函数与函数地零点知识点的总结
函数零点的判定定理-高中数学知识点讲解
函数零点的判定定理
1．函数零点的判定定理
【知识点的知识】
1、函数零点存在性定理：
一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函
数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝O，这个c 也就是f（x）＝0 的根．
特别提醒：
（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．
（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没
有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2 有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．
（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯
一的零点．
2、函数零点个数的判断方法：
（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出
零点．
特别提醒：
①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1＝0 在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）＝x2﹣2x+1 在[0，2]上只有一个零点；
②函数的零点是实数而不是数轴上的点．
（2）代数法：求方程f（x）＝0 的实数根．
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导数与函数的零点知识点讲解+例题讲解(含解析)
导数与函数的零点一、知识梳理1.利用导数确定函数零点或方程根个数的常用方法(1)构建函数g(x)(要求g′(x)易求，g′(x)＝0可解)，转化确定g(x)的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出g(x)的图象草图，数形结合求解函数零点的个数．(2)利用零点存在性定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数．二、例题精讲 + 随堂练习考点一判断零点的个数【例1】(2019·青岛期中)已知二次函数f(x)的最小值为－4，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x)＝f(x)x－4ln x的零点个数．解(1)∵f(x)是二次函数，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}，∴设f(x)＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a，且a>0. ∴f(x)min＝f(1)＝－4a＝－4，a ＝1.故函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x－3.(2)由(1)知g(x)＝x2－2x－3x－4ln x＝x－3x－4ln x－2，∴g(x)的定义域为(0，＋∞)，g′(x)＝1＋3x2－4x＝(x－1)(x－3)x2，令g′(x)＝0，得x1＝1，x2＝3.当x变化时，g′(x)，g(x)的取值变化情况如下表：当0<x≤3时，g(x)≤g(1)＝－4<0，当x>3时，g(e5)＝e5－3e5－20－2>25－1－22＝9>0.又因为g(x)在(3，＋∞)上单调递增，因而g(x)在(3，＋∞)上只有1个零点，故g(x)仅有1个零点．【训练1】已知函数f(x)＝e x－1，g(x)＝x＋x，其中e是自然对数的底数，e＝2.718 28….(1)证明：函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间(1，2)上有零点；(2)求方程f(x)＝g(x)的根的个数，并说明理由．(1)证明由题意可得h(x)＝f(x)－g(x)＝e x－1－x－x，所以h(1)＝e－3<0，h(2)＝e2－3－2>0，所以h(1)h(2)<0，所以函数h(x)在区间(1，2)上有零点．(2)解由(1)可知h(x)＝f(x)－g(x)＝e x－1－x－x.由g(x)＝x＋x知x∈[0，＋∞)，而h(0)＝0，则x＝0为h(x)的一个零点．又h(x)在(1，2)内有零点，因此h(x)在[0，＋∞)上至少有两个零点．h′(x)＝e x－12x－12－1，记φ(x)＝e x－12x－12－1，则φ′(x)＝e x＋14x－32.当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)>0，因此φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，易知φ(x)在(0，＋∞)内至多有一个零点，即h(x)在[0，＋∞)内至多有两个零点，则h(x)在[0，＋∞)上有且只有两个零点，所以方程f(x)＝g(x)的根的个数为2.考点二已知函数零点个数求参数的取值范围【例2】函数f(x)＝ax＋x ln x在x＝1处取得极值．(1)求f(x)的单调区间；(2)若y＝f(x)－m－1在定义域内有两个不同的零点，求实数m的取值范围．解(1)函数f(x)＝ax＋x ln x的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝a＋ln x＋1，因为f′(1)＝a＋1＝0，解得a＝－1，当a＝－1时，f(x)＝－x＋x ln x，即f′(x)＝ln x，令f′(x)>0，解得x>1；令f′(x)<0，解得0<x<1.所以f(x)在x＝1处取得极小值，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1)．(2)y＝f(x)－m－1在(0，＋∞)内有两个不同的零点，可转化为y＝f(x)与y＝m＋1图象有两个不同的交点．由(1)知，f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，f(x)min＝f(1)＝－1，由题意得，m＋1>－1，即m>－2，①当0<x<e时，f(x)＝x(－1＋ln x)<0；当x>e时，f(x)>0.当x>0且x→0时，f(x)→0；当x→＋∞时，显然f(x)→＋∞.由图象可知，m＋1<0，即m<－1，②由①②可得－2<m<－1.所以m的取值范围是(－2，－1)．【训练2】 已知函数f (x )＝e x ＋ax －a (a ∈R 且a ≠0)．(1)若f (0)＝2，求实数a 的值，并求此时f (x )在[－2，1]上的最小值； (2)若函数f (x )不存在零点，求实数a 的取值范围． 解 (1)由题意知，函数f (x )的定义域为R ， 又f (0)＝1－a ＝2，得a ＝－1，所以f (x )＝e x －x ＋1，求导得f ′(x )＝e x －1.易知f (x )在[－2，0]上单调递减，在[0，1]上单调递增， 所以当x ＝0时，f (x )在[－2，1]上取得最小值2. (2)由(1)知f ′(x )＝e x ＋a ，由于e x >0， ①当a >0时，f ′(x )>0，f (x )在R 上是增函数， 当x >1时，f (x )＝e x ＋a (x －1)>0； 当x <0时，取x ＝－1a ， 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a <1＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a －1＝－a <0. 所以函数f (x )存在零点，不满足题意． ②当a <0时，令f ′(x )＝0，得x ＝ln(－a )． 在(－∞，ln(－a ))上，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 在(ln (－a )，＋∞)上，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 所以当x ＝ln(－a )时，f (x )取最小值．函数f (x )不存在零点，等价于f (ln(－a ))＝e ln(－a )＋a ln(－a )－a ＝－2a ＋a ln(－a )>0，解得－e 2<a <0.综上所述，所求实数a 的取值范围是(－e 2，0)．考点三 函数零点的综合问题 【例3】 设函数f (x )＝e 2x －a ln x . (1)讨论f (x )的导函数f ′(x )零点的个数； (2)证明：当a >0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a .(1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2e 2x －ax (x >0)． 当a ≤0时，f ′(x )>0，f ′(x )没有零点；当a >0时，因为y ＝e 2x 单调递增，y ＝－ax 单调递增， 所以f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增．又f ′(a )>0，假设存在b 满足0<b <a 4时，且b <14，f ′(b )<0， 故当a >0时，f ′(x )存在唯一零点．(2)证明 由(1)，可设f ′(x )在(0，＋∞)上的唯一零点为x 0， 当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )<0；当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )>0. 故f (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增， 所以当x ＝x 0时，f (x )取得最小值，最小值为f (x 0)． 由于2e2x 0－ax 0＝0，所以f (x 0)＝a 2x 0＋2ax 0＋a ln 2a ≥2a ＋a ln 2a .故当a >0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a .【训练3】 (2019·天津和平区调研)已知函数f (x )＝ln x －x －m (m <－2，m 为常数)． (1)求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 的最小值；(2)设x 1，x 2是函数f (x )的两个零点，且x 1<x 2，证明：x 1·x 2<1.(1)解 f (x )＝ln x －x －m (m <－2)的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1－xx ＝0， ∴x ＝1.当x ∈(0，1)时，f ′(x )>0，所以y ＝f (x )在(0，1)递增； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，所以y ＝f (x )在(1，＋∞)上递减．且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1－1e －m ，f (e)＝1－e －m ， 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e －f (e)＝－2－1e ＋e>0， 函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 的最小值为1－e －m .(2)证明 由(1)知x 1，x 2满足ln x －x －m ＝0，且0<x 1<1，x 2>1， ln x 1－x 1－m ＝ln x 2－x 2－m ＝0， 由题意可知ln x 2－x 2＝m <－2<ln 2－2. 又由(1)可知f (x )＝ln x －x 在(1，＋∞)递减，故x 2>2， 所以0<x 1，1x 2<1.则f (x 1)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＝ln x 1－x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x 2－1x 2 ＝ln x 2－x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x 2－1x 2 ＝－x 2＋1x 2＋2ln x 2.令g (x )＝－x ＋1x ＋2ln x (x >2)，则g ′(x )＝－1－1x 2＋2x ＝－x 2＋2x －1x 2＝－（x －1）2x 2≤0，当x >2时，g (x )是减函数，所以g (x )<g (2)＝－32＋ln 4.因32－ln 4＝ln e 324>ln 2.56324＝ln （1.62）324＝ln 1.634＝ln4.0964>ln 1＝0，∴g (x )<0，所以当x >2时，f (x 1)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2<0， 即f (x 1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2.因为0<x 1，1x 2<1，f (x )在(0，＋∞)上单调递增． 所以x 1<1x 2，故x 1x 2<1.三、课后练习1.直线x ＝t 分别与函数f (x )＝e x ＋1的图象及g (x )＝2x －1的图象相交于点A 和点B ，则|AB |的最小值为________. 解析 由题意得，|AB |＝|e t ＋1－(2t －1)| ＝|e t －2t ＋2|，令h (t )＝e t －2t ＋2，则h ′(t )＝e t －2，所以h (t )在(－∞，ln 2)上单调递减， 在(ln 2，＋∞)上单调递增， 所以h (t )min ＝h (ln 2)＝4－2ln 2>0， 即|AB |的最小值是4－2ln 2. 答案 4－2ln 22.若函数f (x )＝ax －ae x ＋1(a <0)没有零点，则实数a 的取值范围为________.解析 f ′(x )＝a e x －（ax －a ）e x e 2x ＝－a （x －2）e x (a <0).当x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0， ∴当x ＝2时，f (x )有极小值f (2)＝ae 2＋1.若使函数f (x )没有零点，当且仅当f (2)＝ae 2＋1>0， 解之得a >－e 2，因此－e 2<a <0. 答案 (－e 2，0)3.(2019·保定调研)已知函数f (x )＝a 6x 3－a 4x 2－ax －2的图象过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，103.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若函数g (x )＝f (x )－2m ＋3有3个零点，求m 的取值范围. 解 (1)因为函数f (x )＝a 6x 3－a 4x 2－ax －2的图象过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，103， 所以32a 3－4a －4a －2＝103，解得a ＝2，即f (x )＝13x 3－12x 2－2x －2， 所以f ′(x )＝x 2－x －2. 由f ′(x )>0，得x <－1或x >2.所以函数f (x )的单调递增区间是(－∞，－1)，(2，＋∞). (2)由(1)知f (x )极大值＝f (－1)＝－13－12＋2－2＝－56， f (x )极小值＝f (2)＝83－2－4－2＝－163，由数形结合，可知要使函数g (x )＝f (x )－2m ＋3有三个零点， 则－163<2m －3<－56，解得－76<m <1312.所以m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－76，1312.4.已知函数f (x )的定义域为[－1，4]，部分对应值如下表：f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示.当1<a <2时，函数y ＝f (x )－a 的零点的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析 根据导函数图象，知2是函数的极小值点，函数y ＝f (x )的大致图象如图所示.由于f (0)＝f (3)＝2，1<a <2，所以y ＝f (x )－a 的零点个数为4. 答案 D5.设函数f (x )＝ln x ＋m x (m >0)，讨论函数g (x )＝f ′(x )－x3零点的个数. 解 函数g (x )＝f ′(x )－x 3＝1x －m x 2－x3(x >0)， 令g (x )＝0，得m ＝－13x 3＋x (x >0). 设h (x )＝－13x 3＋x (x >0)，所以h ′(x )＝－x 2＋1＝－(x －1)(x ＋1).当x ∈(0，1)时，h ′(x )>0，此时h (x )在(0，1)内单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0，此时h (x )在(1，＋∞)内单调递减.所以当x ＝1时，h (x )取得极大值h (1)＝－13＋1＝23. 令h (x )＝0，即－13x 3＋x ＝0，解得x ＝0(舍去)或x ＝ 3. 作出函数h (x )的大致图象(如图)，结合图象知：①当m >23时，函数y ＝m 和函数y ＝h (x )的图象无交点.②当m ＝23时，函数y ＝m 和函数y ＝h (x )的图象有且仅有一个交点. ③当0<m <23时，函数y ＝m 和函数y ＝h (x )的图象有两个交点.综上所述，当m >23时，函数g (x )无零点；当m ＝23时，函数g (x )有且仅有一个零点；当0<m <23时，函数g (x )有两个零点.6.(2018·江苏卷改编)若函数f (x )＝2x 3－ax 2＋1(a ∈R )在区间(0，＋∞)内有且只有一个零点，求f (x )在[－1，1]上的最大值与最小值的和. 解 f ′(x )＝6x 2－2ax ＝2x (3x －a )(a ∈R )， 当a ≤0时，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立， 则f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (0)＝1， 所以此时f (x )在(0，＋∞)内无零点，不满足题意. 当a >0时，由f ′(x )>0得x >a 3，由f ′(x )<0得0<x <a3，则f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 3上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞上单调递增，又f (x )在(0，＋∞)内有且只有一个零点，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＝－a 327＋1＝0，得a ＝3，所以f (x )＝2x 3－3x 2＋1，则f ′(x )＝6x (x －1)， 当x ∈(－1，0)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 当x ∈(0，1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减. 则f (x )max ＝f (0)＝1，f (－1)＝－4，f (1)＝0，则f (x )min ＝－4，所以f (x )在[－1，1]上的最大值与最小值的和为－3.7.已知函数f (x )＝ax ＋ln x ，其中a 为常数. (1)当a ＝－1时，求f (x )的单调递增区间；(2)当0<－1a <e 时，若f (x )在区间(0，e)上的最大值为－3，求a 的值； (3)当a ＝－1时，试推断方程|f (x )|＝ln x x ＋12是否有实数根. 解 (1)由已知可知函数f (x )的定义域为{x |x >0}， 当a ＝－1时，f (x )＝－x ＋ln x (x >0)，f ′(x )＝1－xx (x >0)； 当0<x <1时，f ′(x )>0；当x >1时，f ′(x )<0. 所以f (x )的单调递增区间为(0，1).(2)因为f ′(x )＝a ＋1x (x >0)，令f ′(x )＝0，解得x ＝－1a ； 由f ′(x )>0，解得0<x <－1a ；由f ′(x )<0，解得－1a <x <e.从而f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a ，递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，e ，所以，f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－3.解得a ＝－e 2.(3)由(1)知当a ＝－1时，f (x )max ＝f (1)＝－1， 所以|f (x )|≥1.令g (x )＝ln x x ＋12，则g ′(x )＝1－ln x x 2. 当0<x <e 时，g ′(x )>0； 当x >e 时，g ′(x )<0.从而g (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减. 所以g (x )max ＝g (e)＝1e ＋12<1， 所以，|f (x )|>g (x )，即|f (x )|>ln x x ＋12，所以，方程|f (x )|＝ln x x ＋12没有实数根.。
函数与函数的零点知识点总结
函数与函数的零点知识点总结函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
函数一般用f(x)或者y来表示，其中x称为自变量，y称为因变量。
函数的定义域是自变量可能取值的集合，值域是函数可能取值的集合。
零点，也称为函数的根或者零，是指函数在一些特定的自变量值下，对应的函数值为0的情况。
即f(x)=0时的x值。
零点是函数图像与x轴的交点。
知识点一：线性函数的零点线性函数的一般形式为y = kx + b，其中k和b为常数。
线性函数的零点可以通过给定y=0来求解方程kx + b = 0，解方程可得x的值，即为线性函数的零点。
知识点二：二次函数的零点二次函数的一般形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。
二次函数的零点可以通过求解方程ax^2 + bx + c = 0来得到，解方程的方法一般有因式分解、配方法和求根公式等。
知识点三：多项式函数的零点多项式函数是由一系列单项式相加或相减而得到的函数。
多项式函数的零点是使得函数值等于0的自变量值。
求多项式函数的零点可以通过因式分解，然后将每个因子设置为0，解出自变量的值。
知识点四：无理函数的零点无理函数是指具有无理指数或无理根的函数，常见的无理函数有开方函数、分式函数等。
求无理函数的零点一般通过化简为二次方程或者其他方程，然后求解方程得到。
知识点五：幂函数的零点幂函数是指以幂指数函数为自变量的函数，形如y=x^a，其中a为常数。
幂函数的零点可以通过将幂指数函数设置为0来求解。
当a为偶数时，幂函数的零点只有一个，即x=0；当a为奇数时，幂函数的零点有两个，即x=0和x=-0。
知识点六：三角函数的零点三角函数是一类基本的数学函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
三角函数的零点是指函数值等于0的自变量的值。
求三角函数的零点一般通过观察三角函数图像的周期性，找到函数值为0的自变量区间。
综上所述，函数与函数的零点是高中数学中的重要内容。
高中数学函数知识点总结
函数一、函数的定义：1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．（1）其中，x叫做自变量，x的取值X围A叫做函数的定义域；（2）与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．2．函数的三要素：定义域、值域、对应法则3．函数的表示方法：（1）解析法：明确函数的定义域（2）图想像：确定函数图像是否连线，函数的图像可以是连续的曲线、直线、折线、离散的点等等。
（3）列表法：选取的自变量要有代表性，可以反应定义域的特征。
4、函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x),(x ∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上.(2) 画法A、描点法：B、图象变换法：平移变换；伸缩变换；对称变换，即平移。
（3）函数图像平移变换的特点：1）加左减右——————只对x2）上减下加——————只对y3）函数y=f(x) 关于X轴对称得函数y=-f(x)4）函数y=f(x) 关于Y轴对称得函数y=f(-x)5）函数y=f(x) 关于原点对称得函数y=-f(-x)6）函数y=f(x) 将x轴下面图像翻到x轴上面去，x轴上面图像不动得函数y=| f(x)|7）函数y=f(x) 先作x≥0的图像，然后作关于y轴对称的图像得函数f(|x|)二、函数的基本性质1、函数解析式子的求法（1）、函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.（2）、求函数的解析式的主要方法有：1）代入法：2）待定系数法：3）换元法：4)拼凑法：2．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。
高一函数知识点总结
高一函数知识点总结高一函数知识点总结1一、函数的概念与表示1、映射(1)映射：设A、B是两个集合，如果按照某种映射法则f，对于集合A中的任一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应(包括集合A、B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射，记作f：A→B。
注意点：(1)对映射定义的理解。
(2)判断一个对应是映射的方法。
一对多不是映射，多对一是映射2、函数构成函数概念的三要素①定义域②对应法则③值域两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同二、函数的解析式与定义域1、求函数定义域的主要依据：(1)分式的分母不为零;(2)偶次方根的'被开方数不小于零，零取零次方没有意义;(3)对数函数的真数必须大于零;(4)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1;三、函数的值域1求函数值域的方法①直接法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数;②换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式;③判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围;适合分母为二次且∈R的分式;④分离常数：适合分子分母皆为一次式(x有范围限制时要画图);⑤单调性法：利用函数的单调性求值域;⑥图象法：二次函数必画草图求其值域;⑦利用对号函数⑧几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。
主要是含绝对值函数四.函数的奇偶性1.定义：设y=f(x)，x∈A，如果对于任意∈A，都有，则称y=f(x)为偶函数。
如果对于任意∈A，都有，则称y=f(x)为奇函数。
2.性质：①y=f(x)是偶函数y=f(x)的图象关于轴对称,y=f(x)是奇函数y=f(x)的图象关于原点对称,②若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(0)=0③奇±奇=奇偶±偶=偶奇某奇=偶偶某偶=偶奇某偶=奇[两函数的定义域D1，D2，D1∩D2要关于原点对称]3.奇偶性的判断①看定义域是否关于原点对称②看f(x)与f(-x)的关系五、函数的单调性1、函数单调性的定义：2设是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则在M上是减函数;若f(x)与g(x)的单调性相同，则在M上是增函数。
导数与函数的零点
仅有一个交点，即f(x)=2x-6+ln x在(0,+∞)上
有故且函仅 数f有(x有)共1有个2零个点零,
点.
高二数学名师 课程
3.已知函数f(x)=ex-2x+a有零点,则a的取值,2l范n 2围 2
是解：函数f(x)=e.x-2x+a有零点即ex-2x+a=0有根,即 a=2令x-gex(有x)=根2x, -ex,则a的范围即为函数g(x
只有一个零点，求实数 k 的值． [解析] 解法一：f(x)＝kx－ln x－1，f′(x)＝k－1x＝kx－x 1(x>0，k>0)， 当 x＝1k时，f′(x)＝0；当 0<x<1k时，f′(x)<0； 当 x>1k时，f′(x)>0.
∴f(x)在(0，1k)上单调递减，在(1k，＋∞)上单调递增， ∴f(x)min＝f(1k)＝ln k， ∵f(x)有且只有一个零点， ∴ln k＝0，∴k＝1. 解法二：由题意知方程 kx－ln x－1＝0 仅有一个实根， 由 kx－ln x－1＝0 得 k＝ln xx＋1(x>0)， 令 g(x)＝ln xx＋1(x>0)，g′(x)＝－xln2 x， 当 x＝1 时，g′(x)＝0；当 0<x<1 时，g′(x)>0；
当x∈(1,+∞)时,u′(x)>0, 所以u(x)在(1,+∞)上单调递增, 所以x=1时,u(x)取得极小值u(1)=-e, 又x→+∞时,u(x)→+∞; x<2时,u(x)<0,所以-e<m<0.
方法二:g(x)=f(x)-3ex-m=ex(x-2)-m, g′(x)=ex·(x-2)+ex=ex(x-1), 当x∈(-∞,1)时,g′(x)<0,所以g(x)在(-∞,1)上单调递减, 当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,所以g(x)在(1,+∞)上单调递增, 所以x=1时,g(x)取得极小值g(1)=-e-m, 又x→-∞时,g(x)→-m,
高考数学《函数零点的个数问题》知识点讲解与分析
高考数学《函数零点的个数问题》知识点讲解与分析一、知识点讲解与分析：1、零点的定义：一般地，对于函数()()y f x x D =∈，我们把方程()0f x =的实数根x 称为函数()()y f x x D =∈的零点2、函数零点存在性定理：设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()()0f a f b <，那么在开区间(),a b 内至少有函数()f x 的一个零点，即至少有一点()0,x a b ∈，使得()00f x =。
（1）()f x 在[],a b 上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提（2）零点存在性定理中的几个“不一定”（假设()f x 连续）① 若()()0f a f b <，则()f x 的零点不一定只有一个，可以有多个② 若()()0f a f b >，那么()f x 在[],a b 不一定有零点③ 若()f x 在[],a b 有零点，则()()f a f b 不一定必须异号3、若()f x 在[],a b 上是单调函数且连续，则()()()0f a f b f x <⇒在(),a b 的零点唯一4、函数的零点，方程的根，两图像交点之间的联系设函数为()y f x =，则()f x 的零点即为满足方程()0f x =的根，若()()()f x g x h x =−,则方程可转变为()()g x h x =，即方程的根在坐标系中为()(),g x h x 交点的横坐标，其范围和个数可从图像中得到。
由此看来，函数的零点，方程的根，两图像的交点这三者各有特点，且能相互转化，在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵活转化。
（详见方法技巧）二、方法与技巧：1、零点存在性定理的应用：若一个方程有解但无法直接求出时，可考虑将方程一边构造为一个函数，从而利用零点存在性定理将零点确定在一个较小的范围内。
例如：对于方程ln 0x x +=，无法直接求出根，构造函数()ln f x x x =+，由()110,02f f ⎛⎫>< ⎪⎝⎭即可判定其零点必在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭中 2、函数的零点，方程的根，两函数的交点在零点问题中的作用（1）函数的零点：工具：零点存在性定理作用：通过代入特殊值精确计算，将零点圈定在一个较小的范围内。
二次函数零点问题梳理
二次函数零点问题梳理二次函数是高中数学中的重要内容之一，其中零点问题是常见的考点之一。
为了更好地理解和掌握二次函数零点问题，本文将对二次函数、零点以及相关的概念、性质和解题方法进行梳理和总结。
1. 二次函数的定义和性质：二次函数是指形如f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c是实数且a ≠ 0。
二次函数的图象是抛物线，其开口方向由a的正负决定。
若a > 0，则抛物线开口向上；若a < 0，则抛物线开口向下。
2. 二次函数的零点：二次函数的零点就是函数的解，即满足f(x) = 0的x值。
零点也可以称为函数的根或者方程的解。
3. 二次函数的零点的性质：（1）判别式：二次函数的判别式Δ = b² - 4ac。
判别式的值可以判断二次函数的零点情况：a. 当Δ > 0时，二次函数有两个不相等的实根；b. 当Δ = 0时，二次函数有两个相等的实根，也即有一个重根；c. 当Δ < 0时，二次函数无实根，但有两个共轭复根。
（2）零点与二次函数图象的关系：a. 若零点为x1和x2，且x1 < x2，则函数图象与x轴相交于x1和x2两点；b. 若零点为x1 = x2，则函数图象与x轴相切于x1点；c. 若无实根，则函数图象与x轴不相交。
4. 求解二次函数零点的方法：（1）因式分解法：将二次函数进行因式分解，然后令各个因式等于零，解出x的值。
（2）配方法：对于一元二次方程ax² + bx + c = 0，若a ≠ 0，可将其变形为完全平方式(ax + b/2a)² + (c - b²/4a) = 0，然后移项并配方得到(x + m)² = n，再通过开平方将方程解出。
（3）求根公式：对于一元二次方程ax² + bx + c = 0，其根的公式为： x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a。
数学必修一函数的零点知识点
数学必修一函数的零点知识点
数学必修一中，函数的零点是一个重要的知识点。
以下是关于函数的零点的基本知识点：
1. 零点的定义：对于函数 f(x)，如果存在某个实数 a，使得 f(a) = 0，那么 a 就是 f(x) 的零点。
换句话说，就是函数图像与 x 轴相交的点。
2. 方程的根：函数的零点也可以理解为方程 f(x) = 0 的根。
解方程 f(x) = 0 可以求得函数的零点。
3. 判断零点的方法：
- 通过图像：可以通过绘制函数的图像，找到函数与 x 轴相交的点来确定零点。
- 通过方程：可以将函数 f(x) 置为零，即 f(x) = 0，然后解方程来求得零点。
4. 零点的性质：
- 零点可能有重根：即某个 x 值对应的函数值可能为 0 的次数大于 1。
- 零点的奇偶性：如果 f(x) 有一个零点 a，则 f(-x) 也有一个零点 -a。
即零点是关于原点对称的。
5. 零点与图像的关系：函数的零点与函数图像的交点有着紧密的关系。
例如，函数上方和下方零点的个数的差别可以用来分析函数的增减性。
6. 零点的应用：零点在数学中应用广泛，可以用来求方程的根、函数的解析式等。
这些是关于函数的零点的一些基本知识点，希望对你有帮助！。
高一数学函数的零点存在定理及其应用分析总结
零点存在定理：如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a, b)内有零点。
单调性判断：根据零点存在定理，如果函数f(x)在区间[a, b]上有零点，则f(x)在区间(a, b)上至少有一个单调区间。
应用实例：例如，判断函数f(x)=x^3-x在区间[-1, 1]上的单调性，可以通过零点存在定理来判断。
结合实际应用：结合实际例子，理解定理的应用方法和技巧
注意定理的局限性：了解定理的局限性和适用条件
掌握定理的应用范围：了解定理的应用条件和适用范围
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注意事项：在使用零点存在定理判断函数单调性时，需要注意函数的连续性和零点的存在性。
在研究函数图像中的应用
求解函数方程：通过零点存在定理，可以求解函数方程，得到函数的解析式
确定函数图像的零点：通过零点存在定理，可以确定函数图像的零点位置
判断函数图像的性质：通过零点存在定理，可以判断函数图像的连续性、单调性等性质
研究函数图像的极限：通过零点存在定理，可以研究函数图像的极限，得到函数的极限值
在解决实际问题中的应用
零点存在定理在解决实际问题中的应用广泛，如求解方程、优化问题等
零点存在定理在解决实际问题时，需要注意定理的适用条件和范围，避免错误应用
零点存在定理在解决实际问题时，需要结合实际问题的具体情况，灵活运用
零点存在定理的数学表达
零点存在定理：如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在区间(a, b)内至少有一个零点。
零点：函数f(x)的零点是指使得f(x)=0的x值。
பைடு நூலகம்
连续函数：如果函数f(x)在区间[a, b]上每一点x都有定义，且对于任意的ε>0，存在δ>0，使得当|x-x0|<δ时，|f(x)-f(x0)|<ε，则称f(x)在区间[a, b]上是连续的。
高中数学函数知识点总结
函数一、函数的定义：1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．（1）其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；（2）与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．2．函数的三要素：定义域、值域、对应法则3．函数的表示方法：（1）解析法：明确函数的定义域（2）图想像：确定函数图像是否连线，函数的图像可以是连续的曲线、直线、折线、离散的点等等。
（3）列表法：选取的自变量要有代表性，可以反应定义域的特征。
4、函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象．Cxx每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在Cxx .(2) 画法A、描点法：B、图象变换法：平移变换；伸缩变换；对称变换，即平移。
（3）函数图像平移变换的特点：1）加左减右——————只对x2）上减下加——————只对y3）函数y=f(x) 关于X轴对称得函数y=-f(x)4）函数y=f(x) 关于Y轴对称得函数y=f(-x)5）函数y=f(x) 关于原点对称得函数y=-f(-x)6）函数y=f(x) 将x轴下面图像翻到x轴上面去，x轴上面图像不动得函数y=| f(x)|7）函数y=f(x) 先作x≥0的图像，然后作关于y轴对称的图像得函数f(|x|)二、函数的基本性质1、函数解析式子的求法（1）、函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.（2）、求函数的解析式的主要方法有：1）代入法：2）待定系数法：3）换元法：4)拼凑法：2．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。
函数的零点知识点总结
函数的零点知识点总结一、函数零点的定义函数零点：对于函数f(x)f(x)f(x)，如果存在某个实数ccc使得f(c)=0f(c) = 0f(c)=0，则称ccc为函数f(x)f(x)f(x)的零点。
二、函数零点与方程根的关系函数零点与方程的关系：函数f(x)f(x)f(x)的零点就是方程f(x)=0f(x) = 0f(x)=0的实数根。
方程的根与函数图像的关系：方程的根对应于函数图像与xxx轴的交点的横坐标。
三、函数零点的求法直接法：对于简单的函数或方程，可以直接通过代数运算求得零点。
图形法：通过绘制函数的图像，观察图像与xxx轴的交点来确定函数的零点。
数值法：对于复杂函数，可以利用数值方法（如二分法、牛顿法等）来近似求解函数的零点。
四、函数零点的性质零点存在性定理：如果函数f(x)f(x)f(x)在区间[a,b][a, b][a,b]上连续，且f(a)⋅f(b)<0f(a) \cdot f(b) < 0f(a)⋅f(b)<0，则函数f(x)f(x)f(x)在区间(a,b)(a, b)(a,b)内至少存在一个零点。
零点个数定理：根据函数的单调性、奇偶性、周期性等性质，可以判断函数零点的个数。
五、函数零点与函数图像的关系函数零点与函数图像的变化趋势：函数在零点处的取值由正变负或由负变正，反映了函数图像在零点处的穿越xxx轴的情况。
六、应用实例通过求解函数的零点来解决实际问题，如求解物理、化学等领域中的方程或不等式。
综上所述，函数的零点知识点涉及定义、与方程根的关系、求法、性质以及与函数图像的关系等多个方面。
掌握这些知识点有助于深入理解函数的性质和行为，并应用于实际问题的求解中。
导数与函数的零点问题考点与题型归纳
导数与函数的零点问题考点与题型归纳且f(1)=0，所以当x≥1时，f(x)≥XXX成立。
2)解：由题可知，x－－f(x)＝x3－2ex2＋tx，即f(x)＝x－－x3＋2ex2－tx。
设g(x)=f'(x)=1-2x+2ex-t，求g(x)的零点。
当x1时，g(x)>0.所以f(x)在[0,1)上是单调减函数，在(1,＋∞)上是单调增函数。
又因为f(0)=0，当x→＋∞时，f(x)→＋∞，所以方程x－－f(x)=x3－2ex2＋tx的根有且只有一个。
给定函数$f(x)=e^x-ax^2$，其中$a>0$。
1) 当$a=1$时，证明对于$x\geq 0$，有$f(x)\geq 1$。
证明：当$a=1$时，$f(x)\geq 1$等价于$(x^2+1)e^{-x}-1\leq 0$。
设$g(x)=(x^2+1)e^{-x}-1$，则$g'(x)=-e^{-x}(x^2-2x+1)=-e^{-x}(x-1)^2$。
当$x\neq 1$时，$g'(x)<0$，因此$g(x)$在$(0,1)$上单调递增，在$(1,+\infty)$上单调递减。
而$g(0)=0$，因此对于$x\geq 0$，有$g(x)\leq 0$，即$f(x)\geq 1$。
2) 若$f(x)$在$(0,+\infty)$只有一个零点，求$a$。
设$h(x)=1-ax^2e^{-x}$。
由于$f(x)$在$(0,+\infty)$只有一个零点，因此$h(x)$在$(0,+\infty)$只有一个零点。
i) 当$a\leq \frac{1}{e}$时，$h(x)>0$，因此$h(x)$没有零点。
ii) 当$a>\frac{1}{e}$时，$h'(x)=a(x-2)e^{-x}$。
当$x\in(0,2)$时，$h'(x)0$。
因此$h(x)$在$(0,2)$上单调递减，在$(2,+\infty)$上单调递增。
人教版高中数学必修一第三章知识点总结
第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。
2、函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。
即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点．3、函数零点的求法：○1 （代数法）求方程0)(=x f 的实数根； ○2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．4、基本初等函数的零点：①正比例函数(0)y kx k =≠仅有一个零点。
②反比例函数(0)k y k x=≠没有零点。
③一次函数(0)y kx b k =+≠仅有一个零点。
④二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ． （1）△＞０，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点．（2）△＝０，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两相等实根，二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．（3）△＜０，方程20(0)ax bx c a ++=≠无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点． ⑤指数函数(0,1)x y a a a =>≠且没有零点。
⑥对数函数log (0,1)a y x a a =>≠且仅有一个零点1.⑦幂函数y x α=，当0n >时，仅有一个零点0，当0n ≤时，没有零点。
5、非基本初等函数（不可直接求出零点的较复杂的函数），函数先把()f x 转化成()0f x =，再把复杂的函数拆分成两个我们常见的函数12,y y （基本初等函数），这另个函数图像的交点个数就是函数()f x 零点的个数。
专题1：函数的零点、不动点、稳定点
奥数专题1：函数的零点、不动点、稳定点一、基本知识1. 满足f(x)=0的x 的值叫做函数f(x)的零点2. 满足f(x)=x 的x 的值叫做函数f(x)的不动点3. 满足f(f(x))=x 的x 的值叫做函数f(x)的稳定点4. 若函数f(x)=ax+b(a ≠1)的不动点为x 0=b 1−a ，则函数f(x)可写成f(x)=a (x −b 1−a )+b 1−a ，f (2)(x )=a 2(x −b 1−a )+b 1−a ,⋯f (n )(x )=a n (x −b 1−a )+b 1−a ,此定理即：若x 0是f(x)的不动点，则x 0也是f （n ）(x)的不动点二、例题选讲1.设{}{}R x x x f f x B R x x f x x A R c b c bx x x f ∈==∈==∈++=,))((,),(),,()(2,如果A 中只含有一个元素,则有 （ ）A AB ⊂ B A B ⊂C B A =D φ=B A2.设c bx x x f ++=2)(，若方程x x f =)(无实根，则方程x x f f =))((（ ）A.有四个相异实根B.有两个相异实根C.有一个实根D.无实根3.已知c bx ax x f ++=2)(满足c b a f >>=,0)1(。
（1）求cb a b ac ,,的取值范围；（2）证明方程0)(=x f 有两个不等实根；（3）)(x f 图像与x 轴交于A 、B 两点，求AB 。
4.已知)()(2c b a c bx ax x f >>++=的图像上有两个点))(,()),(,(R f R B r f r A 满足0)1(,0)()()]()([2==+++f R f r f a R f r f a ．（1）求证：0≥b ；（2）求方程0)(=x f 的另一根的取值范围；（3）求证：)3(),3(++R f r f 中至少有一个为正数．5.对于函数)(x f ，若x x f =)(，则称x 为)(x f 的不动点；若x x f f =))((，则称x 为)(x f 的稳定点；函数)(x f 的不动点和稳定点的集合分别是A 、B ，即{}{}x x f f x B x x f x A ====))((,)(。
函数的零点知识点总结
函数的零点知识点总结一、函数的定义与性质1.1 函数的定义在数学中，函数是一种将一个集合的元素（称为自变量）映射到另一个集合的元素（称为因变量）的规则或方法。
形式上，函数可以表示为f: X → Y，其中 X 是自变量的集合，Y 是因变量的集合，f 是一个特定的规则或方法。
1.2 函数的性质（1）定义域和值域：对于函数f: X → Y，定义域是指所有可能的自变量的取值集合，而值域是指所有可能的因变量的取值集合。
（2）单调性：函数在其定义域上的单调性描述了函数的增减规律。
一个函数可能是增函数、减函数或者不变函数。
（3）奇偶性：对于函数 f(x)，如果 f(-x) = f(x)，则称该函数为偶函数；如果 f(-x) = -f(x)，则称该函数为奇函数。
（4）周期性：如果存在一个正数 T，使得对于任意的 x，有 f(x+T)=f(x)，则称函数具有周期性，T 称为该函数的周期。
（5）连续性：如果一个函数在某个区间上具有连续性，即在该区间内任意两点 x 和 y 之间都存在一点 z，使得 f(z) 介于 f(x) 和 f(y) 之间，那么该函数在这个区间上是连续的。
（6）可导性：如果一个函数在某一点处具有导数，那么称该函数在该点可导。
二、零点的概念与方法2.1 零点的定义函数的零点是指使得函数取值为零的自变量。
形式上，如果 f(a) = 0，那么 a 就是函数 f 的一个零点。
2.2 求解零点的方法对于一般的函数，其零点通常需要通过特定的方法来求解，以下是一些常用的方法：（1）代数法：对于一些简单的函数，可以通过代数运算将函数转化成方程，然后直接求解方程来得到零点。
（2）图像法：通过绘制函数的图像，可以直观地看出函数的零点。
（3）数值法：对于复杂的函数，可以通过数值计算的方法来逼近函数的零点，如二分法、牛顿迭代法等。
（4）分析法：对于一些特殊函数，可以通过数学分析的方法来得到函数的解析解。
三、常见函数的零点3.1 一次函数的零点一次函数的一般形式为 f(x) = ax + b，其中 a 和 b 是实数且a ≠ 0。
函数与函数的零点知识点总结
函数及函数的零点有关概念函数的概念：设A 、B 是非空的数集;如果按照某个确定的对应关系f;使对于集合A 中的任意一个数x;在集合B 中都有唯一确定的数fx 和它对应;那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作： y=fx;x ∈A ．其中;x 叫做自变量;x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值;函数值的集合{fx| x ∈A }叫做函数的值域． 要点一：函数三要素及分段函数 一函数三要素1.定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域.. 1.1求函数的定义域时从以下几个方面入手：1分式的分母不等于零； 2偶次方根的被开方数不小于零；3对数式的真数必须大于零；4指数、对数式的底必须大于零且不等于1. 5指数为零底不可以等于零.. 6如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么;它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合即交集.7三角函数正切函数tan y x =中()2x k k Z ππ≠+∈.8实际问题或几何问题中的函数的定义域不仅要考虑使其解析式有意义;还要保证实际问题或几何问题有意义.9以上这些在题目中都没出现;则函数的定义域为R. 1.2复合函数定义域的求法：复合函数：如果y=fuu ∈M;u=gxx ∈A;则 y=fgx=Fxx ∈A 称为f 、g 的复合函数.. 1已知fx 的定义域是a;b;求fgx 的定义域;是指满足()a g x b ≤≤的x 的取值范围；2已知fgx 的定义域是a;b;求fx 的定义域;是指在[,]x a b ∈的条件下;求gx 的值域；3 已知fgx 的定义域是a;b;求fhx 的定义域;是指在[,]x a b ∈的条件下;求gx 的值域;gx 的值域就是hx 的值域;再由hx 的范围解出x 即可.. 2.求函数的解析式的常用求法：1、定义法；2、换元法；3、待定系数法；4、函数方程法；5、参数法；6、配方法3.值域 : 先考虑其定义域 3.1求函数值域的常用方法1、图像法；2、层层递进法；3、分离常数法；4、换元法；5、单调性法；6、判别式法；7、有界性；8、奇偶性法；9、不等式法；10、几何法； 3.2分段函数的值域是各段的并集 3.3复合函数的值域 二分段函数问题1：已知定义域求值域问题代入法 2：已知定义域求值域问题代入法 3.分段函数解析式的求法 要点2．函数的性质 一函数的单调性局部性质： 1.函数单调性的判定A 定义法：定义1：设函数y=fx 的定义域为I;如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1;x 2;当x 1<x 2时;都有fx 1<fx 2;那么就说fx 在区间D 上是增函数.区间D 称为y=fx 的单调增区间.. 等价定义：设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么：[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数.定义2．设函数)(x f y =在某个区间内可导;如果0)(>'x f ;则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ;则)(x f 为减函数. B 图象法从图象上看升降2.函数单调区间与单调性的判定方法 A 定义法：错误! 任取x 1;x 2∈D;且x 1<x 2；错误! 作差fx 1－fx 2；错误! 变形通常是因式分解和配方；错误! 定号即判断差fx 1－fx 2的正负；错误! 下结论指出函数fx 在给定的区间D 上的单调性．B 图象法从图象上看升降C 复合函数的单调性复合函数fgx 的单调性与构成它的函数u=gx ;y=fu 的单调性密切相关;其规律：“同增异减”注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ;不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. D 导数法2函数的单调区间3利用函数单调性解不等式;比较大小;求参数的值或取值范围及最值问题1. 比较大小2.最值3.参数范围问题4.解不等式4抽象函数的单调性5.函数单调性的常用结论：1、若(),()+在这个区间上也为增减函f xg xf xg x均为某区间上的增减函数;则()()数2、若()-为减增函数f x为增减函数;则()f x3、若()f x与()g x的单调性f x与()=是增函数；若()y f g xg x的单调性相同;则[()]不同;则[()]=是减函数..y f g x4、奇函数在对称区间上的单调性相同;偶函数在对称区间上的单调性相反..5、常用函数的单调性解答：比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作函数图象..二函数的奇偶性整体性质：紧扣函数奇偶性的定义和函数的定义域区间关于坐标原点对称、函数图象的对称性等对问题进行分析转化;特别注意“奇函数若在x＝0处有定义;则一定有f0＝0;偶函数一定有f|x|＝fx”在解题中的应用．1函数奇偶性的判断1.1一般函数奇偶性的判断1.定义:偶函数一般地;对于函数fx的定义域内的任意一个x;都有f－x=fx;那么fx就叫做偶函数．奇函数一般地;对于函数fx的定义域内的任意一个x;都有f－x=—fx;那么fx就叫做奇函数．2.性质：奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于y轴对称;反过来;如果一个函数的图象关于原点对称;那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称;那么这个函数是偶函数．3.利用定义判断函数奇偶性的步骤：错误!首先确定函数的定义域;并判断其是否关于原点对称；错误!确定f－x与fx的关系；错误!作出相应结论：若f－x = fx 或 f－x－fx = 0;则fx是偶函数；若f－x =－fx 或 f－x＋fx = 0;则fx是奇函数．注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称;若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称;1再根据定义判定; 2由 f-x±fx=0或fx／f-x=±1来判定; 3利用定理;或借助函数的图象判定 .1.2分段函数奇偶性的判断方法：图像法、定义法注意带人2利用奇偶性求函数的解析式注意带入3抽象函数奇偶性的证明4函数奇偶性的常用结论：1、如果一个奇函数在0x=处有定义;则(0)0=既是奇函y f xf=;如果一个函数()数又是偶函数;则()0f x=反之不成立2、两个奇偶函数之和差为奇偶函数；之积商为偶函数..3、一个奇函数与一个偶函数的积商为奇函数..4、两个函数()y f u =和()u g x =复合而成的函数;只要其中有一个是偶函数;那么该复合函数就是偶函数；当两个函数都是奇函数时;该复合函数是奇函数..5、若函数)(x f y =是偶函数;则)()(a x f a x f --=+；若函数)(a x f y +=是偶函数;则)()(a x f a x f +-=+.6、若函数()f x 的定义域关于原点对称;则()f x 可以表示为11()[()()][()()]22f x f x f x f x f x =+-+--;该式的特点是：右端为一个奇函数和一个偶函数的和.. 三函数的周期性几个函数方程的周期约定a>0 1)()(a x f x f +=;则)(x f 的周期T=a ； 20)()(=+=a x f x f ;或)0)(()(1)(≠=+x f x f a x f ;或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠;或[]1(),(()0,1)2f x a f x +=+∈;则)(x f 的周期T=2a ； 3)0)(()(11)(≠+-=x f a x f x f ;则)(x f 的周期T=3a ；4)()(1)()()(212121x f x f x f x f x x f -+=+且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =⋅≠<-<;则)(x f 的周期T=4a ；5()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a +++++++()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++;则)(x f 的周期T=5a ；6)()()(a x f x f a x f +-=+;则)(x f 的周期T=6a.要点3．函数的图象1.解决该类问题要熟练掌握基本初等函数的图象和性质;善于利用函数的性质来作图;要合理利用图象的三种变换．2.在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时;要注意用好其与图象的关系、结合图象研究． 一图像变换问题 1 画法 A 、描点法：B 、图象变换法常用变换方法有三种:1平移变换;2伸缩变换;3对称变换; 二图像识别问题 要点4．二次函数一闭区间上的二次函数的最值二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在abx 2-=处及区间的两端点处取得;具体如下：1当a>0时;若[]q p a bx ,2∈-=;则{}min max max ()(),()(),()2b f x f f x f p f q a=-=； []q p abx ,2∉-=;{}max max ()(),()f x f p f q =;{}min min ()(),()f x f p f q =. 2当a<0时;若[]q p a b x ,2∈-=;则{}min ()min (),()f x f p f q =;若[]q p abx ,2∉-=;则{}max ()max (),()f x f p f q =;{}min ()min (),()f x f p f q =. 二二次函数的移轴问题 1定区间动轴 2定轴动区间 3轴动区间动三一元二次方程的实根分布依据：若()()0f m f n <;则方程0)(=x f 在区间(,)m n 内至少有一个实根 . 设q px x x f ++=2)(;则1方程0)(=x f 在区间),(+∞m 内有根的充要条件为0)(=m f 或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨->⎪⎩；2方程0)(=x f 在区间(,)m n 内有根的充要条件为()()0f m f n <或2()0()0402f m f n p q p m n >⎧⎪>⎪⎪⎨-≥⎪⎪<-<⎪⎩或()0()0f m af n =⎧⎨>⎩或()0()0f n af m =⎧⎨>⎩；3方程0)(=x f 在区间(,)n -∞内有根的充要条件为()0f m <或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩ .四.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据1在给定区间),(+∞-∞的子区间L 形如[]βα,;(]β,∞-;[)+∞,α不同上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥t 为参数恒成立的充要条件是min (,)0()f x t x L ≥∉.2在给定区间),(+∞-∞的子区间上含参数的二次不等式(,)0f x t ≤ t 为参数恒成立的充要条件是(,)0()man f x t x L ≤∉.30)(24>++=c bx ax x f 恒成立的充要条件是000a b c ≥⎧⎪≥⎨⎪>⎩或2040a b ac <⎧⎨-<⎩.五二次函数的奇偶性 要点5.基本初等函数 一、指数函数一指数与指数幂的运算1．根式的概念：一般地;如果a x n =;那么x 叫做a 的n 次方根;其中n >1;且n ∈N *．◆ 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0;记作00=n ..当n 是奇数时;a a n n =;当n 是偶数时;⎩⎨⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a n n2．分数指数幂正数的分数指数幂的意义;规定：)1,,,0(*>∈>=n N n m a a an m nm ;)1,,,0(11*>∈>==-n N n m a a aanmnm nm◆ 0的正分数指数幂等于0;0的负分数指数幂没有意义3．实数指数幂的运算性质1ra ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； 2rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>；3s r r a a ab =)(),,0(R s r a ∈>．二指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地;函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数;其中x 是自变量;函数的定义域为R ．注意：指数函数的底数的取值范围;底数不能是负数、零和1． 2、指数函数的图象和性质注意：利用函数的单调性;结合图象还可以看出：1在a;b 上;)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [； 2若0x ≠;则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈； 3对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且;总有a )1(f =； 二、对数函数 一对数1．对数的概念：一般地;如果N a x =)1,0(≠>a a ;那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数;记作：N x a log =a — 底数;N — 真数;N a log — 对数式 说明：错误! 注意底数的限制0>a ;且1≠a ； 错误! x N N a a x =⇔=log ；错误! 注意对数的书写格式． 两个重要对数：错误! 常用对数：以10为底的对数N lg ；错误! 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ．指数式与对数式的互化幂值 真数b a ＝ N ⇔log a N ＝ b底数指数 对数二对数的运算性质如果0>a ;且1≠a ;0>M ;0>N ;那么：错误! M a (log ·=)N M a log ＋N a log ；错误! =NM a log M a log －N a log ； 错误! n a M log n =M a log )(R n ∈．注意：换底公式a b b c c a log log log = 0>a ;且1≠a ；0>c ;且1≠c ；0>b ．利用换底公式推导下面的结论 1b mn b a n a m log log =；2a b b a log 1log =． 二对数函数1、对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ;且)1≠a 叫做对数函数;其中x 是自变量;函数的定义域是0;+∞．注意：错误! 对数函数的定义与指数函数类似;都是形式定义;注意辨别..如：x y 2log 2=;5log 5x y = 都不是对数函数;而只能称其为对数型函数． 错误! 对数函数对底数的限制：0(>a ;且)1≠a ．2、对数函数的性质：函数图象都过定点1;0函数图象都过定点1;0三幂函数 1、幂函数定义：一般地;形如αx y =)(R a ∈的函数称为幂函数;其中α为常数．2、幂函数性质归纳．1所有的幂函数在0;+∞都有定义并且图象都过点1;1；20>α时;幂函数的图象通过原点;并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地;当1>α时;幂函数的图象下凸；当10<<α时;幂函数的图象上凸；30<α时;幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内;当x 从右边趋向原点时;图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴;当x 趋于∞+时;图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．要点6．函数模型的实际应用解决函数模型的实际应用题;首先应考虑该题考查的是何种函数;并要注意定义域;然后结合所给模型;列出函数关系式;最后结合其实际意义作出解答．明确下面的基本解题步骤是解题的必要基础：错误!→错误!→错误!→错误!要点7．函数零点 1.函数零点方程的根的确定问题;常见的类型有1零点或零点存在区间的确定；2零点个数的确定；3两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定；解决这类问题的常用方法有：解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法;尤其是那些方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合法求解..检验 收集数画散点选择函数求函数模用函数模型解释实际符合实际不符合实2．函数零点方程的根的应用问题;即已知函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题;解决该类问题关键是利用函数方程思想或数形结合思想;构建关于参数的方程或不等式求解..3.用二分法求函数零点近似值;用二分法求函数零点近似值的步骤1确定区间a;b;验证fa ·fb<0;给定精确度ε；2求区间a;b 的中点1x ；3计算f 1x ;①当f 1x =0;则1x 就是函数的零点；②若fa ·f 1x <0;则令b=1x 此时零点01(,)x a x ∈;③若f 1x ·fb<0;则令a=1x 此时零点01(,)x x b ∈..4判断是否达到其精确度ε;则得零点近似值;否则重复以上步骤..。
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函数及函数的零点有关概念
函数的概念：设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系
f ，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在
集合 B中都有唯一确定的数 f(x) 和它对应，那么就称 f ：A→ B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数．记作： y=f(x) ，
x∈ A．其中， x 叫做自变量， x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集
3) 利用函数单调性解不等式，比较大小，求参数的值或取值范围及最值问题
1. ( 比较大小 )
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2.( 最值 ) 3.( 参数范围问题 ) 4.( 解不等式 ) 4) 抽象函数的单调性 5). 函数单调性的常用结论：
实用标准文案
1、若 f ( x), g( x) 均为某区间上的增（减）函数，则 f ( x) g( x) 在这个区间上也为增（减）函数
(4) 指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5) 指数为零底不可以等于零。
(6) 如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的
. 那么，它的定义域是使各部分都有意义的
x 的值组成的
集合即交集 .(7) 三角函数正切函数 y tan x 中 x k
(k Z). 2
(8) 实际问题或几何问题中的函数的定义域不仅要考虑使其解析式有意义
(B) 图象法 ( 从图象上看升降 )
(C) 复合函数的单调性
复合函数 f [ g(x) ] 的单调性与构成它的函数 u=g(x) ， y=f(u) 的单调性密切相关，其规律：“同增异减”
注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间
, 不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集
.
(D) 导数法
2) 函数的单调区间
2、若 f ( x) 为增（减）函数，则 f ( x) 为减（增）函数
3、若 f ( x) 与 g ( x) 的单调性相同，则 y f [ g( x)] 是增函数；若 f (x) 与 g (x) 的单调性不同，则 y f [ g ( x)] 是
减函数。
4、奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。
, 还要保证实际问题或几何问题有意义 .
(9) 以上这些在题目中都没出现，则函数的定义域为
R.
1.2 复合函数定义域的求法：
复合函数：如果 y=f(u)(u ∈ M),u=g(x)(x ∈ A), 则 y=f[g(x)]=F(x)(x ∈A) 称为 f 、 g 的复合函数。
(1) 已知 f(x) 的定义域是 [a,b], 求 f[g(x)] 的定义域，是指满足 a g (x) b 的 x 的取值范围；
5、常用函数的单调性解答：比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作函数图象。
( 二 ) 函数的奇偶性（整体性质）：紧扣函数奇偶性的定义和函数的定义域区间关于坐标原点对称、函数图象的对
称性等对问题进行分析转化，特别注意“奇函数若在
x＝ 0 处有定义，则一定有 f(0) ＝ 0，偶函数一定有 f(|x|)
(2) 已知 f[g(x)] 的定义域是 [a,b], 求 f(x) 的定义域，是指在 x [ a,b ] 的条件下，求 g(x) 的值域；
(3) 已知 f[g(x)] 的定义域是 [a,b], 求 f[h(x)] 的定义域， 是指在 x [a ,b] 的条件下， 求 g(x) 的值域 ,g(x) 的值
＝ f(x) ”在解题中的应用．
1) 函数奇偶性的判断
1.1 一般函数奇偶性的判断
合 {f(x)| x ∈ A } 叫做函数的值域．
要点一：函数三要素及分段函数
( 一 ) 函数三要素
1. 定义域：能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域。
1.1 求函数的定义域时从以下几个方面入手：
(1) 分式的分母不等于零； (2) 偶次方根的被开方数不小于零； (3) 对数式的真数必须大于零；
域就是 h(x) 的值域 , 再由 h(x) 的范围解出 x 即可。 2). 求函数的解析式的常用求法： 1、定义法； 2、换元法； 3、待定系数法； 4、函数方程法； 5、参数法； 6、配方法 3). 值域 : 先考虑其定义域 3.1 求函数值域的常用方法 1、图像法； 2、层层递进法； 3、分离常数法； 4、换元法； 5、单调性法； 6、判别式法； 7、有界性； 8、奇偶性 法； 9、不等式法； 10、几何法； 3.2 分段函数的值域是各段的并集 3.3 复合函数的值域
Hale Waihona Puke x 2，当 x1<x2 时，都有 f(x 1)<f(x 2) ，那么就说 f(x) 在区间 D 上是增函数 . 区间 D 称为 y=f(x) 的单调增区间。
等价定义：设 x1 x2 a,b , x1 x2 那么：
(x1 x2) f ( x1) f ( x2 ) 0
f ( x1) f ( x2 ) 0 x1 x2
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( 二 ) 分段函数问题
实用标准文案
1：已知定义域求值域问题 ( 代入法 )
2：已知定义域求值域问题 ( 代入法 )
3. 分段函数解析式的求法
要点 2．函数的性质
( 一 ) 函数的单调性 ( 局部性质 ) ：
1). 函数单调性的判定
(A) 定义法：定义 1：设函数 y=f(x) 的定义域为 I ，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x 1，
f ( x)在 a,b 上是增函数；
(x1 x2) f ( x1) f ( x2 ) 0
f (x1) f ( x2 ) 0 x1 x2
f ( x)在 a,b 上是减函数 .
定义 2．设函数 y f ( x) 在某个区间内可导，如果 f (x) 0 ，则 f ( x) 为增函数；如果 f ( x) 0 ，则 f ( x) 为减
函数 . (B) 图象法 ( 从图象上看升降 ) 2. 函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法：
○1 任取 x 1， x 2∈ D，且 x1<x 2； ○2 作差 f(x 1) －f(x 2) ； ○3 变形（通常是因式分解和配方）；
○4 定号（即判断差 f(x 1) －f(x 2) 的正负）； ○5 下结论（指出函数 f(x) 在给定的区间 D 上的单调性）．