消元法解二元一次方程组的概念、步骤与方法

消元法解二元一次方程组的概念、步骤与方法

湖南李琳高明生

一、概念步骤与方法：

1.由二元一次方程组中一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解.这种方法叫做代入消元法，简称代入法.

2.用代入消元法解二元一次方程组的步骤：

（1）从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来.

（2）把（1）中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数.

（3）解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值.

（4）把所求得的一个未知数的值代入（1）中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解.

注意：⑴运用代入法时，将一个方程变形后，必须代入另一个方程，否则就会得出“0＝0”的形式，求不出未知数的值.

⑵当方程组中有一个方程的一个未知数的系数是1或－1时，用代入法较简便.

3.两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。

用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”.

4.用加减法解二元一次方程组的一般步骤:

第一步:在所解的方程组中的两个方程,如果某个未知数的系数互为相反数,•可以把这两个方程的两边分别相加,消去这个未知数;如果未知数的系数相等,•可以直接把两个方程的两边相减,消去这个未知数.

第二步:如果方程组中不存在某个未知数的系数绝对值相等,那么应选出一组系数(选最小公倍数较小的一组系数),求出它们的最小公倍数(如果一个系数是另一个系数的整数倍,该系数即为最小公倍数),然后将原方程组变形,使新方程组的这组系数的绝对值相等(都等于原系数的最小公倍数),再加减消元.

第三步:对于较复杂的二元一次方程组,应先化简(去分母,去括号,•合并同类项等),通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边,•常数项在方程的右边的形式,再作如上加减消元的考虑.

注意：⑴当两个方程中同一未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时，用加减法较简便.

⑵如果所给（列）方程组较复杂，不易观察，就先变形（去分母、去括号、移项、合并等），再判断用哪种方法消元好.

5.列方程组解简单的实际问题．解实际问题的关键在于理解题意,找出数量之间的相等关系,这里的相等关系应是两个或三个,正确的列出一个(或几个)方程,再组成方程组．

6.列二元一次方程组解应用题的一般步骤：

⑴设出题中的两个未知数；

⑵找出题中的两个等量关系；

⑶根据等量关系列出需要的代数式，进而列出两个方程，并组成方程组；

⑷解这个方程组，求出未知数的值.

⑸检验所得结果的正确性及合理性并写出答案.

注意：对于可解的应用题，一般来说，有几个未知数，就应找出几个等量关系，从而列

出几个方程.即未知数的个数应与方程组中方程的个数相等.

二、化归思想

所谓转化思想一般是指将新问题向旧问题转化、复杂问题向简单问题转化、未知问题向已知问题转化等等．在解二元一次方程中主要体现在运用“加减”和“代入”等消元的方法，把新问题“二元”或“三元”通过消去一个未知数转化为旧问题“一元”，化“未知”为“已知”，化“复杂”为“简单”，从而实现问题的解决，它也是解二元一次方程最基本的思想．

三、典型例题解析：

类型一：基本概念：

例1、（2005年盐城大纲）若一个二元一次方程的一个解为

2

1

x

y

=

⎧

⎨

=-

⎩

，

，

则这个方程可以是

________．（只要写出一个）

分析：本题是一道开放型问题，考查方程的概念，满足题意的答案不惟一，解此类题目时，可以先设出系数在代入算出另一边的值。

解：可以先设左边为3x＋2y，然后将

2

1

x

y

=

⎧

⎨

=-

⎩

，

，

代入：3x＋2y 求得其值为4，则可以得

到符合题意的一个方程：3x＋2y ＝4；也可以先设左边为x y

+，然后将

2

1

x

y

=

⎧

⎨

=-

⎩

，

，

代入：

x y

+

求得其值为1，则可以得到符合题意的一个方程：

1 x y

+=；

评述：利用概念解题是初中数学的基本要求，注意概念的内涵和外延是解题的关键，本题实质是考查方程组的解与方程的关系，从而转化为代数求值的问题.

类型二：用含一个字母的式子表示另一个字母

例2、已知13

1 22

x y

-=

.

⑴用含x的式子表示y；

⑵用含

y的式子表示x.

分析：用一个字母表示另一个字母时，应该按照解方程的方法步骤，逐步“剥离”出要表示的字母并把它放在等号的左边，其他未知项、常数项则要统统移到等号的右边.

解：⑴去分母，得

32 x y

-=.

移项，得－3

y＝2－x.

系数化为1，得y＝－

2

3

+

3

x

.

⑵去分母，得，

32 x y

-=.