35，α∈⎪⎭

⎫ ⎝⎛ππ，2，tan β＝－12，则tan(α－β)的值为( )【答案：A 】 A ．－211 B.211

C.112 D ．－112 2. (2019·呼和浩特调研)若()31sin =-απ且π2

≤α≤π，则sin 2α的值为( )【答案：B 】 A ．－229 B ．－429 C.229

D.429

3. 已知sin α＝13＋cos α，且α∈⎪⎭

⎫ ⎝⎛20π，，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+4sin 2cos παα的值为( )【答案：A 】 A ．－

23 B.23 C ．－13 D.13 4. 已知sin α＝45，且α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛2

32ππ，，则⎪⎭⎫ ⎝

⎛+32sin πα的值为________．【答案：－24＋7350】 54.2.公式逆用、公式变形 5. (2018·全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________【答案：－12

】

6. 计算：tan 25°＋tan 35°＋3tan 25°tan 35°＝________.【答案：3】

7. 设a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°，b ＝22(sin 56°－cos 56°)，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°

，则a ，b ，c 的大小关系是( )【答案：D 】

A ．a >b >c

B ．b >a >c

C ．c >a >b

D ．a >c >b 8. 已知534sin 6cos =+⎪⎭⎫ ⎝⎛

-απα，则=⎪⎭⎫ ⎝

⎛+6sin πα________.【答案：45】 9. 化简απαπα222sin 6sin 6sin -⎪⎭⎫ ⎝

⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-的结果是________．【答案：12】 54.3.角的变换和函数名的变换

三角公式求值中变角的解题思路

(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；

(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．

10. (2018·浙江高考改编)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ⎪⎭

⎫ ⎝⎛--5453

，，若角β满足sin(α＋β)＝513，则cos β的值为________．【答案：－5665或1665】 11. (2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55

. (1)求cos 2α的值；(2)求tan(α－β)的值．

【答案：－725.－211

.】

12. 已知tan θ＋1tan θ＝4，则=⎪⎭⎫ ⎝

⎛+4cos 2πθ( )【答案：C 】 A.12 B.13

C.14

D.15 13. (2018·济南一模)若⎪⎭

⎫ ⎝⎛∈=⎪⎭⎫ ⎝⎛

+πππ，，410274sin A A 则sin A 的值为( )【答案：B 】 A.35 B.45

C.35或45

D.34 14. 已知sin α＝－45，α∈⎪⎭

⎫ ⎝⎛ππ，23，若sin (α＋β)cos β＝2，则tan(α＋β)＝( )【答案：B 】 A.613 B.136

C ．－613

D ．－136 54.4.三角函数式的化简

15. sin (180°＋2α)1＋cos 2α·cos 2αcos (90°＋α)

等于( )【答案：D 】 A ．－sin α B ．－cos α C ．sin α

D ．cos α

16. 化简：sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β)．【答案：sin βsin α

】

17. 化简：⎪⎭⎫ ⎝

⎛--4sin cos 22sin 2πααα＝________.【答案：22cos α】

18. 化简：⎪⎭

⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--απαπα4cos 4tan 21cos 222；【答案：1】

54.5.三角函数式求值

19. cos 10°(1＋3tan 10°)cos 50°

的值是________．【答案：2】 20. 已知⎪⎭

⎫ ⎝⎛∈=⎪⎭⎫ ⎝⎛

+ππαπα，，21024sin 求：(1)cos α的值； (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-42sin πα的值． 【答案：（1）cos α＝－35；（2）－17250

.】