专题1 利用奇偶性、单调性解函数不等式问题(解析版)-2021年新高考数学函数压轴小题专题突破

专题1 利用奇偶性、单调性解函数不等式问题

1．设函数2()(1||)f x ln x x =++，则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是( )

A ．1(,1)3

B ．1

(,)

(1,)3-∞+∞ C ．11(,)33

-

D ．1

1

(,)

(,)3

3

-∞-+∞ 【解析】解：函数2()(1||)f x ln x x =++，

那么22()(1||)()(1||)()f x ln x x ln x x f x -=+-+-=++= 可知()f x 是偶函数， 当0x >，()f x 是递增函数，

()(21)f x f x ∴>-成立，等价于|||21|x x >-，

解得：1

13

x <<，

故选：A ． 2．设函数2

1

()||2019f x x x

=-

+，则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是( ) A ．1

(3，1)

B ．(-∞，1

)(13⋃，)+∞

C ．1(3-，1)3

D ．(-∞，11

)(33

-⋃，)+∞

【解析】解：()f x 是R 上的偶函数，0x 时，2

1

()2019f x x x =-+，

()f x ∴在[0，)+∞上是增函数，

∴由()(21)f x f x >-得，(||)(|21|)f x f x >-，

|||21|x x ∴>-，

22441x x x ∴>-+，解得1

13

x <<，

x ∴的取值范围是1

(,1)3

．

故选：A ．

3．函数21||

2

1

()log (1)12x f x x =+-

-，则使得()(21)f x f x -成立的x 取值范围是( ) A ．(-∞，1]

B ．111[,)(,1]322⋃

C ．1

[,1]3

D ．1

(,][1,)3

-∞+∞

【解析】解：()f x 是偶函数，且在(0,)+∞上单调递减；

∴由()(21)f x f x -得，(||)(|21|)f x f x -；

|||21|x x ∴-，且0x ≠，210x -≠；

22(21)x x ∴-，且0x ≠，1

2

x ≠； 解得

1

13

x ，且12x ≠；

x ∴的取值范围是：111

[,)(,1]322

⋃．

故选：B ．

4．已知函数312

()423x x f x x x e e

=-+-，其中e 是自然对数的底，若2(1)(2)0f a f a -+，则实数a 的取值范

围是( ) A ．(-∞，1]-

B ．1

[,)2+∞

C ．1

(1,)2-

D ．1

[1,]2

-

【解析】由222()4224240x x x x f x x e e x e e x --'=-++-+=，知()f x 在R 上单调递增，

且31

()422()3

x x f x x x e e f x --=-++-=-，即函数()f x 为奇函数，

故2222(1)(2)0(1)(2)12210f a f a f a f a a a a a -+⇔--⇔--⇔+-， 解得112

a

-． 故选：D ．

5．已知函数31()sin x x

f x x x e e =-+-，其中e 是自然数对数的底数，若

2

(1)(2)0f a f a -+，则实数a 的取值范围是( )

A ．1[,1]2

-

B ．1

[1,]2

-

C ．1

(,1][,)2

-∞-+∞

D ．1

(,][1,)2

-∞-+∞

【解析】解：由于3()sin x x f x x x e e -=-+-， 则3()sin ()x x f x x x e e f x --=-++-=-， 故函数()f x 为奇函数．

故原不等式2(1)(2)0f a f a -+， 可转化为2(2)(1)(1)f a f a f a --=-，

即2(2)(1)f a f a -；

又2()3cos x x f x x x e e -'=-++， 由于2x x e e -+，

故2()3cos 1x x f x x x e e -'=-++恒成立， 故函数()f x 单调递增， 则由2(2)(1)f a f a -可得， 221a a -，即2210a a +-，

解得112

a

-， 故选：B ．

6．已知函数2020()2020log )20202x x f x x -=+-+，则关于x 的不等式(31)()4f x f x ++>的解集为(

)

A ．1

(4-，)+∞

B ．1

(,)4

-∞-

C ．(0,)+∞

D ．(,0)-∞

【解析】解：设2020()()22020log )2020x x g x f x x -=-=+-，

2020()2020log )2020()x x g x x g x -∴-=+-=-，

即()g x 为奇函数且单调递增，

由(31)()4f x f x ++>可得(31)()0g x g x ++>即(31)()()g x g x g x +>-=-， 所以31x x +>-，

解得，1

4

x >-．

故选：A ．

7．已知函数())2x x f x e e ln x -=-++，则关于x 的不等式(31)()4f x f x ++>的解集为( )

A ．1

(,)4-+∞

B ．1

(,)4

-∞-

C ．(,0)-∞

D ．(0,)+∞

【解析】解：根据题意，函数())2x x f x e e ln x -=-++，其定义域为R ；

设()()2)x x g x f x e e ln x -=-=-+，

有())[)]()x x x x g x e e ln x e e ln x g x ---=-+=--+=-，即函数()g x 为奇函数，