二次函数中周长最小的问题

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3.求点Q的坐标
B,
A
O
B
X
Q
P
文昌市华侨中学郑鼐庆
问题:抛物线y=-x2+mx+3与x轴交于A,B(3,0)两点,与Y轴
交于C,(1)求m的值及抛物线的顶点坐标
0
(2)设点P是抛物线对称轴l上的
一个动点,当△PAC周长的最小
值时,求点P的坐标
Y
O
X
C
A
1
5
文昌市华侨中学郑鼐庆
文昌市华侨中学郑鼐庆
问题:抛物线y=ax2+bx+c经过点A(1,0)、点 B(3,0)、点C(0,3),对称轴为直线l
(2)已知点P是对称轴上的动点,是否存在点P
使得△PAC的周长最小?若存在,求出点P的坐标;
若不存在请说明理由
Y
l
解答
C
A O
B
X
P
文昌市华侨中学郑鼐庆
问题:抛物线y=ax2+bx+c经过点A(1,0)、点 B(3,0)、点C(0,3),对称轴为直线l
(3)若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形,求a为何
值时,四边形PMEF周长最小?请说明理由.
文昌市华侨中学郑鼐庆
问题:二次函数中周长最小值的问题的解题思 路?
1.确定点Q的位置
取其中一个定点关于相应直线的对称点 Y
连接对称点与另一个定点
所连线段与已知直线的交点为所求点
2.求点Q所在直线
C
的解析式
使得PC-PA的值最大?若存在,求出点P的坐标;
若不存在请说明理由
Y
l
C
A O
B
X
文昌市华侨中学郑鼐庆
24.(满分14分)如图8,对称轴为直线x=2的抛物线经 过点A(-1,0),C(0,5)两点,与x轴另一交点为B,
.已知M(0,1),E(a,0),F(a+1,0),点P是第一
象限内的抛物线上的动点.(1)求此抛物线的解析式. (2)当a=1时,求四边形MEFP面积的最大值,并求此时 点P的坐标
分析 解答
C
A O
B
X
P
文昌市华侨中学郑鼐庆
问题:抛物线y=ax2+bx+c经过点A(1,0)、点 B(3,0)、点C(0,3),对称轴为直线l
(2)已知点P是抛物线的顶点,y轴上是否存在点Q
使得PQ+BQ的值最小?若存在,求出点Q的坐标;
若不存在请说明理由
Y
1.确定点Q的位置
2.求点Q所在直线
C
A O
由题可得AC 12 32 10 BC 32 32 3 2
B
X
△PCA的周长最小值为 3 2 10
存在点P的坐标为(2,1)使得三角形 PCA的周长值最小
文昌市华侨中学郑鼐庆
问题:抛物线y=ax2+bx+c经过点A(1,0)、点
B(3,0)、点C(0,3),对称轴为直线l
(4)已知点P是对称轴上的动点,是否存在点P
如图,牧马人从点A地出发,到一条笔直的河边l饮马,然后
到B地,牧马人到河边的什么地方饮马,可使所走的路径最短?
作法:
(1)作点B 关于直线l 的对称点BA′;
(2)连接AB′,与直线l 相交于点C.
则点C 即为所求.
C
B l
B′
(2)
文昌市华侨中学郑鼐庆
问题:抛物线y=ax2+bx+c经过点A(1,0)、点 B(3,0)、点C(3,0),对称轴为直线l
(3)已知点P是对称轴上的动点,是否存在点P
使得△PAC的周长最小?若存在,求出点P的坐标和
周长最小值;若不存在请说明理由
Y
l
解:由题可得对称轴为直线x =2
连接BC交直线l于点P
设直线BC的解析式为y=kx+b
3k b 0 b 3
解得bk
1 3
C
P
直线BC的解析式为 y x 3 令x 2则y 2 3 1
的解析式
3.求点Q的坐标
B,
A
O
B
X
Q
P
文昌市华侨中学郑鼐庆
问题:抛物线y=ax2+bx+c经过点A(1,0)、点 B(3,0)、点C(0,3),对称轴为直线l
(2)已知点P是抛物线的顶点,y轴上是否存在点Q
使得PQ+BQ的值最小?若存在,求出点Q的坐标;
若不存在请说明理由
Y

解:由题可得点P的坐标为(2,-1)
与周长有关的二次函数问题
文昌市华侨中学郑鼐庆
牧马人饮马问题
如图,牧马人从点A地出发,到一条笔直的河边l饮马,然后 到B地,牧马人到河边的什么地方饮马,可使所走的路径最短?
A 连接AB,与直线l相交于一点C.
根据是“两点之间,线段最短”, 可知这个交点即为所求.
C
(1)
l B
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牧马人饮马问题
作点B(3,0)关于Y轴对称的
点B,(-3,0),连接B,P交Y轴于点
Q
C
2k3k设b直b线10B解,P得的解bk 析式5315 为y=kx+Bb,
直线B,P的解析式为y 1 x 3
O
令x 0则y 3 5 5
Q
5 存在点Q的坐标为(0,
3)使得PQ
BQ的值最小
A
B
X
P
文昌市华侨中学郑鼐庆
(1)求抛物线的解析式
Y
l
y x2 4x 3
C
A O
B
X
文昌市华侨中学郑鼐庆
问题:抛物线y=ax2+bx+c经过点A(1,0)、点 B(3,0)、点C(0,3),对称轴为直线l
(2)已知点P是抛物线的顶点,y轴上是否存在点Q
使得PQ+BQ的值最小?若存在,求出点Q的坐标;
若不存在请说明理由
Y
l
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