完全平方公式-优秀课件
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《14.2.2_完全平方公式》.PPT课件
a2 2ab b2
例1 运用完全平方公式计算：
(1)(4m+n)2 解: (4m+n)2=(4m)2 + 2•(4m) •n +n2
(a +b)2= a2 + 2 ab + b2 =16m2+8mn +n2
例1 运用完全平方公式计算：
(2)(y-
1 2
)2
解： (y-
1 2
)2=
y2
-
2•y
14.2.2 完全平方公式公式
请同学们探究下列问题：一位国王非常喜欢各地臣民 的叩拜．每当有臣民到皇城叩拜时，国王都要奖赏他 们．来一个臣民，国王就给这个臣民一块铜板，来两 个臣民，国王就给每个臣民两块铜板，以此类推（1） 第一天有a个臣民去了皇城叩拜，国王一共给了这些臣 民多少块铜板？（2）第二天有b个臣民去了皇城叩拜， 国王一共给了这些臣民多少块铜板？（3）第三天有 （a+b）个臣民一起去皇城叩拜，国王一共给了这些臣 民多少块铜板？（4）这些臣民第三天得到的铜板数与 前两天他们得到的铜板总数相等吗？为什么？
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
感谢聆听
不足之处请大家批评指导
Please Criticize And Guide The Shortcomings
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
4、公式中的字母a，b可以表示单项式和多项式以及 其他式子.
首平方，尾平方，积的2倍在中央
完全平方公式 的图形理解
完全平方和公式：
b ab b²
(a+b)²
例1 运用完全平方公式计算：
(1)(4m+n)2 解: (4m+n)2=(4m)2 + 2•(4m) •n +n2
(a +b)2= a2 + 2 ab + b2 =16m2+8mn +n2
例1 运用完全平方公式计算：
(2)(y-
1 2
)2
解： (y-
1 2
)2=
y2
-
2•y
14.2.2 完全平方公式公式
请同学们探究下列问题：一位国王非常喜欢各地臣民 的叩拜．每当有臣民到皇城叩拜时，国王都要奖赏他 们．来一个臣民，国王就给这个臣民一块铜板，来两 个臣民，国王就给每个臣民两块铜板，以此类推（1） 第一天有a个臣民去了皇城叩拜，国王一共给了这些臣 民多少块铜板？（2）第二天有b个臣民去了皇城叩拜， 国王一共给了这些臣民多少块铜板？（3）第三天有 （a+b）个臣民一起去皇城叩拜，国王一共给了这些臣 民多少块铜板？（4）这些臣民第三天得到的铜板数与 前两天他们得到的铜板总数相等吗？为什么？
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
感谢聆听
不足之处请大家批评指导
Please Criticize And Guide The Shortcomings
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
4、公式中的字母a，b可以表示单项式和多项式以及 其他式子.
首平方，尾平方，积的2倍在中央
完全平方公式 的图形理解
完全平方和公式：
b ab b²
(a+b)²
完全平方公式 免费课件
(a+b)2 = a2+2ab+b2 (a–b)2 = a2 –2ab+b2
口诀： 首平方，尾平方，首尾两倍中间放，符号与 前一个样。
两个数的和（或差）的平方，等于这两个
数的平方和加（或减）这两个数乘积的2倍。
小故事
从前，一老人有四个儿子，二儿子和三儿子 是孪生兄弟。老人出门时给他们一份图纸，要 他们按图纸分地。 （1）如图1所示，你能求出老
b a
老二
老四
人一共拥有多少面积的土地吗？ 有几种表示方法？
①
老大
老三
a b
2
2
② a ab ab b 2
a
b
(a+b)2 = a2+2ab+b2
小故事
（2）如图2所示，你能求出大儿子能分得 多少面积的土地吗？有几种表示方法？ ① b
老二
2
(a b)
2
老四
a
老大
老三
② a 2ba b b 2 2 2 a 2ba 2b b
2
a 2 2ab b 2
(a–b) = a – 2ab+b
2 2
2
a
b
(a+b)2 = a2+2ab+b2 (a–b)2 = a2 –2ab+b2 变式训练 比一比谁做的快？
要灵活运 用哦！
(1) (-a+3)2 ；
(2) (-m-n)2 ;
(a+b)2 = a2+2ab+b吗?
(1)
(-3a+2b)2
；
(2) (-4x-
1 2 y) ; 3
口诀： 首平方，尾平方，首尾两倍中间放，符号与 前一个样。
两个数的和（或差）的平方，等于这两个
数的平方和加（或减）这两个数乘积的2倍。
小故事
从前，一老人有四个儿子，二儿子和三儿子 是孪生兄弟。老人出门时给他们一份图纸，要 他们按图纸分地。 （1）如图1所示，你能求出老
b a
老二
老四
人一共拥有多少面积的土地吗？ 有几种表示方法？
①
老大
老三
a b
2
2
② a ab ab b 2
a
b
(a+b)2 = a2+2ab+b2
小故事
（2）如图2所示，你能求出大儿子能分得 多少面积的土地吗？有几种表示方法？ ① b
老二
2
(a b)
2
老四
a
老大
老三
② a 2ba b b 2 2 2 a 2ba 2b b
2
a 2 2ab b 2
(a–b) = a – 2ab+b
2 2
2
a
b
(a+b)2 = a2+2ab+b2 (a–b)2 = a2 –2ab+b2 变式训练 比一比谁做的快？
要灵活运 用哦！
(1) (-a+3)2 ；
(2) (-m-n)2 ;
(a+b)2 = a2+2ab+b吗?
(1)
(-3a+2b)2
；
(2) (-4x-
1 2 y) ; 3
完全平方公式ppt课件
=2x2-8x+8+3x-2x2-1
=-5x+7.
2
5.(2023 凉山)先化简,再求值:(2x+y) -(2x+y)(2x-y)-2y(x+y),其中
x=( )
2 023
,y=2
2 022
.
2
解:(2x+y) -(2x+y)(2x-y)-2y(x+y)
2
2
2
2
2
=4x +4xy+y -4x +y -2xy-2y
解:因为a-b=-4,ab=3,
所以a2+b2=(a-b)2+2ab=16+2×3=22.
所以(a+b)2=a2+b2+2ab=22+6=28,
所以a2+b2的值为22,(a+b)2的值为28.
.
完全平方公式的实际应用
[例3] 如图所示,在边长为m+4的正方形纸片上剪出一个边长为m的小
正方形后,将剩余部分剪拼成一个长方形(不重叠无缝隙),若这个长方
灵活应用完全平方公式的变形,可求相关代数式的值,主要的变形有
(1)(a+b)2-2ab=a2+b2;
2
2
2
(2)ab= [(a+b) -(a +b )];
(3)(a+b)2-(a-b)2=4ab.
新知应用
1.若(x+2y)2=(x-2y)2+A,则A表示的式子为 8xy
2.已知a-b=-4,ab=3.求a2+b2与(a+b)2的值.
=x2-(y+1)2
=-5x+7.
2
5.(2023 凉山)先化简,再求值:(2x+y) -(2x+y)(2x-y)-2y(x+y),其中
x=( )
2 023
,y=2
2 022
.
2
解:(2x+y) -(2x+y)(2x-y)-2y(x+y)
2
2
2
2
2
=4x +4xy+y -4x +y -2xy-2y
解:因为a-b=-4,ab=3,
所以a2+b2=(a-b)2+2ab=16+2×3=22.
所以(a+b)2=a2+b2+2ab=22+6=28,
所以a2+b2的值为22,(a+b)2的值为28.
.
完全平方公式的实际应用
[例3] 如图所示,在边长为m+4的正方形纸片上剪出一个边长为m的小
正方形后,将剩余部分剪拼成一个长方形(不重叠无缝隙),若这个长方
灵活应用完全平方公式的变形,可求相关代数式的值,主要的变形有
(1)(a+b)2-2ab=a2+b2;
2
2
2
(2)ab= [(a+b) -(a +b )];
(3)(a+b)2-(a-b)2=4ab.
新知应用
1.若(x+2y)2=(x-2y)2+A,则A表示的式子为 8xy
2.已知a-b=-4,ab=3.求a2+b2与(a+b)2的值.
=x2-(y+1)2
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(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
1、积为二次三项式；
2、积中两项为两数的平方和；
3、另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同.
首平方，尾平方，积的2倍放中央 .
4、公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式.
例4 运用完全平方公式计算：
(1)(3m+n)2；
(2)
x
-
1 2
2
.
(1)(3m+n)2
解 (3m+n)2
= (3m)2+2 ·3m ·n + n2
= 9m2+6mn+n2.
（2）
2
x - 1
2
解
x
-
1
2
2
=
x2
-2·x·1Fra bibliotek+
12
2 2
= x2 - x+ 1 4
想一想:
下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改 正？
思考 (a+b)2与(-a-b)2相等吗？ (a-b)2与(b-a)2相等吗？ (a-b)2与a2-b2相等吗？ 为什么？
说一说
1. (a-b)2与(b-a)2有什么关系？ 答：相等. 这是因为 (b-a)2 = [-(a-b)]2=(a-b)2. 2. (a+b)2与(-a-b)2有什么关系？ 答：相等. 这是因为 (-a-b)2 = [-(a+b)]2=(a+b)2.
b a
b a 图2
完全平方公式 的几何意义 和的完全平方公式：
b ab
b²
(a+b)²
完全平方公式ppt课件
2.下列等式不成立的是( )
A.(m＋n)2＝m2＋2mn＋n2
B.(m－n)2＝m2－n2
C.(x－y)2＝(y－x)2
D.(x＋y)2＝(－x－y)2
3.运用完全平方公式计算: (1)(3+5p)2 (2)(a－3b)2
(4)(－2m＋n)2
1600×799＋7992
(5)1032
(7)(x＋2y)2－y(x＋2y) b)2
观察运算结果中 的每一项，说说 它们的共同特点
右边第一项是左边第一项的平方，右边 最后一项是左边第二项的平方，中间一 项是它们两个乘积的2倍．
左边如果为“+”号，右边全是“+”号，左 边如果为“-”号，它们两个乘积的2•倍就为 “-”号，其余都为“+”号．
请类比上面几个运算，计算下列式子：
.(a+b)2=2+2ab+b (a-b)2=a2+2ab+b2
(3)(a+ )2 (6)8002－
(8)(2a＋b)2－(2a－
4.已知A＝2x＋3y，B＝2x－3y，计算A2－B2.
5.已知x＋y＝7，xy＝2，求下列各式的值： (1)x2＋y2； (2)2(x－y)2.
例4.已知：x+y=8,xy=10,求(x+y)2的值.
练习5.已知a－b＝10，ab＝20，求下列式子的值． (1)a2＋b2 (2)(a＋b)2
课堂练习
1.下列计算正确的是( A.(x+y)2＝x2+y2 C.(x+1)(x－1)＝x2－1
) B.(x－y)2＝x2－2xy－y2
D.(x－1)2＝x2－1
14.2.2 完全平方公式
《完全平方公式》优质课件
通过提问和练习，检查学生对已有知 识的掌握情况。
课程目标
• 明确本节课的学习目标和主要内容，让学生了解 完全平方公式的重要性和应用价值。
02
新知探究
完全平方公式的推导
总结词：循序渐进
详细描述：通过对完全平方公式的逐步推导，引导学生理解公式背后的逻辑和意 义。
完全平方公式的形式与意义
总结词：对比分析
公式的证明方法
基于平方的定义进行证明
利用平方的定义，即一个数的平方等于这个数的两次幂，通 过逐步推导证明完全平方公式的正确性。
基于多项式展开进行证明
通过将完全平方式的左边按照完全平方公式的形式展开，证 明公式的正确性。
公式的扩展应用
与其他数学知识的结合
完全平方公式可以与其他数学知识结合 ，如因式分解、解方程和不等式等，以 扩展其应用范围。
实际应用
数据处理
完全平方公式可以用于数据处理，如 计算方差、标准差等统计指标。
实际生活应用
完全平方公式在日常生活中有广泛的 应用，如计算房屋面积、计算价格等 。
04
公式深化
公式的变化形式
完全平方公式的三种形式
两数和的平方、两数差的平方以及两数平方和与它们的积的两倍的和的平方。
公式的应用范围
适用于解决与完全平方公式相关的问题，如代数表达式、方程和不等式等。
进阶习题
总结词
提升解题技巧
详细描述
设计一些稍有难度的习题，如涉及完全平方公式的变 形、与其他数学知识的综合应用等，旨在训练学生掌 握进阶的解题技巧和方法，提高解题能力。
综合习题
总结词
综合运用能力
详细描述
设计一些包含多个知识点、有一定难度的习 题，如需要学生综合运用完全平方公式解决 实际问题、进行复杂计算等，重点考察学生
课程目标
• 明确本节课的学习目标和主要内容，让学生了解 完全平方公式的重要性和应用价值。
02
新知探究
完全平方公式的推导
总结词：循序渐进
详细描述：通过对完全平方公式的逐步推导，引导学生理解公式背后的逻辑和意 义。
完全平方公式的形式与意义
总结词：对比分析
公式的证明方法
基于平方的定义进行证明
利用平方的定义，即一个数的平方等于这个数的两次幂，通 过逐步推导证明完全平方公式的正确性。
基于多项式展开进行证明
通过将完全平方式的左边按照完全平方公式的形式展开，证 明公式的正确性。
公式的扩展应用
与其他数学知识的结合
完全平方公式可以与其他数学知识结合 ，如因式分解、解方程和不等式等，以 扩展其应用范围。
实际应用
数据处理
完全平方公式可以用于数据处理，如 计算方差、标准差等统计指标。
实际生活应用
完全平方公式在日常生活中有广泛的 应用，如计算房屋面积、计算价格等 。
04
公式深化
公式的变化形式
完全平方公式的三种形式
两数和的平方、两数差的平方以及两数平方和与它们的积的两倍的和的平方。
公式的应用范围
适用于解决与完全平方公式相关的问题，如代数表达式、方程和不等式等。
进阶习题
总结词
提升解题技巧
详细描述
设计一些稍有难度的习题，如涉及完全平方公式的变 形、与其他数学知识的综合应用等，旨在训练学生掌 握进阶的解题技巧和方法，提高解题能力。
综合习题
总结词
综合运用能力
详细描述
设计一些包含多个知识点、有一定难度的习 题，如需要学生综合运用完全平方公式解决 实际问题、进行复杂计算等，重点考察学生
《完全平方公式》课件
数学运算技巧
在进行数学运算时，完全 平方公式可以作为一种常 用的技巧，用来简化计算 过程。
03
完全平方公式的证明
使用数学归纳法证明
总结词
数学归纳法是一种严谨的证明方法，通过逐步推导，最终得出结论。
详细描述
首先，我们需要对完全平方公式进行定义，然后通过数学归纳法，从公式的基本情况开始证明，逐步 推广到一般情况。在证明过程中，需要注意每个步骤的逻辑严谨性和正确性，以确保最终结论的正确 性。
$(7+8)^2$
计算下列各式的值
$(5+6)^2$
请简述完全平方公式的应用场景 和优势。
答案与解析
• $(3+4)^2 = 3^2 + 2\times3\times4 + 4^2 = 9 + 24 + 16 = 49$ • $(5+6)^2 = 5^2 + 2\times5\times6 + 6^2 = 25 + 60 + 36 = 111$ • $(7+8)^2 = 7^2 + 2\times7\times8 + 8^2 = 49 + 112 + 64 = 225$ • 完全平方公式是一种非常实用的数学工具，可以帮助我们快速计算出任意一个数的平方，同时也可以帮助
预测模型
在统计学和预测模型中，完全平方公式可以 用来建立回归模型并预测未来趋势。例如， 在时间序列分析中，完全平方公式可以用来
拟合时间序列数据并预测未来的值。
05
完全平方公式的扩展知识
完全立方公式
完全立方公式
$a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
因式分解(完全平方公式)课件
3 因式分解(完全平方公式)
因式分解(完全平方公式)是将多项式分解成平方因子的特殊方法。
完全平方公式的原理
1 平方公式
平方公式是指一个二次方程的两个解之和等于系数b的相反数，而两个解的乘积等于系数 c。
2 完全平方公式的推导
完全平方公式的推导基于平方公式，通过对多项式进行平方运算。
3 常用的完全平方公式
因式分解(完全平方公式) 课件
因式分解(完全平方公式)是一种数学方法，用于将多项式分解成较简单的因子。 它的原理基于完全平方的特性，可以帮助我们解决各种数学问题。
什么是因式分解(完全平方公式)
1 定义
因式分解是将一个多项式分解成多个乘积的过程，每个乘积都被称为因子。
2 完全平方
一个完全平方是一个数的平方，例如4的完全平方是16。
1
确定多项式的类型
首先，我们需要确定多项式的类型，是一个二次方程还是其他类型的多项式。
2
提取公因子
然后，我们可以尝试提取多项式的公因子，使其更容易进行因式分解。
3
应用完全平方公式
接下来，我们可以根据所学的完全平方公式，将多项式分解成平方因子。
因式分解(完全平方公式)的例子
二次方程
多项式
例如，我们可以用因式分解(完全 平方公式)来解决二次方程的问题。
常用的完全平方公式包括平方差公式和平方和公式。
完全平方公式的应用
求解方程
完全平方公式可以帮助我们求 解二次方程，找到方程的解。
化简多项式
通过因式分解(完全平方公式)， 我们可以将复杂的多项式化简 为更简单的形式。
探索数学关系
通过分析完全平方公式，我们 可以发现数学中的一些有趣的 关系和特性。
因式分解(完全平方公式)的步骤
因式分解(完全平方公式)是将多项式分解成平方因子的特殊方法。
完全平方公式的原理
1 平方公式
平方公式是指一个二次方程的两个解之和等于系数b的相反数，而两个解的乘积等于系数 c。
2 完全平方公式的推导
完全平方公式的推导基于平方公式，通过对多项式进行平方运算。
3 常用的完全平方公式
因式分解(完全平方公式) 课件
因式分解(完全平方公式)是一种数学方法，用于将多项式分解成较简单的因子。 它的原理基于完全平方的特性，可以帮助我们解决各种数学问题。
什么是因式分解(完全平方公式)
1 定义
因式分解是将一个多项式分解成多个乘积的过程，每个乘积都被称为因子。
2 完全平方
一个完全平方是一个数的平方，例如4的完全平方是16。
1
确定多项式的类型
首先，我们需要确定多项式的类型，是一个二次方程还是其他类型的多项式。
2
提取公因子
然后，我们可以尝试提取多项式的公因子，使其更容易进行因式分解。
3
应用完全平方公式
接下来，我们可以根据所学的完全平方公式，将多项式分解成平方因子。
因式分解(完全平方公式)的例子
二次方程
多项式
例如，我们可以用因式分解(完全 平方公式)来解决二次方程的问题。
常用的完全平方公式包括平方差公式和平方和公式。
完全平方公式的应用
求解方程
完全平方公式可以帮助我们求 解二次方程，找到方程的解。
化简多项式
通过因式分解(完全平方公式)， 我们可以将复杂的多项式化简 为更简单的形式。
探索数学关系
通过分析完全平方公式，我们 可以发现数学中的一些有趣的 关系和特性。
因式分解(完全平方公式)的步骤
完全平方公式-课件
《能力练习册》：P82-83.
你能挑战它吗？
(1)(-4m+n)2 (2)(-x-2y)2
你能用今天所学的内容把我算出 来吗？
(1) 1022 =10404
(2) 992 =9810
课堂小结 完全平方公式：
★(a+b)2= a2 +2ab+b2 ★(a-b)2= a2 - 2ab+b2
课后作业
课本：P112： 必做题：第 2题， 选做题：第 8 题.
完全平方公式
温故而知新
1.单项式与多项式相乘的法则是什么？
2a (a+b)=
2.多项式与多项式相乘的法则是什么？
(a+b)(c+d)= ac + ad + bc + bd
自主探究1：
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
____________________________
____________________________
完全平方公式的文字叙述：
两个数的和（或差）的平方， 等于它们的平方和，加上（或减去） 它们的积的2倍。
如何记忆完全平方公式？
项数
位置
符号
三项 积的二倍
放中央
两项平方 均为正
★首平方加尾平方，
积的2倍在中央 。
积二倍符 号看两项：
同号得正， 异号得负.
思维诊断
下面各式的计算是否正确？如果不正确， 应当怎样改正？
____________________________
说说你的发现: 左边: 两数差的平方; 右边: 这两数的平方和,减去它们的积的2倍.
大胆猜想2：
完全平方差公式
(a-b) 2= a2- 2ab + b2
你能挑战它吗？
(1)(-4m+n)2 (2)(-x-2y)2
你能用今天所学的内容把我算出 来吗？
(1) 1022 =10404
(2) 992 =9810
课堂小结 完全平方公式：
★(a+b)2= a2 +2ab+b2 ★(a-b)2= a2 - 2ab+b2
课后作业
课本：P112： 必做题：第 2题， 选做题：第 8 题.
完全平方公式
温故而知新
1.单项式与多项式相乘的法则是什么？
2a (a+b)=
2.多项式与多项式相乘的法则是什么？
(a+b)(c+d)= ac + ad + bc + bd
自主探究1：
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
____________________________
____________________________
完全平方公式的文字叙述：
两个数的和（或差）的平方， 等于它们的平方和，加上（或减去） 它们的积的2倍。
如何记忆完全平方公式？
项数
位置
符号
三项 积的二倍
放中央
两项平方 均为正
★首平方加尾平方，
积的2倍在中央 。
积二倍符 号看两项：
同号得正， 异号得负.
思维诊断
下面各式的计算是否正确？如果不正确， 应当怎样改正？
____________________________
说说你的发现: 左边: 两数差的平方; 右边: 这两数的平方和,减去它们的积的2倍.
大胆猜想2：
完全平方差公式
(a-b) 2= a2- 2ab + b2
完全平方公式.ppt
4
（１） (mn+3)2=( C )
(A) mn2+9
(B) m2n2+9
(C) m2n2+6mn+9 (D) mn2+6m+9
（２） 下列计算中正确的是（ D）
(A) (p+q)2=p2+q2 (B) (a+2b)2=a2+4ab+2b2 (C) (a2+1)2=a4+2a+1 (D) (-s+t)2=s2-2st+t2
(2)中间一项的符号错误
(3)首项被平方时, 未添括号;
6
(1)( 3x +3y )2=
(2)(Байду номын сангаас 1)2 2
(3)x2 12 xy ___ (x __)2
请你找错误
指出下列各式中的错误，并加以改正：
(1)(x+y)2＝x2+2xy + y2 ；
+
(2) (−2x−y)2＝(2x)2 − 2 (2x) (y) + y2;
(3) (0.5x−3y)2＝0.5x2− 2(0.5x)(3y)+(3y)2
(x/2)2
解:(1) 少了第一数与第二数乘积的2倍 (丢了一项):2xy
1
(a+b)2=a2+2ab+b2
计算: (x+2y)2
2
(a+b)2=a2+2ab+b2
利用完全平方公式计算:
(1) (x + 3 )2
(2) (2a+3b)2
（3）(2a 1)2 2
(4) (a - b)2
利用完全平方公式计算:
（１） (mn+3)2=( C )
(A) mn2+9
(B) m2n2+9
(C) m2n2+6mn+9 (D) mn2+6m+9
（２） 下列计算中正确的是（ D）
(A) (p+q)2=p2+q2 (B) (a+2b)2=a2+4ab+2b2 (C) (a2+1)2=a4+2a+1 (D) (-s+t)2=s2-2st+t2
(2)中间一项的符号错误
(3)首项被平方时, 未添括号;
6
(1)( 3x +3y )2=
(2)(Байду номын сангаас 1)2 2
(3)x2 12 xy ___ (x __)2
请你找错误
指出下列各式中的错误，并加以改正：
(1)(x+y)2＝x2+2xy + y2 ；
+
(2) (−2x−y)2＝(2x)2 − 2 (2x) (y) + y2;
(3) (0.5x−3y)2＝0.5x2− 2(0.5x)(3y)+(3y)2
(x/2)2
解:(1) 少了第一数与第二数乘积的2倍 (丢了一项):2xy
1
(a+b)2=a2+2ab+b2
计算: (x+2y)2
2
(a+b)2=a2+2ab+b2
利用完全平方公式计算:
(1) (x + 3 )2
(2) (2a+3b)2
（3）(2a 1)2 2
(4) (a - b)2
利用完全平方公式计算:
《完全平方公式》优质课件
平方公式的学习做准备。
02
通过提问和练习，检查学生对已有知识的掌握情 况。
课程目标
• 明确本节课的学习目标和主要内容，让学生了解完全平方公式的重要性和应用价值。
02
新知探究
完全平方公式的推导
01 运用乘法分配律
完全平方公式是由乘法分配律引申而来，通过对 乘法分配律的运用，可以推导出完全平方公式。
03 培养了观察、分析、推理和归纳的能力。
需要加强的部分
01 对于公式的具体应用还需要进一步加强。
02 在解决实际问题时，还需要提高对题目的理解和 分析能力。
03 需要进一步巩固和加深对完全平方公式的理解。
下节课的预习建议
提前预习完全平方公式的 证明过程和应用实例。
提前了解下节课要学习的 内容，以便更好地参与课 堂讨论和互动。《完全源自方公式》优 质课件汇报人：
日期:
目录
• 引入部分 • 新知探究 • 实例分析 • 课堂练习 • 总结与反思 • 课后作业
01
引入部分
情境引入
介绍完全平方公式的背景和意义，激发学生对新知识的 兴趣。
通过实际例子引导学生思考完全平方公式的结构特点。
知识回顾
01 回顾因式分解、平方差公式等基础知识，为完全
02 平方差公式
平方差公式是乘法分配律的逆运算，通过平方差 公式可以推导出完全平方公式。
03 完全平方公式的证明
通过具体的证明过程，可以让学生更加深入地理 解完全平方公式的推导过程。
完全平方公式的形式与意义
01 完全平方公式的形式
完全平方公式包括三项，分别是两个数的平方和 加上或减去这两个数的积的2倍。
多做练习题，加深对公式 的理解和应用。
06
02
通过提问和练习，检查学生对已有知识的掌握情 况。
课程目标
• 明确本节课的学习目标和主要内容，让学生了解完全平方公式的重要性和应用价值。
02
新知探究
完全平方公式的推导
01 运用乘法分配律
完全平方公式是由乘法分配律引申而来，通过对 乘法分配律的运用，可以推导出完全平方公式。
03 培养了观察、分析、推理和归纳的能力。
需要加强的部分
01 对于公式的具体应用还需要进一步加强。
02 在解决实际问题时，还需要提高对题目的理解和 分析能力。
03 需要进一步巩固和加深对完全平方公式的理解。
下节课的预习建议
提前预习完全平方公式的 证明过程和应用实例。
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目录
• 引入部分 • 新知探究 • 实例分析 • 课堂练习 • 总结与反思 • 课后作业
01
引入部分
情境引入
介绍完全平方公式的背景和意义，激发学生对新知识的 兴趣。
通过实际例子引导学生思考完全平方公式的结构特点。
知识回顾
01 回顾因式分解、平方差公式等基础知识，为完全
02 平方差公式
平方差公式是乘法分配律的逆运算，通过平方差 公式可以推导出完全平方公式。
03 完全平方公式的证明
通过具体的证明过程，可以让学生更加深入地理 解完全平方公式的推导过程。
完全平方公式的形式与意义
01 完全平方公式的形式
完全平方公式包括三项，分别是两个数的平方和 加上或减去这两个数的积的2倍。
多做练习题，加深对公式 的理解和应用。
06
完全平方公式ppt课件
(1) (2x+3y)2 (2) (2x-3y)2 (3) (-2x+3y)2 (4) (-2x-3y)2
小结:当所给的二项式 中两项符号相同时,一 般选用“和”的完全 平方公式;
当所给的二项式 中两项的符号相反时, 一般选用“差”的完 全平方差公式.
本标准适用于已投入商业运行的火力 发电厂 纯凝式 汽轮发 电机组 和供热 汽轮发 电机组 的技术 经济指 标的统 计和评 价。燃 机机组 、余热 锅炉以 及联合 循环机 组可参 照本标 准执行 ，并增 补指标 。
本标准适用于已投入商业运行的火力 发电厂 纯凝式 汽轮发 电机组 和供热 汽轮发 电机组 的技术 经济指 标的统 计和评 价。燃 机机组 、余热 锅炉以 及联合 循环机 组可参 照本标 准执行 ，并增 补指标 。
本节课你学到了什么?
本节课你的收获是什么？
注意完全平方公式和平方差公式不同：
形式不同． 完全平方公式的结果 是三项， 结果不同： 即 (a b)2＝a2 2ab+b2;
运用公式计算: 1.(a-b)(a+b)(a2+b2) 2.(2-1)(2+1)(22+1) (24+1)…… (232+1)+1
本标准适用于已投入商业运行的火力 发电厂 纯凝式 汽轮发 电机组 和供热 汽轮发 电机组 的技术 经济指 标的统 计和评 价。燃 机机组 、余热 锅炉以 及联合 循环机 组可参 照本标 准执行 ，并增 补指标 。
1.(2x+y-z)(2x-y+z) 2.(a+2b-1)2
右边是 两数的平方差.
应用平方差公式的注意事:
☾ 弄清在什么情况下才能使用平方差公式:
做一做 本标准适用于已投入商业运行的火力发电厂纯凝式汽轮发电机组和供热汽轮发电机组的技术经济指标的统计和评价。燃机机组、余热锅炉以及联合循环机组可参照本标准执行，并增补指标。
课件《完全平方公式》优秀课件完美版_人教版2
14.3.2.2 方法：若式子有整体满足完全平方式可直接进行因式分解，需注意中间项的符号
问题五 大家还记得完全平方公式吗？
利用完全平方公式因式分解 分析：(1)中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解
这两个多项式是两个数的平方和加上或减去这两个数的积的两倍，我们把 运用完全平方公式分解因式．
方法：若式子中有公因数或公因式，应先提公因数或公因式，再进行因式分解
2a 4ab 4b 16 提公因数 方法：若式子有整体2满足完全平方式可直接2进行因式分解，需注意中间项的符号
方法：若式子有整体满足完全平方式可直接进行因式分解，需注意中间项的符号
就得到因式分解的完全平 方公式：
把方整法式 ：的当乘两法个公平式方项—的—符完号全同平时方2为公负式号倒时过，来先将负号提出来，再进行因式分解
1、a2 4a 4 a 2 2a 2 22 a 2 2
2、25x4 20x2 4 5x2 2 2 5x2 2 2 2 5x2 22
例1 因式分解
(1) 16x2 24x 9 （2） - x2 4xy 4 y2
分析：16x2 24x 9 (4x)2 2 4x 3 32
你对因式分解的方法有什么新的发现？请尝试概括 你的发现.
把整式的乘法公式——完全平方公式 倒过来 就得到因式分解的完全平 方公式：
a2 2ab+b2 =（a b）2
首2 2 首 尾 尾2 首 尾2
即两个数的平方和加上（或减去）这两个 数的积的2倍，等于这两个数的和（或差） 的平方
1、在下面括号中填空
3、看是否有这两数积的2倍
和
这样的式子叫做完全平方式．
a +2ab+b =（a+b） 方法：若式子有整体满足完全平方式可2直接进行因式分解2，需注意中间项的符2号
问题五 大家还记得完全平方公式吗？
利用完全平方公式因式分解 分析：(1)中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解
这两个多项式是两个数的平方和加上或减去这两个数的积的两倍，我们把 运用完全平方公式分解因式．
方法：若式子中有公因数或公因式，应先提公因数或公因式，再进行因式分解
2a 4ab 4b 16 提公因数 方法：若式子有整体2满足完全平方式可直接2进行因式分解，需注意中间项的符号
方法：若式子有整体满足完全平方式可直接进行因式分解，需注意中间项的符号
就得到因式分解的完全平 方公式：
把方整法式 ：的当乘两法个公平式方项—的—符完号全同平时方2为公负式号倒时过，来先将负号提出来，再进行因式分解
1、a2 4a 4 a 2 2a 2 22 a 2 2
2、25x4 20x2 4 5x2 2 2 5x2 2 2 2 5x2 22
例1 因式分解
(1) 16x2 24x 9 （2） - x2 4xy 4 y2
分析：16x2 24x 9 (4x)2 2 4x 3 32
你对因式分解的方法有什么新的发现？请尝试概括 你的发现.
把整式的乘法公式——完全平方公式 倒过来 就得到因式分解的完全平 方公式：
a2 2ab+b2 =（a b）2
首2 2 首 尾 尾2 首 尾2
即两个数的平方和加上（或减去）这两个 数的积的2倍，等于这两个数的和（或差） 的平方
1、在下面括号中填空
3、看是否有这两数积的2倍
和
这样的式子叫做完全平方式．
a +2ab+b =（a+b） 方法：若式子有整体满足完全平方式可2直接进行因式分解2，需注意中间项的符2号
. 完全平方公式 优质课获奖课件
讲解此例之前可先让学生自学教材第111页的“添括号法
则”并完成教材第111页练习第1题．然后给出例5题目，让
学生思考选择哪个公式．第(1)小题的解决关键是要引导学 生比较两个因式的各项符号，分别找出符号相同及相反的
项，学会运用整体思想，将其与公式中的字母a，b对照，
其中－2y＋3＝－(2y－3)，故应运用平方差公式．第(2)小 题可将任意两项之和看作一个整体，然后运用完全平方公 式． 在解此例的过程中，应注意边辩析各项的符号特征，边 对照两个公式的结构特征，教师应完整详细地书写解题过 程，帮助学生理解这一公式的拓展应用，突破难点．
1．完全平方公式的推导及其应用． 2．完全平方公式的几何解释．
重点 完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释 ，
灵活应用．
难点 理解完全平方公式的结构特征 ， 并能灵活应用公 式进行计算．
一、复习引入 你能列出下列代数式吗？ (1)两数和的平方；(2)两数差的平方． 你能计算出它们的结果吗？ 二、探究新知 你能发现它们的运算形式与结果有什么规律吗？ 引导学生用自己的语言叙述所发现的规律，允许学生之间 互相补充，教师不急于概括； 举例：(1)(p＋1)2＝(p＋1)(p＋1)＝________________； (2)(p－1)2＝(p－1)(p－1)＝________________； (3)(m＋2)2＝________________； (4)(m－2)2＝________________．
讲解此例之前可先让学生自学教材第111页的“添括号法
则”并完成教材第111页练习第1题．然后给出例5题目，让
学生思考选择哪个公式．第(1)小题的解决关键是要引导学 生比较两个因式的各项符号，分别找出符号相同及相反的
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完全平方公式
多项式与多项式的乘法法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一 项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的 积相加。
下面，计算：
1（a+b)(a+b）= 2 （a-b)(a-b)= 这两个多项式有什么特点？
完全平方公式的数学表达式：
(a+b)2= a2 +2ab+b2
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
完全平方公式的文字叙述：
两个数的和（或差）的平方， 等于它们的平方和，加上（或减去） 它们的积的2倍。
思考:
你能根据图1和图2中的面积说 明完全平方公式吗?
b
a
a
b
图1
b a
b a 图2
完全平方公式 的几何意义
和的完全平方公式：
b ab b²
(a+b)²
a a² ab
ab
(a b)2 a2+2ab+b2
课本P156习题15.2—2、3、4题, 《同步导学》P97-98.
(3) (-x +y)2 =x2+2xy +y2错
(-x +y)2 =x2 -2xy +y2
(4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2 错
(2x +y)2 =4x2+4xy +y2
例1、运用完全平方公式计算：
(1)(4m+n)2
解: (4m+n)2= (4m)2+2•(4m) •n+n2
(a +b)2= a2 + 2 a b + b2 =16m2+8mn +n2
间的符号相同. 首平方，尾平方，
积的2倍放中央 .
4、公式中的字母a，b可以表示数，单项式和 多项式.
想一想:
下面各式的计算是否正确？如果不正确， 应当怎样改正？
(1)(x+y)2=x2 +y2 错 (x +y)2 =x2+2xy +y2
(2)(x -y)2 =x2 -y2 错 (x -y)2 =x2 -2xy +y2
2.若 x2 2kx 9 是一个完全平方公式,
则 k ____3___;
3.若 x 2 8x k 2是一个完全平方公式,
则 k _____4__;
4.请添加一项________，使得 k 2 4
是完全平方式.
x y 8, x y 4,求xy.
4k 4k
k2
4
5.已知
xy 12
完全平方公式 的几何意义
差的完全平方公式：
b ab b²
a
a² ab
(a-b)²
ab
(a b)2 a2 ab ab b2
a2 2ab b2
(a+b)2= a2 +2ab+b2 公式特征： (a-b)2= a2 - 2ab+b2
1、积为二次三项式；
2、积中两项为两数的平方和；
3、另一项是两数积的2倍，且与乘式中
=9801
思考
(a+b)2与(-a-b)2相等吗? (a-b)2与(b-a)2相等吗? (a-b)2与a2-b2相等吗? 为什么?
例3.
若 a b 5, ab 6,求 a 2 b2 ,a 2 ab b2 .
拓展练习:
1 1. 20082 2 2008 2009 20092 =_______;
(2)(x-2y)2 解： (x-2y)2= x2 -2•x •2y +(2y)2
(a - b)2= a2 - 2 ab + b2 =x2-4xy +4y2
例2、运用完全平方公式计算：
(1) 1022 解： 1022 = (100+2)2
=10000+400+4 =10404 (2) 992 解： 992 = (100 –1)2 =10000 -200+1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a 2 b2 (a b)2 2ab (a b)2 2ab,
1、完全平方公式：(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
2、注意：项数、符号、字母及其指数； 3、解题时常用结论：
a2 b2 (a b)2 2ab (a b)2 2ab
4ab (a b)2 (a b)2
多项式与多项式的乘法法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一 项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的 积相加。
下面，计算：
1（a+b)(a+b）= 2 （a-b)(a-b)= 这两个多项式有什么特点？
完全平方公式的数学表达式：
(a+b)2= a2 +2ab+b2
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
完全平方公式的文字叙述：
两个数的和（或差）的平方， 等于它们的平方和，加上（或减去） 它们的积的2倍。
思考:
你能根据图1和图2中的面积说 明完全平方公式吗?
b
a
a
b
图1
b a
b a 图2
完全平方公式 的几何意义
和的完全平方公式：
b ab b²
(a+b)²
a a² ab
ab
(a b)2 a2+2ab+b2
课本P156习题15.2—2、3、4题, 《同步导学》P97-98.
(3) (-x +y)2 =x2+2xy +y2错
(-x +y)2 =x2 -2xy +y2
(4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2 错
(2x +y)2 =4x2+4xy +y2
例1、运用完全平方公式计算：
(1)(4m+n)2
解: (4m+n)2= (4m)2+2•(4m) •n+n2
(a +b)2= a2 + 2 a b + b2 =16m2+8mn +n2
间的符号相同. 首平方，尾平方，
积的2倍放中央 .
4、公式中的字母a，b可以表示数，单项式和 多项式.
想一想:
下面各式的计算是否正确？如果不正确， 应当怎样改正？
(1)(x+y)2=x2 +y2 错 (x +y)2 =x2+2xy +y2
(2)(x -y)2 =x2 -y2 错 (x -y)2 =x2 -2xy +y2
2.若 x2 2kx 9 是一个完全平方公式,
则 k ____3___;
3.若 x 2 8x k 2是一个完全平方公式,
则 k _____4__;
4.请添加一项________，使得 k 2 4
是完全平方式.
x y 8, x y 4,求xy.
4k 4k
k2
4
5.已知
xy 12
完全平方公式 的几何意义
差的完全平方公式：
b ab b²
a
a² ab
(a-b)²
ab
(a b)2 a2 ab ab b2
a2 2ab b2
(a+b)2= a2 +2ab+b2 公式特征： (a-b)2= a2 - 2ab+b2
1、积为二次三项式；
2、积中两项为两数的平方和；
3、另一项是两数积的2倍，且与乘式中
=9801
思考
(a+b)2与(-a-b)2相等吗? (a-b)2与(b-a)2相等吗? (a-b)2与a2-b2相等吗? 为什么?
例3.
若 a b 5, ab 6,求 a 2 b2 ,a 2 ab b2 .
拓展练习:
1 1. 20082 2 2008 2009 20092 =_______;
(2)(x-2y)2 解： (x-2y)2= x2 -2•x •2y +(2y)2
(a - b)2= a2 - 2 ab + b2 =x2-4xy +4y2
例2、运用完全平方公式计算：
(1) 1022 解： 1022 = (100+2)2
=10000+400+4 =10404 (2) 992 解： 992 = (100 –1)2 =10000 -200+1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a 2 b2 (a b)2 2ab (a b)2 2ab,
1、完全平方公式：(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
2、注意：项数、符号、字母及其指数； 3、解题时常用结论：
a2 b2 (a b)2 2ab (a b)2 2ab
4ab (a b)2 (a b)2