高中数学立体几何重要的知识点(经典)

立体几何知识点

1、柱、锥、台、球的结构特征 （1）棱柱：

几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 （2）棱锥

几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与 高的比的平方。 （3）棱台：

几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点 （4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成

几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。 （5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成

几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。 （6）圆台：定义：以直角梯形的垂直与底边的腰为旋转轴,旋转一周所成

几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。 （7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。

4、柱体、锥体、台体的表面积与体积

（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。

（2）特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高，'

h 为斜高，l 为母线）

ch S =直棱柱侧面积 rh S π2=圆柱侧 '2

1ch S =正棱锥侧面积 rl

S π=圆锥侧面积

')(2

121h c c S +=正棱台侧面积 l R r S π)(+=圆台侧面积 ()l r r S +=π2圆柱表 ()l r r S +=π圆锥表 ()

22R Rl rl r S +++=π圆台表

（3）柱体、锥体、台体的体积公式

V Sh =柱 2V S h r h π==圆柱 13

V S h =锥 h r V 23

1π=圆锥

'1()3

V S S h =+台 '2211()()33V S S h r rR R h π=+=++圆台

（4）球体的表面积和体积公式：V 球=343

R π ； S 球面=2

4R π

1、平面及基本性质

公理1 ααα⊂⇒∈∈∈∈l B A l B l A ,,, 公理2 若βα∈∈P P ,,则a =⋂βα且α∈P

公理3 不共线三点确定一个平面（推论1直线和直线外一点,2两相交直线,3两平行直线） 2、空间两直线的位置关系

共面直线：相交、平行（公理4） 异面直线 3、异面直线

（1）对定义的理解：不存在平面α，使得α⊂a 且α⊂b （2）判定：反证法（否定相交和平行即共面） 判定定理：15P

★（3）求异面直线所成的角：①平移法 即平移一条或两条直线作出夹角，再解三角形. ②向量法 |,cos |cos b a =

><=θ （注意异面直线所成角的范围]2

,

0(π）

（4）证明异面直线垂直，①通常采用三垂线定理及逆定理或线面垂直关系来证明；

②向量法 0=⋅⇔⊥

（5）求异面直线间的距离：大纲仅要求掌握已给出公垂线或易找出公垂线的有关问题计算.

9.2 直线与平面的位置关系 1、直线与平面的位置关系

A a a a =⋂⊂ααα,//,

2、直线与平面平行的判定

（1）判定定理: ααα////b a a b b ⇒⎪⎭

⎪

⎬⎫

⊂⊄ (线线平行，则线面平行17P )

（2）面面平行的性质：

βαβα////a a ⇒⎭

⎬⎫

⊂ (面面平行，则线面平行) 3、直线与平面平行的性质

b a b a a //,//⇒⎭

⎬⎫

=⋂⊂βαβα (线面平行，则线线平行18P )

★4、直线与平面垂直的判定 （1）直线与平面垂直的定义的逆用

a l a l ⊥⇒⎭

⎬⎫

⊂⊥αα,

（2）判定定理：αα⊥⇒⎪⎭

⎪

⎬⎫

=⋂⊂⊥⊥l A n m n m n l m l ,, （线线垂直，则线面垂直23P ）

（3）

αα⊥⇒⎭

⎬⎫

⊥a b b a // （25P 练习 第6题） （4）面面垂直的性质定理：βαβαβα⊥⇒⎪⎭

⎪

⎬⎫

⊥⊂=⋂⊥a l a a l , （面面垂直，则线面垂直51P ）

（5）面面平行是性质：

βαβα⊥⇒⎭

⎬⎫

⊥l l // 5、射影长定理

★6、三垂线定理及逆定理 线垂影⇔线垂斜 9.3 两个平面的位置关系

1、空间两个平面的位置关系 相交和平行

2、两个平面平行的判定 （1）判定定理：βαβα

α//,,//,//⇒⎭

⎬⎫

=⋂P b a b a b a （线线平行，则面面平行19P ）

（2）

βαβα//⇒⎭

⎬⎫

⊥⊥l l 垂直于同一平面的两个平面平行 （3）βαγβγα////,//⇒ 平行于同一平面的两个平面平行 （21P 练习 第2题） 3、两个平面平行的性质

（1）性质1：βαβα//,//a a ⇒⊂

（2）面面平行的性质定理：

b a b a //,//⇒⎭

⎬⎫

=⋂=⋂γβγαβα （面面平行，则线线平行20P ）

（3）性质2：βαβα⊥⇒⊥l l ,// 4、两个平面垂直的判定与性质

（1）判定定理：βααβ⊥⇒⊂⊥a a , （线面垂直，则面面垂直50P ）