席位分配模型
席位分配问题数学建模
席位分配问题是一个常见的实际问题，涉及到资源的分配和管理。
为了解决这个问题，我们可以使用数学建模的方法，通过建立数学模型来分析和优化席位的分配方案。
一、问题描述假设有一个大型会议，需要分配给不同的参与者席位。
每个参与者可能有不同的资格和需求，我们需要根据一定的规则来分配席位。
具体问题包括：1. 参与者数量和席位数量2. 参与者的资格和需求3. 席位分配的规则和标准二、数学建模为了解决席位分配问题，我们可以使用以下数学模型：1. 参与者集合P：表示所有的参与者。
2. 席位集合S：表示所有的席位。
3. 资格矩阵A：表示每个参与者的资格情况，每一行表示一个参与者，每一列表示一个资格类型（例如，专业、身份等）。
4. 需求矩阵D：表示每个参与者对席位的需求情况，每一行表示一个参与者，每一列表示一个席位类型（例如，地点、时间等）。
5. 分配规则R：表示席位的分配规则和标准，如按照资格优先、按照需求优先、按照公平分配等。
根据以上描述，我们可以建立如下的数学模型：目标函数：最小化席位浪费（即席位数与参与者需求之差）约束条件：1. 资格约束：每个参与者的资格必须满足分配规则的要求。
2. 需求约束：每个参与者所需席位类型必须得到满足。
3. 数量约束：总的席位数必须不超过总席位数量。
4. 可行性约束：分配的席位必须是有效的，即不存在冲突和重复的情况。
三、求解方法根据上述数学模型，我们可以使用以下方法进行求解：1. 枚举法：逐个尝试所有可能的席位分配方案，找到满足约束条件的方案。
这种方法需要大量的计算时间和空间，但在某些情况下可能找到最优解。
2. 优化算法：使用优化算法如遗传算法、粒子群算法等，通过不断迭代找到最优解。
这种方法需要一定的编程知识和技能，但通常能够快速找到满意的解。
3. 启发式算法：使用启发式算法如模拟退火、蚁群算法等，通过不断尝试找到满意解。
这种方法相对简单易行，但可能无法找到最优解。
4. 数学软件求解：使用专门的数学软件如Matlab、Python等，通过编程求解上述数学模型。
高中宿舍席位分配数学模型
科学咨询/教育科研
本刊特稿
高中宿舍席位分配数学模型
付潇靓
(山东省枣庄市第八中学 山东枣庄 277000）
摘 要：我们在日常生活中会遇到很多分配问题，例如对 于企业、公司、学校等部门的职位分配都是需要解决的实际问 题。本文讨论了席位分配问题，在以下的分析中，会先按照按 比例分配方法进行分配，然后采用Q值法与D’hondt方法进行 分配[1]，最后再采用二者相结合的方法进行分配，从而使分配 达到相对公平的状态。
A
B
(1)如果
>
决定名额分给A宿舍或B宿舍。
> ，通过Q值法的运算
(2)如果
>>
且A宿舍的Q值比B
宿舍大，根据D’hondt方法，应将名额分给A宿舍。
根据表格内计算数据可得，N1=2，N2=4，N3=5。 （四）模型四求解
先将第一个名额分配给人最多的宿舍，C宿舍。然后根据
d'Hondt方法进行分配，直到第二个宿舍有分配名额。由模型
即有不公平的定义为：若有 是不公平的。
成立，则席位分配
此时若有
，则对A不公平，此时定义
为对A的绝对不公平度，
（N1,N2）为对A的相对不公平度；
若有
，则对B不公平,此时定义
B的绝对不公平度，
为对
（N1,N2）为对B的相对不公平度。
不妨假设A方与B方都已分配得到了N1、N2个名额，我
们可以根据相对不公平度r （N ,N ）与r （N ,N ），计算
1
2
3.当有
时，说明给B增加1个名
额，将对A不公平，此时对A的相对不公平值为r A
（N1,N2+1） ………………………………………………[2]
常用经济管理数学模型
常用经济管理数学模型应用数学方法解决实际问题时，首先必须建立数学模型。
本节将结合高等数学知识介绍一些常用的经济管理数学模型，学习和了解综合运用数学知识和数学工具解决实际问题的过程和方法，达到运用数学模型为现实生活服务的目的。
一、优秀研究成果评选的公平性模型 1. 问题的提出设有N 个评委组成的评选委员会，有M 项研究成果，评委会要从中选出()m m M <项优秀成果，但有些评委是某些成果的完成者，问应如何处理此问题才是公平的？2.模型的构成与求解方案1 按得票多少顺序，得票较多的前m 项成果为优秀成果。
分析评价：这个方案对非评委的研究成果的完成者不够公平。
因为评委对自己完成的成果投赞成票的可能性最大。
方案2 对方案1做如下修改：评委不参加对自己的研究成果投票，按得票率多少排序，取得票率较大的前m 项成果为优秀成果.分析评价：下面来分析一下方案2是否公平。
设某项成果涉及C 个评委，他们回避后该项成果得x 票，x N C ≤-，则该项成果的得票率为1()xr x N C=- （1）上述结果似乎可以接受。
因为得票虽然少了，但作为分母的总人数也少了，所以似乎是公平的。
参与完成该项成果的C 个评委仍不大满意，他们认为：若他们也参加投票，则投票率为2()x Cr x N+= (2)通过比较1()r x 与2()r x 的大小可知上述两个公式的差别。
因为当x N C <-时，恒有1()r x <2()r x .综合上述讨论，按照相对公平的原则，应采取对1()r x 和2()r x 的折衷方案，即度量得票多少的函数()y x 应满足以下三个条件：（1）()y x 是x 的单调递增函数;（2）1()r x ()y x <<2()r x ，0,0;x N C C <<-> （3）(0)0,() 1.y y N C =-=由上述三个条件还不能唯一确定函数()y x ，但可据此定出一个相对公平、且比较简单实用的度量函数()y x 。
公平的席位分配
Q值法推广：当有m方，第i方人数 pi ，占有 ni 席位， 当总席位增加1席，计算
pi2 Qi ni (ni 1)
应将席位分给Q值最大的一方。
问题解决
先按比例计算结果将整数部分的19席分配完，有 n1 10, n2 6, n3 3 ，再用Q值法分配第20，21 席。
1032 632 342 第20席：Q1 , Q2 , Q3 , Q1最大分给甲。 1011 6 7 3 4 1032 第21席：Q1 , Q2 , Q3不变, Q3最大分给丙。 1112
公平的席位分配
问题背景
某校有3个系共200名学生，甲乙丙系各100， 60，40名。若学生代表席位设20个席位。 公平而简单的席位分配办法：按学生人数 的比例分配。 分配结果（席位）：甲10；乙6；丙4。
若甲乙丙系人数分别：103、63和34，20个 席位如何分配？ 若上述人数不变，增加一个席位，分配结 果如何？ 这个结果对丙系太不公平，总席位增 加1席，而丙系席位却由4席减少为3席位。 找到衡量公平分配席位的指标，丙建立新 的分配方法。
练习
学校共1000名学生，235人住在A宿舍， 333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学生 门要组织一个10人的委员会，使用下列办 法分配各宿舍的委员数。 （1）按比例分配取整数的名额后，剩下的名 额按惯例分给小数部分较大者。 （2）用Q值法
（3）d’Hondt法：将A,B,C各宿舍的人数用 n=1，2，3等相除，其商如下
p1 p2 n1 n2 1
公平分配的原则：使得相对不公平度尽可能地小
若 rB (n1 1, n2 ) rA (n1 , n2 1) ，则席位分给A；反之分给B。 Q值法 2 2
“DHOndtQ值法”席位分配模型（精）
江汉石油学院学报２００１年３月第２３卷第１期ＪｏｕｒｎａｌｏｆＪｉｓｎｇｈａｎｐｅｔｒｏｌｅｕｍＩｎｓｔｉｔｕｔｅＭａｒ．２００１Ｖ０１．２３Ｎｏ．１“Ｄ’Ｈｏｎｄｔ＋Ｑ值法”席位分配模型孙玉秋（江汉石油学院理学院，湖北荆州４３４１０２）［摘要］席位分配模型中，接比例分配法存在较大缺陷．Ｄ’Ｈｏｎｄｔ涪不能解决不公平的大小闸题．Ｑ值法不能解奂。
分配资格”问题。
基于此，提出了。
分配资格”这一概念，并将Ｄ’Ｈｏｎｄｔ法和Ｑ值浩结台起来，建立了Ｄ’Ｈｏｎｄｔ＋Ｑ值法”席位分配模型。
实啻｝Ｉ表明．诙分配模型使席位舟配曼趋台理。
［关键词］席位分配；相对不公平；分配资格，数学模型［中田分类号］Ｐ１４１．４［文献标识码］Ａ［文章编号］１０００９７５２（２００１）ｏｌ一００８４—０３１比例分配法、Ｄ’Ｈｏｎｄｔ法和Ｑ值法评价１．１比例分配法的缺陷在社会经济活动中，常常会遇到席位分配问题。
比例分配法是解决这类问题的常用方法。
但是，比例分配法存在较大的缺陷。
先看一例：例ｌ某单位有３个部门，甲部门１０３人，乙部门６３人，丙部门３４人，年终该单位评选２０个先进。
按比例分配方法，甲、乙、丙各占１０．３，６．３，３．４个名额，实际分配为１０，６，４个名额。
若该单位评选２１个先进。
这时，按比例分配，甲、乙、丙各占１０．８１５，６．６１５，３．３５７个名额，按惯例３部门实际分配为１１，７，３名额。
其结果是，单位增加一个先进名额后，丙部门反而减少了一个名额。
显然，通常所用的比例分配方法存在较大缺陷。
前人在解决席位分配问题时尝试了许多方法，其中Ｄ’Ｈｏｎｄｔ法和Ｑ值法是典型的方法。
１．２Ｄ’Ｈｏｎｄｔ法评价比利时人Ｄ’Ｈｏｎｄｔ［】１提出将甲、乙、丙３部门的人数Ｐｃ（ｚ一１，２，３）都用ｉ（ｉ一１，２，３，…）整除，将Ｐ．等（ｒ一１，２，３；ｉ一１，２，３，…）商从大到小排列，取排列在前的２１个数。
若这２１个数中有ｍ个是甲部门人数被整数相除所得的商，则甲部门分得ｍ个名额，乙、丙部门类推。
数学建模 座位分配
宿舍委员会席位的公平分配摘要学校中宿舍委员会委员数的确定，可由不同的相对公平的方法来确定，运用不同的方法分配出的席位个数稍有不同。
问题一三用比例，惯例分配，得出的A，B，C三个宿舍分别获得的席位数为3,3,4。
问题二采用Q值法分配，Q值法相对于比例惯例的方法更为公平，分配结果为三个宿舍分别获得2,3,5个席位。
问题三采用了d’Hondt的方法，分配的结果为A，B，C三个宿舍分别获得2,3,5个席位。
问题四是当席位增加至15个时，采用上述三种方法分配的结果：（1）采用比例惯例分配三个宿舍分别获得4,5,6个席位；（2）采用Q值法分配三个宿舍分别获得4,5,6个席位；（3）采用d’Hondt方法分配，A，B，C三个宿舍分别获得3,5,7个席位。
关键字：一 问题描述某学校共有1000名学生，三栋宿舍楼A 、B 、C 。
其中235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍。
学生们要组织一个10人的委员会。
是分别用不同方法进行各宿舍的委员数分配： （1） 按比例分配取整然后按惯例分配； （2） Q 值法分配；（3） D’Hondt 方法分配。
（4） 若委员会从10人增加至15人，再次利用上述方法分配，讲两次分配结果比较。
二 问题分析对于宿舍委员会的人数分配，三种方法得出的结果各不相同。
Q 值法在惯例分配的基础上，考虑了不公平度的影响，相对来讲，更加的公平一些。
D’hondt 方法也考虑到了不公平度，下面详细介绍。
三 模型假设1 假设学校苏宿舍近期无学生转入或转出；2 三个宿舍之间无互相变动；3 委员会中无职位差别。
四 量与符号化说明ip 第i 个宿舍的人数，其中，i 分别为1,2,3对应宿舍A ，B ，C ；i n 第i 个宿舍分得的委员会席位个数； i Q 第i 个宿舍对应的Q 值。
五 模型建立与求解设第i 方人数i p （i=1,2，···m ），总人数1mi i p p ==∑，待分配席位N ，分配结果为12(,,,...,)i i m n n N p p p =。
席位分配问题(含Jefforson的除子法)
Hamilton 法解释
Hamilton 法的数学模型 q = (q1,…,qs)T: 份额向量. n = (n1,…,ns)T: 分配向量. 1Tq=Σqi =N 1Tn=Σni =N 它们均位于s维空间的s-1维单形 (s维空间的 超平面)中 .
Hamilton 法解释
对于 s = 3 的情形（则2维单行就是正三角形）: 经 变形,有 10. n, q 是正三角形上的点，该点到三个边的 距离为它们的坐标。 20. 将三角形各边N等分，分别以平行各边的 直线连接相应的等分点。连线在三角形内的交点 将是三角形上有整数坐标的格点，这些点构成席 位分配向量的集合{n}。 30. 连线将三角形分为若干小三角形。份额向 量q为三角形上任意一点。该点到它所在的小三角 形三个边的距离分别为三个坐标的小数部分。
一、问题与背景
2. 背景
•1787年美国颁布宪法, 规定“众议院议员的名额…将 根据各州的人口比例分配”, 并于1788年生效. •1791年 Hamilton 提出了议员席位分配的方法, 并于 1792年通过. •1792年 Thomas Jefforson 提出了议员席位分配的除 子法。 •1851年开始用Hamilton法分配议员的席位。
例:某学院有3个专业，学生会名额为20个，甲系： 100人，乙希：60人，丙系：40人。要想把学生会的 名额公平的分配给各个系应该怎样分配为好？ 若人数变为103、64、43人呢？
二. Hamilton 法及有关悖论
Hamilton 法：
(1.)先让各州取得份额qi的整数部分[qi]; (2.)让ri=qi-[qi],按照从小到大的顺序排列,将余下 的名额逐个分配给各相应的州,即小数部分最大的 州优先获得余下的第一个名额,次大的取得余下名 额中的第二个,以此类推,直到名额分配完毕.
多指标席位分配模型的研究
量 标 位 配 型 研 多 席分模的究 指 分 位 席 标
配 型
赵 洋 阮小军
Ｔ ｅ ａ ｈ ｍ ｔ ｃ ｌ ｏ ｅ ａ ０ ｔ Ｍ ｌ ｉ Ｃ ｉ ｅ ｉ ｓ ｒ ｂ ｔ ０ ｏ ｅ ｔ ｕ ｂ ｒ ｈ Ｍ ｔ ｅ ａ ｉ ａ Ｍ ｄ ｌ ｂ ｕ ｕ ｔ － ｒ ｔ ｒ ａ Ｄｉ ｔ ｉ ｕ ｉ ｎ ｆ Ｓ ａ ｓ Ｎ ｍ ｅ
现公平合理性 ａ因此，本文提 出一种综合考虑多方 面影响因
—
在多指标席位分配问题 中 指标要求越大越好
，
有 的指标要越小越好，有的
还有的指标则要求稳定于某一 确定值一
理想值 。 另外， 各指标之间还存在数量级和量纲 不同的问
，
索 ，使得席位分配更加公平合理的数学模型，即多指标席位 分配模 型ａ
Ｋｅ ｗｏ ｄ ： ｉ ｔ ｉ ｕ ｉ ｎ ｏ ｅ ｔ ｕ ｂ ｒ； Ｍ ｌ ｉ Ｃ ｉ ｅ ｉ ｅ ｉ ｉ ｎ ａ ｉ ｇ ｙ ｒｓ Ｄ ｓ ｒ ｂ ｔｏ ｆ Ｓ ａ ｓ Ｎ ｍ ｅ ｕ ｌ － ｒ ｔ ｒ ａ Ｄ ｃ ｓ ｏ Ｍ ｋ ｎ
０ 引言
人数 ：
。
影响席位分配 的因素共有 个 ，记 为 Ｊ １ ：｛ ，
中图分 类号 ：Ｆ ２ ２４ 文献标识 码 ：Ａ 文章编号 ：１ ７ — ７ ２ （０ ８３ ０ ６ — ３ １ ４ ９ 一 ２ ０ ）— ０ ８ ０ ６
Ａｂ ｔａ ｔ Ｉ ｒ ｅ ｏ ｄ ｓ ａ ｄ ｔ ｅ ｒ ｑ ｉ ｅ ｅ ｔ ｏ ｍ ｎ ｒ ｂ ｅ ｓ ｔ ｅ ｓ ｌ ｅ ｙ ｃ ａ ｓ ｃ ｌ ｄ ｓ ｒ ｂ ｔ ｏ ｆ ｓｒ ｃ： ｎ ｏ ｄ ｒ ｔ ｉ ｃ ｒ ｈ ｅ ｕ ｒ ｍ ｎ ｆ ｒ ａ ｙ ｐ ｏ ｌ ｍ ｏ ｂ ｏ ｖ ｄ ｂ ｌ ｓ ｉ ａ ｉ ｔ ｉ ｕ ｉ ｎ ｏ
席位分摘要
“少数分配”的席位分配模型“the rule of minority” seat distribution model[摘要]席位分配是一个非常有趣而重要的问题，它在政治学管理和对策论等领域具有广泛的应用价值。
处理的方法最早的有尾数最大法；然后是Q值法；1974年引入了席位分配问题的公理体系研究方法，并于1982年证明了同时满足五个所用的比例分配方法存在较大缺陷分配为１１，７，３名额。
其结果是，单位增加一个先进名额后，丙部门反而减少了一个名额。
公理的席位分配方法是不存在的。
后又有一些新的算法，如：新值法，最大熵法，0-1规划法，法，值法最小极差法和最大概率法等。
但有时我们遇到大会上遇到少数情况，比如，在一次民族代表会中，有一个民族的人口在该国占有极少比例，按上述方法分不到席位。
但大会必须考虑政策给一个席位的分配资格。
如果我们遇到同样的问题该如何处理呢？下面我们给出少数分配的原则，并讨论在该特殊问题下的分配问题。
少数原则：在席位分配中，各部门都有分配资格，当席位数n大于单位（部门）数i时至少分配一个席位。
[关键字]席位分配少数原则数学模型[Abstract] Seat distribution is a vital question.But sometimes we meet remote situation in the plenary session.For instance,in a ethical congress,one nation's population is hold proportional lowly. According to this,we set up a method called the rule of minority seat distribut model.[Key Words] seat distribution the rule of minority mathematical model。
公平的席位分配模
C宿舍已具备“分配资格” 3)下面每增加一个名额，则重复如下步骤，直至A宿舍具有“分配资格”止， 不失一般性，设 pc p B ，其中m,n分别为已分配给B、C的名额数.
m 1 n 1 pc p p B A a)如果 m 1 n 1 1 ，则A宿舍仍不具备“分配资格”；B、C运用Q值 法，确定这一名额给B还是给C. b)如果 p c p A p B ，则A宿舍仍不具备“分配资格”；且C宿舍的Q m 1 1 n 1
2013-9-22
3模型的优缺点
比例加惯例法存在较大缺陷，Q值法但这种方法缺 点是要求参与分配的各方至少已有一个名额， d’Hondt法尽可能将不公平降低到最低限度，将 d’Hondt和Q值法结合起来的d’Hondt+Q值法是基 于d’Hondt法和Q值法的，后面三种方法都是基于 比例加惯例法进一步得出的,则它们互相有关联， 在一定程度上会受到影响；其次上述四种模型考 虑的实际问题太少，不具有很大的推广性.但是对 于一些简单的分配问题，可以用d’Hondt法模型进 行席位分配.
5
8 11 14
93312.0
31104.0 15552.0 9331.2 6220.8 4443.4
4
6 9 10 13
10个席位的分配，分配名额是4,5,6.
获得名额
2013-9-22
4
5
6
观察结果可得：当席位增至15人时，除了d’Hondt法分
配是3,5,7，其他三种方法3个宿舍分配的人数都是4,5,6， 相比较当3个宿舍分配的人数为3,5,7时，各个宿舍分配 到的每个席位代表的人数更接近，则席位分配更合理.
2013-9-22
3
4.995
5544.5
公平分配席位数学建模
公平分配席位数学建模
公平分配席位数学建模是指基于数学模型，通过分析选民分布、政党得票率等因素，确定选举中各政党应该获得的议席数，从而实现选举结果的公正和公平。
在公平分配席位数学建模中，主要运用了几种方法，包括杜哈美—贝勒多尼定理、圆整法、最大余数法、谢泼德方法等。
这些方法都能够根据选民分布和政党得票率等因素，计算出每个政党应该获得的议席数，并且保证在分配过程中不会出现偏差和不公平现象。
公平分配席位数学建模不仅在政治选举中有着广泛的应用，还可以用于企业、学校等组织内部的决策和分配问题。
通过数学建模，可以实现公正合理的决策和资源分配，提高组织的效率和公信力。
总之，公平分配席位数学建模是一种重要的数学工具，可以帮助我们实现公正公平的选举和决策，具有广泛的应用前景和社会价值。
- 1 -。
席位公平分配模型
1 席位公平分配模型1.1Q值法Matlaba=[100,202,67,40,59,32];%各单位人数n=length(a);p=30;%总席数S=sum(a);%总人数x=ones(1,n);%各单位初始席位数Q=zeros(1,n);L=sum(x);while(L<p)%所有席位分配完为止for i=1:nQ(i)=a(i)^2/(x(i)*(x(i)+1));%计算各单位Q值end[u,k]=max(Q);%求最大Q值和对应单位kx(k)=x(k)+1;%该单位席位数加1L=L+1;%已分配席位数加1endfprintf('各单位分配席数:')for i=1:nfprintf(' %2d',x(i));endfprintf('\n')2 录音机计数模型t=[1;2;3;4;5;10;15;20;25;30;31];n=[9;18;28;37;47;97;151;211;280;362;382];A=[n,n.*n];[b,bin,r,rint,stats]=regress(t,A);%线性回归fprintf('回归方程为t= %7.5f*n+%7.5f*n^2.\n’,b(1),b(2)');fprintf('复数关系数R^2= %6.4f F= %8.2f 概率p= %7.5f\n’,stats(1),stats(2),stats(3)'); num=500nn=zeros(num,1);tt=zeros(num,1);dt=max(n)/num;for i=1:numnn(i)=i*dt;tt(i)=b(1)*nn(i)+b(2)*nn(i)^2;endplot(n,t,'*b',nn,tt,'r')%作比较图3足球比赛排名问题建立邻接矩阵A ，i 和j ，若i 胜j 场次多，则令][ij a =1，ji a =0；若i 和j 胜的场次一样多，但i 比j 净剩球多女，则令ij a ij=1，0=ji a ，若i 和j 胜得场次一样多，净球也一样，或者i 和j 没有交站，则令1,1=-=ji ij a a %不完全令节矩阵A=[0 -1 0 1 1 1 0 0 1 -1 -1 -1 -1 0 0 1 0 1 0 -1 1 0 -1 -1 1 1 0 1 1 1 0 1 -1 1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 -1 0 -1 0 1 0 0 -1 -1 -1 -1 -1 0 0 0 0 1 1 0 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 0 1 1 1 1 1 1 -1 0 1 -1 -1 0 0 -1 -1 1 -1 0 0 -1 1 -1 -1 0 -1 0 1 1 1 -1 1 0 1 -1 -1 0 -1 0 0 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 -1 -1 -1 1 -1 0 -1 0 0 1 0]; [m,n]=size(A); D=A; for i=1:m for j=1:nif(D(i,j)==-1) D(i,j)=2;end end end%获得一级得分向量 a1=zeros(1,n); for i=1:m s=0; for j=1:nif(A(i,j)==1) s=s+A(i,j);end enda1(i)=s;end%获得二级得分向量 a2=zeros(1,n); for i=1:m s=0; for j=1:nif(A(i,j)==1) s=s+A(i,j);endenda2(i)=s;end%根据一级和二级得分向量完善邻接矩阵A for i=1:mfor j=1:nif(A(i,j)==-1)if(a1(i)>a1(j)) A(i,j)=1;A(j,i)=0;endif(a1(i)<a1(j)) A(i,j)=0;A(j,i)=1;end endendendfor i=1:mfor j=1:nif(A(i,j)==-1)if(a2(i)>a2(j)) A(i,j)=1;A(j,i)=0;endif(a2(i)<a2(j)) A(i,j)=0;A(j,i)=1;end endendendfor i=1:mfor j=1:nif(A(i,j)==-1)r=rand(1,1);if(r>=0.5) A(i,j)=1;A(j,i)=0;else A(i,j)=0;A(j,i)=1;endendendendnum=20;Y=ones(n,1);B=A;for i=1:numY=A*Y;B=B*A;end[u,v]=eig(A);for i=1:nz(i)=v(i,i);end[p,k]=max(z)%获取最大特征值及位置w=u(:,k)%获取最大特征值对应的特征向量w=w/sum(w);fprintf('序号得分特征向量\n');for k=1:nfprintf(' %2d %-7d %-5.3f\n',k,Y(k),w(k));end4健康疾病模型4.1人的健康状态分为健康和疾病，以一年作为一个阶段，设转移率为;今年健康明年健康概率为0.8，今年健康明年疾病的概率为0.2；今年疾病明年健康的概率为0.7，今年疾病明年疾病的概率为0.3.若按此规律一直继续下去，处于健康和疾病状态的人的概率分布如何？n=50000;x=zeros(n,1);rd=rand(n,1);x(1)=1;%设定初始状态为健康for i=1:n-1if(x(i)==1)%当前为健康状态if(rd(i)<0.8) x(i+1)=1;else x(i+1)=0;endelse%当前状态为疾病if(rd(i)<0.7) x(i+1)=1;else x(i+1)=0;endendendp1=sum(x)/n;p2=1-p1;fprintf('处于健康状态频率%6.4f,处于疾病状态频率%6.4f\n',p1,p2);fprintf('处于健康状态概率%6.4f,处于疾病状态概率%6.4f\n',7/9,2/9);4.2 若人的状态分为健康、疾病、死亡，以一年作为一个阶段，设转移概率为：今年健康，明年健康概率为0.8，明年疾病的概率为0.2，明年死亡概率为0.18；今年疾病，明年健康的概率为0.7，今明年疾病的概率为0.3.明年死亡概率为0.25若按此规律一直继续下去，处于健康、疾病和死亡状态的人的概率分布如何？n=50000;x=zeros(n,1);rd=rand(n,1);x(1)=1;%设定初始状态为健康%1 健康2 疾病3 死亡for i=1:n-1if(x(i)==1)%当前为健康状态if(rd(i)<0.8)x(i+1)=1;elseif(rd(i)<0.98) x(i+1)=2;else x(i+1)=3;endelseif(x(i)==2)%当前为疾病状态if(rd(i)<0.65) x(i+1)=1;elseif(rd(i)<0.9) x(i+1)=2;else x(i+1)=3;endelse%当前为死亡状态x(i+1)=3endends1=0;s2=0;s3=0;for i=1:nif(x(i)==1) s1=s1+1;else if(x(i)==2) s2=s2+1;else s3=s3+1;endendp1=s1/n;p2=s2/n;p3=s3/n;fprintf('处于健康状态频率%6.4f,处于疾病状态频率%6.4f\n,处于死亡状态的频率%6.4f\n',p1,p2,p3);用时注意n=? rand(n,1)n=5;L=zeros(n,n);L(1,:)=[0 0 0 0 0 ];L(2,1)=0.6296;L(3,2)=0.9592;L(4,3)=0.679;L(5,4)=0.9091;p=abs(eig(L));for i=1:nif p(i)>1lp=p(i);h=1-1.0/lp;endendX=floor(6*rand(5,1));XX=[];s=[];s(1)=sum(X);for i=2:100XX=L*X;%XX=floor(XX+0.5);s(i)=sum(XX);if s(i)>100X=(1-h)*XX;elseX=XX;endendplot(s);model:sets:point/1..4/;road(point,point):W,X;endsetsdata:W=2 8 1 02 0 6 08 6 0 71 0 7 0enddatamin=@sum(road(i,j):w(i,j)*x(i,j);!最短路；@for(point(i)|i#ne#1#and#i#ne#11:@sum(point(k):x(k,i))=@sum(point(j):x(i,j))); @sum(point(j)|j#ne#1:X(1,j))=1;!起始点要出去；@sum(point(k)|k#ne#1:x(k,1))=0;!不能回到起始点；@sum(point(k)|k#ne#11:x(k,11))=1;!不能达目标点;@sum(point(j)|j#ne#11:x(11,j))=0;!目标不能出去;@for(road(i,j):x(i,j)<=W(i,j));!不能到达的路不考虑;@for(road(i,j):@bin(x(i,j)));end。
第四讲(一)初等模型-公平的席位分配-实物交换PPT课件
若rB (n1 1, n2 ) rA (n1, n2 1),则这席位应给A,反之给B
10
当rB (n1 1, n2 ) rA (n1, n2 1),该席给A
根据rA，rB的定义
p22
p12
n2 (n2 1) n1(n1 1)
该席给A，否则该席给B
M1
p3(x3,y3)
将所有与p1, p2无差别的点连接 起来，得到一条无差别曲线MN,
y2
.p2
N1
N
0
x1
x2
xo x
线上各点的满意度相同, 线的形状反映对X,Y的偏爱程度，
比MN各点满意度更高的点如p3，在另一条无差别曲线M1N1
上。于是形成一族无差别曲线（无数条）。
16
y
甲的无差别曲线族记作
设A,B分别有n1, n2席,若增加1席, 问应分给A?还是B?
9
不妨设初始时 p1 / n1 p2 / n2, 即对A不公平,分下列几种情况
1)若 p1 /(n1 1) p2 / n2,则这席位应给A
2)若 p1 /(n1 1) p2 / n2,应计算rB (n1 1, n2 ) 3)若 p1 / n1 p2 /(n2 +1),应计算rA (n1, n2 1)
第四讲 初等模型
一、公平的席位问题 二、实物交换
1
一、公平的席位分配
席位分配是日常生活中经常遇到的问题，在企业、公 司、学校、政府部门都能应用该模型解决实际的问题。
席位可以是代表大会、股东会议、公司企业员工大会 等的具体座位。假设说，有一个公司要召集所有的部门开 一个员工会议，在公司的会议厅里只能坐40个人，而公 司总共有10个部门，10个部门总共有498个人，而每个部 门的人数都不尽相同。如果你是会议的策划人，你要合理 的分配会议厅的40个座位，既要保证每个部门都有人参 加，最关键的就是要对10个部门都公平，保证10个部门 对你所安排的位置没有异议。那么这个问题就要靠数学建 模的方法来解决。
席位分配问题
悖论的举例(3)
• 30. 新州悖论: 原州人数不变, 增加新州(人数 增), 席位按比例增, 将导致原州席位减少. 例 3. p=1000, s=2, N=4; p’=1200, s’=3, N’=5 p i qi 州 pi qi ni ni A 623 2.492 2 A 623 2.595 3 B 377 1.508 2 B 377 1.570 1 C 200 0.835 1
(绝对)不公平度 令 dij = pi/ni - pj/nj, 则称|dij|为 i, j 两州席位 分配的(绝对)不公平度 .
例 p n p/n |d| A 120 10 12 B 100 10 10 2 C 1020 10 102 D 1000 10 100 2 (绝对)不公平度无法比较不同组间席位分配不公 平的程度
Hamilton 法解释
40. 按照最大小数部分增加一个席位的Hamilton 法相当于在 q 所在的小三角形中选择最靠近 q 点的顶点（格点 n）为席位分配方案。 50. Hamilton 分配域：作小三角形内心，则可以 构成以 n 为心，以上述若干内心为顶点的正 六边形。 如果 q 落入某个小六边形内，则选择该六 边形的中心 n 为席位的分配方案。
各方法比较
• • • • • • • • • 例 8. 六个州分配100个席位 州 人口p 份额q H法 A 9215 92.15 92 B 159 1.59 2 C 158 1.58 2 D 157 1.57 2 E 156 1.56 1 F 155 1.55 1 Σ 10000 100 100 J法 95 1 1 1 1 1 100 EP法 90 2 2 2 2 2 100
pj /(nj + 1) > pi /(ni + 1) , Qi > Qj
公平分配席位数学建模
公平分配席位是一种数学建模问题，通常涉及到在一个组织或机构内，如何公平地分配有限的席位或资源给不同的成员或利益相关者。
该问题可通过以下步骤建立数学模型：
1.定义问题：明确参与者、资源和目标，确定席位数量和分配规则。
2.建立评价指标：根据目标和分配规则，建立评价指标来衡量分配方案的公平性和效
率性。
3.确定算法：选择合适的算法来进行席位分配，例如最大剩余法、顺序分配法、随机
分配法等。
4.模型求解：通过计算机程序或手工计算，进行模型求解，得出最优分配方案。
5.结果分析：对比各个方案的评价指标，选择最优方案并进行结果分析，验证模型的
可靠性和有效性。
公平分配席位模型可以应用于政治、教育、医疗、社会保障等领域，如选举、大学招生、医疗资源分配、社会福利等。
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公平席位分配模型
摘要本文按照题目要求，首先，基于相对公平分配的原则，阐述“d’Hondt
方法”原理，并建立数学模型。
其次，对“比例加惯例法”、“Q值法”及“d’Hondt 方法”这三个模型，根据分配结果进行对比分析。
可以得到，当待分配席位数较少时，采用Q值法与d’Hondt法分配席位相对比较公平，当待分配席位数较多时，采用比例加惯例法既简单又公平。
关键词：比例加惯例模型 Q值模型 d’Hondt模型公平分配
正文
1 问题复述
为了讨论重大问题，特别是有关集体利益的问题，召开代表会议正变得越来越普遍。
当会议涉及不同集体的利益时，公平的席位分配就显得尤为重要。
常用的席位分配办法是“比例加惯例法”以及“Q值法”等。
某学校有三个宿舍共1000名学生，其中A宿舍有235人，B宿舍有333人，C宿舍有432人。
现学生们要组织一个十人委员会，已知采用d’Hondt席位分配办法分配各宿舍的委员数如下：
表1 d’Hondt法
宿舍 1 2 3 4 5 …分配结果
A 235 117.5 78.3 58.75 (2)
B 333 166.5 111 83.25 (3)
C 432 216 144 108 86.4 (5)
比例加惯例法：按比例分配取整数的名额后，剩下的若干名额依次分给小数部分较大者。
Q值法：按照相对不公平度最小原则，每增加一席位，分给Q值较大的一方。
d’Hondt法:将A，B，C各宿舍的人数用正整数n=1，2，3，…相除，将所得商数从大到小取前10个（10为席位数）。
如表1所示，表中A，B，C行有横线的数分别为 2，3，5，即为3个宿舍分配的席位。
需要解决的问题是：
（1）试建立模型，解释d’Hondt方法的道理；
（2）若委员人数从10人增至15人，此时用比例加惯例法、Q值法和 d’Hondt 法3种方法再分配名额，试比较3种方法两次分配的结果。
2 模型假设与符号说明
2.1 模型的假设
假设各个宿舍之间没有人员的调动。
2.2 符号的说明
()
1,2,3
p i=分别表示宿舍A、B、C的人数；
i
P表示总人数；
N表示待分配席位数；
()1,2,3i n i =分别表示宿舍A 、B 、C 分配的席位数； ()1,2,3i q i =分别表示宿舍A 、B 、C 比例分配的席位数； ()1,2,3i r i =分别表示宿舍A 、B 、C 每个席位代表的人数； ()1,2,3;1,2,ij m i j == 表示i p 与j 的比值；
[]i q +表示i q 的向上取整； []i q -表示i q 的向下取整；
(),
,i j k 表示宿舍A 、B 、C 对应分配的席位数，,,i j k 均为非负整数。
3 模型分析
一般判断某一分配方案是否公平，有其衡量的指标，下面是一组公平分配的公理[1]：
公理一 [][]i i i q n q +-≤≤，即i n 必取[]i q -，[]i q +二者之一。
公理二 ()()11,,...,1,,...,i m i m n N p p n N p p ≤+，即总席位增加时i n 不应减少（m 为总的分组数）。
公理三 若'i i p p <，'j j p p =()i j ≠，则()()'''11,,...,1,,...,i
i m m n N p p n N p p ≤+，即人
数增加时i n 不应减少。
公理四 i n ，j n 之间的转移不应使i i j j n q n q -+-减少。
显然，
i i
p n 表示每方每个席位代表的人数，当且仅当
3121
2
3
p p p n n n =
=
时，席位的
分配才是公平的。
但因为人数和席位都是整数，所以通常
3121
2
3
p p p n n n ≠
≠
，此时席
位分配不公平，并且i i
p n 数值较大的一方吃亏，因此就出现了不同的分配方案。
容易验证“比例加惯例法”不满足公理二，而“Q 值法”不满足公理一。
由于
i i
p n 表示每方每个席位代表的人数，并且数值较大的一方吃亏。
因此在
d ’Hondt 方法中： （1）当1N =时，
若分给A 宿舍，则112351p r ==； 若分给B 宿舍，则223331p r ==； 若分给C 宿舍，则334321
p r =
=。
显然3r 最大，即C 宿舍最吃亏，因此应将该席位分给C 宿舍，此时席位分配结果为()0,0,1；
（2）当2N =时，在（1）分配的基础上再分配第二席： 若分给A 宿舍，则112351p r ==； 若分给B 宿舍，则223331p r ==； 若分给C 宿舍，则332162
p r =
=；
显然2r 最大，即B 宿舍最吃亏，因此应将该席位分给B 宿舍，此时席位分配结果为()0,1,1；
（3）当3N =时，在（2）分配的基础上再分配第三席： 若分给A 宿舍，则112351p r ==； 若分给B 宿舍，则22166.5
2p r ==；
若分给C 宿舍，则332162
p r =
=；
显然1r 最大，即A 宿舍最吃亏，因此应将该席位分给A 宿舍，此时席位分配结果为()1,1,1；
（4）当4N =时，在（3）分配的基础上再分配第四席： 若分给A 宿舍，则11117.52p r ==； 若分给B 宿舍，则22166.5
2p r ==；
若分给C 宿舍，则332162
p r =
=；
显然3r 最大，即C 宿舍最吃亏，因此应将该席位分给C 宿舍，此时席位分配结果为()1,1,2； 这样依次做下去。
4 模型建立与求解 4.1模型建立
当待分配席位数为k 时，()1,2,3;1,2,i ij p m i j j
=
== .
将上述数值按从大到小排列，取前k 个，构成集合记为k N 。
则
()1,2,3i k ij n N m i ==中出现的次数,.
4.2问题求解
比例加惯例法分配席位如下； 表2 比例加惯例法的分配结果 宿舍 学生人数 学生人数的比例（%）
10个席位的分配 15个席位的分配 比例分配的席位 参照惯例的结果 比例分配的
席位 参照惯例的结果 A 235 23.5 2.35 3 3.525 4 B 333 33.3 3.33 3 4.995 5 C 432 43.2 4.32 4
6.480 6
总和
1000
100.0
10.00
10
15.000
15
Q 值法分配席位如下； 表3 Q 值法的分配结果
宿舍 学生人数 初始 增加一人 增
加一
人
增加一人 增加一人 增加一人 增加一人 增加一人 增加一人 增加一人 增加一人 增加一人 增加一人 A 235 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 4 B 333 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 C 432 1 2 2 2 3 3 4 5 5 5 6 6 6
总
和
1000 3 4 5 6
7
8 9
10 11 12 13 14 15
d ’Hondt 法分配席位如下： 表4 d ’Hondt 法的分配结果 宿舍 1
2
3
4
5
6
7
… 10人分配结果 15人分配结果 A 235 117.5 78.3 58.75 47 39.17 33.57
… 2 3 B 333 166.5 111 83.25 66.6 55.5 47.57 … 3 5 C
432 216 144 108 86.4 72 67.71
…
5 7
由上述分配结果，分析知：
（1）当10
2,3,5，而比N=时，Q值法与d’Hondt法分配的结果相同，均为()例加惯例法分配的结果却为()
3,3,4；
（2）当15
4,5,6，而N=时，比例加惯例法与Q值法分配的结果相同，均为() d’Hondt法分配的结果却为()
3,5,7。
因此，当待分配的席位较少时，采用Q值法与d’Hondt法分配席位相对比较公平，当待分配的席位较多时，采用比例加惯例法既简单又公平。
5 模型优缺点分析及改进方向
优点：d’Hondt法相对于比例加惯例法的公平程度要高一些，比Q值法操作要简便些。
缺点：容易验证d’Hondt法不满足公理4，并且当待分配席位数较多时，d’Hondt法的计算量较大，实用性没有比例加惯例法好。
参考文献
[1]姜启源，谢金星，叶俊.数学模型[M].北京:高等教育出版社，2010.26-27。