全等几何模型讲解版
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常见的几何模型
一、旋转主要分四大类：绕点、空翻、弦图、半角。
这四类旋转的分类似于平行四边形、矩形、菱形、正方形的分类。
1.绕点型（手拉手模型）
遇60°旋60°,造等边三角形（!）自旋转：自旋转构造方』遇9。°旋曲造等腰直角
遇等腰旋顶角，造旋转全等
遇中点旋180°,造中心对称
图（1-1心
A
图(l-1-b) 4
图（卜
1）
图(2-1-a)
图(1-2)卩
图(Zl・b) a
例题讲解:
1.如图所示，P是等边三角形ABC内的一个点，PA二2, PB二2石，PC二4,求ZkABC的边长。
2.如图.0是等边三角形ABC内一点，已知：ZAOB二115° , ZB0C=125° ,则以线段0A、OB、0C
为边构成三角形的各角度数是多少
3•如图，P是正方形ABCD内一点，且满足PA： PD： PC=1： 2： 3,则ZAPD二___
4•如图(2-1)： P是正方形ABCD内一点，点P到正方形的三个顶点A. B、C的距离分别为
PA=1, PB二2, PC二3。求此正方形ABCD而积。
图(2-1)厘(2-2) 3
（2）共旋转（典型的手拉手模
型）
模型变形:
等边三角形共顶点
共顶点等腰:廊形
例题讲解：
1.已知AABC 为等边三角形，点D 为直线BC 上的一动点(点D 不与B,C 重合)，以AD 为边 作菱形ADEF (按A,D,E,F 逆时针排列)，使ZDAF 二60°，连接CF.
(1) 如图1,当点D 在边BC 上时，求证：①BD 二CF ,②AC 二CF+CD.
⑵如图2,当点D 在边BC 的延长线上且其他条件不变时，结论AC 二CF+CD 是否成立若不成
立，请写岀AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系，并说明理由；
(3)如图3,当点D 在边BC 的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC 、CF 、 CD
之间存在的数量关系。
到线段BDo
(1) 如图1，直接写出ZABD 的大小(用含Q 的式子表示)：
(2) 如图2, ZBCE=150° , ZABE 二60° ,判断ZkABE 的形状并加以证明;
(3) 在(2)的条件下，连结DE,若ZDEC 二45° ,求Q 的值。
2. 半角模型
说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为 二
分之一的角拼接在一起，成对称全等。
在△ ABC 中，AB=AC, ZBAC 二
a (0° (第24题圏2〉 A D A D 例题： 1.在等腰直角AABCD 的斜边上取两点M, N,使得ZMCN = 45。，记酬二m, MN 二x, BN 二n, 求证以m, x, n 为边长的三角形为直角三角形。 2•如图，正方形ABCD 的边长为1, AB, AD ±各存在一点P 、Q,若AAPQ 的周长为2・ 求ZPCQ 的度数。 3. E. F 分别是正方形ABCQ 的边CD 上的点，且ZEAF = 45°. AH 丄EF, H 为 垂足，求证：AH = AB ・ 4. 已知，正方形ABCD 中，ZMAN 二45° , ZMAN 绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB 、 DC （或它们的延长线）于点队N, AH 丄MN 于点 H. D n A （1）如图①，当ZMAN 点A 旋转到BH 二DN 时，请你直接写出AH 与AB 的数量关系: AH 二 AB ： （2）如图②，当/沁绕点A 旋转到BMHDN 时，（1）中发现的AH 与AB 的数量关系还成 立吗如果不成立请写出理由，如果成立请证明； （3）如图③，已知ZMAN 二45° , AH 丄MN 于点H,且MH 二2, NH 二3,求AH 的长.（可利用 （2） 得到的结论） 5•已知：正方形ABCD 中，ZMAN=45° , ZMAN 绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB, DC （或它们的延长线）于点M,N ・当ZMAN 绕点A 旋转到BM=DN 时（如图1）,易证B 肛DN 二MN ・ 线段BH, D7和MN 之间有怎样的数量关系写出猜想，并加以 证明. ⑵当ZMAN 绕点A 旋转到如图3的位置时，线段BH, DN 和MN 之间又有怎样的数量关系请 直接写出你的猜想. 6. （14房山2模）.边长为2的正方形ABCD 的两顶点A 、C 分别在正方形須的两边DE 、 DG 上（如图1）,现将正方形ABCD 绕D 点顺时针旋转，当4点第一次落（£DF 上时停止 旋转，旋转过程中，AB 边交DF 于点M , BC 边交DG 于点、N • （1） 求边DA 在旋转过程中所扫过的面积； （2） 旋转过程中，当A/N 和AC 平行时（如图2）,求正方形ABCD 旋转的度数： （3） 如图3,设4WBN 的周长为〃，在旋转正方形ABCD 的过程中，〃值是否有变化请 证明 你的结论. ⑴当 ZMAN 绕点A 旋转到BMHDN 时（如图2）, B C 图① 图1 图2 7.（2011石景山一模）已知：如图，正方形ABCD中，AC, BD为对角线，将ZBAC绕顶点A逆