席位分配模型

公平席位分配模型

摘要本文按照题目要求，首先，基于相对公平分配的原则，阐述“d’Hondt

方法”原理，并建立数学模型。其次，对“比例加惯例法”、“Q值法”及“d’Hondt 方法”这三个模型，根据分配结果进行对比分析。可以得到，当待分配席位数较少时，采用Q值法与d’Hondt法分配席位相对比较公平，当待分配席位数较多时，采用比例加惯例法既简单又公平。

关键词：比例加惯例模型 Q值模型 d’Hondt模型公平分配

正文

1 问题复述

为了讨论重大问题，特别是有关集体利益的问题，召开代表会议正变得越来越普遍。当会议涉及不同集体的利益时，公平的席位分配就显得尤为重要。常用的席位分配办法是“比例加惯例法”以及“Q值法”等。

某学校有三个宿舍共1000名学生，其中A宿舍有235人，B宿舍有333人，C宿舍有432人。现学生们要组织一个十人委员会，已知采用d’Hondt席位分配办法分配各宿舍的委员数如下：

表1 d’Hondt法

宿舍 1 2 3 4 5 …分配结果

A 235 117.5 78.3 58.75 (2)

B 333 166.5 111 83.25 (3)

C 432 216 144 108 86.4 (5)

比例加惯例法：按比例分配取整数的名额后，剩下的若干名额依次分给小数部分较大者。

Q值法：按照相对不公平度最小原则，每增加一席位，分给Q值较大的一方。d’Hondt法:将A，B，C各宿舍的人数用正整数n=1，2，3，…相除，将所得商数从大到小取前10个（10为席位数）。如表1所示，表中A，B，C行有横线的数分别为 2，3，5，即为3个宿舍分配的席位。

需要解决的问题是：

（1）试建立模型，解释d’Hondt方法的道理；

（2）若委员人数从10人增至15人，此时用比例加惯例法、Q值法和 d’Hondt 法3种方法再分配名额，试比较3种方法两次分配的结果。

2 模型假设与符号说明

2.1 模型的假设

假设各个宿舍之间没有人员的调动。

2.2 符号的说明

()

1,2,3

p i=分别表示宿舍A、B、C的人数；

i

P表示总人数；

N表示待分配席位数；

()1,2,3i n i =分别表示宿舍A 、B 、C 分配的席位数； ()1,2,3i q i =分别表示宿舍A 、B 、C 比例分配的席位数； ()1,2,3i r i =分别表示宿舍A 、B 、C 每个席位代表的人数； ()1,2,3;1,2,ij m i j == 表示i p 与j 的比值；

[]i q +表示i q 的向上取整； []i q -表示i q 的向下取整；

(),

,i j k 表示宿舍A 、B 、C 对应分配的席位数，,,i j k 均为非负整数。

3 模型分析

一般判断某一分配方案是否公平，有其衡量的指标，下面是一组公平分配的公理[1]：

公理一 [][]i i i q n q +-≤≤，即i n 必取[]i q -，[]i q +二者之一。

公理二 ()()11,,...,1,,...,i m i m n N p p n N p p ≤+，即总席位增加时i n 不应减少（m 为总的分组数）。

公理三 若'i i p p <，'j j p p =()i j ≠，则()()'''11,,...,1,,...,i

i m m n N p p n N p p ≤+，即人

数增加时i n 不应减少。

公理四 i n ，j n 之间的转移不应使i i j j n q n q -+-减少。

显然，

i i

p n 表示每方每个席位代表的人数，当且仅当

3121

2

3

p p p n n n =

=

时，席位的

分配才是公平的。但因为人数和席位都是整数，所以通常

3121

2

3

p p p n n n ≠

≠

，此时席

位分配不公平，并且i i

p n 数值较大的一方吃亏，因此就出现了不同的分配方案。

容易验证“比例加惯例法”不满足公理二，而“Q 值法”不满足公理一。

由于

i i

p n 表示每方每个席位代表的人数，并且数值较大的一方吃亏。因此在

d ’Hondt 方法中： （1）当1N =时，

若分给A 宿舍，则112351p r ==； 若分给B 宿舍，则223331p r ==； 若分给C 宿舍，则334321

p r =

=。

显然3r 最大，即C 宿舍最吃亏，因此应将该席位分给C 宿舍，此时席位分配结果为()0,0,1；

（2）当2N =时，在（1）分配的基础上再分配第二席： 若分给A 宿舍，则112351p r ==； 若分给B 宿舍，则223331p r ==； 若分给C 宿舍，则332162

p r =

=；

显然2r 最大，即B 宿舍最吃亏，因此应将该席位分给B 宿舍，此时席位分配结果为()0,1,1；

（3）当3N =时，在（2）分配的基础上再分配第三席： 若分给A 宿舍，则112351p r ==； 若分给B 宿舍，则22166.5

2p r ==；

若分给C 宿舍，则332162

p r =

=；

显然1r 最大，即A 宿舍最吃亏，因此应将该席位分给A 宿舍，此时席位分配结果为()1,1,1；

（4）当4N =时，在（3）分配的基础上再分配第四席： 若分给A 宿舍，则11117.52p r ==； 若分给B 宿舍，则22166.5

2p r ==；

若分给C 宿舍，则332162

p r =

=；

显然3r 最大，即C 宿舍最吃亏，因此应将该席位分给C 宿舍，此时席位分配结果为()1,1,2； 这样依次做下去。