专题1 利用奇偶性、单调性解函数不等式问题(解析版)-2021年新高考数学函数压轴小题专题突破

专题1 利用奇偶性、单调性解函数不等式问题
1．设函数2()(1||)f x ln x x =++，则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是( )
A ．1(,1)3
B ．1
(,)
(1,)3-∞+∞ C ．11(,)33
-
D ．1
1
(,)
(,)3
3
-∞-+∞ 【解析】解：函数2()(1||)f x ln x x =++，
那么22()(1||)()(1||)()f x ln x x ln x x f x -=+-+-=++= 可知()f x 是偶函数， 当0x >，()f x 是递增函数，
()(21)f x f x ∴>-成立，等价于|||21|x x >-，
解得：1
13
x <<，
故选：A ． 2．设函数2
1
()||2019f x x x
=-
+，则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是( ) A ．1
(3，1)
B ．(-∞，1
)(13⋃，)+∞
C ．1(3-，1)3
D ．(-∞，11
)(33
-⋃，)+∞
【解析】解：()f x 是R 上的偶函数，0x 时，2
1
()2019f x x x =-+，
()f x ∴在[0，)+∞上是增函数，
∴由()(21)f x f x >-得，(||)(|21|)f x f x >-，
|||21|x x ∴>-，
22441x x x ∴>-+，解得1
13
x <<，
x ∴的取值范围是1
(,1)3
．
故选：A ．
3．函数21||
2
1
()log (1)12x f x x =+-
-，则使得()(21)f x f x -成立的x 取值范围是( ) A ．(-∞，1]
B ．111[,)(,1]322⋃
C ．1
[,1]3
D ．1
(,][1,)3
-∞+∞
【解析】解：()f x 是偶函数，且在(0,)+∞上单调递减；
∴由()(21)f x f x -得，(||)(|21|)f x f x -；
|||21|x x ∴-，且0x ≠，210x -≠；
22(21)x x ∴-，且0x ≠，1
2
x ≠； 解得
1
13
x ，且12x ≠；
x ∴的取值范围是：111
[,)(,1]322
⋃．
故选：B ．
4．已知函数312
()423x x f x x x e e
=-+-，其中e 是自然对数的底，若2(1)(2)0f a f a -+，则实数a 的取值范
围是( ) A ．(-∞，1]-
B ．1
[,)2+∞
C ．1
(1,)2-
D ．1
[1,]2
-
【解析】由222()4224240x x x x f x x e e x e e x --'=-++-+=，知()f x 在R 上单调递增，
且31
()422()3
x x f x x x e e f x --=-++-=-，即函数()f x 为奇函数，
故2222(1)(2)0(1)(2)12210f a f a f a f a a a a a -+⇔--⇔--⇔+-， 解得112
a
-． 故选：D ．
5．已知函数31()sin x x
f x x x e e =-+-，其中e 是自然数对数的底数，若
2
(1)(2)0f a f a -+，则实数a 的取值范围是( )
A ．1[,1]2
-
B ．1
[1,]2
-
C ．1
(,1][,)2
-∞-+∞
D ．1
(,][1,)2
-∞-+∞
【解析】解：由于3()sin x x f x x x e e -=-+-， 则3()sin ()x x f x x x e e f x --=-++-=-， 故函数()f x 为奇函数．
故原不等式2(1)(2)0f a f a -+， 可转化为2(2)(1)(1)f a f a f a --=-，
即2(2)(1)f a f a -；
又2()3cos x x f x x x e e -'=-++， 由于2x x e e -+，
故2()3cos 1x x f x x x e e -'=-++恒成立， 故函数()f x 单调递增， 则由2(2)(1)f a f a -可得， 221a a -，即2210a a +-，
解得112
a
-， 故选：B ．
6．已知函数2020()2020log )20202x x f x x -=+-+，则关于x 的不等式(31)()4f x f x ++>的解集为(
)
A ．1
(4-，)+∞
B ．1
(,)4
-∞-
C ．(0,)+∞
D ．(,0)-∞
【解析】解：设2020()()22020log )2020x x g x f x x -=-=+-，
2020()2020log )2020()x x g x x g x -∴-=+-=-，
即()g x 为奇函数且单调递增，
由(31)()4f x f x ++>可得(31)()0g x g x ++>即(31)()()g x g x g x +>-=-， 所以31x x +>-，
解得，1
4
x >-．
故选：A ．
7．已知函数())2x x f x e e ln x -=-++，则关于x 的不等式(31)()4f x f x ++>的解集为( )
A ．1
(,)4-+∞
B ．1
(,)4
-∞-
C ．(,0)-∞
D ．(0,)+∞
【解析】解：根据题意，函数())2x x f x e e ln x -=-++，其定义域为R ；
设()()2)x x g x f x e e ln x -=-=-+，
有())[)]()x x x x g x e e ln x e e ln x g x ---=-+=--+=-，即函数()g x 为奇函数，
又由函数x x y e e -=-和)y ln x =都是R 上的增函数，故()g x 为R 上的增函数；
(31)()4(31)22()(31)2[()2](31)()(31)()f x f x f x f x f x f x g x g x g x g x ++>⇒+->-⇒+->--⇒+>-⇒+>-，
则有31x x +>-，
解可得1
4
x >-；
即x 的取值范围为1
(4
-，)+∞；
故选：A ．
8．已知函数2018()20182018log )2x x f x x -=-++，则关于x 的不等式(31)()4f x f x ++>的解集为(
)
A ．1
(,)4
-+∞
B ．1
(,)4
-∞-
C ．(,0)-∞
D ．(0,)+∞
【解析】解：
2018()20182018log )2x x f x x -=-++，
令()()2g x f x =-，
2018()20182018log )()x x g x x g x -∴-=-++=-，
(31)()4f x f x ++>， (31)2()24g x g x ∴++++>， (31)()0g x g x ∴++>， (31)()()g x g x g x ∴+>-=-，
2018()20182018log )x x g x x -=-+单调递增，
31x x ∴+>-， 解可得，1
4
x >-．
故选：A ．
9．偶函数()y f x =满足下列条件①0x 时，3()f x x =；②对任意[x t ∈，1]t +，不等式()8()f x t f x +恒成立，则实数t 的取值范围是( )
A ．(-∞，3
]4-
B ．3[,0]4-
C ．[2-，3
]4
D ．4[,1]3
-
【解析】解：根据条件得：(||)8(||)f x t f x +；
33(||)8(||)x t x ∴+；
33(||)(2||)x t x ∴+； ||2||x t x ∴+；
22()4x t x ∴+；
整理得，22320x tx t --在[t ，1]t +上恒成立； 设22()32g x x tx t =--，()0g t =；
22(1)3(1)2(1)0g t t t t t ∴+=+-+-； 解得3
4
t -
； ∴实数t 的取值范围为(-∞，3]4
-．
故选：A ．
10．已知函数()2020)20201x x f x ln x -=+-+，则关于x 的不等式(21)(2)2f x f x -+<的解集为(
)
A ．1
(,)4-∞
B ．1
(,)2-∞
C ．1
(,)4+∞
D ．1
(,)2
+∞
【解析】解：()()2020)202012020)20201x x x x f x f x ln x ln x --+-=+-+++-+
))2ln x ln x =++
)2ln x x =+
22(1)2ln x x =+-+
122ln =+=，
则()()2f x f x -+=，
则不等式(21)(2)2f x f x -+<，等价于(21)(2)(2)(2)f x f x f x f x -+<-+， 即(21)(2)f x f x -<-， ()f x 在R 上是增函数，
212x x ∴-<-得41x <，得14
x <， 即不等式的解集为1
(,)4
-∞．
故选：A ．
11．设函数2111
()()21||
x f x x +=++，则使得(21)(12)2()f x f x f x -+-<成立的x 的取值范围是( )
A ．1
(,1)3
B ．1
(,)
(1,)3-∞+∞ C ．11(,)33
-
D ．1
1
(,)
(,)3
3
-∞-+∞ 【解析】解：函数2111
()()21||
x f x x +=++，
由解析式可知，()f x 为偶函数且在[0，)+∞上单调递减， 则(21)(12)2(21)f x f x f x -+-=-， (21)(12)2()f x f x f x ∴-+-< 2(21)2()f x f x ⇔-< (21)()f x f x ⇔-< (|21|)(||)f x f x ⇔-<
⇔22221
|21||||21|||(21)3
x x x x x x x ->⇔->⇔->⇔<
或1x >， 故选：B ．
12．已知定义域为R 的函数()f x 在[2，)+∞上单调递增，若(2)f x +是奇函数，则满足(3)f x f ++ (21)0x -<的x 范围为( )
A ．2
(,)3
-∞-
B ．2
(3-，)+∞
C ．2
(,)3-∞
D ．2
(3
，)+∞
【解析】解：
(2)f x +是奇函数；
()f x ∴关于点(2,0)对称；
又()f x 在[2，)+∞上单调递增； ()f x ∴在R 上单调递增；
∴由(3)(21)0f x f x ++-<得，(3)(21)f x f x +<--；
(3)((23)2)f x f x ∴+<--+； (3)(25)f x f x ∴+<-+；
325x x ∴+<-+；
解得23
x <
； x ∴的范围为2
(,)3
-∞．
故选：C ．
13．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x 时，2()f x x =．若对任意的[x a ∈，2]a +，不等式()(2)f x a f x +恒成立，则实数a 的取值范围是( )
A ．0a
B ．2a
C ．2a
D ．0a
【解析】解：（排除法）当0a =时，则[0x ∈，2]，
由()(2)f x a f x +得()(2)f x f x ，即22220x x x ⇒在[0x ∈，2]时恒成立，显然不成立，排除A 、C 、
D ，
故选：B ．
14．已知a 是方程4x lgx +=的根，b 是方程104x x +=的根，
函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x 时，2()(4)f x x a b x =++-，若对任意[x t ∈，2]t +，不等式()2()f x t f x +恒成立，则实数t 的取值范围是( )
A ．)+∞
B ．[2，)+∞
C ．(0，2]
D ．[1][2-，3]
【解析】解：由程4x lgx +=得4lgx x =-， 由104x x +=得104x x =-，
记()f x lgx =，则其反函数1()10x f x -=， 它们的图象关于直线y x
=轴对称，
根据题意，a ，b 为()f x ，1()f x -的图象与直线4y x =-交点A ，B 的横坐标， 由于两交A ，B 点关于直线y x =对称，
所以，B 点的横坐标β就是A 点的纵坐标，即(,)A a b ， 将(,)A a b 代入直线4y x =-得，4a b +=， 则当0x 时，22()(4)f x x a b x x =++-=， 函数()f x 是定义在R 上的奇函数，
∴若0x <，则0x ->，
则2()()f x x f x -==-， 即2()f x x =-，0x <，
则22
,
(),
x x f x x x ⎧=⎨-<⎩， 则函数()f x 在(,)-∞+∞上为增函数，
若对任意[x t ∈，2]t +，不等式()2()f x t f x +恒成立， 即若对任意[x t ∈，2]t +，不等式()(2)f x t f x +恒成立， 则2x t
x +恒成立，
则(21)t x -，
则1)21
x
t =-，
[x t ∈，2]t +， 2(21)t t ∴++，
即22t 则22t
=
故选：A ．
15．设函数|1|2
1
()(1)x f x e x -=--，则不等式()(21)f x f x >+的解集为( )
A ．(1,0)-
B ．(,1)-∞-
C ．1(1,3⎫
-⎪⎭
D ．1(1,0)(0,3⎫
-⎪⎭
⋃
【解析】解：根据题意，函数|1|21()(1)x f x e x -=--，设||
2
1()x g x e x =-
，其定义域为{|1}x x ≠， 又由||2
1
()()x g x e g x x -=-
=，即函数()g x 为偶函数， 当(0,)x ∈+∞时，21()x g x e x =-
，有32
()x g x e x
'=+，为增函数， ()g x 的图象向右平移1个单位得到()f x 的图象，所以函数()f x 关于1x =对称，在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增．
由()(21)f x f x >+，可得1211|1||(21)1|x x x x ≠⎧⎪
+≠⎨⎪->+-⎩
，
解可得：1
13
x -<<且0x ≠，
即x 的取值范围为1(1,0)(0,3⎫
-⎪⎭
⋃；
故选：D ．
16．已知()f x 是定义在[2-，2]b 上的偶函数，且在[2b -，0]上为增函数，则不等式(21)f x f +（1）的解集为( ) A ．(1,0)- B ．31[,1][0,]22
--
C ．(-∞，1][0-，)+∞
D ．31
[,]22
-
【解析】解：
()f x 是定义在[2-，2]b 上的偶函数，220b ∴-+=，1b ∴=，
函数()f x 在[2b -，0]上为增函数，∴函数()f x 在[2-，0]上为增函数，故函数()f x 在[0，2]上为减函数，
则由(21)f x f +（1），可得|21|1x +，且2212x -+， 解得312x -
-或1
02
x
， 故不等式(21)f x f +（1）的解集为31[,1][0,]22
--．
故选：B ．
17．已知定义在R 上的函数11
311
22()(1)22
x x x x f x x -----=--+，则不等式(23)(2)0f x f x ++-的解集为( ) A ．(-∞，1
]3
B ．(0，2
]3
C ．(-∞，3]
D ．(0，3]
【解析】解：令1t x =-，则3
22(1)22t t t t
f t t ---+=-+，
则(1)f t +是奇函数，
则当0t 时，2333332221214(14)22
12212141414
t t t t t t t t t t t
y t t t t t ------++=-=-=-=-=--+++++，为减函数， ∴当1x 时，()f x 为减函数，
即()(1)g x f x =+是奇函数，
则(23)(2)0f x f x ++-等价为(221)(31)0f x f x +++-+， 即(22)(3)0g x g x ++-， 则(22)(3)(3)g x g x g x +--=-， 则223x x +-，得31x ，13x ，即原不等式的解集为(-∞，1]3
， 故选：A ．
18．函数()f x 是R 上的奇函数，f （1）2=，且对任意12x x >，有
1212
()()
0f x f x x x ->-，则不等式2(1)2
f x --
的解集为( ) A ．[0，2]
B ．[0，1]
C ．[1-，1]
D ．[1-，0]
【解析】解：对任意12x x >，有1212
()()
0f x f x x x ->-，
()f x ∴在R 上单调递增，
又()f x 是R 上的奇函数，f （1）2=， 所以(1)2f -=-，
则由不等式2(1)2f x --可得(1)(1)f f x f --（1）， 所以111x --， 解可得，02x ． 故选：A ．
19．已知()f x 是定义在(2,1)b b -+上的偶函数，且在(2b -，0]上为增函数，则(1)(2)f x f x -的解集为(
)
A ．2[1,]3-
B ．1
(1,]3-
C ．1
[1,]3-
D ．1[,1]3
【解析】解：根据题意，由于函数()y f x =是定义在(2,1)b b -+上的偶函数，则定义域关于原点对称， 则有(2)10b b -++=，解可得1b =， 所以，函数()y f x =的定义域为(2,2)-，
由于函数()y f x =在区间(2-，0]上单调递增，则该函数在区间[0，2)上单调递减， 由于函数()y f x =为偶函数，则()(||)f x f x =，
由(1)(2)f x f x -，可得(|1|)(|2|)f x f x -，则|1|2||212222x x x x -⎧⎪
-<-<⎨⎪-<<⎩
，
解可得：113
x
-<． 因此，不等式(1)(2)f x f x -的解集为1
(1,]3
-，
故选：B ．
20
．设函数1()(2)3x f x x lg
x --=++，则不等式3
(21)()2f x f --的解集是( ) A ．131
(0,][,)482
B ．131
(1,][,)482
-
C ．13(,][,)44-∞+∞
D ．31(1,][,0)44
--- 【解析】解：由题意知，函数
()f x 可由1()1x g x x lg x -=-+ 而函数()g x 是定义域为(1,1)-的偶函数，
函数()m x x =和函数12()(1)11x n x lg
lg x x +==---在(0,1)上递增，且()0m x >，()0n x >， ∴1()()1x y x lg m x n x x
-==-+在(0,1)上递减， ()g x ∴在(0,1)上递减，
()f x ∴的定义域为(3,1)--，关于2x =-对称，并且在(2,1)--上递减，
∴不等式3(21)()2f x f --等价于32113|212|22
x x -<-<-⎧⎪⎨-+-+⎪⎩，解得314x -<-或104x -<． 故选：D ．
21．已知函数23211()1x x x x e x e xe x f x ln e x
+---=-+，其中e 是自然对数的底数．若2(1)(2)0f a f a -+，则实数a 的取值范围是 1(0,]2
． 【解析】解：由已知得：23211()1x x x x e x e xe x f x ln e x
+---=-+的定义域为(1,1)-， 2332112()()x x x x x x
x x e x e xe x e xe e f x f x e e
-----------===-， 311()21x x x f x e x x ln e x -=+---+， 故函数是奇函数，且增函数，
2(1)(2)0f a f a -+，
2221211(2)(1)1110212a f a f a a a a a ⎧-<<⎪∴<-⇒-<-<⇒<⎨⎪-⎩
， 故答案为：1(0,]2
22．已知函数||2()(x f x e x e =+为自然对数的底数），且(32)(1)f a f a ->-，则实数a 的取值范围为
13(,)(,)24
-∞+∞ ． 【解析】解：函数||2()(x f x e x e =+为自然对数的底数）， ()()(||)f x f x f x ∴-==，且在(0,)+∞单调递增，
(32)(1)f a f a ->-，
|32||1|a a ∴->-，
即281030a a -+>，
实数a 的取值范围为12a <或34
a >， 故答案为：(-∞，13)(24
⋃，)+∞ 23．()f x 是定义在R 上函数，满足()()f x f x =-且0x 时，3()f x x =，若对任意的[21x t ∈+，23]t +，不
等式(2)8()f x t f x -恒成立，则实数t 的取值范围是 4[7
-，0] ． 【解析】解：由x R ∈，()()f x f x =-，
可得()f x 为R 上偶函数，3()f x x =在0x 上为单调增函数， 则(2)8()(2)f x t f x f x -=，
即为|2||2|x t x -，
即22(2)(2)x t x -，
化简可得240t xt -，①
（1）当0t >时，①的解为：4t x ， 对任意[21x t ∈+，23]t +，①式恒成立，则需
234t t +， 解得t ∈∅；
（2）当0t <时，①的解为4t x ， 对任意[21x t ∈+，23]t +，①式恒成立，则需
214t t +， 解得407t -<； （3）当0t =时，①式恒成立；
综上所述，407
t -． 故答案为：4[7
-，0]． 24．已知()||f x x x =，若对任意[2x a ∈-，2]a +，()2()f x a f x +<恒成立，则实数a 的取值范围是
a <
【解析】解：22,0()||,0x x f x x x x x ⎧==⎨-<⎩
， 可得()f x 在[0，)+∞递增，在(-∞，0]递增，且(0)0f =， 则()f x 在R 上递增，
由()2()f x a f x +<可得()())f x a f f x f +<=，
则x a +<在[2x a ∈-，2]a +恒成立，
即有1)a x <在[2x a ∈-，2]a +的最小值，
可得1)(2)a a <-，
解得a <
故答案为：a <
25．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x 时，2()f x x =，则2())f x f -= 0 ；若对任意的[x a ∈，
1]a +，不等式()2()f x a f x +恒成立，则实数a 的取值范围是 ．
【解析】解：()f x 是奇函数，0x 时，2()f x x =， ∴当0x <时，2()f x x =-．
∴当0x 时，222())220f x f x x -=-=，
当0x <时，222())2(2)0f x f x x -=---=．
2())0f x f ∴-=．
2())f x f =，
()2()f x a f x ∴+恒成立()(2)f x a f x ⇔+恒成立． ()f x 是增函数，
2x a x ∴+在[a ，1]a +上恒成立．
(21)a x ∴-，[x a ∈，1]a +．
令()1)g x x =，则()g x 在[a ，1]a +上是增函数．
()(1)1max g x g a a ∴=+=-+．
21a a a ∴-+，解得2
a ． 故答案为：0，[2
，)+∞． 26．已知函数||
221()()x f x x e ππ-=+-则，则不等式(1)(21)f x f x -<-的解集是 2(0,)3 ． 【解析】解：根据题意，函数||221()()x f x x e ππ-=+-，其定义域为R ，且||
221()()()x f x x e f x ππ
--=+-=， 则()f x 为偶函数， 在[0，)+∞上，||222211
()()1()x x f x x e e x ππππ
-=+-=-+，在[0，)+∞上为减函数，
不等式(1)(21)(|1|)(|21|)|1||21|f x f x f x f x x x -<-⇒-<-⇒->-，解可得203
x <<， 即不等式的解集为2(0,)3
， 故答案为：2(0,)3
．。