蝴蝶定理和燕尾定理word精品

燕尾定理

燕尾定理：

在三角形ABC中，AD , BE , CF相交于同一点0，那么S ABO：S AC^BD : DC .

梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”

①S1:S3=a2:b2

②S1: S3: S?: S4二a2:b2:ab:ab ；

2

③S的对应份数为（a+b）.

等积变形

①等底等高的两个三角形面积相等；

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比; 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如左图S =a:b

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图S A ACD BCD ；

反之，如果S A ACD二S A BCD，则可知直线AB平行于CD .

④等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）；

⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比.

二、鸟头定理

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形. 共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比.

如图在 △ ABC 中，D,E 分别是 AB,AC 上的点如图 上),

则 S A ABC : S A ADE -(AB AC)：(AD AE)

如图，& =2，S 3 =4，求梯形的面积.

【巩固】（2006年南京智力数学冬令营）如下图，梯形ABCD 的AB 平行于CD ,对角线AC , BD 交于O ,已知△ AOB 与厶BOC 的面积分别为 25平方厘米与35平方厘米，那么梯形 ABCD 的面积是 _______________ 平方厘米.

梯形ABCD 的对角线 AC 与BD 交于点O ,已知梯形上底为 角形BOC 面积的-，求三角形 AOD 与三角形BOC 的面积之比.

3

（第十届华杯赛）如下图，四边形 ABCD 中，对角线AC 和BD 交于O 点，已知AO =1，并且 三角形躺积=3，那么OC

的长是多少?

⑴（或D 在BA 的延长线上，E 在AC

2,且三角形ABO 的面积等于三

C

D

梯形的下底是上底的1.5倍，三角形OBC的面积是9cm2，问三角形AOD的面积是多少?

如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形

BCH的面积是23，求四边形EGFH的面积.

【巩固】在下图的正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，三角形BEF 的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD面积是______________ 平方厘米.

如图面积为12平方厘米的正方形ABCD中，巳F是DC边上的三等分点，求阴影部分的面积. 如图，在长方形ABCD中，AB=6厘米，AD =2厘米，AE=EF=FB，求阴影部分的面积.

如图，正方形ABCD面积为3平方厘米,

A D

ADG的面积是11,三角形

（2008年”奥数网杯”六年级试题）已知ABCD是平行四边形，BC:CE=3:2 ,三角形ODE 的面积为6平方厘米•则阴影部分的面积是 ____________________ 平方厘米.

【巩固】右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示（单位：平方厘米），阴影部分的面积是_________ 平方厘米.

【巩固】（2008年三帆中学考题）右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示（单位：平方厘米），阴影部分的面积是______________ 平方厘米.

如图所示，BD、CF将长方形ABCD分成4块，DEF的面积是5平方厘米，CED的面积是10平方厘米•问：四边形ABEF的面积是多少平方厘米？

（2007年”迎春杯”高年级初赛）如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3

块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC的面积为_________________ 平方厘米.

（98迎春杯初赛）如图，长方形ABCD中，AOB是直角三角形且面积为54, OD的长是16,

OB的长是9 •那么四边形OECD的面积是 ___________ .

燕尾定理应用

【例1】2009年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形ABC的面积是1, E是AC的中点，点D在BC上，且BD:DC=1:2 , AD与BE交于点F .则四边形DFEC的面积等

于______________ .

【巩固】如图，已知BD =DC , EC =2AE，三角形ABC的面积是30 ,求阴影部分面积A

B D C

【巩固】如图，三角形ABC的面积是200 cm2, E在AC上，点D在BC上，且

AE: EC -3:5 , BD : DC =2:3 , AD与BE 交于点F .则四边形DFEC的面积等于____________

【巩固】如图，已知BD =3DC , EC =2AE , BE与CD相交于点O ,则△ ABC被分成的4部分面积各占△ ABC面积的几分之几？

【巩固】如图，三角形ABC的面积是1 , BD =2DC , CE =2AE , AD与BE相交于点F , 请写

出这4部分的面积各是多少？

【巩固】如图，E在AC上，D在BC上，且AE:EC=2:3 , BD:DC=1:2，AD与BE交于点F •四边形DFEC的面积等于22 cm2，则三角形ABC的面积_____________ •

三角形ABC中，C是直角，已知AC =2 , CD =2 ,CB=3, AM=BM，那么三角形AMN （阴影部

分）的面积为多少？

【巩固】如图，长方形ABCD的面积是2平方厘米，EC =2DE , F是DG的中点.阴影部分的面

积是多少平方厘米？

平行四边形BODC的面积为__________

如图所示，在四边形ABCD 中，AB=3BE ,

xF

x

G

AD=3AF，四边形AEOF的面积是12，那么