第二章基本概念

二、抽样单元与抽样框
抽样单元（sampling unit）：从抽样理论而言，我们
总可以将总体看成有限的 ，因为总可以将总体划分成互不重 叠又穷尽的有限多个部分。每个这样的部分称为抽样单元。
•抽样单元可只包含一个个体，也可包含若干个体； • 抽样单元可分级； 初级单元→次级单元→三级单元→……→基本抽样单元 （最小一级）。 • 抽样单元可自然形成，也可人为划分。
2.样本均值的方差等于总体方差的1/n
样本均值的分布与总体分布的比较
X 2.5
n=2时样本均值的分布
5
4
3
2
1
0 1.00
1.50
样本均植
2.00
2.50
3.00
3.50
4.00
标准差 = .82 均值 = 2.50 N = 16.00
n=2,n=3的抽样分布曲线
P(x)
n=3
n=2
x
第二节 几种基本的抽样方法
l 简单随机抽样是所有其他抽样方法的基础，因为它在理论上最容易
处理，而且若N不太大，实施起来并不困难。但在实际问题中，若N
相当大，简单随机抽样就不是很容易办得到的。这是因为，首先它
要求有一个包含全部N个单元的抽样框，其次用这种抽样得到的样本
单元较为分散，调查不容易实施。因此在大规模调查中，很少单独 采用简单随机抽样。尽管如此，它依然是其他所有抽样方法的基础。
第二章 基本概念
第一节 总体与样本
l 总体（population）：待研究对象的全体。 l 个体（individual）: 总体中的单个对象。
总体是个体的集合。 l 有限总体和无限总体：
1.有限总体的范围能够明确确定，即由有限个个体组成； 2.无限总体所包括的个体是无限的，不可数的（大气和水源）。 l 样本（sample）：采用一定手段从总体中得到的部分个体的全体 。 样本中个体的个数称为样本容量或样本量（sample size）。
型而划分的。例如在全国调查中，将全国各省按经济发 达程度或地理位置分层；在家庭调查中，将住户家庭按 城市、农村以及不同职业分层，由于不同家庭的收支水 平和生活习惯相差较大，因而这样的分层抽样精度较高； 在对企业调查中，按企业的行业及规模分层等。
3、 整群抽样（cluster sampling）：
先将总体中的各个单元归并成数量较少而规模较大的单元， 称为群（cluster），即初级单元。抽样仅对群进行，对被抽中的 群，要调查群中所有的小单元，即次级单元，对没有被抽中的群 则不需要进行任何调查，这种抽样称为整群抽样。 l 整群抽样只需要关于初级单元的抽样框即可。另外由于群通常是 由那些地理位置邻近的或属同一个系统的单元构成，整群进行调 查将大大便利于实施，且省时省力，因此整群抽样也受到实际工 作者的欢迎。 l 整群抽样的主要缺点是精度较差，效率不高。这是因为同一群内 的单元或多或少有点相似，因此对抽中群的每个次级单元都进行 调查也就不可避免造成浪费。
l
若总体中N个初级单元各由若干次级单元组成，先按某种程序
抽取n个初级单元，然后对每个被抽中的初级单元再按某种程序抽
取次级单元，这种方法称为二阶抽样，那么两次抽样程序分别称
作第一阶抽样和第二阶抽样。
l 倘若在二级单元（次级单元）中又可进一步分成三级 单元，那么关于第三级单元的抽样便是第三阶抽样， 如此推广到多阶抽样。例如在全国抽省（直辖市）、 省（直辖市）中抽市（县）、市（县）中抽区（乡或 镇）等等。
l 系统抽样的主要优点是实施方便，不像简单随机抽样 那样每个样本单元都需要随机抽取，有时甚至不需要 一个完整的抽样框。如果对总体单元指标的变化周期 有所了解并加以正确利用的话，系统抽样也能达到相 当高的精度。
l 系统抽样的主要缺点是估计量的精度估计比较困难， 事实上许多行之有效的系统抽样并不是严格的概率抽 样。
元数N的比：
fn N
抽样方法的分类
抽样方法：即样本的抽取方法。抽样方法直接影响到调 查的质量，而样本推断总体的依据是“样本是总体的一 个代表性剖面”。 逐个抽样和全样本抽样法； 放回抽样和不放回抽样； 等概率抽样和不等概率抽样；
问题：总体指标与统计量的关系？
统计量？ 常见统计量？ 统计量是总体目标的估计量（数理统计的精髓）。 如何构造适当的统计量？（抽样分布理论）
⑤总体分位数：例如我国成年人身高、胸围、腰围等人体尺寸的5%， 50%，95%分位数等。
总量 均值 比例 比率
总体
N
Y Yi i 1
Y

1 N
N
Yi
i 1
P N1 N
R Y Y XX
样本
n
y yi i 1
y

1 n
n i 1
yi
p n1 n
r y y xx
l 本书介绍几种最基本的抽样方法： 对不同项目可采用不同的抽样方法。
在实际问题中，一个具体的抽样方案往往是 各种方法的各种形式的组合。
各种抽样方法
1、简单随机抽样（simple random sampling）
不放回简单 随机抽样
从总体N个单元中抽取n个单元作为样本，如果抽样是不
放回地逐个抽取单元。每次都是在所有未入样的单元中等概率
l 凡是调查就一定有误差，误差或大或小总是存在的，不可能完全 避免。在抽样调查中，误差可分成非抽样误差（non-sampling error）和抽样误差（sampling error）两类。
l 非抽样误差不是由抽样引起的。它包括调查误差，不完整的抽样 框引起的误差，不回答误差以及由于填写或录入调查数据中的错 误而产生的误差等。这些误差在全面调查中也是存在的。
四、样本、样本量与抽样比
l样本（sample）：从总体中按一定程序抽得的那部 分个体或抽样单元组成；
l 每个被抽中进入样本的单元称为入样单元；
l 样本中个体（或基本抽样单元）的个数称为样本容量
或样本量（sample size）；
l 抽样比（sampleing fraction）：样本量n对总体总单
抽取。这样得来的样本称为简单随机样本。简单随机样本也可
以一次同时从总体中抽得，只要保证全部可能的样本每个被抽
中的概率都相等。可能的样本共有C
n N
个，即每一个样本被抽
中的概率都等于1 (各组样本被抽到的可能性相等)
C
n N
在一些文献中，简单随机抽样被分为两种不同的情形：即不放 回简单随机抽样SRSWOR及放回简单随机抽样SRSWR.
三、总体指标的类型
③总体中具有某种特征的个体在全体中的比例或百分率（proportion or percentage）：例如某地区人口中在上一年度死亡人数或死亡 率、育龄妇女生育率、结核病患病率等。
④总体中两个指标的总和或均值的比值（ratio）: 例如家庭中用于 食品的消费金额在家庭总消费额中所占的比重，这里涉及食品消 费金额与总消费金额两个调查指标。
l 最常见的抽样方案通常是先将总体分层，层内采用二阶或多阶抽 样，其中前几阶抽样是不等概率的，最后一阶抽样是简单随机抽 样或系统抽样，有时最后一阶采用整群抽样等等。
l 因此实际采用的抽样方法都是比较复杂的，掌握了这些基本方法 就可以在实际中灵活地加以应用了。
第三节 误差与精度的表示方法
一、抽样调查中的误差来源
6、不等概率抽样（sampling with unequal probabilities）：
当单元大小不相等时，在整群抽样或多阶抽样中常 采用不等概率抽样。最常用的不等概率抽样是按照与 单元大小（规模）成比例的概率进行的抽样，这种抽 样精度较高，数据处理也不一定复杂。
l 以上是对几种基本抽样方法的简单介绍。在实际问题中，很少单 独采用一种抽样方法，而常常是几种抽样方法的有机结合，实际 问题中会有许多变化。例如在某些方法中，入样单元既可以放回 也可以不放回；可以进行等概率抽样，也可进行不等概率抽样。
一、目标总体与抽样总体
l 目标总体 研究对象的全体
l 抽样总体 从中抽取样本的总体
（实际抽样调查所覆盖的总 体）。
目标总体与抽样总体应尽可能一致，抽样总体 由目标总体决定，但在实践中可以构造的抽样 总体却有可能反过来决定调查中的目标总体。
例1：全国城镇单位在岗职工平均工资调查 例2：某省城镇居民收入及消费调查
三、总体指标的类型
l 总体参数（parameter)或指标（characteristic）：描述总体特征 的概括性数字度量，是研究者想要了解的总体的某种特征值。抽样 调查的主要目的是通过样本对我们感兴趣的某些总体参数进行估计， 这些总体参数也就是调查的目标量。
l 所关心的总体参数主要有： ①总体总量（population total）：也称总体总和，例如全国人 口数，一个地区某年的粮食总产量，我国大熊猫的现存数量等； ②总体均值（population mean）：例如职工平均月工资、粮食中 平均残留的农药的含量、某地区粮食的亩产量等；
所有样本均值的均值和方差
x xi 1.0 1.5 4.0 2.5 X
m
16
m
2x

(xi
i1
X)2
Hale Waihona Puke Baidu
(1.0 2.5)2
(1.5 2.5)2
(4.0 2.5)2
0.625 2
m
16
n
比较及结论：
1.样本均值的均值（数学期望）等于总体均值
4、二阶与多阶抽样（two-stage or multi-stage sampling）：
假设某工业集团拥有几十家工厂，每个工厂都各自有若干车 间。如果总裁想通过了解若干车间的生产情况以掌握整个集团的 生产进程，最有可能的办法也许是先抽几个工厂，再在被抽中的 工厂中抽取若干车间。这里的抽样分两个阶段进行，我们称第一 次抽样的基本单位—工厂为初级单元，而工厂之下的车间则称为 次级单元或二级单元。
l 多阶抽样的优点是实施比较方便，它既保持了样本的 相对集中，又避免了不必要的浪费，所以精度比整群 抽样高。而缺点是多阶抽样的估计比较困难。
5、系统抽样（systematic sampling）：
若总体中的抽样单元按某种次序排列，在规定的范围内随 机抽取一个起始单元，然后按一个确定的规则抽取其他单元，这 种方法称为系统抽样。与其他抽样方法不同的是：这里只有起始 单元是经随机抽取的，而其他样本单元都随着起始单元的确定而 确定。最简单的系统抽样是在取得一个起始单元后，按相等的间 隔抽取其他样本单元，这就是所谓的等距抽样。 l 例：中学数学老师没有时间批改所有学生的作业，但是为了检查 学生的作业，他想出的办法，要求“学号是5的倍数”的同学交 作业或者“学号尾数是3 ”的同学交作业。那么他采用的就是系 统抽样方法。
l 分层抽样特别适用于既要对总体参数进行估计也需要对各子总体 （层）参数进行估计的情形。分层抽样的组织实施都比较方便， 样本散布比较均匀，这些都是分层抽样的优点。分层抽样更重要 的一个优点是它的精度较高，而且它的数据处理也颇为简单。因 此分层技术是应用上最为普遍的技术之一。
l 分层抽样遵循层内单元指标差异较小，而层间差异较大。 l 在一些实际问题中，“层”常是按照调查对象的不同类
二、抽样单元与抽样框
抽样框（sampling frame）：抽样总体的具体表现
• 类型：
A、名录框 B、区域框（地域框） C、自然框，如时间、距离
抽样单元大小规模； 调查历史资料
•缺陷： A、重复 B、遗漏
•抽样框应： 包括相关辅助资料。
抽样框是在抽样前，为便于抽样工作的组织，在可能条件下编制的 用来进行抽样的、记录或表明总体所有抽样单元的框架，在抽样框中， 每个抽样单元都被编上号码。
l 简单随机抽样中的估计方法，通常是采用样本均值作为总体均值的 估计，用样本比例作为总体比例的估计，这就是所谓的简单估计。 有时为了提高精度，在有其他辅助变量存在的情况下，也可以用比估 计和回归估计等方法。
2、分层抽样（stratified sampling）
l 将总体中的单元按某种原则划分成若干个子总体，每个子总体称 为层。在每层中独立进行简单随机抽样或其他抽样，这样的抽样 就称为分层抽样。特别，如果每层的抽样都是简单随机抽样，就 称为分层随机抽样。分层抽样的估计先对各层进行，然后再综合 对总体参数进行估计。
抽取样本，如n=2，拟解决的问题：
Ø 样本均值与总体均值的关系如何？ Ø 样本均值与总体均值的误差有多大？ Ø 样本均值的分布的一般规律是什么？
xi
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0
p (xi)
0.0625 0.125
0.1875 0.25
0.1875 0.125
0.0625