专题1 利用奇偶性、单调性解函数不等式问题(解析版)-2021年新高考数学函数压轴小题专题突破
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专题1 利用奇偶性、单调性解函数不等式问题
1.设函数2()(1||)f x ln x x =++,则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是( )
A .1(,1)3
B .1
(,)
(1,)3-∞+∞ C .11(,)33
-
D .1
1
(,)
(,)3
3
-∞-+∞ 【解析】解:函数2()(1||)f x ln x x =++,
那么22()(1||)()(1||)()f x ln x x ln x x f x -=+-+-=++= 可知()f x 是偶函数, 当0x >,()f x 是递增函数,
()(21)f x f x ∴>-成立,等价于|||21|x x >-,
解得:1
13
x <<,
故选:A . 2.设函数2
1
()||2019f x x x
=-
+,则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是( ) A .1
(3,1)
B .(-∞,1
)(13⋃,)+∞
C .1(3-,1)3
D .(-∞,11
)(33
-⋃,)+∞
【解析】解:()f x 是R 上的偶函数,0x 时,2
1
()2019f x x x =-+,
()f x ∴在[0,)+∞上是增函数,
∴由()(21)f x f x >-得,(||)(|21|)f x f x >-,
|||21|x x ∴>-,
22441x x x ∴>-+,解得1
13
x <<,
x ∴的取值范围是1
(,1)3
.
故选:A .
3.函数21||
2
1
()log (1)12x f x x =+-
-,则使得()(21)f x f x -成立的x 取值范围是( ) A .(-∞,1]
B .111[,)(,1]322⋃
C .1
[,1]3
D .1
(,][1,)3
-∞+∞
【解析】解:()f x 是偶函数,且在(0,)+∞上单调递减;
∴由()(21)f x f x -得,(||)(|21|)f x f x -;
|||21|x x ∴-,且0x ≠,210x -≠;
22(21)x x ∴-,且0x ≠,1
2
x ≠; 解得
1
13
x ,且12x ≠;
x ∴的取值范围是:111
[,)(,1]322
⋃.
故选:B .
4.已知函数312
()423x x f x x x e e
=-+-,其中e 是自然对数的底,若2(1)(2)0f a f a -+,则实数a 的取值范
围是( ) A .(-∞,1]-
B .1
[,)2+∞
C .1
(1,)2-
D .1
[1,]2
-
【解析】由222()4224240x x x x f x x e e x e e x --'=-++-+=,知()f x 在R 上单调递增,
且31
()422()3
x x f x x x e e f x --=-++-=-,即函数()f x 为奇函数,
故2222(1)(2)0(1)(2)12210f a f a f a f a a a a a -+⇔--⇔--⇔+-, 解得112
a
-. 故选:D .
5.已知函数31()sin x x
f x x x e e =-+-,其中e 是自然数对数的底数,若
2
(1)(2)0f a f a -+,则实数a 的取值范围是( )
A .1[,1]2
-
B .1
[1,]2
-
C .1
(,1][,)2
-∞-+∞
D .1
(,][1,)2
-∞-+∞
【解析】解:由于3()sin x x f x x x e e -=-+-, 则3()sin ()x x f x x x e e f x --=-++-=-, 故函数()f x 为奇函数.
故原不等式2(1)(2)0f a f a -+, 可转化为2(2)(1)(1)f a f a f a --=-,
即2(2)(1)f a f a -;
又2()3cos x x f x x x e e -'=-++, 由于2x x e e -+,
故2()3cos 1x x f x x x e e -'=-++恒成立, 故函数()f x 单调递增, 则由2(2)(1)f a f a -可得, 221a a -,即2210a a +-,
解得112
a
-, 故选:B .
6.已知函数2020()2020log )20202x x f x x -=+-+,则关于x 的不等式(31)()4f x f x ++>的解集为(
)
A .1
(4-,)+∞
B .1
(,)4
-∞-
C .(0,)+∞
D .(,0)-∞
【解析】解:设2020()()22020log )2020x x g x f x x -=-=+-,
2020()2020log )2020()x x g x x g x -∴-=+-=-,
即()g x 为奇函数且单调递增,
由(31)()4f x f x ++>可得(31)()0g x g x ++>即(31)()()g x g x g x +>-=-, 所以31x x +>-,
解得,1
4
x >-.
故选:A .
7.已知函数())2x x f x e e ln x -=-++,则关于x 的不等式(31)()4f x f x ++>的解集为( )
A .1
(,)4-+∞
B .1
(,)4
-∞-
C .(,0)-∞
D .(0,)+∞
【解析】解:根据题意,函数())2x x f x e e ln x -=-++,其定义域为R ;
设()()2)x x g x f x e e ln x -=-=-+,
有())[)]()x x x x g x e e ln x e e ln x g x ---=-+=--+=-,即函数()g x 为奇函数,
又由函数x x y e e -=-和)y ln x =都是R 上的增函数,故()g x 为R 上的增函数;
(31)()4(31)22()(31)2[()2](31)()(31)()f x f x f x f x f x f x g x g x g x g x ++>⇒+->-⇒+->--⇒+>-⇒+>-,
则有31x x +>-,
解可得1
4
x >-;
即x 的取值范围为1
(4
-,)+∞;
故选:A .
8.已知函数2018()20182018log )2x x f x x -=-++,则关于x 的不等式(31)()4f x f x ++>的解集为(
)
A .1
(,)4
-+∞
B .1
(,)4
-∞-
C .(,0)-∞
D .(0,)+∞
【解析】解:
2018()20182018log )2x x f x x -=-++,
令()()2g x f x =-,
2018()20182018log )()x x g x x g x -∴-=-++=-,
(31)()4f x f x ++>, (31)2()24g x g x ∴++++>, (31)()0g x g x ∴++>, (31)()()g x g x g x ∴+>-=-,
2018()20182018log )x x g x x -=-+单调递增,
31x x ∴+>-, 解可得,1
4
x >-.
故选:A .
9.偶函数()y f x =满足下列条件①0x 时,3()f x x =;②对任意[x t ∈,1]t +,不等式()8()f x t f x +恒成立,则实数t 的取值范围是( )
A .(-∞,3
]4-
B .3[,0]4-
C .[2-,3
]4
D .4[,1]3
-
【解析】解:根据条件得:(||)8(||)f x t f x +;
33(||)8(||)x t x ∴+;
33(||)(2||)x t x ∴+; ||2||x t x ∴+;
22()4x t x ∴+;
整理得,22320x tx t --在[t ,1]t +上恒成立; 设22()32g x x tx t =--,()0g t =;
22(1)3(1)2(1)0g t t t t t ∴+=+-+-; 解得3
4
t -
; ∴实数t 的取值范围为(-∞,3]4
-.
故选:A .
10.已知函数()2020)20201x x f x ln x -=+-+,则关于x 的不等式(21)(2)2f x f x -+<的解集为(
)
A .1
(,)4-∞
B .1
(,)2-∞
C .1
(,)4+∞
D .1
(,)2
+∞
【解析】解:()()2020)202012020)20201x x x x f x f x ln x ln x --+-=+-+++-+
))2ln x ln x =++
)2ln x x =+
22(1)2ln x x =+-+
122ln =+=,
则()()2f x f x -+=,
则不等式(21)(2)2f x f x -+<,等价于(21)(2)(2)(2)f x f x f x f x -+<-+, 即(21)(2)f x f x -<-, ()f x 在R 上是增函数,
212x x ∴-<-得41x <,得14
x <, 即不等式的解集为1
(,)4
-∞.
故选:A .
11.设函数2111
()()21||
x f x x +=++,则使得(21)(12)2()f x f x f x -+-<成立的x 的取值范围是( )
A .1
(,1)3
B .1
(,)
(1,)3-∞+∞ C .11(,)33
-
D .1
1
(,)
(,)3
3
-∞-+∞ 【解析】解:函数2111
()()21||
x f x x +=++,
由解析式可知,()f x 为偶函数且在[0,)+∞上单调递减, 则(21)(12)2(21)f x f x f x -+-=-, (21)(12)2()f x f x f x ∴-+-< 2(21)2()f x f x ⇔-< (21)()f x f x ⇔-< (|21|)(||)f x f x ⇔-<
⇔22221
|21||||21|||(21)3
x x x x x x x ->⇔->⇔->⇔<
或1x >, 故选:B .
12.已知定义域为R 的函数()f x 在[2,)+∞上单调递增,若(2)f x +是奇函数,则满足(3)f x f ++ (21)0x -<的x 范围为( )
A .2
(,)3
-∞-
B .2
(3-,)+∞
C .2
(,)3-∞
D .2
(3
,)+∞
【解析】解:
(2)f x +是奇函数;
()f x ∴关于点(2,0)对称;
又()f x 在[2,)+∞上单调递增; ()f x ∴在R 上单调递增;
∴由(3)(21)0f x f x ++-<得,(3)(21)f x f x +<--;
(3)((23)2)f x f x ∴+<--+; (3)(25)f x f x ∴+<-+;
325x x ∴+<-+;
解得23
x <
; x ∴的范围为2
(,)3
-∞.
故选:C .
13.设()f x 是定义在R 上的奇函数,且当0x 时,2()f x x =.若对任意的[x a ∈,2]a +,不等式()(2)f x a f x +恒成立,则实数a 的取值范围是( )
A .0a
B .2a
C .2a
D .0a
【解析】解:(排除法)当0a =时,则[0x ∈,2],
由()(2)f x a f x +得()(2)f x f x ,即22220x x x ⇒在[0x ∈,2]时恒成立,显然不成立,排除A 、C 、
D ,
故选:B .
14.已知a 是方程4x lgx +=的根,b 是方程104x x +=的根,
函数()f x 是定义在R 上的奇函数,且当0x 时,2()(4)f x x a b x =++-,若对任意[x t ∈,2]t +,不等式()2()f x t f x +恒成立,则实数t 的取值范围是( )
A .)+∞
B .[2,)+∞
C .(0,2]
D .[1][2-,3]
【解析】解:由程4x lgx +=得4lgx x =-, 由104x x +=得104x x =-,
记()f x lgx =,则其反函数1()10x f x -=, 它们的图象关于直线y x
=轴对称,
根据题意,a ,b 为()f x ,1()f x -的图象与直线4y x =-交点A ,B 的横坐标, 由于两交A ,B 点关于直线y x =对称,
所以,B 点的横坐标β就是A 点的纵坐标,即(,)A a b , 将(,)A a b 代入直线4y x =-得,4a b +=, 则当0x 时,22()(4)f x x a b x x =++-=, 函数()f x 是定义在R 上的奇函数,
∴若0x <,则0x ->,
则2()()f x x f x -==-, 即2()f x x =-,0x <,
则22
,
(),
x x f x x x ⎧=⎨-<⎩, 则函数()f x 在(,)-∞+∞上为增函数,
若对任意[x t ∈,2]t +,不等式()2()f x t f x +恒成立, 即若对任意[x t ∈,2]t +,不等式()(2)f x t f x +恒成立, 则2x t
x +恒成立,
则(21)t x -,
则1)21
x
t =-,
[x t ∈,2]t +, 2(21)t t ∴++,
即22t 则22t
=
故选:A .
15.设函数|1|2
1
()(1)x f x e x -=--,则不等式()(21)f x f x >+的解集为( )
A .(1,0)-
B .(,1)-∞-
C .1(1,3⎫
-⎪⎭
D .1(1,0)(0,3⎫
-⎪⎭
⋃
【解析】解:根据题意,函数|1|21()(1)x f x e x -=--,设||
2
1()x g x e x =-
,其定义域为{|1}x x ≠, 又由||2
1
()()x g x e g x x -=-
=,即函数()g x 为偶函数, 当(0,)x ∈+∞时,21()x g x e x =-
,有32
()x g x e x
'=+,为增函数, ()g x 的图象向右平移1个单位得到()f x 的图象,所以函数()f x 关于1x =对称,在(,1)-∞上单调递减,在(1,)+∞上单调递增.
由()(21)f x f x >+,可得1211|1||(21)1|x x x x ≠⎧⎪
+≠⎨⎪->+-⎩
,
解可得:1
13
x -<<且0x ≠,
即x 的取值范围为1(1,0)(0,3⎫
-⎪⎭
⋃;
故选:D .
16.已知()f x 是定义在[2-,2]b 上的偶函数,且在[2b -,0]上为增函数,则不等式(21)f x f +(1)的解集为( ) A .(1,0)- B .31[,1][0,]22
--
C .(-∞,1][0-,)+∞
D .31
[,]22
-
【解析】解:
()f x 是定义在[2-,2]b 上的偶函数,220b ∴-+=,1b ∴=,
函数()f x 在[2b -,0]上为增函数,∴函数()f x 在[2-,0]上为增函数,故函数()f x 在[0,2]上为减函数,
则由(21)f x f +(1),可得|21|1x +,且2212x -+, 解得312x -
-或1
02
x
, 故不等式(21)f x f +(1)的解集为31[,1][0,]22
--.
故选:B .
17.已知定义在R 上的函数11
311
22()(1)22
x x x x f x x -----=--+,则不等式(23)(2)0f x f x ++-的解集为( ) A .(-∞,1
]3
B .(0,2
]3
C .(-∞,3]
D .(0,3]
【解析】解:令1t x =-,则3
22(1)22t t t t
f t t ---+=-+,
则(1)f t +是奇函数,
则当0t 时,2333332221214(14)22
12212141414
t t t t t t t t t t t
y t t t t t ------++=-=-=-=-=--+++++,为减函数, ∴当1x 时,()f x 为减函数,
即()(1)g x f x =+是奇函数,
则(23)(2)0f x f x ++-等价为(221)(31)0f x f x +++-+, 即(22)(3)0g x g x ++-, 则(22)(3)(3)g x g x g x +--=-, 则223x x +-,得31x ,13x ,即原不等式的解集为(-∞,1]3
, 故选:A .
18.函数()f x 是R 上的奇函数,f (1)2=,且对任意12x x >,有
1212
()()
0f x f x x x ->-,则不等式2(1)2
f x --
的解集为( ) A .[0,2]
B .[0,1]
C .[1-,1]
D .[1-,0]
【解析】解:对任意12x x >,有1212
()()
0f x f x x x ->-,
()f x ∴在R 上单调递增,
又()f x 是R 上的奇函数,f (1)2=, 所以(1)2f -=-,
则由不等式2(1)2f x --可得(1)(1)f f x f --(1), 所以111x --, 解可得,02x . 故选:A .
19.已知()f x 是定义在(2,1)b b -+上的偶函数,且在(2b -,0]上为增函数,则(1)(2)f x f x -的解集为(
)
A .2[1,]3-
B .1
(1,]3-
C .1
[1,]3-
D .1[,1]3
【解析】解:根据题意,由于函数()y f x =是定义在(2,1)b b -+上的偶函数,则定义域关于原点对称, 则有(2)10b b -++=,解可得1b =, 所以,函数()y f x =的定义域为(2,2)-,
由于函数()y f x =在区间(2-,0]上单调递增,则该函数在区间[0,2)上单调递减, 由于函数()y f x =为偶函数,则()(||)f x f x =,
由(1)(2)f x f x -,可得(|1|)(|2|)f x f x -,则|1|2||212222x x x x -⎧⎪
-<-<⎨⎪-<<⎩
,
解可得:113
x
-<. 因此,不等式(1)(2)f x f x -的解集为1
(1,]3
-,
故选:B .
20
.设函数1()(2)3x f x x lg
x --=++,则不等式3
(21)()2f x f --的解集是( ) A .131
(0,][,)482
B .131
(1,][,)482
-
C .13(,][,)44-∞+∞
D .31(1,][,0)44
--- 【解析】解:由题意知,函数
()f x 可由1()1x g x x lg x -=-+ 而函数()g x 是定义域为(1,1)-的偶函数,
函数()m x x =和函数12()(1)11x n x lg
lg x x +==---在(0,1)上递增,且()0m x >,()0n x >, ∴1()()1x y x lg m x n x x
-==-+在(0,1)上递减, ()g x ∴在(0,1)上递减,
()f x ∴的定义域为(3,1)--,关于2x =-对称,并且在(2,1)--上递减,
∴不等式3(21)()2f x f --等价于32113|212|22
x x -<-<-⎧⎪⎨-+-+⎪⎩,解得314x -<-或104x -<. 故选:D .
21.已知函数23211()1x x x x e x e xe x f x ln e x
+---=-+,其中e 是自然对数的底数.若2(1)(2)0f a f a -+,则实数a 的取值范围是 1(0,]2
. 【解析】解:由已知得:23211()1x x x x e x e xe x f x ln e x
+---=-+的定义域为(1,1)-, 2332112()()x x x x x x
x x e x e xe x e xe e f x f x e e
-----------===-, 311()21x x x f x e x x ln e x -=+---+, 故函数是奇函数,且增函数,
2(1)(2)0f a f a -+,
2221211(2)(1)1110212a f a f a a a a a ⎧-<<⎪∴<-⇒-<-<⇒<⎨⎪-⎩
, 故答案为:1(0,]2
22.已知函数||2()(x f x e x e =+为自然对数的底数),且(32)(1)f a f a ->-,则实数a 的取值范围为
13(,)(,)24
-∞+∞ . 【解析】解:函数||2()(x f x e x e =+为自然对数的底数), ()()(||)f x f x f x ∴-==,且在(0,)+∞单调递增,
(32)(1)f a f a ->-,
|32||1|a a ∴->-,
即281030a a -+>,
实数a 的取值范围为12a <或34
a >, 故答案为:(-∞,13)(24
⋃,)+∞ 23.()f x 是定义在R 上函数,满足()()f x f x =-且0x 时,3()f x x =,若对任意的[21x t ∈+,23]t +,不
等式(2)8()f x t f x -恒成立,则实数t 的取值范围是 4[7
-,0] . 【解析】解:由x R ∈,()()f x f x =-,
可得()f x 为R 上偶函数,3()f x x =在0x 上为单调增函数, 则(2)8()(2)f x t f x f x -=,
即为|2||2|x t x -,
即22(2)(2)x t x -,
化简可得240t xt -,①
(1)当0t >时,①的解为:4t x , 对任意[21x t ∈+,23]t +,①式恒成立,则需
234t t +, 解得t ∈∅;
(2)当0t <时,①的解为4t x , 对任意[21x t ∈+,23]t +,①式恒成立,则需
214t t +, 解得407t -<; (3)当0t =时,①式恒成立;
综上所述,407
t -. 故答案为:4[7
-,0]. 24.已知()||f x x x =,若对任意[2x a ∈-,2]a +,()2()f x a f x +<恒成立,则实数a 的取值范围是
a <
【解析】解:22,0()||,0x x f x x x x x ⎧==⎨-<⎩
, 可得()f x 在[0,)+∞递增,在(-∞,0]递增,且(0)0f =, 则()f x 在R 上递增,
由()2()f x a f x +<可得()())f x a f f x f +<=,
则x a +<在[2x a ∈-,2]a +恒成立,
即有1)a x <在[2x a ∈-,2]a +的最小值,
可得1)(2)a a <-,
解得a <
故答案为:a <
25.设()f x 是定义在R 上的奇函数,且当0x 时,2()f x x =,则2())f x f -= 0 ;若对任意的[x a ∈,
1]a +,不等式()2()f x a f x +恒成立,则实数a 的取值范围是 .
【解析】解:()f x 是奇函数,0x 时,2()f x x =, ∴当0x <时,2()f x x =-.
∴当0x 时,222())220f x f x x -=-=,
当0x <时,222())2(2)0f x f x x -=---=.
2())0f x f ∴-=.
2())f x f =,
()2()f x a f x ∴+恒成立()(2)f x a f x ⇔+恒成立. ()f x 是增函数,
2x a x ∴+在[a ,1]a +上恒成立.
(21)a x ∴-,[x a ∈,1]a +.
令()1)g x x =,则()g x 在[a ,1]a +上是增函数.
()(1)1max g x g a a ∴=+=-+.
21a a a ∴-+,解得2
a . 故答案为:0,[2
,)+∞. 26.已知函数||
221()()x f x x e ππ-=+-则,则不等式(1)(21)f x f x -<-的解集是 2(0,)3 . 【解析】解:根据题意,函数||221()()x f x x e ππ-=+-,其定义域为R ,且||
221()()()x f x x e f x ππ
--=+-=, 则()f x 为偶函数, 在[0,)+∞上,||222211
()()1()x x f x x e e x ππππ
-=+-=-+,在[0,)+∞上为减函数,
不等式(1)(21)(|1|)(|21|)|1||21|f x f x f x f x x x -<-⇒-<-⇒->-,解可得203
x <<, 即不等式的解集为2(0,)3
, 故答案为:2(0,)3
.。