【新人教版】数学必修二第八章 8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积

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8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球表面积和体积(课件)2022-2023学年高一下学期数学(人教A版2

8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球表面积和体积(课件)2022-2023学年高一下学期数学(人教A版2
解:当球内切于正方体时用料最省 此时棱长=直径=5cm
答:至少要用纸150cm2
练习
解析 设球 O 的半径为 r,则圆柱的底面半径为 r, 高为 2r,所以VV12=π43rπ2·r23r=32.
三、课堂小结:
1.圆柱、圆锥、圆台的表面积公式
1).圆柱 2).圆锥
S 2r 2 rl
S r 2 rl
如果圆台的上、下底面半径分别为r和R,母线长为l,你能计算它的
表面积吗?
r O’
RO
圆台的侧面展开图是扇环
x x
r 'O’
rO
xl r x r' l rr' x r'
xl 1 r 1 x r'
x r' l r r'
∵圆台侧面展开图是一个扇环
S侧面积
1 2
2 r( x
l)
1 2
2 r
'
x
r( x l ) r ' x rx rl r ' x
A
B
D
C
A1 D1
B1 C1
变式 球的内接长方体的长、宽、高分别为3、2、 3 ,求此球体的表面积 和体积。
分析:长方体内接于球,则由球和长方体都是中心对称图形可知,它们 中心重合,则长方体对角线与球的直径相等。
内切球问题
例题3 把直径为5cm钢球放入一个正方体的有盖纸盒中,至少要用多少纸? 分析:用料最省时,球与正方体有什么位置关系? 球内切于正方体
解:一个浮标的表面积为
2π×0.15×0.6 + 4π×0.152 =0.8478(m2) 所以给1000个这样的浮标涂防水漆约需涂料
0.8478×0.5×1000 =423.9(kg).

8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积+教学案

8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积+教学案

8.3简单几何体的表面积与体积8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积教学目标1. 了解圆柱、圆锥、圆台、球的表面积的求法2. 了解圆柱、圆锥、圆台、球的表面积计算公式,解决有关的实际问题 教学重点:圆柱、圆锥、圆台、球的表面积公式和体积公式 教学难点:球的体积公式的推导 教学过程:一、 导入新课,板书课题上节课我们学习了棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的求法,那么这节课我们学习圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的求法。

【圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积】 二、 出示目标,明确任务1. 了解圆柱、圆锥、圆台的表面积的求法2. 了解圆柱、圆锥、圆台的体积的求法3. 了解球的表面积和体积的求法 三、 学生自学,独立思考(打开课本阅读116页-119页内容,限时5分钟) 1.找出你阅读内容中的知识点 2.找出你阅读内容中的重点3.找出你阅读内容中的困惑点、疑难问题 四、自学指导,紧扣教材自学指导一(阅读课本116页 至117页 归纳,限时5 分钟) 1.完成下列表格圆柱底面积: 侧面积:表面积: 圆锥底面积: 侧面积:表面积:圆台底面积: 侧面积:表面积:自学指导二(阅读课本117页 至119页 例4,限时5分钟) 1.球的表面积公式S =_______(R 为球的半径). 2.球的体积公式V =__________. 3. 阅读例3,完成以下几个问题(1)浮标可看成由________和_________组合而成; (2)1个浮标的表面积为:___________. 1000个浮标的表面积为:_________.则1000个浮标涂防水漆需要多少涂料:_______. 4. 阅读例4,完成以下几个问题已知,圆柱的底面直径和高都等于球的直径2R , (1) 球的体积为:________; (2) 圆柱的体积为:________;(3) 球与圆柱的体积之比为:________;五、 自学展示,精讲点拨1.学生口头回答自学指导问题,教师点拨并板书(答案见PPT )2.书面检测:课本119页练习1题 精讲点拨 自学指导1 1. 略2. 观察所给出的体积公式,得出棱柱、棱锥、棱台,它们之间的关系。

新教材人教版高中数学必修第二册 8-3-2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 教学课件

新教材人教版高中数学必修第二册 8-3-2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 教学课件
第二十一页,共二十七页。
知识点三 球的体积与表面积 [例 3] (1)球的体积是323π,则此球的表面积是 ( )
A.12π
B.16π
C.163π
D.643π
(2)一平面截一球得到直径为 2 5 cm 的圆面,球心到这个
平面的距离是 2 cm,则该球的体积是
A.12π cm3
B.36π cm3
()
第七页,共二十七页。
2.对于圆柱、圆锥、圆台体积公式的几点认识 (1)等底、等高的两个圆柱的体积相同. (2)等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过实验 得出,等底、等高的圆柱的体积是圆锥的体积的 3 倍. (3)圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间的关系
V=Sh―S′―=――S V=13(S′+ S′S+S)h―S′――=→0 V=13Sh.
故 S 侧=π(R+r)l=π(8+2)×10=100π, S 表=S 侧+πr2+πR2=100π+4π+64π=168π.
[答案] (1)B (2)2π (3)168π
第十三页,共二十七页。
【知识小结一】
求圆柱、圆锥、圆台的表面积的基本步骤 (1)得到空间几何体的平面展开图. (2)依次求出各个平面图形的面积. (3)将各平面图形的面积相加.
第九页,共二十七页。
(2)球的表面积(体积)计算中蕴涵的数学思想 ①函数方程思想:根据球的表面积与体积公式可知,球的 半径 R,球的表面积 S,球的体积 V 三个量“知一求二”. ②转化思想:空间问题平面化. (3)球体的截面的特点 ①球既是中心对称的几何体,又是轴对称的几何体,它的 任何截面均为圆,它的三视图也都是圆. ②利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离构建直角 三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径.

8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积课件高一下学期数学人教版必修第二册第八章

8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积课件高一下学期数学人教版必修第二册第八章

4 课时对点练
PART FOUR
基础巩固
1.两个球的体积之比为8∶27,那么这两个球的表面积之比为
A.2∶3 C. 2∶ 3
√B.4∶9
D. 8∶ 27
解析 由两球的体积之比为8∶27, 可得半径之比为2∶3, 故表面积之比是4∶9.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
√A.母线长是 20
C.高是 10 2
√B.表面积为 1 100π
√D.体积是7
000 3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
解析 如图所示,设圆台的上底面周长为C, 因为扇环的圆心角为180°, 所以C=π·SA,又C=10×2π, 所以SA=20,同理SB=40, 故圆台的母线AB=SB-SA=20,
∴r= πS, ∴底面周长为 2πr=2π πS,
又侧面展开图为一个正方形,∴侧面积是2π
πS2=4πS.
二、圆柱、圆锥、圆台的体积
例2 (1)(多选)圆柱的侧面展开图是长12 cm,宽8 cm的矩形,则这个
圆柱的体积可能是
√288 A. π
cm3
√192 B. π
cm3
C.288π cm3
D.192π cm3
第八章 §8.3 简单几何体的表面积与体积
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式. 2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系,并能利用
计算公式求几何体的表面积与体积.内知识梳理 Nhomakorabea容
题型探究

随堂演练

人教版数学必修第二册8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积课件

人教版数学必修第二册8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积课件

(2)半径和球心是球的关键要素,把握住这两点,计算球的表
面积或体积的相关题目也就易如反掌了.
跟踪训练
1. (1)两个球的半径相差1,表面积之差为28π,则它们的
364
体积和为________;
3
设大、小两球半径分别为R,r,则由题意可得
− =1
R=4
42 − 4 2 = 28
r=3
∵棱长为a,∴BE=
3
2
3
a× = a.
2
3
3
∴在Rt△ABE中,AE=
2

2
3

6
a.
3
设球心为O,半径为R,则(AE-R)2+BE2=R2,
∴R=
6
6 2
3
a,∴S球=4π×( a) = πa2.
4
4
2
2. 设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为a,顶点都在一个
球面上,则该球的表面积为( B )
∴R=2.
4
3
∴V= πR3=
32
.
3
5.有一个倒圆锥形容器,它的轴截面是一个正三角形,在容器内放一个
半径为r的铁球,并注入水,使水面与球正好相切,然后将球取出,求这
时容器中水的深度.
由题意知,圆锥的轴截面为正三角形,如图所示为圆锥的轴截面.
根据切线的性质知,当球在容器内时,水深CP为3r,水面的半径AC
3
2
12
总结提升
1.正方体的内切球
球与正方体的六个面都相切,称球为正方体的内切球,此时球的

2
半径为r1= ,过在一个平面上的四个切点作截面如图.
总结提升
2.长方体的外接球

新教材人教A数学必修二课件:8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积

新教材人教A数学必修二课件:8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积

A.12 π C.8 2π
2
B.12π D.10π
2.若球的过球心的截面圆的周长是C,则这个球的表面
积是 ( )
A.
B.
C.
D.2πC2
3.已知某圆锥的底面半径为8,高为6,则该圆锥的表
面积为________.
C2
C2
C2
4
2
【思维·引】1.根据条件画出图形,根据圆柱的侧面 展开图求出圆柱的底面半径. 2.根据已知大圆周长求出大圆半径即球的半径,再求 球的表面积. 3.根据圆锥的底面半径和高求出圆锥的母线长.
8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
1.圆柱、圆锥、圆台的表面积公式
【思考】 圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间有什么关系?
提示:圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系: S圆柱侧=2πrl S圆台侧=π(r′+r)l S圆锥侧=πrl.
2.圆柱、圆锥、圆台的体积公式 柱体的体积公式V=Sh(S为底面面积,h为高); 锥体的体积公式V= Sh(S为底面面积,h为高); 台体的体积公式V= (S′+ +S)h.
【解析】1.选B.因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得 的截面是面积为8的正方形,所以圆柱的高为2 ,
底面圆的直径为2 ,所以该圆柱的表面积为
2×π×( )2+2π× ×2 =12π.
2
2
2
22
2.选C.由题意知大圆的半径即球的半径,设为R, 由2πR=C,得R= ,所以S球面=4πR2= .
C
S表 S侧

2r(2 2+1)=1+2
Hale Waihona Puke 42r22.4.圆锥的母线长为5,底面半径为3,则其体积 为( ) A.15π B.30π C.12π D.36π

8.圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积-【新】人教A版高中数学必修第二册精品教学PPT

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8.圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和 体积-【 新】20 20-202 1学年 人教A版 高中数 学必修 第二册 PPT全 文课件 【完美 课件】
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在直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个与其各面都相切的球O1,同时在三棱柱ABC-A1B1C1 外有一个外接球O2.若AB⊥BC,AB=3,BC=4,则球O2的表面积为 29π . 思路点拨 先求出球O1的半径,再求出球O2的半径,从而求得球O2的表面积.
提示:旋转得到的几何体为圆柱,该圆柱的底面半径r=1,高h=1,所以其侧面积为 2πrh=2π.
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探究与球有关的切、接问题 如图,一个水平放置的无盖正方体容器,容器高8 cm,将一个球放在容器口,再向 容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm,若不计容器的厚度,如何求出 球的体积?
圆柱、圆锥、圆台的体积
几何体
体积公式
Hale Waihona Puke 圆柱 V=⑤ Sh (S为底面积,h为圆柱的高)
圆锥 V=⑥ Sh (S为底面积,h为圆锥的高)
圆台 V=⑦ (S'+
+S)h (S',S分别为上、下底面面积,h为圆台的高)
球的表面积和体积公式
球的表面积公式
S=⑧ 4πR2 (其中R为球的半径)
球的体积公式
V=⑨ πR3 (其中R为球的半径)
8.圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和 体积-【 新】20 20-202 1学年 人教A版 高中数 学必修 第二册 PPT全 文课件 【完美 课件】

【新教材课件】2021学年高中数学人教A版必修第二册:8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积

【新教材课件】2021学年高中数学人教A版必修第二册:8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
第八章
立体几何初步
8.3 简单几何体的表面积与体积
8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
[目标] 1.会求圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积;2.会求圆 柱、圆锥、圆台的侧面积;3.了解球的体积和表面积公式.
[重点] 求圆柱、圆锥、圆台的侧面积和体积. [难点] 圆台的侧面积和体积.
要点整合夯基础 课堂达标练经典
当截面在球心的两侧时,如图②所示为球的轴截面,由球的
截面性质知,O1A∥O2B,且 O1,O2 分别为两截面圆的圆心,则 OO1⊥O1A,OO2⊥O2B.
设球的半径为 R, ∵π·O2B2=49π,∴O2B=7 cm, ∵π·O1A2=400π,∴O1A=20 cm, 设 O1O=x cm,则 OO2=(9-x) cm. 在 Rt△OO1A 中,R2=x2+400, 在 Rt△OO2B 中,R2=(9-x)2+49. ∴x2+400=(9-x)2+49,解得 x=-15,不合题意,舍去. 综上所述,球的表面积为 2 500π cm2.
提示:圆锥侧面展开图中扇形弧长为圆锥底面周长,而扇形 弧长又是以 l 为半径圆周长的3α6°0°,于是有3α6°0°·2πl=2πr,即 r =3α6°0°l.
知识点二
圆柱、圆锥、圆台、球的体积
1.圆柱的体积 (1)圆柱的高是指
[填一填] 两底面 之间的距离,即从一底面上任
意一点向另一个底面作垂线,这个点与垂足(垂线与底面的交点)
类型三 几何体的“切”“接”问题
[例 3] (1)若球的外切圆台的上、下底面半径分别为 r,R,
则球的表面积为( C )
A.4π(r+R)2
B.4πr2R2
C.4πrR
D.π(R+r)2
(2)已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面

8.3.2+圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积++教学设计

8.3.2+圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积++教学设计

8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积一、内容和内容解析内容:圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积.内容解析:本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》(人教A版)第八章第3节第2课时的内容.本节课主要学习圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式.本节课从圆柱、圆锥、圆台的展开图推出它们的表面积,然后比较它们的表面积公式,让学生更容易记忆公式。

类比棱台的体积公式,进而得到圆台的体积公式,再进一步比较圆柱、圆锥、圆台、棱柱、棱锥、棱台的体积公式,找到它们公式之间的关系。

类比初中圆的面积公式的推导,从而推导球的体积公式.二、目标和目标解析目标:(1)通过对圆柱、圆锥、圆台的研究,掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积的求法.(2)会求与圆柱、圆锥、圆台、球有关的组合体的表面积与体积.(3)会用球的体积与表面积公式解决实际问题.目标解析:(1)圆柱、圆锥、圆台和球都是旋转体,它们的表面积由底面和侧面组成,在表面积的求解过程中,从运动变化的观点,从圆柱、圆锥、圆台的结构特征上寻找原因,提高能力和兴趣.(2)从运动变化的观点研究圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间的关系,当圆台上底面扩大到与下底面全等时,圆台转化为圆柱;圆台上底面缩小为一个点时,圆台转化为圆锥,这种转化的思想方法值得思考和学习.(3)类比圆的周长和面积,推导球的表面积和体积,对于球的体积公式的推导,可利用“分割、求近似值、再由近似和转化为球体的体积”的极限思想方法.基于上述分析,本节课的教学重点定为:通过对圆柱、圆锥、圆台的研究,掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积的求法.三、教学问题诊断分析1.教学问题一:现在的学生运算能力普遍偏弱,求面积和体积对运算要求又较高,因此,解决运算问题是本节课的第一个教学问题.解决方案:化繁为简,割补法的应用,让学生把主要精力用在观察、发现规律上.2.教学问题二:圆柱、圆锥、圆台的体积公式是本节课的第二个教学问题.这不仅是本节课的重点,也是教学难点.解决方案:从运动变化的观点研究圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间的关系,当圆台上底面扩大到与下底面全等时,圆台转化为圆柱;圆台上底面缩小为一个点时,圆台转化为圆锥.基于上述情况,本节课的教学难点定为:会求与圆柱、圆锥、圆台、球有关的组合体的表面积与体积.四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示.为了让学生通过观察、归纳得到圆柱、圆锥、圆台和球的表面积和体积,应该为学生创造积极探究的平台.因此,在教学过程中借助具体实物模型.既可以解决学生的空间想象能力,也可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来.在教学设计中,采取问题引导方式来组织课堂教学.问题的设置给学生留有充分的思考空间,让学生围绕问题主线,通过自主探究达到突出教学重点,突破教学难点.在教学过程中,重视圆柱、圆锥、圆台和球的表面积和体积公式的推导,让学生体会到从特殊到一般是数学抽象的基本过程,同时,公式的推导应用其实就是数学模型的建立与应用的典范.因此,本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试.五、教学过程与设计教学环节问题或任务师生活动设计意图复习回顾,温故知[问题1]棱柱、棱锥、棱台的表面积公式?[问题2]棱柱、棱锥、棱台的表面积公式?教师1:提出问题1.学生1:学生思考,回答.教师2:提出问题2.学生2:学生思考,回答.V棱柱=Sh通过复习棱柱、棱锥、棱台的表面积体积公式,引入本新V 棱锥=13ShV 棱台=13(S ′+S ′S +S )h节新课。

人教A版(新教材)高中数学第二册(必修2)课件6:8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积

人教A版(新教材)高中数学第二册(必修2)课件6:8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
(3)将各平面图形的面积相加.
【跟踪训练】
1.如图所示,已知直角梯形 ABCD,BC∥AD,
∠ABC=90°,AB=5 cm,BC=16 cm,AD=4 cm.
求以 AB 所在直线为轴旋转一周所得几何体的
表面积.
解:以 AB 所在直线为轴旋转一周所得的几何体是
圆台,其上底半径是 4 cm,下底半径是 16 cm,
2
4
3 4
3
3
3 500
故其体积为 V= πR = ×π×5 =
3
π(cm3).
3
π
cm3.
——重点探究 认知发展——
探索点一
圆柱、圆锥、的上、下底面的中心分别为 O1,
O2,过直线 O1O2 的平面截该圆柱所得的截面是面积为
8 的正方形,则该圆柱的表面积为 (
8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
[学习目标]
1.知道圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积计算公式.
2.能运用公式进行计算和解决有关实际问题,提升空间
想象能力.
——预习导学 思维启动——
一、圆柱、圆锥、圆台的表面积
[知识梳理]
1.圆柱的表面积公式
2
2πrl+2πr
S 圆柱=
(r 是底面半径,l 是母线长).
(1)公式法:根据几何体的结构特征,确定底面积和高,
代入体积公式直接求出.
(2)分割法:将几何体分割成易求解的几部分,分别求体积.
(3)补体法:将几何体补成易求解的几何体,先求再去.
【跟踪训练】
2.已知某圆台的上、下底面面积分别是 π,4π,
7 3
π
侧面积是 6π,则这个圆台的体积是 3
.

数学人教版A版(2019)必修第二册8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积(共22张ppt)

数学人教版A版(2019)必修第二册8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积(共22张ppt)

3. 球的表面积和体积 设球的半径为R,它的表面积只与半径R有关,是以R为自变量的函数. 事实上,如果球的半径为R,那么它的表面积是
S球 =4πr 2
rO
小学,我们学习了圆的面积公式,你还记得是如何求得的吗?类比这种 方法你能由球的表面积公式推导出球的体积公式?
例3.如图,圆柱的底面直径和高都等于球的直径,求球与圆柱的体积之比.
【解析】设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R, 高为2R,则:
V球 V圆柱
=
4 πR3 3 πR2 2R
2 3

拓展提升
思考:如图,正方体的棱长为a,它的各个顶点都在球的球面上,求球的表 面积和体积。
归纳总结
圆柱、圆锥、 圆台、球
圆柱S 2r(r l) r r
圆台S (r2 r2 rl rl)
r 0 圆锥 S r(r l)
球 S 4R2
柱体、锥体、台体、球的体积
柱体V Sh
S S'
台体V 1 (S SS S)h
3
S' 0
锥体V 1 Sh
3
球 V 4 R3
3
课后作业
1.已知圆锥的底面半径为 2,高为 5,求这个圆锥的体积.
2.(1)已知球的直径为 2,求它的表面积和体积; (2)已知球的体积为1038π,求它的表面积.
思考:圆锥的展开图是什么? 怎么求它的表面积?
底面半径r ,母线长l
注:扇形的面积公式
2r
1
S扇形 = 2 lr (r是扇形所在圆半径,l是弧长)
l
S圆锥侧 =πrl S底 =πr 2
rO
圆锥的侧面展开图是扇形
S圆锥表面积 r 2 rl r(r l)

人教版高中数学必修第二册8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积

人教版高中数学必修第二册8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
底面积:S底=_π_r_2_
侧面积:S侧=πrl 表面积:S=___π_r_(_r+__l_)_____
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第八章 立体几何初步
4
圆台
上底面面积:S上底=____π_r′_2___ 下底面面积:S下底=__π_r_2__
侧面积:S侧=____π_l(_r_+__r_′)______ 表面积:
第八章 立体几何初步
8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
数学
第八章 立体几何初步
1
01
预习案 自主学习
02
探究案 讲练互动
03
自测案 当堂达标
04
应用案 巩固提升
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第八章 立体几何初步
2
学习指导
核心素养
1. 知 道 圆 柱 、 圆 锥 、 圆 台 、 球 的 表 直观想象、数学运算:利用公式计
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第八章 立体几何初步
12
(1)若圆锥的高为3,底面半径为4,则此圆锥的表面积为( )
A.40π C.26π
√B.36π
D.20π
(2)圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4,若母线长为10,则圆台 的表面积为( )
A.81π
B.100π
√C.168π
D.169π
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S=4πR2=4π.
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第八章 立体几何初步
10
4.圆柱的侧面展开图是长 12 cm,宽 8 cm 的矩形,则这个圆柱的体
积为( )
A.2π88 cm3
B.1π92 cm3

圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积-【新教材】人教A版高中数学必修第二册优秀课件

圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积-【新教材】人教A版高中数学必修第二册优秀课件

圆 柱 、 圆 锥 、圆台 、球的 表面积 和体积 -【新教 材】人 教A版 高中数 学必修 第二册 优秀课 件
2.对于圆柱、圆锥、圆台体积公式的几点认识 (1)等底、等高的两个圆柱的体积相同. (2)等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过实验 得出,等底、等高的圆柱的体积是圆锥的体积的 3 倍. (3)圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间的关系
圆 柱 、 圆 锥 、圆台 、球的 表面积 和体积 -【新教 材】人 教A版 高中数 学必修 第二册 优秀课 件
圆 柱 、 圆 锥 、圆台 、球的 表面积 和体积 -【新教 材】人 教A版 高中数 学必修 第二册 优秀课 件
(2)球的表面积(体积)计算中蕴涵的数学思想 ①函数方程思想:根据球的表面积与体积公式可知,球的 半径 R,球的表面积 S,球的体积 V 三个量“知一求二”. ②转化思想:空间问题平面化. (3)球体的截面的特点 ①球既是中心对称的几何体,又是轴对称的几何体,它的 任何截面均为圆,它的三视图也都是圆. ②利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离构建直角 三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径.
答案:6π
5.若圆锥的底面半径为 3,母线长为 5,则圆锥的体积是 ________.
解析:由已知圆锥的高 h=4,所以 V 圆锥=13π×32×4=12π. 答案:12π
[系统归纳]
1.对圆柱、圆锥、圆台侧面积与表面积的求解 (1)求圆柱、圆锥、圆台的侧面积或表面积时,可直接使用公式. 但 圆台的表面积公式比较复杂,不要求记忆,因此,表面积的求解方法是 最重要的. (2)在计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积时,应根据条件计算以上旋转 体的母线长和底面圆的半径长. (3)这些公式的推导方法向我们提示了立体几何问题的解题思路,那 就是主要通过空间观念等有关知识,将立体几何问题转化为平面几何问 题. (4)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式间的关系 S圆柱侧=2πrl r′―=―r―S圆台侧=π(r+r′)l ―r―′―=―0 S圆锥侧=πrl.

8,3,2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积2 课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

8,3,2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积2 课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

B、4π C、5π D、6π
解:联想棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1,
则四面体ACB1D1的棱长都为 2 ,它的外接球也是正方体的外接球,
其半径为正方体对角线长的一半,即有r= 3,
故所求球面积为S=3π
2
D1
B1
要理解和掌握“正方体与正四面体”的这种图
形上的关系,对于快速解题有很大帮助。
2、外切问题 定义2:若一个多面体的各面都与一个球的球面相切,则称这个 多面体是这个球的外切多面体,这个球是这个多面体的内切球。
2、球O和这个正方体的六个面都相切
正方体的内切球的球心是体对角 线的交点,半径是棱长的一半。
ra 2
例4、一个正方体的表面积是24,则此正方体内切球的体积为_43____。
D A
D1 A1
C B
O C
B11
D A
D1 A1
C B
O C1
B1
RtB1 D1 D中 : B1 D 2R,B1 D1 2a
(2R)2 a 2 ( 2a)2,得:R 3 a 2
S 4R2 3a 2
练习2:长方体的共顶点的三个面面积分别为 3,5,15,试求它 的外接球的表面积
S球=9π
连接AE,因为CE是圆O的直径,所以CA⊥AE. 因为CA2=CD·CE=16×18=288, 所以CA 12 2 因为AB⊥CD,所以AD2=CD·DE=16×2=32, 所以AD 4 2
所以圆锥的侧面积S AD CA 4 2 12 2 96
练习6、已知一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球,在圆 锥内又有一个内切球. 求: (1)圆锥的侧面积; (2)圆锥内切球的体积.
D
C
A D1

新人教版高中数学必修第二册《圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积》教学设计

新人教版高中数学必修第二册《圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积》教学设计

【新教材】8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积教学设计(人教A版)本节是在学生已从圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征和直观图两个方面认识了旋转体的基础上,进一步从度量的角度认识圆柱、圆锥、圆台、球,主要包括表面积和体积.课程目标1.通过对圆柱、圆锥、圆台、球的研究,掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积计算公式.2.能运用圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题.数学学科素养1.数学抽象:圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积公式;2.数学运算:求旋转体及组合体的表面积或体积;3.数学建模:数形结合,运用圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题.重点:掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积计算公式和应用;难点:圆台的体积公式的理解.教学方法:以学生为主体,小组为单位,采用诱思探究式教学,精讲多练。

教学工具:多媒体。

一、情景导入前面已经学习了三种多面体的表面积与体积公式,那么如何求圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积公式?要求:让学生自由发言,教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本,引入新课阅读课本116-119页,思考并完成以下问题1.圆柱、圆锥、圆台、的侧面积、底面积、表面积公式各是什么?2.圆柱、圆锥、圆台的体积公式各是什么?3.球的表面积与体积公式各式什么?要求:学生独立完成,以小组为单位,组内可商量,最终选出代表回答问题。

三、新知探究(一)圆柱、圆锥、圆台的表面积圆柱(底面半径为r,母线长为l)圆锥(底面半径为r,母线长为l)圆台(上、下底面半径分别为r′,r,母线长为l)侧面展开图底面积S底=2πr2S底=πr2S底=π(r′2+r2)侧面积S侧=2πrl S侧=πrl S侧=π(r′+r)l表面积S表=2πr(r+l) S表=πr(r+l) S表=π(r′2+r2)+ π(r′+r)l(二) 棱柱、棱锥、棱台的表面积1.棱柱:柱体的底面面积为S,高为h,则V=Sh.2.棱锥:锥体的底面面积为S,高为h,则V=13 Sh.3.棱台:台体的上、下底面面积分别为S′、S,高为h,则V=13(S′+S′S+S)h.(三) 球的体积公式与表面积公式 1.球的体积公式V=43πR3(其中R为球的半径).2.球的表面积公式S=4πR2.四、典例分析、举一反三题型一圆柱、圆锥、圆台的表面积例1 若一个圆锥的轴截面是边长为4 cm的等边三角形,则这个圆锥的侧面积为________cm2,表面积为________cm2.【答案】8π 12π.【解析】如图所示,∵轴截面是边长为4 cm的等边三角形,∴OB=2 cm,PB=4 cm,∴圆锥的侧面积S侧=π×2×4=8π (cm2),表面积S表=8π+π×22=12π (cm2).解题技巧(求旋转体表面积注意事项)旋转体中,求面积应注意侧面展开图,上下面圆的周长是展开图的弧长.圆台通常还要还原为圆锥. 跟踪训练一1.圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4,若母线长为10,则圆台的表面积为( )A.81πB.100πC.168πD.169π【答案】C【解析】选C 先画轴截面,再利用上、下底面半径和高的比求解.圆台的轴截面如图所示,设上底面半径为r ,下底面半径为R ,则它的母线长为l =5r =10,所以r =2,R =8.故S 侧=π(R +r )l =π(8+2)×10=100π,S 表=S 侧+πr 2+πR 2=100π+4π+64π=168π.题型二 圆柱、圆锥、圆台的体积例2 如图,某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成,半球的直径是0.3m ,圆柱高0.6m 如果在浮标表面涂一层防水漆,每平方米需要0.5kg 涂料,那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料?(π取3.14)【答案】423.9kg【解析】一个浮标的表面积是()2220.150.640.150.8478mππ⨯⨯+⨯=,所以给1000个这样的浮标涂防水漆约需涂料0.84780.51000423.9(kg)⨯⨯=.解题技巧(求几何体积的常用方法)(1)公式法:直接代入公式求解.(2)等积法:例如四面体的任何一个面都可以作为底面,只需选用底面积和高都易求的几何体即可.(3)补体法:将几何体补成易求解的几何体,如棱锥补成棱柱,棱台补成棱锥等.(4)分割法:将几何体分割成易求解的几部分,分别求体积.跟踪训练二1.如图,一个底面半径为2的圆柱被一平面所截,截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3,求该几何体的体积.【答案】10π.【解析】用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱,如图,则圆柱的体积为π×22×5=20π,故所求几何体的体积为10π.2. 梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AD=a,BC=2a,∠DCB=60°,在平面ABCD内过点C作l⊥BC,以l为轴将梯形ABCD旋转一周,求旋转体的表面积和体积.【答案】见解析【解析】由题意知以l为轴将梯形ABCD旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒置的且与圆柱等高的圆锥,如图所示.在梯形ABCD中,∠ABC=90°,AD∥BC,AD=a,BC=2a,∠DCB=60°,∴CD=BC-ADcos60°=2a,AB=CD sin60°=3a,∴DD′=AA′-2AD=2BC-2AD=2a,∴DO=12DD′=a.由上述计算知,圆柱的母线长为3a,底面半径为2a;圆锥的母线长为2a,底面半径为a.∴圆柱的侧面积S1=2π·2a·3a=43πa2,圆锥的侧面积S2=π·a·2a=2πa2,圆柱的底面积S3=π(2a)2=4πa2,圆锥的底面积S4=πa2,∴组合体上底面面积S5=S3-S4=3πa2,∴旋转体的表面积S=S1+S2+S3+S5=(43+9)πa2.又由题意知形成的几何体的体积为圆柱的体积减去圆锥的体积,且V柱=π·(2a)2·3a=43πa3,V锥=13·π·a2·3a=33πa3.∴旋转体的体积V=V柱-V锥=43πa3-33πa3=1133πa3.题型三球的表面积与体积例3 如图,圆柱的底面直径和高都等于球的直径,求球与圆柱的体积之比.【答案】23【解析】 设球的半径为R ,则圆柱的底面半径为R ,高为2R .球的体积3143V R π=,圆柱的体积23222V R R R ππ=⋅=,123342::233V V R R ππ∴==.例4 平面α截球O 的球面所得圆的半径为1.球心O 到平面α的距离为2,则此球的体积为( )A.6π B .43π C .46π D .63π【答案】B【解析】如图,设截面圆的圆心为O ′,M 为截面圆上任一点,则OO ′=2,O ′M =1.∴OM =(2)2+1=3.即球的半径为3.∴V =43π(3)3=43π.解题技巧(与球有关问题的注意事项)1.正方体的内切球球与正方体的六个面都相切,称球为正方体的内切球,此时球的半径为r 1=a2,过在一个平面上的四个切点作截面如图(1).2.球与正方体的各条棱相切球与正方体的各条棱相切于各棱的中点,过球心作正方体的对角面有r 2=2a2,如图(2).3.长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上,称球为长方体的外接球,根据球的定义可知,长方体的体对角线是球的直径,若长方体过同一顶点的三条棱长为a ,b ,c ,则过球心作长方体的对角面有球的半径为r 3=a 2+b 2+c 22,如图(3).4.正方体的外接球正方体棱长a 与外接球半径R 的关系为2R =3a .5.正四面体的外接球正四面体的棱长a 与外接球半径R 的关系为:2R =62a .6、有关球的截面问题常画出过球心的截面圆,将问题转化为平面中圆的有关问题解决.跟踪训练三1、将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球,则该球的体积为( )A.4π3B.2π3C.3π2D.π6【答案】A.【解析】由题意知,此球是正方体的内切球,根据其几何特征知,此球的直径与正方体的棱长是相等的,故可得球的直径为2,故半径为1,其体积是V 球=43×π×13=4π3.2.设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都为a ,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为( )A .πa 2 B.73πa 2 C.113πa 2 D .5πa 2【答案】B.【解析】选B 由题意知,该三棱柱为正三棱柱,且侧棱与底面边长相等,均为a .如图,P 为三棱柱上底面的中心,O 为球心,易知AP =23×32a =33a ,OP =12a ,所以球的半径R =OA 满足R 2=(33a)2+(12a)2=712a 2,故S 球=4πR 2=73πa 2.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本119页练习,119页习题8.3的剩余题.本节课的重点是掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积计算公式和应用,通过本节课的例题及练习,学生基本掌握.须注意的是:①求面积时看清求的是侧面积,还是底面积,还是表面积;②对本节课的难点的理解类比棱台与棱锥、棱锥的联系;③解决实际问题时先抽象出几何图形,再利用相关公式解决.3、球的表面积与体积公式。

人教版高中数学必修28.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积 课件

人教版高中数学必修28.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积 课件

A 4πS
B 2πS
C πS
D


解:选A底面半径是
侧面积是 (
) =


,所以正方形的边长是 2π



=
。故圆柱的

练习二:
如图所示,在边长为4的正三角形ABC中,E,F分别是AB,AC的中点,D为BC
的中点,H,G分别是BD,CD的中点,若将正三角形ABC绕AD旋转180°,求

对于柱体、锥体、台体的体积公式的认识
(1)等底、等高的两个柱体的体积相同.
(2)等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过实验得出,等底、等
高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍.
思考2:
圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间有什么关系?结合棱柱、棱锥、棱台的
体积公式,你能将统一成柱体、锥体、台体的体积公式吗?柱体、锥体、
,所以球的表面积S=4πR 2=6πa 2.


=


总结:

1.球与正方体的六个面都相切,称球为正方体的内切球,此时球的半径为r1= ,
过在一个平面上的四个切点作截面如图(1).
2.长方体的八个顶点都在球面上,称球为长方体的外接球,根据球的定义可知,
长方体的体对角线是球的直径,若长方体过同一顶点的三条棱长分别为a,b,c
圆柱、圆锥、圆台的表面积之间有什么关系?你能用圆柱、圆锥、圆台的结构
特征来解释这种关系吗?
l
r
r 'O
O
O
l
r'=r
上底扩大
S 2πr(r l)
r
r'=0
上底缩小
O
S台 π(r 2 r 2 rl rl)

8.3.2圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积-【新教材】人教A版高中数学必修第二册课件

8.3.2圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积-【新教材】人教A版高中数学必修第二册课件

S表 2r (r l )
课堂探究
圆锥
侧面展开图是
一个扇形
底面是圆形
S底 r
1
S侧 2r l
2
rl
2
S表 r (r l )
课堂探究
圆台的侧面展开图是扇环
圆台
S

2r '
l
r ' O’
r
l

r l l
'
2r
rl r l r l
就是积分的思想。
根据材质,品质、价格的高低,高尔夫球大多为300到450个面,各不
相同。
此时我们只要认真看还能清楚看出他是个多面体,假如变成3000个面
了?30000个面了?
假如到了3亿个面,我想我们就已经分不清究竟是多面体还是球体了,
也就是说此时的多面体完全可以看作球体。
这就是积分的思想! 这是高等数学范畴。
课堂探究
棱柱和圆柱的体积
高h
底面积S
柱体的体积
V=Sh
课堂探究
棱锥和圆锥的体积
S
高h
底面积S
D
E
C
O
A
B
1
体积 V Sh
3
课堂探究
棱台和圆台的体积
高h
1
V ( S S S S )h
3
课堂探究
球的表面积和体积
设球的半径为R,它的表面积只与半径R有关,
是以R为自变量的函数。
,即球的半径为


练习巩固
球的截面性质:
①球心和截面圆圆心的连线垂直于截面
②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r满足关系 =

新人教版高中数学必修2课件:8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积

新人教版高中数学必修2课件:8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
2.V球=
4
πR3(R是球的半径)
3
微练习
已知球的表面积是16π,则该球的体积为
答案
.
32
3
解析设球的半径为 R,则由题意可知 4πR2=16π,解得 R=2.所以球的体积
4
3 32
V=3πR = 3 .
课堂篇 探究学习
探究一
圆柱、圆锥、圆台的表面积
例1如图,已知直角梯形ABCD,BC∥AD,∠ABC=90°,AB=5,BC=16,AD=4.求
们将此原理称为“祖氏原理”或“祖暅原理”更为恰当.
知识点拨
知识点一、圆柱、圆锥、圆台的表面积
几何体 侧面展开图
底面积、侧面积、表面积
底面积:S底=πr2;
圆柱
侧面积:S侧=2πrl;
表面积:S=2πr2+2πrl
底面积:S底=πr2;
圆锥
侧面积:S侧=πrl;
表面积:S=πr2+πrl
几何体 侧面展开图
.
2
在 Rt△C'CO 中,由勾股定理得 CC'2+OC2=OC'2,
即a +
2
从而 V
2
2
2
=R
6
,所以 R= 2 a.
2
2π 3 2π
R=
半球=
3
3
因此 V 半球∶V 正方体=
6

2
3
=
6π 3
a ∶a3=
2
6π 3
a .又 V
2
6π∶2.
=a3,
正方体
(方法二)将半球补成整个的球,同时把原半球的内接正方体再补接一个同
(1)V柱体=Sh(S为柱体的底面积,h为柱体高);
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【新人教版】数学必修二第八单元8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积学习目标 1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式.2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系,并能利用计算公式求几何体的表面积与体积.知识点一圆柱、圆锥、圆台的表面积图形表面积公式旋转体圆柱底面积:S底=2πr2侧面积:S侧=2πrl表面积:S=2πr(r+l)圆锥底面积:S底=πr2侧面积:S侧=πrl表面积:S=πr(r+l)圆台上底面面积:S上底=πr′2下底面面积:S下底=πr2侧面积:S侧=π(r′l+rl)表面积:S=π(r′2+r2+r′l+rl)知识点二圆柱、圆锥、圆台的体积几何体体积说明圆柱V圆柱=Sh=πr2h圆柱底面圆的半径为r,面积为S,高为h圆锥V圆锥=1 3Sh=13πr2h圆锥底面圆的半径为r,面积为S,高为h圆台V圆台=13(S+SS′+S′)h=13π(r2+rr′+r′2)h圆台上底面圆的半径为r′,面积为S′,下底面圆的半径为r,面积为S,高为h知识点三球的表面积和体积公式1.球的表面积公式S=4πR2(R为球的半径).2.球的体积公式V=43πR3.1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的面积就是它们的表面积.(×)2.圆锥、圆台的侧面展开图中的所有弧线都与相应底面的周长有关.(√)3.球的体积是关于球半径的一个函数.(√)4.球的表面积是球的体积的6倍.(×)一、圆柱、圆锥、圆台的表面积例1(1)若某圆锥的高等于其底面直径,则它的底面积与侧面积之比为()A.1∶2B.1∶ 3C.1∶ 5D.3∶2答案 C解析 设圆锥底面半径为r ,则高h =2r ,∴其母线长l =5r ,∴S 侧=πrl =5πr 2,S 底=πr 2,S 底∶S 侧=1∶ 5.(2)已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84π,则该圆台较小底面的半径为( ) A.7 B.6 C.5 D.3 答案 A解析 设圆台较小底面的半径为r ,则另一底面的半径为3r . 由S 侧=3π(r +3r )=84π,解得r =7.反思感悟 圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形计算,而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.跟踪训练1 圆柱的一个底面积是S ,侧面展开图是一个正方形,那么这个圆柱的侧面积是( ) A.4πS B.2πS C.πS D.233πS 答案 A解析 设底面半径为r ,则πr 2=S , ∴r =S π,∴底面周长为2πr =2πS π,又侧面展开图为一个正方形,∴侧面积是⎝⎛⎭⎪⎫2πS π2=4πS .二、圆柱、圆锥、圆台的体积例2 (1)(多选)圆柱的侧面展开图是长12 cm ,宽8 cm 的矩形,则这个圆柱的体积可能是( ) A.288π cm 3 B.192π cm 3 C.288π cm 3 D.192π cm 3答案 AB解析 当圆柱的高为8 cm 时,V =π×⎝ ⎛⎭⎪⎫122π2×8=288π(cm 3),当圆柱的高为12 cm 时,V =π×⎝ ⎛⎭⎪⎫82π2×12=192π(cm 3).(2)圆锥的轴截面是等腰直角三角形,侧面积是162π,则圆锥的体积是( )A.64π3B.128π3 C.64π D.1282π 答案 A解析 作圆锥的轴截面,如图所示:由题意知,在△P AB 中,∠APB =90°,P A =PB . 设圆锥的高为h ,底面半径为r ,则h =r ,PB =2r .由S 侧=π·r ·PB =162π,得2πr 2=162π,所以r =4.则h =4. 故圆锥的体积V 圆锥=13πr 2h =643π.反思感悟 求几何体的体积时,要注意利用好几何体的轴截面,准确求出几何体的高和底面积.跟踪训练2 已知圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4,母线长为10,则圆台的体积为________. 答案 224π解析 设上底面半径为r ,则下底面半径为4r ,高为4r ,如图.∵母线长为10,∴102=(4r )2+(4r -r )2,解得r =2. ∴下底面半径R =8,高h =8, ∴V 圆台=13π(r 2+rR +R 2)h =224π. 三、球的表面积和体积例3 (1)已知球的表面积为64π,求它的体积; (2)已知球的体积为5003π,求它的表面积.解 (1)设球的半径为R ,则4πR 2=64π,解得R =4, 所以球的体积V =43πR 3=43π·43=2563π.(2)设球的半径为R ,则43πR 3=5003π,解得R =5, 所以球的表面积S =4πR 2=4π×52=100π.反思感悟 计算球的表面积和体积的关键是确定球的半径. 跟踪训练3 一个球的表面积是16π,则它的体积是( ) A.64π B.64π3 C.32π D.32π3 答案 D解析 设球的半径为R ,则由题意可知4πR 2=16π,故R =2.所以球的半径为2,体积V =43πR 3=323π.1.直径为6的球的表面积和体积分别是( ) A.36π,144πB.36π,36πC.144π,36πD.144π,144π答案 B2.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是( ) A.1+2π2π B.1+2π4π C.1+2ππ D.1+4π2π答案 A解析 设圆柱的底面圆半径为r ,高为h ,由题意得h =2πr ,∴圆柱的表面积S 表=2πr 2+2πr ×h =2πr 2+2πr ×2πr =2πr 2·(1+2π),圆柱的侧面积S 侧=2πr ×h =2πr ×2πr =4π2r 2,故S 表S 侧=2πr 2(1+2π)4π2r 2=1+2π2π.3.圆锥的表面积是底面积的3倍,那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为( )A.120°B.150°C.180°D.240° 答案 C解析 设圆锥的底面半径为r ,母线长为l , S 底+S 侧=3S 底,2S 底=S 侧, 即2πr 2=πrl ,得2r =l .设侧面展开图的圆心角为θ,则θπl 180°=2πr ,∴θ=180°.4.一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a 的正方形和正三角形,则它们的表面积之比为________. 答案 2∶1解析 S 圆柱=2·π⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22+2π·a 2·a =32πa 2.S 圆锥=π⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22+π·a 2·a =34πa 2.∴S 圆柱∶S 圆锥=2∶1.5.圆台的体积为7π,上、下底面的半径分别为1和2,则圆台的高为________. 答案 3解析 设圆台的高为h ,由题意知,V =13(π+2π+4π)h =7π, 所以h =3.1.知识清单:(1)圆柱、圆锥、圆台的表面积. (2)圆柱、圆锥、圆台的体积. (3)球的表面积和体积. 2.方法归纳:公式法.3.常见误区:平面图形与立体图形切换不清楚.1.若球的体积与其表面积数值相等,则球的半径等于( ) A.3 B.2 C.1 D.12 答案 A解析 设球的半径为R ,则4πR 2=43πR 3,所以R =3.2.两个球的体积之比为8∶27,那么这两个球的表面积之比为( ) A.2∶3B.4∶9C.2∶ 3D.8∶27答案 B解析 由两球的体积之比为8∶27, 可得半径之比为2∶3, 故表面积之比是4∶9.3.将边长为4 cm 和8 cm 的矩形纸片卷成一个圆柱的侧面,则圆柱的轴截面的面积为( ) A.32π cm 2 B.32π cm 2 C.32 cm 2 D.16π cm 2答案 A解析 当以4 cm 为母线长时,设圆柱底面半径为r , 则2πr =8,∴2r =8π, ∴S 轴截面=4×8π=32π(cm 2).当以8 cm 为母线长时,设圆柱底面半径为R , 则2πR =4,2R =4π, ∴S 轴截面=8×4π=32π(cm 2).综上,圆锥的轴截面的面积为32π cm 2.4.已知等腰直角三角形的直角边的长为2,将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A.22π3 B.42π3 C.22π D.42π 答案 B解析 绕等腰直角三角形的斜边所在的直线旋转一周形成的曲面围成的几何体为两个底面重合,等体积的圆锥,如图所示.每一个圆锥的底面半径和高都为2,故所求几何体的体积V =2×13×2π×2=42π3.5.如图,圆柱形容器内盛有高度为6 cm 的水,若放入3个相同的铁球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球,则球的半径为( )A.4 cmB.3 cmC.2 cmD.1 cm答案 B解析 由题意可得,设球的半径为r ,依题意得三个球的体积和水的体积之和等于圆柱体的体积,∴3×43πr 3=πr 2(6r -6),解得r =3,故选B.6.一个平面截一球得到直径为6 cm 的圆面,球心到这个平面的距离为4 cm ,则球的体积为________cm 3. 答案 500π3 解析 如图所示,由已知得O 1A =3 cm ,OO 1=4 cm ,从而R =OA =5 cm. 所以V 球=4π3 ×53=500π3(cm 3).7.若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆,则圆锥的体积是________. 答案 33π解析 圆锥的母线长l =2,设圆锥的底面半径为r , 则2πr =12×2π×2,∴r =1, ∴圆锥的高h =l 2-r 2=3, 则圆锥的体积V =13πr 2h =33π.8.现有橡皮泥制作的底面半径为5,高为4的圆锥和底面半径为2,高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个,则新的底面半径为________. 答案7解析 设新的底面半径为r ,则有13×πr 2×4+πr 2×8=13×π×52×4+π×22×8,解得r =7.9.如图在底面半径为2,母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱,求圆柱的表面积.解 设圆锥的底面半径为R ,圆柱的底面半径为r ,表面积为S . 则R =OC =2,AC =4,AO =42-22=2 3.如图所示,易知△AEB ∽△AOC ,∴AE AO =EB OC ,即323=r 2,∴r =1, S 底=2πr 2=2π,S 侧=2πr ·h =23π.∴S =S 底+S 侧=2π+23π=(2+23)π.10.某组合体的直观图如图所示,它的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,若图中r =1,l =3,试求该组合体的表面积和体积.解 该组合体的表面积S =4πr 2+2πrl =4π×12+2π×1×3=10π.该组合体的体积V =43πr 3+πr 2l=43π×13+π×12×3=13π3.11.已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1,O 2,过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为( ) A.122π B.12π C.82π D.10π答案 B解析 ∵过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,∴圆柱的高为22,底面圆的直径为22,∴该圆柱的表面积为2×π×(2)2+2π×2×22=12π.12.若一个球的外切正方体的表面积等于 6 cm 2,则此球的体积为( )A.π6 cm 3B.6π8 cm 3C.4π3 cm 3D.6π6 cm 3答案 A解析 设球的半径为R cm ,正方体棱长为a cm ,∴6a 2=6,∴a =1 cm ,即2R =1,∴R =12 cm ,∴球的体积V =43πR 3=43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫123=π6 cm 3. 13.正方体的内切球与其外接球的体积之比为( )A.1∶ 3B.1∶3C.1∶3 3D.1∶9答案 C解析 设正方体的棱长为a ,则其内切球的半径为a 2,∴V 内=43π⎝ ⎛⎭⎪⎫a 23=πa 36, 正方体的外接球的半径为32a ,∴V 外=43π⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 3=33πa 36,∴V 内∶V 外=1∶3 3.14.如图,一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等,这时圆柱、圆锥、球的体积之比为________.答案 3∶1∶2解析 设球的半径为R ,则V 圆柱=πR 2·2R =2πR 3,V 圆锥=13πR 2·2R =23πR 3,V 球=43πR 3,故V 圆柱∶V 圆锥∶V 球=2πR 3∶23πR 3∶43πR 3=3∶1∶2.15.已知A ,B 是球O 的球面上两点,∠AOB =90°,C 为该球面上的动点,若三棱锥O -ABC 体积的最大值为36,则球O 的表面积为________.答案 144π解析 如图所示,设球的半径为R ,∵∠AOB =90°,∴S △AOB =12R 2.∵V 三棱锥O -ABC =V 三棱锥C -AOB ,而△AOB 的面积为定值,∴当点C 到平面AOB 的距离最大时,三棱锥O -ABC 的体积最大, ∴当动点C 为与球的大圆面AOB 垂直的直径的端点时,三棱锥O -ABC 的体积最大,此时V 三棱锥O -ABC =V 三棱锥C -AOB =13×12R 2×R =16R 3=36,解得R =6,则球O 的表面积为S =4πR 2=144π.16.已知四面体的各面都是棱长为a 的正三角形,求它外接球的体积. 解 如图,设SO 1是四面体S -ABC 的高,则外接球的球心O 在SO 1上.设外接球半径为R .∵四面体的棱长为a ,O 1为正△ABC 的中心,∴AO 1=23×32a =33a ,SO 1=SA 2-AO 21=a 2-13a 2=63a ,在Rt △OO 1A 中,R 2=AO 21+OO 21=AO 21+(SO 1-R )2, 即R 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫63a -R 2,解得R =64a , ∴所求外接球的体积V 球=43πR 3=68πa 3.。

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