平面汇交力系
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§3.1 平面汇交力系
平面汇交力系合成与平衡的几何法 平面汇交力系合成与平衡的解析法
第三章 平面基本力系
§3.1 平面汇交力系
平面汇交力系合成与平衡的几何法 平面汇交力系合成与平衡的解析法
第三章 平面基本力系
合成的几何法：基于平行四边形法则
平面汇交力系的合成结果为一个合力，其大小与方
F 0
F5 A
F4 F1
A
F1 F2
B
F2
C
F3
D
F3
F5
E
F4
比较下面两力多边形
B
F2
F1
A
C
B
F2
F3
D
A
F1
C
F3
D
F5
E
F4
F5
E
F4
例1、水平梁AB中点C作用着力F，其大小等于 2 kN，方 向与梁的轴线成 60º 角，支承情况如图所示，试求固定铰链支 座A和活动铰链支座B的约束力，梁的自重不计。
2
合力F的方向余弦
P26， 例题3-3
FRy Fiy FRx Fix cos , cos FR FR FR FR
平面汇交力系平衡的解析条件
FR F F
2 Rx 2 Ry
F F
2 ix iy
2
0
力系中所有各力在两个坐标轴上的投影的代数和分别等
于零。 平面汇交力系的平衡方程
F F
x
0
0
P27， 例题3-4
y
2个方程，求解2个未知量
思考题
应用解析法求解平面汇交力系的合力时，取不同的直
角坐标系时，所求合力是否相同？
应用解析法求解平面汇交力系平衡问题时，所取的投
影轴是否一定要互相垂直？
力沿两轴分力的大小和在该两轴上的投影大小相等吗？
a F1 A F
合力投影定理
B
F2 C
合力 F 在 x 轴上投影得 由图知
F3
D x b d (b) c
ad = ab + bc + (-dc) Fx= F1x+ F2x+ F3x
推广到任意多个力F1，F2， Fn组成的平面汇交力系，可得
F x= F1x+ F2x+ + Fnx = Fx
平面汇交力系合成的解析法
A C
a a
B
30º
解： 1. 取梁AB作为研究对象。
A
B C
a a
30º
2. 画出受力图。
3. 应用平衡条件画出F，FA 和FB的闭合力三角形。 4. 度量出长度
60º
FA=17.3 kN
FB=10 kN
30º 60º
30º
平面汇交力系
平面汇交力系合成与平衡的几何法 平面汇交力系合成与平衡的解析法
向由力多边形的封闭边来表示，且作用线通过汇交点。
n FR F1 F2 F3 F4 Fn Fi i 1
力的多边形规则 把各力矢首尾相接，形成一条有向折线段，加上一封
闭边，就得到一个多边形，称为力多边形。
F1 A F2 F4 F3
A B
F1
F2
C
F3
D
FR
FR
E
F4
注：绘制力多边形过程中各力无顺序影响，结果不变．
例、钢梁的重量为6KN，夹角为30度，求平衡时钢丝 绳的约束反力。
D 解：此为一个平面汇交力系
6KN A 6KN B
经测量，平衡时钢丝绳的约束反力均为3.45KN。
2 汇交力系平衡的几何条件
汇交力系平衡的充分必要几何条件为： 该力系的力多边形自行封闭
力在坐标轴上的投影
y b´
Fx F cos
B
Fy F cos
Fy
a´
F
b x
A
a
O
Fx
结论：力在某轴上的投影，等于力的模乘以力与该轴正向间 夹角的余弦。
反之，当投影Fx，Fy 已知时，则可求出力 F 的大小和方向：
F Fx2 Fy2
Fy Fx cos , cos F F
根据合力投影定理得
y
FRx F1x F2 x Fnx Fix FRy F1 y F2 y Fny Fiy
合力的大小
A FRy FRy O
Fra Baidu bibliotek
FRx
FR
B
FRx
FR F F
2 Rx 2 Ry
F F
2 ix iy
合力投影定理 合力在任一轴上的投影，等于它的各分力在同一轴上的 投影的代数和。 证明： 以三个力组成的汇交力系为例。设有三个汇交力F1，F2， F3如图a。
F1 A F2 F1 B A F D x F2
C
F3
F3 (a)
(b)
§3–1 平面汇交力系
各力在 x 轴上投影 F1x= ab , F2x= bc , F3x= -dc Fx= ad
y Fy
Fy
O
F
x Fx Fx
平面汇交力系合成与平衡的几何法 平面汇交力系合成与平衡的解析法
第三章 平面基本力系
§3.1 平面汇交力系
平面汇交力系合成与平衡的几何法 平面汇交力系合成与平衡的解析法
第三章 平面基本力系
合成的几何法：基于平行四边形法则
平面汇交力系的合成结果为一个合力，其大小与方
F 0
F5 A
F4 F1
A
F1 F2
B
F2
C
F3
D
F3
F5
E
F4
比较下面两力多边形
B
F2
F1
A
C
B
F2
F3
D
A
F1
C
F3
D
F5
E
F4
F5
E
F4
例1、水平梁AB中点C作用着力F，其大小等于 2 kN，方 向与梁的轴线成 60º 角，支承情况如图所示，试求固定铰链支 座A和活动铰链支座B的约束力，梁的自重不计。
2
合力F的方向余弦
P26， 例题3-3
FRy Fiy FRx Fix cos , cos FR FR FR FR
平面汇交力系平衡的解析条件
FR F F
2 Rx 2 Ry
F F
2 ix iy
2
0
力系中所有各力在两个坐标轴上的投影的代数和分别等
于零。 平面汇交力系的平衡方程
F F
x
0
0
P27， 例题3-4
y
2个方程，求解2个未知量
思考题
应用解析法求解平面汇交力系的合力时，取不同的直
角坐标系时，所求合力是否相同？
应用解析法求解平面汇交力系平衡问题时，所取的投
影轴是否一定要互相垂直？
力沿两轴分力的大小和在该两轴上的投影大小相等吗？
a F1 A F
合力投影定理
B
F2 C
合力 F 在 x 轴上投影得 由图知
F3
D x b d (b) c
ad = ab + bc + (-dc) Fx= F1x+ F2x+ F3x
推广到任意多个力F1，F2， Fn组成的平面汇交力系，可得
F x= F1x+ F2x+ + Fnx = Fx
平面汇交力系合成的解析法
A C
a a
B
30º
解： 1. 取梁AB作为研究对象。
A
B C
a a
30º
2. 画出受力图。
3. 应用平衡条件画出F，FA 和FB的闭合力三角形。 4. 度量出长度
60º
FA=17.3 kN
FB=10 kN
30º 60º
30º
平面汇交力系
平面汇交力系合成与平衡的几何法 平面汇交力系合成与平衡的解析法
向由力多边形的封闭边来表示，且作用线通过汇交点。
n FR F1 F2 F3 F4 Fn Fi i 1
力的多边形规则 把各力矢首尾相接，形成一条有向折线段，加上一封
闭边，就得到一个多边形，称为力多边形。
F1 A F2 F4 F3
A B
F1
F2
C
F3
D
FR
FR
E
F4
注：绘制力多边形过程中各力无顺序影响，结果不变．
例、钢梁的重量为6KN，夹角为30度，求平衡时钢丝 绳的约束反力。
D 解：此为一个平面汇交力系
6KN A 6KN B
经测量，平衡时钢丝绳的约束反力均为3.45KN。
2 汇交力系平衡的几何条件
汇交力系平衡的充分必要几何条件为： 该力系的力多边形自行封闭
力在坐标轴上的投影
y b´
Fx F cos
B
Fy F cos
Fy
a´
F
b x
A
a
O
Fx
结论：力在某轴上的投影，等于力的模乘以力与该轴正向间 夹角的余弦。
反之，当投影Fx，Fy 已知时，则可求出力 F 的大小和方向：
F Fx2 Fy2
Fy Fx cos , cos F F
根据合力投影定理得
y
FRx F1x F2 x Fnx Fix FRy F1 y F2 y Fny Fiy
合力的大小
A FRy FRy O
Fra Baidu bibliotek
FRx
FR
B
FRx
FR F F
2 Rx 2 Ry
F F
2 ix iy
合力投影定理 合力在任一轴上的投影，等于它的各分力在同一轴上的 投影的代数和。 证明： 以三个力组成的汇交力系为例。设有三个汇交力F1，F2， F3如图a。
F1 A F2 F1 B A F D x F2
C
F3
F3 (a)
(b)
§3–1 平面汇交力系
各力在 x 轴上投影 F1x= ab , F2x= bc , F3x= -dc Fx= ad
y Fy
Fy
O
F
x Fx Fx