运筹(第四章整数规划)

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（3）设法使每一行都有一个打括号的“0”元素。 按定理1继续对矩阵进行变换：
ⅰ）从矩阵未被直线覆盖的元素中找出最小者k，
ⅱ）对矩阵中无直线覆盖的行，令 ui k ，有直 线覆盖的列，令 v j k 。其余为0。
ⅲ）对矩阵的每个元素计算 aij ui v j ，得到 一个新矩阵，转第三步重复进行，直至每一行都有 一打括号的0元素。
（2）从第一列开始，若该列只有一个“0”元素， 则对该“0”元素打括号（ ），并划去该“0”元 素所在的行；若该列无“0”元素或有两个以上的 “0”元素（不含划去的0），则转下一列；Βιβλιοθήκη 2020/5/3026
（0） 8
2
5
11 （0） 5
4
2
3 （0） 0
0
11
4
5
完成上述步骤后可能出现下列情况：
ⅰ）效率矩阵的每一行都有一个打括号的0元素， 则按照打括号的0元素位置指派任务，即是最优解；
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解：设x j 表示代号为j的包装箱的订做数量。
0， 不订j包装箱 y j 1， 订j包装箱
目标函数
6
min z 1200 y j 5x1 8x2 10x3 j 1
12.1x4 16.3x5 18.2x6
约束条件
x j My j , j 1,...6
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ⅱ）打括号的0元素个数小于m，但未被划去的0元
素之间存在闭回路，则沿此闭回路，每隔一个0元
打一括号，然后对打括号的0元素所在行或所在列
画直线；
0 0
(0) 0
0
0 0
(0)
0 0
(0) 0
ⅲ）矩阵中所有0元素或被打括号，或被划去，但打
括号的0元素个数 m ，则进入下一步；
0 第i组条件起作用，i=1，2 yi 1 第i组条件不起作用
可将上述条件表示为 x1 4 y1M
x2 x1
1 4
y1M y2M
x2
3
y2M
其中：M是任意大正数 y1 y2 1
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4、表示含有固定费用的函数
例如： x j 表示产品 j 的生产数量，其生产费用函数
则 [aij ] 的最优解等价于 [bij ] 的最优解。
定理2：若矩阵A的元素可分为“0”元和“非0”元， 则覆盖“0”元的最少直线数等于位于不同行、不 同列的“0”元的最大个数。
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例：有一份说明书，要分别译成英、日、德、俄四种语言， 交给甲、乙、丙、丁四人去完成，各人的效率不同，如何 分配任务，可使总效率最高。
表中数据为完成任务所需时间（单位：小时）。
人甲
乙
丙
丁
任务
英文 2
10
9
7
日文 15
4
14
8
德文 13
14
16
11
俄文 4
15
13
9
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匈牙利解法步骤： 1、在效率矩阵每行减去该行最小元素； 2、在效率矩阵每列减去该列最小元素；
2 10 9 7 2 0 8 7 5
15
4
14
8
18
max Z 4x1 5x2 6x3 100 y1 150 y2 200 y3
2x1 4x2 8x3 500 2x1 3x2 4x3 300 x1 2x2 3x3 100 xj Myj x j 0, y j是0 -1变 量 ，j 1,2,3
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§3 指派问题及匈牙利解法
y
j
0或1
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§2.2 应用举例
例1 东方大学计算机实验室聘用4名大学生（代号
1,2,3,4）和2名研究生（代号5,6）值班。已知各学生从 周一至周五每天可安排的值班时间及每人每小时报酬见下 表所示。
学生 代号
1 2 3 4 5 6
酬金 (元/h) 10.0 10.0
9.9 9.8 10.8 11.3
周一 6 0 4 5 3 0
每天可安排的值班时间(h) 周二 周三 周四
0
6
0
6
0
6
8
3
0
5
6
4
0
4
6
6
2
4
周五 7 3 5 0 0 4
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实验室每天开放时间为8:00AM—10:00PM,共14小时。开 放时间内需要有一名学生值班。规定大学生每周值班时间 是8—15小时，研究生是7—12小时，每次值班不小于2小 时。又每名学生每周值班次数不得多于三次，每天值班人 员中至少有一名研究生，每天值班人数不超过3人。试为 该实验室安排一张人员值班表，使得总酬金支出为最少。
运筹学
OPERATIONS RESEARCH
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第四章 整数规划与分配问题
整数规划的有关概念及特点 整数规划的应用 指派问题及匈牙利解法 整数规划的求解方法：分枝定界法、割平面法
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§1 整数规划的有关概念及特点
§1.1 概念
整数规划： 要求决策变量取整数值的规划问题。 （线性整数规划、非线性整数规划等）
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§1.2 整数规划的求解特点
求整数解的线性规划问题，不是用四舍五入法或
去尾法对性规划的非整数解加以处理就能解决的，
用枚举法又往往会计算量太大，所以要用整数规
划的特定方法加以解决。
例： 求解下列整数规划：
max z 3x1 2x2
2x1 3x2 14
s.t
x1
0.5x2
每天不超过3人 每天有一研究生
(7) 2 yij xij aij yij i 1,...6, j 1,..., 5
值班不超过每人可安排的时间
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例2 红星日用化工厂为发运产品，下一年度需要6 种不同容积的包装箱，每种包装箱的需求量及生产 一个的可变费用如下表所示。
包装箱代号
4.5
x1, x2 0, 并取整数
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x2
分析： 若当作一般线性规划求解， 图解法的结果如下。
x1 0.5x2 4.5
1、非整数规划最优解 (3.25, 2.5) 显然不是整数规划的可行解。
2、四舍五入后的结果 (3, 3) 也不是整数规划的可行解。
(3.25, 2.5)
3、可行解是阴影区 域交叉点，可比较这 些点对应的函数值， 找出最优。(4, 1)
i 1
5
8 xij 15 ,i 1,...4
j 1
5
7 xij 12 , i 5,6
j 1 5
yij 3,
i 1,..., 6
j 1
6
yij 3,
i 1
j 1,...,5
y5 j y6 j 1 j 1,..., 5
每天开放14小时 大学生值班8-15小时 研究生值班7-12小时 每周不超过3次
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设M是任意大正数，则原约束中只有k个真正 起作用的情况可表示为：
n
aij xij bi Myi , i 1,2,...,m
j1 y1 y2 ... ym m k
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2、约束条件右端项是r个可能值中的一个
n
aij xij b1, 或b2 ,... 或br
容积（m3） 需求量（个）
可变费用（元/个）
1
0.08 500 5.0
2
0.10 550 8.0
3
0.12 700 10.0
4
0.15 900 12.1
5
6
0.20 0.25 450 400 16.3 18.2
由于生产不同容积包装箱时需进行专门的准备、下 料等，生产每一种包装箱的固定费用都是1200元。 又若某容积的包装箱数量不够时，可用比它大的代 替。试问该厂应订做哪几种代号的包装箱各多少个， 可使得费用最省？
xij 0 否则
于是建立模型如下：
mm
min z
aij xij
i1 j 1
m
xij 1,
j 1
i 1,...m
m
xij 1,
i 1
xij 0或1,
j 1,...m i, j 1,...m
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§3.1 指派问题的匈牙利解法
该指派问题可当作运输问题解决，但匈牙利解法更 有效。
§3.1 指派问题与模型
m项任务分配给m个人去完成，每人只能完成其中 一项，每项任务只能分给一人完成，应如何分配 使得效率最高？
aij是第j个人完成第i项任务的效率(如 时间）。
人
任务
1
2
…
m
1
a11
a12
…
a1m
2
a21
a22
…
a2m
…
…
…
…
…
m
am1
am2
amm
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设
1 第j个人完成第i项任务
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资源 金属板（吨） 劳动力（人月） 机器设备（台月）
小号容器 2 2 1
中号容器 4 3 2
大号容器 8 4 3
解：设 x1, x2, x3 分别为小号容器、中号容器和大号容 器的生产数量。
0， 不生产j型号容器 y j 1， 生产j型号容器
建立如下的数学模型：