双曲线的弦长公式与面积(不过焦点的弦)
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双曲线的弦长公式与面积（不过焦点的弦）
双曲线
()0,01-
2
22
2>>=b a b
y a
x 与直线m kx y l +=:相交于AB 两点，求AB 的弦长．
设 设()()2211,,,y x B y x A 则()()()2122122
1221241x x x x k y y x x AB -++=-+-=
将
m
kx y +=代
入
1
-
2
22
2=b
y a
x 得：
(
)
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧---=⋅-=+∴=-2222
222212222212
22222222-20-2--a k b b a m a x x a k b km a x x b a m a kmx a x a k b ()
2
2
2
2
2222
212
212
2141k
a b m a k b ab k
x x x x k
AB -+-+=-++==∴．
双曲线与直线交点的判别式：()
2222224m a k b b a +-=∆用来判断是否有两个交点问题． 面积问题：双曲线与直线m kx y l +=:相交与两点，()00,y x C 为AB 外任意一点，求ABC S ∆．设C 到l 的距离为d ，则222222200200-1
21
21a k b m a k b ab m y kx k m y kx AB d AB S ABC
-+⋅+-=++-==△．
直线与双曲线交点问题： （1）直线m kx y +=与双曲线()0,01-
2
2
2
2
>>=b a b
y a x 有两个交点时，
(
)04222222>+-=∆m a k b b a ；()
04222222=+-=∆m a k b b a ，有仅有一个交点；
()042
222
2
2<+-=∆m a k b
b a ，没有交点．
（2）过点()00,y x P 的直线与双曲线有一个交点情况需要分类讨论：
①当a b
x y ±=00时，点P 在渐近线上，当a x ±=0时，有两条直线（一条切线，一条与另一条
渐近线平行的直线）；①当a x ±≠0时，且在双曲线外部，有三条直线（两条切线，一条与另一条渐近线平行的直线）；
①当()0,01-220220>>>b a b
y a x 时（点P 在双曲线内部），一定有交点，当直线斜率a b k ±=时，
有一交点，当直线斜率a
b
k ±≠时，有两个交点．