构成空间几何体的基本元素
构成空间几何体的基本元素优质课课件[1].ppt9.13
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平行 面面 相交
例1.
• • • • • • • • 判断 （1）平行四边形是平面； （2）任何一个平面图形都可以用来表示平面； （3）空间图形中先画的线是实线，后画的线是虚线； （4）同时垂直于同一条直线两条直线一定平行； （5）到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆； （6）过平面外一点只能作一条直线与已知直线垂直； （7）用六根火柴棒，以每根火柴棒为一边，最多可以搭出 四个正三角形； • （8）过空间任意点可以引出三条射线使它们两两垂直； • （9）人们无法搭出一个对角线不相交的四边形。
（D）平面多边形和圆、椭圆都可以表示
一个平面
例3．在空间中，下列说法正确的是（ B ）
（A）一个点运动形成直线 （B）直线平行移动形成平面或曲面 （C）直线绕定点运动形成锥面 （D）矩形上各点沿同一方向移动形成长方 体
例4．下列关于长方体的说法中，正确的 是 (2)、(3) 。 （1）长方体是由六个平面围成的几何体； （2）长方体可以看作一个水平放置的矩 形ABCD上各点沿铅垂方向向上移动相同 的距离到矩形A1B1C1D1所形成的几何体； （3）长方体一个面上任一点到对面的距 离相等。
1 1 1
D1
三、从运动观点认识点、线、面
（1）点动成线：把线看成是点运动的轨迹! 如 果点运动的方向始终不变，那么它的轨迹是一 条直线或线段，如果点运动的方向时刻在变化， 则运动的轨迹是一条曲线或曲线的一段。
（2）线动成面：直线平行移动，可以形成平面或 曲面；直线绕定点转动，可以形成锥面。 可以形成一个几何体。
（3）面动成体：面运动的轨迹（经过的空间部分）
举出点动成线、线动成面、面动成体的 实例.
四、点、线、面的位置
问题1：直线与直线的位置关系为
1.1.1构成空间几何体的基本元素 课件(共10张PPT)
平行 相交（含垂直）
试从集合的角度分析空间 中点、 直线 、平面的关系
位置关系
点P—在—直线AB上 点C—不在—直线AB上 点M—在 平面AC内 点A1—不在—平面AC内 直线AB与BC交于点—B— 直线AB—在 平面AC内 直线AA1—不在—平面AC内
·P ·M
符号表示
P∈ AB
C AB
M ∈ 平面AC
1.点、直线、平面之间的位置关系； 2.点、直线、平面之间的位置关系的画法。
考点1：
确定平面划分的空间．
例1 空间三个平面能把空间分成的部分为( )
A．4或6 C．5或6或7
B．7或8 D．4或6或7或8
考点2：
还Байду номын сангаас几何体
例2 下面四个平面图形（如下图）中，每个小四边形
皆为正方形，其中可以沿两个正方形的相邻边折叠围 成一个立方体（即正方体）的图形是（ ）
A
B
C
D
课堂小结：
复习回顾： 一、构成空间几何体的基本元素？
二、点、直线、平面的特征及表示方法？
三、如何理解点、线、面的关系？
思考：长方体中空间几何体基本元素之间的位置
关系
在线上
1、点与直线位置关系
在线外
平行
2、直线与直线位置关系 相交
异面
在面内
3、直线与平面位置关系
平行
在面外 相交（含垂直）
4、平面与平面位置关系
A1 平面AC
AB∩BC=B
AB 平面AC
AA1 平面AC
试从集合的角度分析空间 中平面与平面的关系
平面 平面
位置关系
相交 平面
平行 平面ABCD
课件1：11.1.2 构成空间几何体的基本元素
类型三 几何体中基本元素的位置关系 [例 3] 如图所示的长方体 ABCD-A1B1C1D1，在长方体的面与棱中，
(1)与棱 BC 平行的棱是哪几条？ (2)与棱 BC 平行的平面是哪几个？ (3)与棱 BC 垂直的平面是哪几个？ (4)与平面 BC1 垂直的平面是哪几个？
[解] 在长方体的面与棱中， (1)与棱 BC 平行的棱有：棱 B1C1，A1D1，AD. (2)与棱 BC 平行的平面有：平面 A1C1，平面 AD1. (3)与棱 BC 垂直的平面有：平面 AB1，平面 DC1. (4)与平面 BC1 垂直的平面有：平面 AB1，平面 A1C1，平面 DC1，平面 AC.
[答一答] 2．写出两个特殊的空间位置关系？ 提示：(1)直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情形． (2)平面和平面垂直是两个平面相交的特殊情形．
3．怎样理解点到平点连线中最短的一条线段的长度．特 别地，当点在平面内时，点到平面的距离为 0. (2)两个平行平面间的距离，可转化为其中一个平面内任一点到 另一个平面的距离．
[答一答] 1．对点、线、面及其关系的三点说明．
提示：(1)平面和点、线一样是构成空间图形的基本要素之一，它是无边界、大小和厚薄的． (2)“点”可看成元素，“线、面”可看成集合． (3)将“文字语言”“图形语言”转化为“符号语言”要注意符号“∈，∉，⊂，⊄，∩”的正确使用．
知识点二
空间点、线、面的关系
【解析】A 平面不是平行四边形；B 平面是无限延展的；C 平面没有厚度，故 A，B，C 都不对． 【答案】D
2．在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，与棱 A1A 既不平行也不相交的棱有( ) A．1 条 B．2 条 C．3 条 D．4 条
【解析】与棱 A1A 平行的棱有 3 条，相交的有 4 条，故既不平行也不相交的有 4 条． 【答案】D
课件2：11.1.2 构成空间几何体的基本元素
其中,点A称为垂足.
(2)图形语言:如图.
画直线l与平面α垂直时,通常把直线画成与
表示平面的平行四边形的一边垂直.
(3)符号语言:任意m⊂α,都有l⊥m⇒l⊥α.
2.投影、点到平面的距离、直线到平面的距离、两平行平面之间的距离的定义
微思考
鲁班是我国古代一位出色的发明家,他在做木工时,常遇到有关直角的问题.虽然他手头有画直角的矩,
但用起来很费事.于是,鲁班对矩进行改进,做成一把叫做曲尺的“L”形木尺.现在木工要检查一根木棒
是否和板面垂直,只需用曲尺在不同的方向(但不是相反的方向)检查两次,如图.如果两次检查时,曲尺
的两边都分别与木棒和板面密合,便可以判定木棒与板面垂直.
如图α与β有公共点,这称为平面α与平面β相交,记作α∩β≠⌀.
更进一步可以看出,一个点是α与β的公共点,当且仅当这个点在直线k上,这可记作α∩β=k.
5.平面与平面平行
如果α与β是空间中的两个平面,则α∩β≠⌀与α∩β=⌀有且只有一种情况成立.而且,当α∩β≠⌀时,α与β的公
共点组成一条直线;当α∩β=⌀时,称平面α与平面β平行,记作α∥β.
)
(2)如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行.(
(3)若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点.(
【答案】(1)×
(2)×
(3)√
)
)
微练习1
若M∈平面α,M∈平面β,则α与β的位置关系是(
)
A.平行
B.相交
C.异面
D.不确定
【答案】B
【解析】因为M∈α,M∈β,所以α与β相交于过点M的一条直线.
构成空间几何体的基本元素;棱柱、棱锥、和棱台;圆柱、圆锥、圆台和球
【同步教育信息】一. 本周教学内容：1. 构成空间几何体的基本元素2. 棱柱、棱锥和棱台的结构特征3. 圆柱、圆锥、圆台和球二. 教学目的1. 认识构成空间几何体的基本元素2. 掌握柱、锥、台和球的结构特征三. 教学重点、难点1. 柱、锥、台和球的结构特征2. 学生看图、识图的能力的培养和尝试模型制作四. 知识分析我们生活的世界有各种各样的物体，我们总是试着去观察它们，区分它们。
区分这些物体的方法很多，但最直接的方法是什么呢？对，是它们占有空间部分的形状和大小。
这也是我们研究几何体的方向和内容。
（一）构成空间几何体的基本元素但是什么是几何体呢？我们将要认识和研究几何体的哪些方面的问题？几何体指的是一个物体所占有的空间部分。
常见的有柱体、锥体、台体、球体等等。
（见上图）同学们应该明确一点就是几何体不仅仅包括它的外表面，还包括它内部的部分，或者说它是有皮有瓤的。
我们研究几何体，不用理睬它的物理性质和化学成分，不用关心它的历史，也不用研究它的经济价值，而只考虑它的形状和大小，研究一下它的结构特征和构成元素间的逻辑关系等等就行了。
我们现在要学习的内容是立体几何初步，它包括两节内容：第一节是空间几何体，第二节是点、线、面之间的位置关系。
学习的重点是认识柱、锥、台、球的结构特征，会用平行投影法、中心投影法、三视图法、直观图法绘制空间图形，柱、锥、台、球等几何体的表面积和体积的求法，平面的基本性质，空间直线的位置关系，直线与平面之间及两平面之间平行和垂直关系，掌握好上述内容，就抓住了立体几何中最重要、最根本的内容，其他部分也就迎刃而解了。
现在，同学们先观察你的周围，发现了哪些几何体？你都认识它们吗？在我们认识的几何体中，最熟悉的莫过于长方体了，你能说出长方体的结构特征吗？观察长方体，会发现它的表面有六个矩形，我们把这六个矩形（含矩形内部）称为长方体的面，相邻两个面的公共边叫做长方体的棱，长方体的三条两两相交成直角的棱交会到一点，就是长方体的顶点。
1.1.1构成空间几何体的基本元素(1)
思考：2个平面可以把空间分成几部分？ 3个或4个
课后思考：3个平面可以把空间分成 几部分？
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下图中不可能围成正方体的是（ B ）
A
B
C
D
品味高考 11.(2007·重庆)若三个平面两两相交,且三条交线互相平行,则
这三个平面把空间分成( ) A.5部分 B.6部分 C.7部分 D.8部分
答案:C
解析:如图所示,该组平面可以将平面分成7部分.
12.(2009·全国Ⅱ)纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记 为上､下､东､南､西､北.现在沿该正方体的一些棱将正方体剪 开､外面朝上展平,得到如图所示的平面图形,则标“△”的面 的方位是( )
A.南 C.西 答案:B
B.北 D.下
解析:如图所示正方体,沿棱DD1,D1C1,C1C剪开,使正方体 DCC1D1向北方向展开;沿棱AA1,A1B1,B1B剪开,使正方形 ABB1A1向南方向展开,然后将正方体展开,则标“△”的面的 方位为北.故选B.
无大小 点： 表示：A、B、C…
线： 无粗细、无限延伸 表示：直线a、直线b… 或直线AB、直线BC…
面： 无厚度、无限延展 表示：平面、平面，或平面ABCD、平面AC
点、线、面之间的形成关系
点动成线 线动成面 面动成体
2、点、线、面之间的位置关系
从集合的角度思考！
点在直线上： A l
点和直线的
• 1.一个平面长3米，宽2米 • 2.桌面是平面 • 3.用平行四边形表示平面 • 4.平面是平行四边形 • 5.没有公共点的两条直线必平行
练习 ①书桌面是平面； ②8个平面重叠起来，要比6个平 面重叠起来厚； ③有一个平面的长是50 m，宽 是20 m； ④平面是绝对的平、无厚度、可 以无限延展的抽象的数学概念． 其中正确的有( ④ )
课件3：11.1.2 构成空间几何体的基本元素
母题探究 1．在本例中其他条件不变， (1)与直线 B′C′垂直的平面有哪几个？ (2)与平面 BC′垂直的平面有哪几个？ [解] (1)有平面 AB′，平面 CD′. (2)有平面 AB′，平面 A′C′，平面 CD′，平面 AC.
合作探究 提素养
类型1 图形语言、文字语言、符号语言的相互转化
【例 1】 点 P 在直线 a 上，直线 a 在平面 α 内可记为( )
A．P∈a，a α
B．P a，a α
C．P a，a∈α
D．P∈a，a∈α
(2)用符号表示下列语句，并画出图形．
①平面 α 与 β 相交于直线 l，直线 a 与 α，β 分别相交于 A，B.
A在α内
_A_∈__α_
A在α外
_A___α_
l在α内 l在α外 l，m 相交于 A
_l___α_ _l__α__ _l_∩_m_＝__A__
l，α 相交于 A _l_∩__α_＝__A_
α，β 相交于 l _α_∩__β_＝__l_
4.空间两条直线的位置关系
位置关系
特点
相交
同一平面内，有且只有_一__个___公共点
跟踪训练 1．已知如图，试用适当的符号表示下列点、直线和平面之 间的关系： (1)点 C 与平面 β：________. (2)点 A 与平面 α：________. (3)直线 AB 与平面 α：____________. (4)直线 CD 与平面 α：__________. (5)平面 α 与平面 β：__________. 【答案】(1)C β (2)A α (3)AB∩α＝B (4)CD α (5)α∩β＝BD
空间几何体的结构(教师版) (2)
空间几何体的结构____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________掌握棱柱、棱锥、棱台等多面体结构特征．掌握圆柱、圆锥、圆台、球等旋转体的结构特征．概括简单组合体的结构特征．1．几何体只考虑一个物体占有空间部分的形状和大小，而不考虑其他因素，则这个空间部分叫做一个几何体．2．构成空间几何体的基本元素(1)构成空间几何体的基本元素：点、线、面是构成空间几何体的基本元素．(2)平面及其表示方法：①平面的概念：平面是处处平直的面，它是向四面八方无限延展的．②平面的表示方法：图形表示：在立体几何中，通常画平行四边形表示一个平面并把它想象成无限延展的符号表示：平面一般用希腊字母α，β，γ…来命名，还可以用表示它的平行四边形对角顶点的字母来命名．深刻理解平面的概念，搞清平面与平面图形的区别与联系是解决相关问题的关键．平面与平面图形的区别与联系为：平面是没有厚度、绝对平展且无边界的，也就是说平面是无限延展的，无厚薄，无大小的一种理想的图形．平面可以用三角形、梯形、圆等平面图形来表示．但平面图形如三角形、正方形、梯形等，它们是有大小之分的，不能说三角形、正方形、梯形是平面，只能说平面可以用平面图形来表示．(3)用运动的观点理解空间基本图形之间的关系：①点动成线：运动方向始终不变得到直线或线段；运动方向时刻变化得到的是曲线或者曲线的一段．②线动成面：直线平行移动可以得到平面或者曲面；固定射线的端点，让其绕一个圆弧转动，可以形成锥面．③面动成体：面运动的轨迹(经过的空间部分)可以形成一个几何体． 3．棱柱 (1)棱柱的定义一般地，由一个平面多边形（凸多边形）沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱。
空间几何体的结构特征(上课)
想一想：用一个平面去截一个球,截面是什么?
用一个截面去截一 个球，截面是圆面。 O
球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆。 球面被不过球心的截面截得的圆叫球的小圆。
点、直线、平面与球的位置关系： （1）点与球：球外、球上、球内； （2）线与球：相离、相切、相交； （3）面与球：相离、相切、相交； 球面距离： 在球面上两点间的最短距离，就是经 过这两点的大圆在这两点间的一段劣 弧的长度，这个弧长叫做两点的球面 距离。
棱锥的高
D
棱锥的侧面
E
A
O B
C
棱锥的底面
棱锥的分类
三棱锥 （四面体）
四棱锥
五棱锥
正棱锥
如果一个棱锥的底面是正多边 形，并且顶点在底面的射影是底 面的中心，这样的棱锥是正棱锥. 正棱锥的基本性质 E
S
D
O C
各侧棱相等，各侧面 是全等 的等腰三角形，各等腰 三角形底 边上的高相等（它叫做正棱锥的 斜高）。
圆柱
底面 以矩形的一边所在直线为 旋转轴，其余边旋转形成的曲 面所围成的几何体叫做圆柱．
旋转轴
A′
O′
（1）底面是平行且半径相等的圆 （2）侧面展开图是矩形 （3）母线平行且相等 （4）平行于底面的截面是与 底面平行且半径相等的圆 （5）轴截面是矩形 母线
A O
侧面
7、圆锥 如何描述右图的几何结构特征？
.
（1）
.
简单几何体
简单旋转体
简单多面体
球
圆 柱
圆 锥
圆 台
棱 柱
棱 锥
棱 台
3、棱柱
有两个面互相平行，其余各边都 是四边形，并且每相邻两个四边形 的公共边都互相平行，这些面围成 的几何体叫做棱柱。 两个互相平行的面叫做棱柱的底 面；其余各面叫做棱柱的侧面。
《构成空间几何体的基本元素》 讲义
《构成空间几何体的基本元素》讲义在我们的日常生活和数学学习中，空间几何体是一个常见且重要的概念。
从简单的立方体、球体到复杂的棱柱、棱锥，这些几何体构成了我们对空间形态的认知。
那么，到底是什么基本元素构成了这些形态各异的空间几何体呢？接下来，让我们一起深入探讨。
首先，点是构成空间几何体最基本的元素。
点没有大小和形状，只有位置。
它就像宇宙中的一颗星辰，虽然微小，但却是构建整个宇宙的基础。
在空间中，无数个点的组合和排列，形成了线、面、体等更复杂的形态。
线是由一系列点沿着一定的方向依次排列而成。
直线是最简单也是最常见的线，它可以无限延伸，没有端点。
而线段则有两个明确的端点，长度是有限的。
曲线则以其优美的弧度和变化展现出独特的魅力。
比如，圆就是一种特殊的曲线，它是到一个定点距离等于定长的点的集合。
面是由线沿着一定的轨迹移动所形成的。
平面是一个无限延展、平坦的面，它没有厚度。
曲面则具有弯曲的特点，比如球面、圆柱面等。
面具有长度和宽度两个维度。
体则是由面围成的具有一定空间的几何图形。
常见的体有长方体、正方体、圆柱体、圆锥体、球体等。
体具有长度、宽度和高度三个维度，占有一定的空间。
在构成空间几何体的过程中，点、线、面、体之间存在着密切的关系。
点动成线，想象一下一只铅笔尖在纸上移动，留下的痕迹就是一条线。
线动成面，比如拿一块长方形的布，快速挥动一端，布所扫过的区域就形成了一个面。
面动成体，生活中我们制作生日蛋糕时，将平面的蛋糕胚旋转涂抹奶油，就形成了一个圆柱体的蛋糕。
这些基本元素的组合和变化，可以形成无数种不同的空间几何体，展现出丰富多彩的形态和特性。
让我们以长方体为例来具体分析一下。
长方体有 8 个顶点，12 条棱，6 个面。
顶点就是点的体现，棱则是线段，面是平面。
通过这些点、线、面的组合，长方体呈现出了规则的形状和特定的空间结构。
再来看圆柱体，它由两个平行且相等的圆面和一个侧面组成。
上下两个圆的圆心就是点，圆的周长就是曲线，侧面展开是一个矩形，矩形的边是直线。
空间几何体的结构特征
立体几何初步
1、构成空间几何体的基本元素
一个几何体是由点、线、面构成的，点、线、面是构成几何体的基本元 素。
长方体的面
长方体的棱
长方体的顶点
2、多面体 一般地，我们把由若干个平面多边形围成的几何 体叫做多面体。 围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，
如面ABCD，面BCCB.
D
C
A
B
试一试、想一想
如图，将平行四边形ABCD绕AB边所在的直线旋转一周， 由此形成的几何体是由哪些简单几何体构成的？
D
C
A
B
1．平行于圆柱，圆锥，圆台的 底面的截面是什么图形？
性质：平行于底面的截面都是圆。
球、圆柱、圆锥、圆台过轴的截面图形。
简单几何体
简单旋转体
简单多面体
球Hale Waihona Puke 圆 柱圆 锥圆 台
棱 柱
棱 锥
棱 台
从平面到空间
例1．如图，将直角梯形ABCD绕AB边所在的直线旋转一周，由此形成的 几何体是由哪些简单几何体构成的？
斜高
正四棱台 正棱锥
思考：既然棱柱、棱锥、棱台都是多面体，那 么它们之间有怎样的关系？当底面发生变化时， 它们能否相互转化？
棱台的上底面扩大 上下底面全等
棱台的上底面缩小 为一个点
棱柱、棱锥、棱台的结构特征比较
结构特征 棱柱 棱锥 棱台
定义
底面
侧面 侧棱 平行于底面 的截面
两底面是全等的多 边形 平行四边形
两个面的公共边叫做棱柱的棱。两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱。
与两个底面都垂直的直线夹在两底面间的线段长叫做棱柱的高。
底面多边形与侧面的公共顶点叫做棱柱的顶点。
课件8：1.1.1 构成空间几何体的基本元素
1．几何体
[新知初探]
(1)定义：只考虑一个物体占有空间部分的 形状 和 大小 ，而
不考虑其他因素，则这个空间部分叫做一个几何体．
(2)构成空间几何体的基本元素： 点、线、面 ．
2．长方体
(1)基本元素：
长方体有 12 条棱， 8 个顶点， 6 个面．
(2)面：围成长方体的各个 矩形 ．
[活学活用] 如图，长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，下列说法正确的有 ________(填序号)． ①长方体的顶点一共有 8 个； ②线段 AA1 所在的直线是长方体的一条棱； ③矩形 ABCD 所在的平面是长方体的一个面； ④长方体由六个平面围成． 答案：①
题型二 空间中点、线、面的位置关系的判定
[解] (1)与直线 B′C′平行的平面有：平面 AD′，平面 AC. (2)与直线 B′C′垂直的平面有：平面 AB′，平面 CD′. (3)与平面 BC′平行的平面有：平面 AD′. (4)与平面 BC′垂直的平面有：平面 AB′，平面 A′C′，平面 CD′，平面 AC.
[活学活用] 下列关于长方体 ABCD-A1B1C1D1 中点、线、面位置关系的说 法正确的是________(填序号)． ①直线 AA1 与直线 BB1 平行； ②直线 AA1 与平面 C1D1DC 相交； ③直线 AA1 与平面 ABCD 垂直； ④点 A1 与点 B1 到平面 ABCD 的距离相等．
(3)棱：相邻两个面的 公共边 ．
(4)顶点：棱和棱的 公共点 ．
3．平面 (1)特征：平面是处处 平直 的面，是无限延展的． (2)表示：通常画一个 平行四边形 表示一个平面． (3)命名：用希腊字母 α，β，γ，…来命名，还可以用表 示它的平行四边形的对角顶点的字母来命名． 4．空间中直线、平面位置关系 (1)直线与平面的位置关系： 直线在平面内 、 直线与
高中数学课件：第一章 1.1.1 构成空间几何体的基本元素
[研一题] [例3] 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1
中，请写出：
(1)三对平行的平面； (2)三对垂直的平面； (3)直线AD1与平面BC1的位置关系； (4)直线AD与平面AB1的位置关系．
[自主解答]
(1)平面AB1与平面DC1，平面AD1与平面
BC1，平面AC与平面A1C1分别平行． (2)平面AB1与平面AC，平面AB1与平面AD1，平面AC 与平面BC1分别垂直(不唯一)． (3)直线AD1与平面BC1互相平行．
A′B′C′D′；
(3)用平行四边形表示平面时，平行四边形的四边是这 一平面的边界．
提示：(1)正确．这样的图形都可以表示平面，点、
线这样的平面图形是平面的基本元素．
(2)不正确．平面是不可度量的，不涉及大小，不能 计算面积． (3)不正确．平面是无限延展的，无边界． 3．直线平移一定形成平面吗？
(3)面动成体：
面运动的轨迹(经过的空间部分)可以形成一个几何体．
4．长方体中的点、线、面之间的位置关系 观察图中的长方体ABCD－A′B′C′D′.
(1)直线与平面平行：
直线和平面 没有公共点 ，我们说直 线和平面平行，如图中，直线AB和平面 A′C′平行，记作 AB∥平面A′C′ .
(2)直线与平面垂直：
提示：不一定．也可以形成曲面．
4．直线绕定点转动，一定形成锥面吗？ 提示：不一定，也可以形成平面．
[研一题] [例1] 试指出下列各几何体的基本元素：
[自主解答]
三角形面；
(1)中几何体有6个顶点，12条棱和8个
(2)中几何体有12个顶点，18条棱和8个面； (3)中几何体有6个顶点，10条棱和6个面； (4)中几何体有2条曲线，3个面(2个圆面和1个曲面)．
北师版高中数学必修第二册精品课件 第6章 构成空间几何体的基本元素 简单多面体——棱柱、棱锥和棱台
基本立体图形
1.1 构成空间几何体的基本元素
1.2 简单多面体——棱柱、棱锥和棱台
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
一 题 多 变
随 堂 练 习
课标定位
素养阐释
1.了解空间几何体的分类及相关概念.
2.通过对实物模型的观察、归纳认识棱柱、棱
锥、棱台的结构特征.
3.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现
实生活中简单几何体的结构和进行有关计算,提
升直观想象与数学运算的核心素养.
一、构成空间几何体的基本元素
【问题思考】
1.射线绕其顶点旋转一周的轨迹是什么?
提示:水平放置的射线绕顶点在水平面内旋转一周,可形成平
面.其他情况,可形成曲面.
2.如图6-1-1,该几何体是某同学课桌的大致轮廓,请你从这个
②多面体至少有四个面;
③棱台的侧棱所在直线均相交于同一点.
其中,错误的个数是(
).
A.0
B.1
C.2
D.3
解析:①显然是正确的;
对于②,显然一个图形要成为空间几何体,则它至少需有四个
顶点,因为三个顶点只围成一个平面图形是三角形,当有四个
顶点时,易知它可以围成四个面,因而一个多面体至少应有四
个面,而且这样的面必是三角形,故②是正确的;
故△AEF 周长的最小值为√.
答图6-1-6
反思感悟 解决空间几何体表面上两点间的最短线路问题,一
般都是将空间几何体表面展开,转化为求平面内两点间的线
段长,这体现了数学中的转化思想.
【变式训练3】 如图6-1-6,已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为4 cm,高为10 cm,则一质点
自点A出发,沿着三棱柱的侧面,绕行两周到达点
空间几何体 - 简单 - 讲义
空间几何体知识讲解一、构成空间几何体的基本元素1.几何体的概念概念：只考虑形状与大小，不考虑其它因素的空间部分叫做一个几何体，比如长方体，球体等．2.构成几何体的基本元素：点、线、面（1）几何中的点不考虑大小，一般用大写英文字母A B C L ，，来命名；（2）几何中的线不考虑粗细，分直线（段）与曲线（段）；其中直线是无限延伸的，一般 用一个小写字母a b l L ，，或用直线上两个点AB PQ L ，表示； 一条直线把平面分成两个部分．（3）几何中的面不考虑厚薄，分平面（部分）和曲面（部分）；DCBAα其中平面是一个无限延展的，平滑，且无厚度的面，通常用一个平行四边形表示，并把它想象成无限延展的；平面一般用希腊字母αβγL ，，来命名，或者用表示它的平面四边形的顶点或对角顶点的字母来命名，如右图中，称平面α，平面ABCD 或平面AC ； 一个平面将空间分成两个部分．3.用运动的观点理解空间基本图形间的关系理解：在几何中，可以把线看成点运动的轨迹，点动成线；把面看成线运动的轨迹，线动成面；把几何体看成面运动的轨迹（经过的空间部分），面动成体．二、多面体的结构特征1.多面体1）多面体的定义由若干个平面多边形所围成的几何体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点，连结不在同一个面上的两个顶点 的线段叫做多面体的对角线． 2）多面体的分类按凹凸性分类：把一个多面体的任意一个面延展成平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则这样的多面体就叫做凸多面体．否则就叫做凹多面体．按面数分类：一个多面体至少有四个面．多面体按照它的面数分别叫做四面体、五面体、六面体等等． 3）简单多面体定义：表面经过连续变形可以变成球体的多面体叫做简单多面体；欧拉公式：简单多面体的顶点数V 、面数F 和棱数E 有关系2V F E +-=． 4）正多面体定义：每个面都有相同边数的正多边形，每个顶点都有相同棱数的凸多面体，叫做正多面体； 正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体这5种；经过正多面体上各面的中心且垂直于所在面的垂线相交于一点，这点叫做正多面体的中心，且这点到各顶点的距离相等，到各面的距离也相等．2.棱柱1）棱柱的定义由一个平面多边形沿某一确定方向平移形成的空间几何体叫做棱柱．平移起止位置的两个面叫做棱柱的底面，多边形的边平移所形成的面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；过不相邻的两条侧棱所形成的面叫做棱柱的对角面；与底面垂直的直线与两个底面的交点部分的线段或距离称为棱柱的高．下图中的棱柱，两个底面分别是面ABCD ，A B C D ''''，侧面有ABBA''，DCC D ''等四个，侧棱为AA BB CC DD ''''，，，，对角面为面ACC A BDD B ''''，，A H '为棱柱的高．D C BAHA 'D 'B 'C'2）棱柱的性质：棱柱的两个底面是全等的多边形，对应边互相平行，侧面都是平行四边形，侧棱平行且相等． 3）棱柱的分类按底面分类：底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……； 按侧棱是否与底面垂直分类：侧棱与底面不垂直的棱柱叫斜棱柱，侧棱与底面垂直的棱柱叫直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱； 4）棱柱的记法①用表示两底面的对应顶点的字母表示棱柱； ②用棱柱的对角线端点的两个字母表示棱柱．例如：上面的棱柱是斜四棱柱，记成棱柱''''ABCD A B C D 或棱柱'AC 等． 5）特殊的四棱柱：平行六面体四棱柱底面是平行四边形侧棱与 底面垂直正四棱柱底面是平行四边形直平行六面体底面为 正方形直四棱柱侧棱与 底面垂直底面为 长方形长方体底面是正方形侧面也为 正方形正方体棱长都相等的长方体3.棱锥1）棱锥的定义当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫做棱锥．它有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形．棱锥中有公共顶点的各三角形叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；多边形叫做棱锥的底面；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；棱锥中过不相邻的两条侧棱的截面叫做棱锥的对角面；过顶点且与底面垂直相交的直线在顶点与交点间的线段或距离叫做棱锥的高． 2）棱锥的分类底面是三角形、四边形、五边形……的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……；底面是正多边形，顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫正棱锥．正棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形，它们底边上的高都相等，称为正棱锥的斜高．对角面SACE高侧棱侧面底面ABCDEHSDCBA3）棱锥的记法用顶点和底面各顶点的字母表示或者用表示顶点和底面的一条对角线端点的字母表示．如上图的五棱锥记为棱锥S ABCDE -或棱锥S AC -．4.棱台1）棱台的定义棱锥被平行于底面的一个平面所截后，截面和底面之间的部分叫做棱台．原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；其余各面叫做棱台的侧面；相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱；与棱台的底面垂直的直线夹在两个底面之间的线段或距离称为棱台的高． 2）棱台的性质棱台的各侧棱延长后交于一点，即棱台的上下底面平行且对应边成比例； 3）棱台的记法用上下底面的字母表示或者用一条对角线两个端点的字母来表示． 4）正棱台由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．正棱台的各个侧面都是全等的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高．HH'O'OC'B'A'CBA右图为一个正三棱台，记为棱台ABC A B C '''-，侧棱AA '，BB '，CC '延长后必交于一点．O ，O '为上下底面的中心，它们的连线O O '是棱台的高，H H '是棱台的斜高．三、旋转体的结构与特征1.圆柱、圆锥和圆台定义：将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥和圆台．这条旋转轴叫做几何体的轴，轴的长即为该旋转体的高．垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做底面，不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做侧面的母线；圆柱、圆锥、圆台一般用表示它的轴的字母来表示． 性质：①平行于底面的截面都是圆；②过轴的截面（轴截面）分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形．SOO'OAA'A2.球球的定义：半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周而形成的几何体叫做球（或球体），半圆旋转而成的曲面叫做球面．半圆的圆心称为球心，球心与球面上一点的连线段称为球的半径，连结球面上两点且过球心的线段叫作球的直径．一般用球心的字母表示一个球．四、三视图1.投影定义：由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影．其中，我们把光线叫做投影线，把留下物体的影子的屏幕叫做投影面．FMlF 'M '2.平行投影定义：我们把在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影．平行投影的投涉线是平行的．在平行投影中，投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影．性质：若图形中的直线或线段不平行于投射线时，平行投影具有以下性质：①直线或线段的平行投影仍是直线或线段；②平行直线的平行投影是平行或重合的直线；③平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；④平行于投射面的平面图形，它的投影与这个图形全等；⑤在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比．3.正投影概念：在平行投影中，如果投射线与投射面垂直，则称这样的平行投影为正投影．性质：①垂直于投射面的直线或线段的正投影是点；②垂直于投射面的平面图形的正投影是直线或直线的一部分．4.中心投影定义：一个点光源把一个图形照射到一个平面上，这个图形的影子就是它在这个平面上的中心投影．中心投影的直观性强，看起来与人的视觉效果一致，常在绘画时使用，在立体几何中，一般用平行投影原理来画图．5.三视图1）正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图形称为几何体称为正视图（主视图）.2）侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图形称为几何体称为侧视图（左视图）.3）俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图形称为几何体称为俯视图.将空间图形向这三个平面作正投影，然后把这三个投影按一定的布局放在一个平面内，这样构成的图形叫做空间图形的三视图．如右图为圆锥的三视图：俯视图主视图5.三视图的对应关系关系：正俯视图长相等、正侧视图图的高相等、俯侧视图图的宽相等，简称“长对正，宽平齐，高相等”或说“主左一样高，主俯一样长，俯左一样宽”．五、直观图1.定义：用来表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图．画法：斜二测画法和正等测画法2.斜二测画法规则1）在已知图形所在的空间中取水平平面，作相互垂直的轴Ox ，Oy ，再作Oz 轴，使90xOz ∠=︒，90yOz ∠=︒．（三维空间中） 2）画直观图时，把Ox ，Oy ，Oz 画成对应的轴O x O y O z ''''''，，，使45x O y '''∠=︒或135︒，90x O z '''∠=︒，x O y '''所确定的平面表示水平平面．（二维平面上） 3）已知图形中，平行于x 轴，y 轴或z 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x '轴，'y 轴或z ' 的线段．并使它们和所画坐标轴的位置关系，与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．4）已知图形中平行于x 轴和z 轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y 轴的线段，长度为原来的一半．5）画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图．五、简单空间几何体的表面积和体积1.直棱柱与圆柱的侧面积()S S ch =直棱柱侧圆柱，其中c 为底面的周长，h 为直棱柱（圆柱）的高，也即侧棱（母线）长；2.正棱锥（圆锥）的侧面积11''22S ch nah ==正棱锥侧，其中a 为底面边长，'h 为斜高；1π2S cl rl ==圆锥侧，其中c 为底面周长，r 为圆锥的底面半径，l 为母线长；3.正棱台（圆台）的侧面积1(')'(')'22nS c c h a a h =+=+正棱台侧，其中,'a a 分别是正棱台上下底面的边长，'h 为斜高；4.球面面积：24πS R =球，R 为球的半径．5.柱体（棱柱，圆柱）体积公式：V Sh =柱体，其中S 为底面积，h 为高；6.棱体（棱锥，圆锥）的体积公式：13V Sh =棱体，其中S 为底面积，h 为高；7.台体（棱台，圆台）的体积公式： 1(')3V h S S =+台体，其中',S S 分别是台体上，下底面的面积，h 为台体的高；8.球的体积公式：34π3V R 球，R 为球的半径典型例题一．选择题（共8小题）1．（2015•新课标Ⅱ）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A． B． C． D．【解答】解：设正方体的棱长为1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，∴正方体切掉部分的体积为×1×1×1=，∴剩余部分体积为1﹣=，∴截去部分体积与剩余部分体积的比值为．故选：D．2．（2016•汉中二模）一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由题设及图知，此几何体为一个四棱锥，其底面为一个对角线长为2的正方形，故其底面积为=2由三视图知其中一个侧棱为棱锥的高，其相对的侧棱与高及底面正方形的对角线组成一个直角三角形由于此侧棱长为，对角线长为2，故棱锥的高为=3此棱锥的体积为=2故选：B．3．（2018•郑州一模）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（）A．10cm3B．20cm3C．30cm3D．40cm3【解答】解：由三视图知几何体为三棱柱削去一个三棱锥如图：棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4，∴几何体的体积V=×3×4×5﹣××3×4×5=20（cm3）．故选：B．4．（2015•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A．8cm3B．12cm3C． D．【解答】解：由三视图可知几何体是下部为棱长为2的正方体，上部是底面为边长2的正方形高为2的正四棱锥，所求几何体的体积为：23+×2×2×2=．故选：C．5．（2016•新课标Ⅰ）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17πB．18πC．20πD．28π【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉后的几何体，如图：可得：=，R=2．它的表面积是：×4π•22+=17π．故选：A．6．（2016•新课标Ⅱ）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（）A．12πB．πC．8πD．4π【解答】解：正方体体积为8，可知其边长为2，正方体的体对角线为=2，即为球的直径，所以半径为，所以球的表面积为=12π．故选：A．7．（2015•新课标Ⅰ）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（）A．1 B．2 C．4 D．8【解答】解：由几何体三视图中的正视图和俯视图可知，截圆柱的平面过圆柱的轴线，该几何体是一个半球拼接半个圆柱，∴其表面积为：×4πr2+×πr22r×2πr+2r×2r+×πr2=5πr2+4r2，又∵该几何体的表面积为16+20π，∴5πr2+4r2=16+20π，解得r=2，故选：B．8．（2017•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A．+1 B．+3 C．+1 D．+3【解答】解：由几何的三视图可知，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，圆锥的底面圆的半径为1，三棱锥的底面是底边长2的等腰直角三角形，圆锥的高和棱锥的高相等均为3，故该几何体的体积为××π×12×3+××××3=+1，故选：A．二．填空题（共4小题）9．（2017•上海）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于9π．【解答】解：球的体积为36π，设球的半径为R，可得πR3=36π，可得R=3，该球主视图为半径为3的圆，可得面积为πR2=9π．故答案为：9π．10．（2011•南通三模）底面边长为2m，高为1m的正三棱锥的全面积为m2．【解答】解：如图所示，正三棱锥S﹣ABC，O为顶点S在底面BCD内的射影，则O为正△ABC的垂心，过C作CH⊥AB于H，连接SH．则SO⊥HC，且，在Rt△SHO中，．于是，，．所以．故答案为11．（2016•黄浦区一模）两个半径为1的铁球，熔化后铸成一个大球，这个大球的半径为．【解答】解：设大球的半径为r，则根据体积相同，可知，即．故答案为：．12．（2015•盐城校级模拟）已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的体积为2π．【解答】解：根据题意，圆柱的底面半径r=1，母线长l=2r=2∴圆柱的体积为V=Sl=πr2l=π×12×2=2π．故答案为：2π．三．解答题（共3小题）13．（1965•全国）如图所示的二视图表示的立方体是什么？求出它的体积．【解答】解：二视图表示的是一个正六棱锥，其棱长为2a．底面边长为a，故底面积，棱锥的高，故正六棱锥的体积，，=．14．已知正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心）的底面边长为a，侧棱长为a（1）求它的外接球的体积（2）求他的内切球的表面积．【解答】解：（1）由题意，四棱锥为正四棱锥，∵该四棱锥的侧棱长为a，底面是边长为a的正方形，∴四棱锥的高为a，设外接球的半径为R，则有R2=（a）2+（a﹣R）2，∴R=a，∴外接球的体积为=；（2）设内切球的半径为r，则，∴r=a∴表面积为4πr2=．15．根据下列对于几何体结构特征的描述，说出几何体的名称．（1）由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六边形，其他各面都是矩形；（2）由五个面围成，其中一个面是正方形，其它各面都是有一个公共顶点的全等三角形．【解答】解：（1）由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六边形，其他各面都是矩形，由各个侧面都是矩形，得出侧棱垂直于底面，是直棱柱；所以这样的几何体是正六棱柱；（2）由五个面围成，其中一个面是正方形，其它各面都是有一个公共顶点的全等三角形，这样的几何体是正四棱锥．。
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左图中平面 ，平面 ，平面ABCD，平面AC等。
平面是无限延伸的，且是不可度量的，但通常 用一个封闭的平面图形如平行四边形表示平面， 有遮挡时，看不见的部分要画出虚线，不论是 否是辅助线。
点动成线，线动成面，面动成体。
直线、曲线与平面和曲面的关系，围成长方体的各个矩形叫做 长方体的面；相邻的两个面的公共边，叫做长方体的 棱；棱和棱的公共点，叫做长方体的顶点。
长方体是由6个面，12条棱，8个顶点构成的。
任意一个几何体都是由点，线， 面构成的。 点线面是构成几何体的基本元素。
线有直线、曲线之分，面也有平面、曲面之分。
平面是处处平直的面，曲面就不是处处平直的。 平面是无限延伸的，黑板不是平面，黑板所在 的面是平面。 平面一般用希腊字母 , , 来命名，还可以用表示他 的平行四边形的对角顶点的字母来命名。