2019-2020学年浙江省绍兴市上虞区高三(上)期末数学试卷
2019年浙江省绍兴市上虞东关中学高三数学文上学期期末试卷含解析
2019年浙江省绍兴市上虞东关中学高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若复数满足，则=A．B．C．D．参考答案：C2. 设P，Q分别为和椭圆上的点，则P，Q两点间的最大距离是（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出P、Q两点间的最大距离.【详解】设椭圆上点Q，则，因为圆的圆心为，半径为，所以椭圆上的点与圆心的距离为，所以P、Q两点间的最大距离是.【点睛】本题主要考查了圆与椭圆，两点间的距离转化为定点圆心与椭圆上动点间的距离的最值，属于中档题.3. 知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的最大值为（）A．7 B．6 C．5 D．4参考答案：B考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：根据圆心C到O（0，0）的距离为5，可得圆C上的点到点O的距离的最大值为6．再由∠APB=90°，可得PO=AB=m，可得m≤6，从而得到答案．解答：解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心C（3，4），半径为1，∵圆心C到O（0，0）的距离为5，∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6．再由∠APB=90°可得，以AB为直径的圆和圆C有交点，可得PO=AB=m，故有m≤6，故选：B．点评：本题主要直线和圆的位置关系，求得圆C上的点到点O的距离的最大值为6，是解题的关键，属于中档题．4. 定义在上的函数满足：①（为正常数）；②当时，，若函数的图象上所有极大值对应的点均落在同一条直线上，则等于（）A．1 B．2 C．2或4 D．1或2参考答案：D5. 已知是首项为1，公比为2的等比数列，则数列{ a n}的第100项等于A．25050 B．24950 C．2100 D． 299参考答案：A6. 函数,则下列坐标表示的点一定在函数f(x)图象上的是( ) A． B．C． D．参考答案：B略7. 已知函数的定义域为，的定义域为．则（）A．{x |x>-1} B．{x|x＜1} C．{x|-1＜x＜1} D．参考答案：C略8. 已知||=7，||=3，||=5，则与的夹角为（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】把||=7两边平方，整理出两个向量的数量积的值，根据两个向量的夹角的公式，代入两个向量的数量积和两个向量的模长，得到余弦值，根据角的范围得到结果．【解答】解：∵||=7，||=3，||=5，∴2﹣2?+2=9﹣2?+25=49∴?=﹣，∴cos＜，＞===﹣∵＜，＞∈[0，π]∴与的夹角为．故选A．9. 将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移个单位，得到的函数的一个对称中心( )A．B．C．（）D．（）参考答案：A【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的对称性．【专题】计算题．【分析】先根据三角函数图象变换规律写出所得函数的解析式，再根据三角函数的性质进行验证：若f（a）=0，则（a，0）为一个对称中心，确定选项．【解答】解：函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍得到图象的解析式为再向右平移个单位得到图象的解析式为=sin2x当x=时，y=sinπ=0，所以是函数y=sin2x的一个对称中心．故选A．【点评】本题考查了三角函数图象变换规律，三角函数图象、性质．是三角函数中的重点知识，在试题中出现的频率相当高．10. 已知正项等比数列满足：，若存在两项使得，则的最小值为A. B. C. D. 不存在参考答案：A因为，所以，即，解得。
2019年绍兴市高三数学上期末模拟试卷(及答案)
2019年绍兴市高三数学上期末模拟试卷(及答案)一、选择题1．已知点(),M a b 与点()0,1N -在直线3450x y -+=的两侧，给出以下结论：①3450a b -+>；②当0a >时，+a b 有最小值，无最大值；③221a b +>；④当0a >且1a ≠时，11b a +-的取值范围是93,,44⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，正确的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．若正实数x ，y 满足141x y +=，且234yx a a +>-恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[]1,4-B ．()1,4-C ．[]4,1-D ．()4,1-3．数列{}n a 满足()11nn n a a n ++=-⋅，则数列{}n a 的前20项的和为( ) A ．100B ．-100C ．-110D ．1104．已知数列{}n a 中，()111,21,n n na a a n N S *+==+∈为其前n 项和，5S的值为（ ）A ．63B ．61C ．62D ．575．正项等比数列中，的等比中项为，令，则（ ） A ．6B ．16C ．32D ．646．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若633S S =， 则96S S =（ ） A ．2B ．73C ．83D ．37．已知实数x 、y 满足约束条件00134x y x ya a⎧⎪≥⎪≥⎨⎪⎪+≤⎩，若目标函数231x y z x ++=+的最小值为32，则正实数a 的值为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．18．若变量x ，y 满足约束条件1358x y x x y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，，，则2yz x =-的取值范围是（ ）A ．113⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，B ．11115⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，C ．111153⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， D ．3153⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，9．若a 、b 、c >0且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－23，则2a ＋b ＋c 的最小值为( ) A ． 3－1 B ． 3＋1 C ．23＋2D ．23－210．“0x >”是“12x x+≥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1(1)()n n n S nS n N *++∈＜.若871a a <-，则（ ） A ．n S 的最大值为8S B ．n S 的最小值为8S C ．n S 的最大值为7S D ．n S 的最小值为7S12．设2z x y =+，其中,x y 满足2000x y x y y k +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，若z 的最小值是12-，则z 的最大值为（ ） A ．9-B ．12C ．12-D ．9二、填空题13．数列{}n a 满足14a =，12nn n a a +=+，*n N ∈，则数列{}n a 的通项公式n a =______.14．已知数列{}n a 的首项12a =，且满足()*12n n n a a n N +=∈，则20a =________．15．已知是数列的前项和，若，则_____．16．设,x y 满足约束条件0{2321x y x y x y -≥+≤-≤，则4z x y =+的最大值为 .17．若ABC ∆的三个内角45A =︒，75B =︒，60C =︒，且面积623S =+形的外接圆半径是______18．已知a b c R ∈、、，c 为实常数，则不等式的性质“a b a c b c >⇐+>+”可以用一个函数在R 上的单调性来解析，这个函数的解析式是()f x =_________19．等差数列{}n a 前9项的和等于前4项的和.若141,0k a a a =+=，则k = . 20．在数列{}n a 中，11a =，且{}n a 是公比为13的等比数列．设13521T n n a a a a L -=++++，则lim n n T →∞=__________．(*n ∈N ) 三、解答题21．在()f x 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，满足(2)cos cos b c A a C -=．(1)求角A 的大小(2)若3a =，求ABC △的周长最大值． 22．在△ABC 中，已知AC ＝4，BC ＝3，cosB ＝－14. (1)求sin A 的值； (2)求·BA BC u u u v u u u v的值.23．在ABC V 中内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2,a b ==，面积S =. （1）求sin A 的值；（2）若点D 在BC 上（不含端点），求sin BDBAD∠的最小值.24．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）求角B 的大小；（2）设a =2，c =3，求b 和()sin 2A B -的值. 25．已知函数221()cos sin ,(0,)2f x x x x p =-+?． （1）求()f x 的单调递增区间；（2）设ABC V 为锐角三角形，角A 所对边a =，角B 所对边5b =，若()0f A =，求ABC V 的面积．26．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4133n n S a =-. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若1n b n =+，求数列{}n n a b 的前n 项和n T .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】 【详解】∵点M (a ,b )与点N (0,−1)在直线3x −4y +5=0的两侧,∴()()34530450a b -+⨯++<，即3450a b -+<，故①错误； 当0a >时,54a b +>，a +b 即无最小值，也无最大值，故②错误； 设原点到直线3x −4y +5=0的距离为d ,则22513(4)==+-d ,则22a b +>1，故③正确；当0a >且a ≠1时,11b a +-表示点M (a ,b )与P (1,−1)连线的斜率． ∵当0a =,b =54时,51194114b a ++==---,又直线3x −4y +5=0的斜率为34， 故11b a +-的取值范围为93,,44⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故④正确.∴正确命题的个数是2个. 故选B.点睛：本题是常规的线性规划问题，线性规划问题常出现的形式有：①直线型，转化成斜截式比较截距，要注意z 前面的系数为负时，截距越大，z 值越小；②分式型，其几何意义是已知点与未知点的斜率；③平方型，其几何意义是距离，尤其要注意的是最终结果应该是距离的平方；④绝对值型，转化后其几何意义是点到直线的距离.2．B解析：B 【解析】 【分析】 根据1444y y x x x y ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合基本不等式可求得44yx +≥，从而得到关于a 的不等式，解不等式求得结果. 【详解】 由题意知：1442444y y x yx x x y y x⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 0x Q >，0y > 40x y ∴>，04yx>442244x y x yy x y x∴+≥⋅=（当且仅当44x y y x =，即4x y =时取等号） 44yx ∴+≥ 234a a ∴-<，解得：()1,4a ∈- 本题正确选项：B 【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值问题，关键是配凑出符合基本不等式的形式，从而求得最值.3．B解析：B 【解析】 【分析】数列{a n }满足1(1)nn n a a n ++=-⋅，可得a 2k ﹣1+a 2k ＝﹣（2k ﹣1）．即可得出．【详解】∵数列{a n }满足1(1)nn n a a n ++=-⋅，∴a 2k ﹣1+a 2k ＝﹣（2k ﹣1）．则数列{a n }的前20项的和＝﹣（1+3+……+19）()101192⨯+=-=-100．故选：B ． 【点睛】本题考查了数列递推关系、数列分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．D解析：D 【解析】解：由数列的递推关系可得：()11121,12n n a a a ++=++= ， 据此可得：数列{}1n a + 是首项为2 ，公比为2 的等比数列，则：1122,21n n n n a a -+=⨯⇒=- ，分组求和有：()5521255712S ⨯-=-=- .本题选择D 选项.5．D解析：D 【解析】因为，即，又，所以.本题选择D选项.6．B解析：B【解析】【分析】首先由等比数列前n项和公式列方程，并解得3q，然后再次利用等比数列前n项和公式，则求得答案．【详解】设公比为q，则616363313(1)1113(1)11a qS qqqa qS qq---===+=---，∴32 q=，∴93962611271123 S qS q--===--．故选：B．【点睛】本题考查等比数列前n项和公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时也可以利用连续等长片断的和序列仍然成等比数列，进行求解.7．D解析：D【解析】【分析】作出不等式组所表示的可行域，根据目标函数的几何意义，利用直线斜率的几何意义以及数形结合进行求解即可.【详解】目标函数()12123112111x yx y yzx x x++++++===+⨯+++，设11ykx+=+，则k的几何意义是区域内的点与定点(1,1)D--连线的斜率，若目标函数231x yzx++=+的最小值为32，即12z k=+的最小值是32，由3122k+=，得14k=，即k的最小值是14，作出不等式组对应的平面区域如图：由斜率的意义知过D 的直线经过()3,0B a 时，直线的斜率k 最小，此时011314k a +==+， 得314a +=，得1a =. 故选：D. 【点睛】本题考查利用线性规划中非线性目标函数的最值求参数，解题时要结合非线性目标函数的几何意义寻找最优解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.8．A解析：A 【解析】 【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合2yz x =-的几何意义求出其范围，即可得到答案. 【详解】由题意，画出满足条件的平面区域，如图所示： 由358y x x y =⎧⎨+=⎩，解得11A (，)，由1x y x =-⎧⎨=⎩，解得(11)B --，， 而2yz x =-的几何意义表示过平面区域内的点与0(2)C ，的直线斜率， 结合图象，可得1AC k =-，13BC k =， 所以2y z x =-的取值范围为113⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，， 故选：A.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划问题，其中解答中作出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定出目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及计算能力，属于基础题.9．D解析：D【解析】由a(a＋b＋c)＋bc＝4－3，得(a＋c)·(a＋b)＝4－3∵a、b、c>0.∴(a＋c)·(a＋b)≤22b c2a++⎛⎫⎪⎝⎭(当且仅当a＋c＝b＋a，即b＝c时取“＝”)，∴2a＋b＋c423－＝31)＝3－2.故选：D点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误10．C解析：C【解析】先考虑充分性,当x>0时，1122x xx x+≥⋅=，当且仅当x=1时取等.所以充分条件成立.再考虑必要性，当12xx+≥时，如果x>0时，22210(1)0x x x-+≥∴-≥成立，当x=1时取等.当x<0时，不等式不成立. 所以x>0.故选C.11．C解析：C 【解析】 【分析】由已知条件推导出（n 2﹣n ）d ＜2n 2d ，从而得到d ＞0，所以a 7＜0，a 8＞0，由此求出数列{S n }中最小值是S 7． 【详解】∵（n +1）S n ＜nS n +1， ∴S n ＜nS n +1﹣nS n ＝na n +1 即na 1()12n n d-+＜na 1+n 2d ，整理得（n 2﹣n ）d ＜2n 2d ∵n 2﹣n ﹣2n 2＝﹣n 2﹣n ＜0 ∴d ＞0 ∵87a a -＜1＜0 ∴a 7＜0，a 8＞0 数列的前7项为负， 故数列{S n }中最小值是S 7 故选C ． 【点睛】本题考查等差数列中前n 项和最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的灵活运用．12．B解析：B 【解析】 【分析】作出不等式对应的可行域，当目标函数过点A 时，z 取最小值，即min 12z =-，可求得k 的值，当目标函数过点B 时，z 取最大值，即可求出答案. 【详解】作出不等式对应的可行域，如下图阴影部分，目标函数可化为2y x z =-+，联立20x y y k +=⎧⎨=⎩，可得()2,A k k -，当目标函数过点A 时，z 取最小值，则()2212k k ⨯-+=-，解得4k =，联立0x y y k-=⎧⎨=⎩，可得(),B k k ，即()4,4B ，当目标函数过点B 时，z 取最大值，max 24412z =⨯+=.故选：B.【点睛】本题考查线性规划，考查学生的计算求解能力，利用数形结合方法是解决本题的关键，属于基础题.二、填空题13．【解析】【分析】由题意得出利用累加法可求出【详解】数列满足因此故答案为：【点睛】本题考查利用累加法求数列的通项解题时要注意累加法对数列递推公式的要求考查计算能力属于中等题 解析：22n +【解析】 【分析】由题意得出12nn n a a +-=，利用累加法可求出n a .【详解】数列{}n a 满足14a =，12n n n a a +=+，*n N ∈，12nn n a a +∴-=，因此，()()()211213214222n n n n a a a a a a a a --=+-+-++-=++++L L ()121242212n n --=+=+-.故答案为：22n +. 【点睛】本题考查利用累加法求数列的通项，解题时要注意累加法对数列递推公式的要求，考查计算能力，属于中等题.14．512【解析】【分析】利用已知将n 换为n+1再写一个式子与已知作比得到数列的各个偶数项成等比公比为2再求得最后利用等比数列的通项公式即可得出【详解】∵anan+1=2n （）∴an+1an+2=2n+解析：512 【解析】 【分析】利用已知将n 换为n +1，再写一个式子，与已知作比，得到数列{}n a 的各个偶数项成等比，公比为2，再求得2=1a ，最后利用等比数列的通项公式即可得出． 【详解】∵a n a n +1=2n ，（*n N ∈） ∴a n +1a n +2=2n +2．（*n N ∈）∴22n na a +=,（*n N ∈），∴数列{}n a 的各个奇数项513...a a a ，，成等比，公比为2， 数列{}n a 的各个偶数项246...a a a ，，成等比，公比为2， 又∵a n a n +1=2n ，（*n N ∈），∴a 1a 2=2,又12a =，∴2=1a ， 可得：当n 为偶数时，1222n n a a -=⋅∴a 20＝1•29＝512． 故答案为：512． 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．4950【解析】【分析】由an+Sn ＝2nan+1+Sn+1＝2n+1两式相减可得2an+1﹣an ＝2n 即可计算【详解】解：∵an+Sn＝2nan+1+Sn+1＝2n+1两式相减可得2an+1﹣an 解析：【解析】 【分析】由a n +S n ＝2n ，a n +1+S n +1＝2n +1，两式相减可得2a n +1﹣a n ＝2n ．即可计算． 【详解】解：∵a n +S n ＝2n ，a n +1+S n +1＝2n +1， 两式相减可得2a n +1﹣a n ＝2n ．则（2a 2﹣a 1）（2a 3﹣a 2）…（2a 100﹣a 99）＝21•22•23…299＝24950．【点睛】本题考查了数列的递推式，属于中档题．16．【解析】试题分析：约束条件的可行域如图△ABC 所示当目标函数过点A(11)时z 取最大值最大值为1+4×1=5【考点】线性规划及其最优解解析：【解析】 .试题分析：约束条件的可行域如图△ABC 所示.当目标函数过点A(1，1)时，z 取最大值，最大值为1+4×1=5.【考点】线性规划及其最优解.17．【解析】【分析】设三角形外接圆半径R 由三角形面积公式解方程即可得解【详解】由题：设三角形外接圆半径为R （）根据正弦定理和三角形面积公式：即解得：故答案为：【点睛】此题考查三角形面积公式和正弦定理的应 解析：2【解析】 【分析】设三角形外接圆半径R ，由三角形面积公式21sin 2sin sin sin 2S ab C R A B C ==解方程即可得解. 【详解】由题：232162sin sin 75sin(4530)222B +=︒=︒+︒=+=设三角形外接圆半径为R （0R >），根据正弦定理和三角形面积公式：211sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22S ab C R A R B C R A B C ==⋅⋅= 即223623226R ++=， 解得：22R = 故答案为：2【点睛】此题考查三角形面积公式和正弦定理的应用，利用正弦定理对面积公式进行转化求出相关量，需要对相关公式十分熟练.18．【解析】【分析】构造函数通过讨论其单调性即解析不等式的性质【详解】函数是定义在上的单调增函数若则即即故答案为：【点睛】此题考查利用函数单调性解析不等式的性质利用常见函数的单调性结合不等式的特征即可求 解析：x c -【解析】 【分析】构造函数()f x x c =-，通过讨论其单调性即解析不等式的性质． 【详解】函数()f x x c =-，是定义在R 上的单调增函数， 若a c b c +>+，则()()f a c f b c +>+，即a c c b c c +->+-， 即a b >． 故答案为：x c - 【点睛】此题考查利用函数单调性解析不等式的性质，利用常见函数的单调性结合不等式的特征即可求解．19．10【解析】【分析】根据等差数列的前n 项和公式可得结合等差数列的性质即可求得k 的值【详解】因为且所以由等差数列性质可知因为所以则根据等差数列性质可知可得【点睛】本题考查了等差数列的前n 项和公式等差数解析：10 【解析】 【分析】根据等差数列的前n 项和公式可得70a =，结合等差数列的性质即可求得k 的值． 【详解】因为91239S a a a a =+++⋅⋅⋅ 41234S a a a a =+++，且94S S =所以567890a a a a a ++++= 由等差数列性质可知70a = 因为40k a a += 所以4770k a a a a +=+=则根据等差数列性质可知477k +=+ 可得10k = 【点睛】本题考查了等差数列的前n 项和公式，等差数列性质的应用，属于基础题．20．【解析】【分析】构造新数列计算前n 项和计算极限即可【详解】构造新数列该数列首项为1公比为则而故【点睛】本道题考查了极限计算方法和等比数列前n 项和属于中等难度的题目解析：9lim 8n n T →∞=【解析】 【分析】构造新数列{}21n a -，计算前n 项和，计算极限，即可。
2020届浙江省绍兴市上虞区高三上学期期末数学试题(解析版)
2019学年第一学期高三期末教学质量调测数学试卷参考公式：球的表面积公式24S R π=；球的体积公式343V R π=，其中R 表示球的半径. 第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}2,3,5A =，{}3,4,6B =，则()U A B =U ð（ ） A. {}3 B. {}4,6C. {}1,3,4,6D. {}2,3,4,5,6【答案】C 【解析】 【分析】根据题意,先确定U A ð的范围,再确定()U A B U ð的范围即可.【详解】{}1,4,6U A =Q ð, (){}1,3,4,6U A B ∴=U ð,故选:C.【点睛】本题考查集合的运算,属于简单题.2.已知双曲线C ：22221x y a b -=的离心率为53，且其实轴长为6，则双曲线C 的方程为（ ） A. 221916x y -=B. 221169x y -=C. 22134x y -=D. 22143x y -=【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线C 的离心率为53,实轴长为6,解出3,5a c ==,从而计算出b ,得到双曲线方程. 【详解】由双曲线C 的离心率为53,实轴长为6,可得5326c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩,解得35a c =⎧⎨=⎩, 从而22216b c a =-=,所以双曲线C 的方程为:221916x y -=,故选:A.【点睛】本题考查双曲线的标准方程和基本性质,属于简单题.答题注意分清椭圆与双曲线之间的区别联系,不要混淆.3.已知随机变量X 的分布列（下表），21Y X =+，则()E Y =（ ）A.13B.53C.73D. 2【答案】B 【解析】 【分析】由变量X 分布列的性质,解得16a =,从而可以计算出()E X ,进而计算出()E Y . 【详解】由题可知11123a ++=,所以16a =,所以1111()10(1)2363E X =⨯+⨯+-⨯=,因此5()(21)2()13E Y E X E X =+=+=,故选:B.【点睛】本题主要考查期望的计算,属于简单题.有一定关系的两个变量,其期望与方差之间也有对应关系,其中2()(),()()E aX b aE X b D aX b a D X +=++=.4.若实数x ，y 满足约束条件203020x y x y x y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最大值是（ ） A. 0 B. 3C. 4D. 5【答案】D 【解析】 【分析】画出满足条件的目标区域,将目标函数化为斜截式122zy x =-+,由直线方程可知,要使z 最大,则直线122z y x =-+的截距要最大,结合可行域可知当直线122zy x =-+过点A 时截距最大,因此,解出A 点坐标,代入目标函数,即可得到最大值.【详解】画出满足约束条件203020x y x y x y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩的目标区域,如图所示:由2z x y =+,得122z y x =-+, 要使z 最大,则直线122zy x =-+的截距要最大,由图可知,当直线122zy x =-+过点A 时截距最大,联立2030x y x y -=⎧⎨+-=⎩,解得(1,2)A ,所以2z x y =+的最大值为:1225+⨯=, 故选:D.【点睛】本题考查了简单的线性规划问题,运用了数形结合思想,属于简单题.5.ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则“()12a b c ≤+”是“A 为锐角”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件【答案】A 【解析】 【分析】由题知:()()()22222111242a b c a b c b c b c ≤+⇔≤+<+≤+,结合余弦定理,可推出A 为锐角,反之无法推出,因此“()12a b c ≤+”是“A 为锐角”的充分非必要条件.【详解】①在ABC ∆中,若()12a b c ≤+,则()2214a b c ≤+,即22224()2()a b c b c ≤+≤+,222a b c ∴<+,222cos 02b c a A bc+-∴=>,A ∴为锐角,即“()12a b c ≤+”⇒“A 为锐角”, ②若A 为锐角,则222cos 02b c a A bc+-=>,即222b c a +>,无法推出2222b c a +≥, 所以“A 为锐角”⇒“()12a b c ≤+”, 综上所述:“()12a b c ≤+”是“A 为锐角”的充分非必要条件, 故选:A.【点睛】本题考查了充分必要条件的判定,结合了基本不等式及余弦定理等相关知识,综合性较强.6.函数2()xx xf x e+= 大致图象是（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】利用导数求出单调区间，及x=0时，y=0，即可求解．【详解】函数y=2x x x e +的导数为21'xx x y e-++=，令y′=0，得，x ⎛∈-∞ ⎝⎭时，y′＜0，x ∈⎝⎭时，y′＞0，x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，y′＜0．∴函数在（﹣∞，+∞）递增． 且x=0时，y=0，排除B ，x=-1时，y=0，x=-2时，y>0,排除C ， 故选A ．【点睛】本题考查函数图象问题，函数的导数的应用，考查计算能力，属于中档题，7.已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，P 为第一象限内椭圆上的一点，且124F PF π∠=，直线1PF 交y 轴于点M ，若122F F OM =，则该椭圆的离心率为（ ）1【答案】C【解析】 【分析】由122F F OM =,得1OF OM c ==,所以124PF F π∠=,结合条件124F PF π∠=,可知12PF F ∆为等腰直角三角形,从而可以根据椭圆的基本定义列出等式求离心率. 【详解】由122F F OM =,得1OFOM c ==, 所以1tan 1MFO ∠=,即124PF F π∠=,又124F PF π∠=,所以12PF F ∆为等腰直角三角形,所以1222PF PF c a +=+=,所以离心率1ce a==-, 故选:C.【点睛】本题主要考查椭圆的基本性质,涉及了解三角形的相关知识,属于综合题型.一般解决圆锥曲线与平面几何相结合的题型时,一要注意圆锥曲线基本定义的应用,二要注意平面图形的基本性质. 8.若函数()12f x x x a =+++的最小值3，则实数a 的值为（ ） A. 5或8 B. 1-或5C. 1-或4-D. 4-或8【答案】D 【解析】试题分析：由题意，①当12a ->-时，即2a >，3(1),2(){1,123(1),1a x a x a f x x a x x a x --+≤-=+--<≤-++>-，则当2ax =-时，min ()()1322a a f x f a a =-=-++-+=，解得8a =或4a =-（舍）；②当12a-<-时，即2a <，3(1),1(){1,123(1),2x a x af x x a x ax a x --+≤-=-+--<≤-++>-，则当2ax =-时，min()()1322a a f x f a a =-=-++-+=，解得8a =（舍）或4a =-；③当12a-=-时，即2a =，()31f x x =+，此时min ()0f x =，不满足题意，所以8a =或4a =-，故选D.【此处有视频，请去附件查看】9.已知数列{}n a 中，12a =，若21n n n a a a +=+，设1212222111m m m a a a S a a a =++⋅⋅⋅++++，若2020m S <，则正整数m 的最大值为（ ） A. 1009 B. 1010 C. 2019 D. 2020【答案】B 【解析】 【分析】 由21n nna a a +=+可得1(+16n n n a a a +=≥）,则111111(+1+16n n n n n a a a a a +==-≤）.再结合212(1)11m m m a a a =-++,可化简1212222111m m m a a a S a a a =++⋅⋅⋅++++1221+m m a +=-223m ≤-,从而可以求出正整数m 的最大值.【详解】21n n n a a a +=+Q ,12a =∴0n a >,∴210n n n a a a +-=>,即数列{}n a 为单调增数列,1(+16n n n a a a +∴=≥）,即111111(+1+16n n n n n a a a a a +==-≤）, 1111+1n n n a a a +∴=-, 212(1)11m m m a a a =-++Q1212222111m m m a a a S a a a ∴=++⋅⋅⋅++++121112(1)2(1)2(1)111m a a a =-+-+⋅⋅⋅+-+++ 1211122()111m m a a a =-++⋅⋅⋅++++ 1312211111122()m m m a a a a a a +=--+-+⋅⋅⋅+- 111122()m m a a +=-- 1221+m m a +=-223m ≤-2020m S <Q ,2220203m ∴-<,即110103m <+, ∴正整数m 的最大值为1010,故选:B.【点睛】本题考查了数列的递推关系,运用了裂项相消法,放缩法等方法,属于数列的综合应用题,对学生的计算及推理能力有一定要求.10.在棱长均为ABCD 中，M 为AC 中点，E 为AB 中点，P 是DM 上的动点，Q 是平面ECD 上的动点，则AP PQ +的最小值是（ ）A.B.C.D. 【答案】A【解析】 【分析】在正四面体ABCD 中,由AB ⊥平面CDE ,找出DM 在平面CDE 上的射影DG ,再沿DM 展开平面ADM ,使之与平面GDM 重合,此时,AP PQ +的最小值即为点A 到DG 的距离,最后,结合数据解三角形即可. 【详解】由题知,在正四面体ABCD 中,E 为AB 中点,,AB DE AB CE ∴⊥⊥,AB ∴⊥平面CDE ,设CE 中点为G ,连MG ,M Q 为AC 中点,//MG AE ∴,且12MG AE ==, MG ∴⊥平面CDE ,DG ∴即为DM 在平面CDE 上的射影,沿DM 展开平面ADM ,使之与平面GDM 重合, 此时,AP PQ +的最小值即为点A 到DG 的距离, 故过点A 作AQ DG ⊥于点Q ,又3DM ==,sin cos MG MDG MDG MD ∴∠==∴∠=, 30ADM ∠=o Q ,1sin sin()2ADQ ADM MDG ∴∠=∠+∠=+=sin AQ AD ADQ ∴=⋅∠==故选:A.【点睛】本题考查空间几何体中的距离最值问题,需要学生有较强的空间想象和思维能力,综合性较强.在解决此类最值问题时,一般采用侧面展开的形式,将立体问题转化为平面问题解决.第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.11.已知复数21iz i=-（i 为虚数单位），则z =______，z =______.【答案】 (1). 1i -- (2).【解析】 【分析】先化简211iz i i==-+-,所以1,z i z =--== 【详解】22(1)2211(1)(1)2i i i i z i i i i +-+====-+--+Q ,1,z i z ∴=--==故答案为:1i --.【点睛】本题考查复数的基本运算,求其共轭和模,属于简单题.12.已知方程为2220x y x ay a ++-+=的圆关于直线40x y +=对称，则圆的半径r =______.若过点()1,0M 作该圆的切线，切点为A ，则线段MA 长度为______.【答案】 (1). 3 (2).【解析】 【分析】将圆方程整理成标准形式得到圆心与半径,由圆关于直线对称,得到直线过圆心,从而解出a ,求出半径,再根据MA AC ⊥,利用勾股定理求解即可.【详解】圆的标准方程为:222(1)()124a a x y a ++-=+-, 因为圆关于直线40x y +=对称, 所以圆心(1,)2a -在直线40x y +=上,所以8a =,圆半径3r ==,设圆心为C ,则(1,4)C -,所以MC =所以MA ==故答案为:3【点睛】本题考查圆的标准方程,利用其求半径,切线长等,属于基础题.此类题一般会利用圆的一些基本性质,例如:过圆心的直线平分圆,切点与圆心的连线与该切点处的切线垂直等,要求学生对圆的知识掌握熟练. 13.某几何体的三视图如图所示，正视图为正方形，侧视图为直角三角形，俯视图为等腰直角三角形，则其体积为______，表面积为______.【答案】 (1).43(2). 5+【解析】【分析】 由三视图还原几何体,可知该几何体为四棱锥A BCDE -,底面BCDE 是边长为2的正方形,侧面ABC 是等腰直角三角形,且AB AC ==侧面ABC ⊥底面BCDE ,据此结合棱锥的体积和表面积计算公式求解即可.【详解】由三视图还原几何体如下:该几何体为四棱锥A BCDE -,底面BCDE 是边长为2的正方形,侧面ABC 是等腰直角三角形,AB AC ==侧面ABC ⊥底面BCDE ,取BC 中点为H ,则AH ⊥底面BCDE , 所以1422133A BCDE V -=⨯⨯⨯=,表面积1111222122252222S =⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=+故答案为:43;5+ 【点睛】本题考查还原三视图求几何体的表面积与体积,要求学生有一定的空间思维想象能力,属于中档题.14.若21nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭展开式中的各项系数之和为1024，则n =______，常数项为______. 【答案】 (1). 5 (2). 405【解析】【分析】对二项式中的x 赋值,令1x =,可得展开式的各项系数之和为4n ,解得5n =,从而得到二项式的通项公式,再令通项公式中x 的幂指数为0,即可求出常数项.【详解】在21n x ⎛⎫ ⎪⎝⎭中,令1x =,可得展开式的各项系数之和为:41024n =,解得5n =,所以521x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的通项公式为:5555215521()3r r r r r r r T C C x x ---+=⋅=⋅⋅,令5502r -=,得1r =, 所以常数项为:14253=405T C ==⋅,故答案为:5;405.【点睛】本题主要应用赋值法求二项式的系数和及常数项,需要学生对二项展开式比较熟悉.15.已知集合{}0,1,2,9A B ==，f ：A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，那么该函数的值域的不同情况有______种.【答案】15【解析】【分析】根据函数的定义可知值域中元素个数可能有1,2,3,4,四种情况,再结合组合数即可求出结果.【详解】因为f :A B →为从集合A 到集合B 的一个函数,所以该函数的值域可能包含1个,或2个,或3个,或者4个元素,因此值域的不同情况有:1234444415C C C C +++=种,故答案为:15.【点睛】本题主要考查映射定义以及组合数的应用,属于基础题,难度不大,但需要学生熟练掌握基础知识并融会贯通.16.如图，已知圆C ：()()22221x y -+-=，ABD ∆为圆C 的内接正三角形，M 为边BD 的中点，当ABD ∆绕圆心C 转动，同时点N 在边AB 上运动时，ON CM ⋅u u u r u u u u r的最大值是______.【解析】【分析】根据向量的三角形法则,将ON CM ⋅u u u r u u u u r 拆分成OC CM CN CM ⋅+⋅u u u r u u u u r u u u r u u u u r ,运用向量数量积的定义和几何意义分别对OC CM ⋅u u u r u u u u r 和CN CM ⋅u u u r u u u u r 取最值,从而得到ON CM ⋅u u u r u u u u r 的最大值.【详解】由题可知:圆C 半径为1,圆心为(2,2)C ,所以ABD ∆1,2CM OC == =()ON CM OC CN CM OC CM CN CM ⋅+⋅=⋅+⋅u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r ,而cos =cos OC CM CO CM CO CM OCM OCM ⋅=-⋅=-⋅⋅∠∠u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r ,当且仅当cos 1OCM ∠=-,即,CO CM u u u r u u u u r 反向时,OC CM ⋅u u u r u u u u r , 又1=cos cos 2CN CM CN CM MCN CN MCN ⋅⋅⋅∠=⋅⋅∠u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r , 当且仅当N 与B 点重合时,CN CM ⋅u u u r u u u u r 取得最大值14,所以ON CM ⋅u u u r u u u u r 的最大值是14故答案为:14+. 【点睛】本题主要运用了向量的运算法则和数量积的定义及几何意义去求解向量的最值,综合性较强.对于求数量积的最值问题,一般而言有两种解决思路,一是利用坐标转化为代数求最值,二是利用数量积的定义或几何意义求最值.17.若关于x 的方程12x a a x ---=恰有三个不同的解，则实数a 的取值范围为______. 【答案】[]1,1-【解析】【分析】 原题等价于方程12x a a x --=±恰有三个不同的解,作出1(),2f x x a a y x=--=± 的图像,观察图像即可得解. 【详解】原题等价于方程12x a a x--=±恰有三个不同的解, 设11(),()2,()2f x x a a g x h x x x =--=+=-,作出图像如下:则2,()=,x a x a f x x x a-≥⎧⎨-<⎩是一个“V”型分段函数,其顶点(,)A a a -在直线y x =-上运动,将y x =-分别与(),()g x h x 联立,可得直线y x =-与()g x 相切与点(1,1)B -,与()h x 相切与点(1,1)C -,因此,当且仅当点A 在线段BC 上运动时,()f x x a a =--与12y x=±有三个交点, 故答案为:[]1,1-.【点睛】本题主要考查函数图像的运用,将方程解的问题转变为两个简单函数交点的问题,应用了数形结合的思想.一般将零点问题变成两个函数交点的问题时,选择的函数要尽可能简单. 三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.已知函数())21sin 024x x f x ωωω=-->的图象如图所示，其中A 为图象的最高点，B ，C 为图象与x 轴的交点，且ABC ∆为等腰直角三角形.（1）求ω的值及()f x 的单调递增区间；（2）设()()13g x f x f x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，求函数()g x 在区间11,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上最大值及此时x 的值.【答案】（1）ωπ=，单调增区间为5112,266k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.（2）13x =- 【解析】【分析】(1)化简()f x 后,利用等腰直角ABC ∆计算出BC 长,从而得到周期,计算出ω和()f x ,再求出单调递增区间即可;(2)代入()f x 化简()g x ,再利用整体代入法求出()g x 的最大值.【详解】(1)()21sin 24x f x x ωω=--1sin 4x x ωω=-1sin 23x πω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 由图像可知ABC ∆的BC 边上高为12, 可得12BC T =⇒=,故ωπ=,即()1sin 23f x x ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭, 由不等式322232k x k ππππππ+≤-≤+5112266k x k ⇒+≤≤+,k Z ∈. 所以()f x 的单调增区间为5112,266k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,k Z ∈.(2)由()()111sin sin 3232g x f x f x x x πππ⎛⎫⎛⎫=++=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭, 当11,23x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,2,636x ππππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦, 故当62x πππ-=-,即13x =-时,sin 6x ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭有最小值1-,即()26g x x ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在13x =-有最大值2. 【点睛】本题考查了三角函数的化简与求值,结合了函数图像求值,求单调区间,属于函数图像与性质的综合应用题.此题求单调区间时,需要注意这是一个复合函数求单调性问题,不要将区间求反.19.已知斜三棱柱111ABC A B C -，2ABC π∠=，1AC BC ⊥，12BC BA ==，1BC =，1AC =（1）求1AA 的长；（2）求1AA 与面ABC 所成的角的正切值.【答案】（1）1AA =2【解析】【分析】(1)方法一:由1AC BC ⊥,AB BC ⊥,推出BC ⊥面1ABC ,故1CB BC ⊥,则可利用勾股定理解出11AA CC ==;方法一:如图所示以B 为原点,以BC 为x 轴,BA 为y 轴,竖直向上为z 轴,建立空间直角坐标系,因为BC ⊥面1ABC ,即1ABC 平面等同于yoz 平面,因而可以利用坐标求出1AA ;(2)方法一:延长AB ,过1C 作1C H AB ⊥于H ,因为CB ⊥面1ABC ,所以面ABC ⊥面1ABC ,所以1C H ⊥面ABC ,所以1C CH ∠为1CC 与面ABC 所成角,等价于1AA 与面ABC 所成的角,最后结合数据解三角形即可；方法二:建系后可以利用向量法求出1AA 与面ABC 所成的角的正切值.【详解】解:方法一:(1)因为1AC BC ⊥,AB BC ⊥,1BA C A A =I ,所以BC ⊥面1ABC ,故1CB BC ⊥,所以222115CC CB C B =+=,于是11AA CC ==; (2)延长AB ,过1C 作1C H AB ⊥于H ,由(1)知CB ⊥面1ABC ,所以面ABC ⊥面1ABC ,又面ABC I 面1ABC AB =,1C H AB ⊥,1C H ⊂面1ABC ,所以1C H ⊥面ABC ,所以1C CH ∠为1CC 与面ABC 所成角,在1ABC ∆中可得1120BAC ∠=︒,故1C H =CH =,所以11tan 2C H C CH CH ∠==, 又因为11//AA CC ,面//ABC 面111A B C ,故1AA 与面ABC 所成的角即为1CC 与面ABC 所成的角,所以1AA 与面ABC方法二:(1)如图所示以B 为原点,BC 为x 轴,BA 为y 轴,竖直向上为z 轴,建立空间直角坐标系,则()1,0,0C ,()0,2,0A ,因为1AC BC ⊥,AB BC ⊥,1BA C A A =I ,所以BC ⊥面1ABC ,即1ABC 平面等同于yoz 平面,又因为12BC BA ==,1AC =所以1C 的坐标为(0,1,-,所以11AA CC ==; (2)因为11//AA CC ,面//ABC 面111A B C ,故1AA 与面ABC 所成的角即1CC 与面ABC 所成的角,设其夹角为θ,易得面ABC 的法向量为()0,0,1n =r ,且(1C C =u u u u r ,所以11sin n C C n C Cθ⋅==⋅r u u u u r r u u u u r ,所以tan θ==, 所以1AA 与面ABC【点睛】本题考查空间中求线段长,求线面角,需要学生有一定的空间想象与思维能力.几何法解决线面角问题的关键是找到平面的垂线,另外,也可建系来解决问题.20.在数列{}n a 中，已知11a =，121n n n a a +=+-.（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）记()1n n b a n λ=+-，且数列{}n b 的前n 项和为n S ，若2S 为数列{}n S 中的最小项，求λ的取值范围.【答案】（1）2n n a n =-（2）82,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】(1)已知数列递推公式,用累加法求通项即可;(2)由(1)可得2n n b n λ=-,则()12122632n n n n S S λλ++=--≥=-,化简得到()112832n n n λ++⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭对任意*n N ∈恒成立,分类分别求出当1,2n n ==时λ的取值范围,再证明出3n ≥时()222166n n f n n +-=+-为递增数列,即(3)f λ≤,综合求出λ的取值范围.【详解】(1)121n n n a a +=+-Q ,()11212n n n a a n --∴=+-≥,21221n n n a a ---=+-,……12121a a =+-,上式累加可得:()()12212nn a a n n -=---≥, 2(2)n n a n n ∴=-≥,又11a =,∴2n n a n =-;(2)由(1)可得()12n n n b a n n λλ=+-=-, ∴()11222n n n n S λ++=--, 因为2S 为数列{}n S 中的最小项,所以263n S S λ≥=-,即()112832n n n λ++⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭, 当1n =时,得42λ-≥-,∴2λ≥; 当2n =时,R λ∈;当3n ≥时,得()1302n n +->,∴222166n n n λ+-≤+-, 令()222166n n f n n +-=+-, 则()()()()322221621661116n n n n n f n n f n ++--=-+-+++-+-()()()2222823232346n n n n n n n n +--⋅++=+-+-, 当4n ≥时,280n n -->,22340,60n n n n +->+->,∴()()1f n f n +>,又可验证当3n =时,()()430f f ->也成立,∴当3n ≥时,数列(){}f n 为递增数列,∴()()min 833f n f ==,即83λ≤. 综上所述,λ取值范围为82,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】①已知数列递推公式求通项公式有多种方法,答题时要仔细区分,且最后一定要注意检验; ②数列本质上是函数,因此具有一些函数的性质,解决某些数列问题时可以用上函数的相关方法.21.已知抛物线1C ：()220y px p =>，圆2C ：()2220x y r r +=>，直线l ：()0y kx m m =+>与抛物线1C 相切于点A ，且与圆2C 相切于点B .（1）当2r =，1k =时，求直线l 方程与抛物线1C 的方程； （2）设F 为抛物线1C 的焦点，FAB ∆，FOB ∆的面积分别为1S ，2S ，当21S S 取得最大值时，求实数22r p 的值. 【答案】（1）0x y -+=；2y =（2）2212r p = 【解析】【分析】(1)根据直线与12,C C 都相切,列出对应方程,求解即可; 的(2)联立22y kx m y px=+⎧⎨=⎩,求得2p m k =,故消m ,求得2,2p p A k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭,再联立直线与圆方程,求出点()()22,2121p p B k k k ⎛⎫ ⎪- ⎪++⎝⎭,从而可以求出AB ,再分别求12,S S ,利用基本不等式化简21S S ,则可求出当21S S 取得最大值时,实数22r p的值. 【详解】(1)由题设可知,l :0x y m -+=,且0m >,由l 与圆相切,可知圆心2(0,0)C 到直线l的距离2d ==,解得m =, 所以直线l 方程为:0x y -+=,由220202x y y py y px⎧-+=⎪⇒-+=⎨=⎪⎩,令0∆=,解得p = 所以抛物线的方程为1C:2y =.(2)联立22y kx m y px=+⎧⎨=⎩,可得()222220k x km p x m +-+=, 令0∆=,即()2222240km p k m --=,解得2p km =,即2p m k=, 此时切点2,2p p A k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 又直线2p y kx k =+和圆相切,r =,故联立直线与圆方程()22222412p x y k k p y kx k ⎧+=⎪+⎪⎨⎪=+⎪⎩, 解得()221p x k =-+,()221p y k k =+,即()()22,2121p p B k k k ⎛⎫ ⎪- ⎪++⎝⎭,B A =∴(()2221221p k k k +=+, 又,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭到AB 的距离d =即有(()2122121221p k S k k +=+222128p k k k +=⋅, ()()222211228211p p p S k k k k =⋅⋅=⋅++, 可得()()22222121112132S k S k k k k==++++3≤=-当且仅当2k =),此时()2222141r p k k ===+. 【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系,考查三角形面积问题,结合了圆,基本不等式等多项内容,综合性较强,且需要学生有较强的计算能力,难度偏大.22.已知函数()22x a f x a x e a ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭. （1）若1a =-，求函数()f x 的单调区间及极值；（2）当0x >时，函数()1f x ≥-（其中0a >）恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）单调增区间为(],1-∞，减区间为()1,+?，()11f x e =-极大值（2）11a e ≥- 【解析】【分析】(1)求出1a =-时()f x 及()f x ',由导数大于0,可得增区间,由导数小于0,可得减区间;(2)令x t a=,()1f x ≥-恒成立可变形为,()2210t ate a t a -+++≥对0t >恒成立.方法一:令()()221t ate a t t a g =-+++,取必要条件()10g ≥,解得11a e ≥-,只要证明当11a e ≥-时,()0g t ≥对0t >恒成立即可;方法二:上式继续变形为:211t a t a te-≥+对0t >恒成立,设()21t t g t te -=,因此()max 1a g t a ≥+,故而求出()max g t 即可得出结论. 【详解】解:(1)当1a =-时,()1x x f x e=-,此时()1x x f x e -'=, 当(),1x ∈-∞,()0f x '>;()1,x ∈+∞,()0f x '<,所以函数()f x 的单调增区间为(,1)-∞,减区间为()1,+∞,所以()f x 有极大值()111f e=-,无极小值; (2)方法一:()1f x ≥-即2210x a x e a a ⎛⎫--++≥ ⎪⎝⎭恒成立 令x t a =,即x at =,上式可变为2210t at e a a ⎛⎫--++≥ ⎪⎝⎭, 即()2210t ate a t a -+++≥对0t >恒成立,令()()221t ate a t t a g =-+++, 取必要条件()()122110g ae a a ae a =-+++=--≥,解得11a e ≥-, 下证当11a e ≥-时,()0g t ≥对0t >恒成立, ()()()121t a t e g t a '=+-+,因为()()20tg t a t e ''=+>,所以()y g t '=在()0,∞+单调递增, 由于()020g a '=--<,()()()1121221201g e a e e '=--≥-⋅-=-, 所以()g t '在(]0,1存在唯一零点(]00,1t ∈,所以()g t 在()0,∞+存在唯一极小值点(]00,1t ∈, 此时()00g t '=,即()()()()00002112101t t a a t e a e a t ++-+=⇒=+, ()()()0000min 221t g t at e a t g t a ==-+++()()()()200000012121111a t t at t a a t t a +-++=+++=++, 由于(]00,1t ∈,可得010t +>,200210t t -++≥,所以()min 0g t ≥恒成立,即()0g t ≥对0t >恒成立,,综上可得a 的取值范围为1,1e ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭. 方法二:()1f x ≥-即2210x a x e a a ⎛⎫--++≥ ⎪⎝⎭恒成立, 令x t a =,即x at =,上式可变为2210t at e a a ⎛⎫--++≥ ⎪⎝⎭, 即()2210t ate a t a -+++≥对0t >恒成立, 即211t a t a te-≥+对0t >恒成立, 设()21t t g t te -=,则()()()211t t t g t te -+-'=, 可知()g t 在()0,1单调递增,在()1,+∞单调递减,因此()()max 11g t g e==, 所以11a a e ≥+,解得11a e ≥-, 即a 的取值范围为1,1e ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭. 【点睛】本题考查了导数的综合应用,解题需要一定的计算和推理能力.在解决恒成立问题时,一般会对式子进行变形,利用转化思想变成相关的最值问题.。
浙江省绍兴市上虞区19-20学年高三上学期期末数学试卷 (有解析)
浙江省绍兴市上虞区19-20学年高三上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知全集U={0,1，2，3，4}，集合A={1,2，3}，B={2,4}，则(∁U A)∪B=()A. {1,2，4}B. {2,3，4}C. {0,2，4}D. {0,2，3，4}2.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√3，且过点(√3,−2)，则C的实轴长为()A. 1B. 2C. √2D. 2√23.已知随机变量X的分布列如下：X013P 1312a若随机变量Y满足Y=3X−1，则Y的方差D(Y)=()A. 1B. 2C. 3D. 94.已知x,y满足约束条件{y≤1x+y+4≥0x−y≤0，则z=x+2y的最小值是()A. −8B. −6C. −3D. 35.“a>b”是“a|a|>b|b|”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件6.函数y=e x(2x−1)的大致图象是()A. B.C. D.7.已知点P为椭圆x2a +y2b=1(a>b>0)上一点，F1，F2分别为其左、右焦点，且PF1⊥PF2，∠PF1F2=60°，则e=()A. 12B. √32C. √3−12D. √3−18.设函数f(x)的定义域为R，若存在常数M>0，使得|f(x)|≤M|x|对一切的实数x都成立，则称f(x)为“倍约束函数”.现给出下列函数：①f(x)=2x，②f(x)=x2+1，③f(x)=sinx+cosx，④f(x)=xx2−x+3，⑤f(x)是定义在实数集上的奇函数，且对一切的x1，x2均有|f(x1)−f(x2)|≤2|x1−x2|.其中是“倍约束函数”的有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个9.已知数列{a n}满足a1=12，a n+1=1−1an(n∈N∗)，则使a1+a2+⋯+a k<100成立的最大正整数k的值为()A. 199B. 200C. 201D. 20210.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点M，N分别是棱BC，C1D1的中点，点P在底面A1B1C1D1内，点Q在线段A1N上，若PM=√5，则PQ长度的最小值为()A. √2−1B. √2C. 3√55−1 D. 3√55二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.已知i为虚数单位，复数z=3+i2−i，则z−等于______．12.过点P(2,3)作圆(x−1)2+y2=1的两条切线，与圆相切于A，B，则直线AB的方程为______．13.一个四棱锥的三视图如图所示，其正视图和侧视图为全等的等腰直角三角形，俯视图是边长为√2的正方形，则该几何体的表面积为______14. (2x +1√x3)n的展开式中各项系数之和为729，则该展开式中x 2项的系数为________．15. 设集合A ={−1,3，5}，若f ：x →2x −1是集合A 到集合B 的映射，则集合B =________． 16. 在△ABC 中，AB =3，AC =4，M 是边BC 的中点，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =______． 17. 已知函数若关于x 的方程f 2(x)−af(x)=0恰有5个不同的实数解，则a 的取值范围是__________． 三、解答题（本大题共5小题，共74.0分） 18. 已知函数f(x)=2√3sinωx 2cosωx 2−2cos 2ωx 2+1(ω>0)的图象与直线y =2的相邻两个交点之间的距离为π．(Ⅰ)求函数f(x)在区间[0,π2]的值域； (Ⅱ)若f (α2)=23，求sin(11π6−2α)的值．19. 如图，三棱柱ABC −A 1B 1C 1所有的棱长均为1，A 1C 1⊥B 1C .(Ⅰ)求证：A 1B ⊥AC ；(Ⅱ)若A 1B =1，求直线A 1C 1和平面ABB 1A 1所成角的余弦值．20.设数列满足a1=2，a n+1−a n=3⋅22n−1(1)求数列{a n}的通项公式；(2)令b n=na n，求数列{b n}的前n项和S n．21.设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|=8．(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．x3−ax−3(a∈R)．22.已知函数f(x)=13(Ⅰ)当a=1时，求函数f(x)在区间[−2,3]的最值；(Ⅱ)求函数f(x)的极值点；-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题主要考查了集合的补集，并集，属于基础题．先求出补集，再求并集．解：全集U={0,1，2，3，4}，集合A={1,2，3}，则∁U A={0,4}，B={2,4}，则(∁U A)∪B={0,2,4}．故选C．2.答案：B解析：本题考查双曲线的简单性质，考查学生的计算能力，比较基础．利用双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√3，且过点(√3,−2)，建立方程，即可求出C的实轴长．解析：解：∵双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√3，且过点(√3,−2)，∴ca =√3，3a2−4b2=1，又c2=a2+b2，∴a=1，b=√2，c=√3，∴C的实轴长为2a=2．故选：B．3.答案：D解析：解：由题意可知，13+12+a=1，所以a=16，所以数学期望E(X)=0×13+1×12+3×16=1，方差D(X)=(0−1)2×13+(1−1)2×12+(3−1)2×16=1，因为Y=3X−1，所以D(Y)=32×D(X)=9，故选：D．根据题意，求出a的值，再分别计算出X的数学期望与方差，然后根据Y=3X−1，即可求出D(Y)．本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望与方差，考查学生的运算能力，属于基础题．4.答案：B解析：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．作出不等式组对应的平面区域，设z=x+2y得y=−12x+12z，利用数形结合即可的得到结论．解：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易求得A(1,1)，B(−2,−2)，C(−5,1)，z=x+2y，则y=−12x+12z，当直线y=−12x+12z过点B(−2,−2)时z取到最小值，所以z=x+2y的最小值是−2+2×(−2)=−6，故选：B．5.答案：C解析：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质结合分类讨论是解决本题的关键．根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．解：若a>b，①a>b≥0，不等式a|a|>b|b|等价为a⋅a>b⋅b，此时成立．②0>a>b，不等式a|a|>b|b|等价为−a⋅a>−b⋅b，即a2<b2，此时成立．③a≥0>b，不等式a|a|>b|b|等价为a⋅a>−b⋅b，即a2>−b2，此时成立，即充分性成立．若a|a|>b|b|，①当a >0，b >0时，a|a|>b|b|去掉绝对值得，(a −b)(a +b)>0，因为a +b >0，所以a −b >0，即a >b ．②当a >0，b <0时，a >b ．③当a <0，b <0时，a|a|>b|b|去掉绝对值得，(a −b)(a +b)<0，因为a +b <0，所以a −b >0，即a >b ．④当a =0，b <0或a >0，b =0时，a >b; 即必要性成立，综上“a >b ”是“a|a|>b|b|”的充要条件， 故选C ．6.答案：A解析：解：y′=e x (2x −1)+2e x =e x (2x +1)， 令y′=0得x =−12，∴当x <−12时，y′<0，当x >−12时，y′>0，∴y =e x (2x −1)在(−∞,−12)上单调递减，在(−12,+∞)上单调递增， 当x =0时，y =e 0(0−1)=−1，∴函数图象与y 轴交于点(0,−1)； 令y =e x (2x −1)=0得x =12，∴f(x)只有1个零点x =12， 当x <12时，y =e x (2x −1)<0，当x >12时，y =e x (2x −1)>0， 综上，函数图象为A ． 故选：A ．判断函数的单调性，计算函数与坐标轴的交点坐标即可得出答案．本题考查了函数的图象判断，函数单调性、零点、极值的计算，属于中档题．7.答案：D解析：本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆定义的应用，是中档题．由题意画出图形，求解焦点三角形可得|PF 1|=c ，|PF 2|=√3c ，然后利用椭圆定义求解．解：如图：∵PF1⊥PF2，∠PF1F2=60°，∴|PF1|=c，则|PF2|=√3c，由椭圆定义可得2a=c+√3c，得e=ca =√3+1=√3−1．故选：D．8.答案：C解析：本题考查数学的阅读理解能力，考查函数的最值及其几何意义，属于中档题．根据“倍约束函数”，的定义进行判定：对①f(x)=2x，易知存在M=2符合题意；②由基本不等式，易得|f(x)||x|≥2恒成立；③令x=0时即可得出结论对；④中求出|f(x)||x|的值域，可得结论；⑤通过取x2=0，如此可得到正确结论．解：∵对任意x∈R，存在正数M，都有|f(x)|≤M|x|成立，∴当x≠0时，存在正数M，都有M≥|f(x)||x|成立，同时x=0时，f(x)=0，∴对于①f(x)=2x，易知存在M=2符合题意；对于②，当x≠0时，|f(x)||x|=x2+1|x|=|x|+1|x|≥2，故不存在满足条件的M值，故②错误；对于③，f(x)=sinx+cosx，由于x=0时，|f(x)|≤M|x|不成立，故③错误；对于④，当x≠0时，|f(x)||x|=1|x2−x+3|≤411恒成立，且f(0)=0，故④正确；对于⑤，当x1=x，x2=0时，由|f(x1)−f(x2)|≤2|x1−x2|得到|f(x)|≤2|x|成立，这样的M存在，故⑤正确；故是“倍约束函数”的函数有3个．故选C．9.答案：B解析：解：∵数列{a n }满足a 1=12，a n+1=1−1a n(n ∈N ∗)，∴a 2=1−1a 1=−1，a 3=1−1a 2=2，a 4=1−1a 3=12， ∴a n+3=a n ．又a 1+a 2+a 3=12−1+2=32，32×66=99，99+12<100，99+12−1<100，99+12−1+2=100.5>100， ∴则使a 1+a 2+⋯+a k <100成立的最大正整数k =66×3+2=200． 故选：B ．数列{a n }满足a 1=12，a n+1=1−1an(n ∈N ∗)，经过计算可得：a n+3=a n .根据a 1+a 2+a 3=12−1+2=32，进而得出． 本题考查了数列递推关系、数列求和与周期性、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.答案：C解析：本题考查线段长的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题． 取B 1C 1中点O ，则MO ⊥面A 1B 1C 1D 1，即MO ⊥OP ，可得点P 在以O 为圆心，1以半径的位于平面A 1B 1C 1D 1内的半圆上．即O 到A 1N 的距离减去半径即为PQ 长度的最小值，作OH ⊥A 1N 于N ，可得OH =3√55，PQ 长度的最小值为3√55−1．解：如图，取B 1C 1中点O ，则MO ⊥面A 1B 1C 1D 1，OP ⊂面A 1B 1C 1D 1， 即MO ⊥OP ，∵PM =√5，则OP =1，∴点P 在以O 为圆心，1以半径的位于平面A 1B 1C 1D 1内的半圆上．可得O 到A 1N 的距离减去半径即为PQ 长度的最小值，作OH ⊥A 1N 于N ，△A 1ON 的面积为2×2−12×2×1−12×1×1−12×2×1=32，∴12×A 1N ×OH =32，可得OH =3√55，∴PQ 长度的最小值为3√55−1． 故选：C ． 11.答案：1−i解析：解：∵z =3+i 2−i =(3+i)(2+i)(2−i)(2+i)=5+5i 5=1+i ，∴z −=1−i ，故答案为：1−i ．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题． 12.答案：x +3y −2=0解析：本题考查圆的切线方程、公切弦方程的求法，属基础题．求出以PC 为直径的圆的方程x 2+y 2−3x −3y +2=0，再与已知圆(x −1)2+y 2=1的方程相减即得直线AB 的方程．解：圆(x −1)2+y 2=1的圆心为C(1,0)，半径为1，∴|PC |=√(2−1)2+32=√10，PC 的中点为M(32,32)，∵PA ⊥AC ，PB ⊥BC ，∴A ，B 在以PC 为直径的圆上，以PC 为直径的圆的方程为(x −32)2+(y −32)2=52，即x 2+y 2−3x −3y +2=0，圆(x −1)2+y 2=1的一般方程为x 2+y 2−2x =0，两圆方程相减得：x +3y −2=0，∴直线AB 的方程为x +3y −2=0，故答案为x +3y −2=0． 13.答案：2+2√3解析：本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．由三视图还原原几何体，该四棱锥为正四棱锥，底面ABCD 为正方形，边长为√2，侧棱长为√2，则表面积可求．解：由三视图还原原几何体如图，该四棱锥为正四棱锥，底面ABCD 为正方形，边长为√2，侧棱长为√2，则该几何体的表面积为4×12×√2×√62+√2×√2=2+2√3． 故答案为：2+2√3． 14.答案：160解析：本题考查二项式系数的性质的应用，基础题由(2x √x 3)n 的展开式中各项系数之和为729，知3n =729，解得n =6.再由(2x √x 3)6的通项公式为T r+1=C 6r (2x)6−r (√x3)r=26−r C 6r x 6−43r ，能求出该展开式中x 2的系数． 解：∵(2x +√x 3)n 的展开式中各项系数之和为729， 令x =1，得3n =729，解得n =6．∵(2x √x3)6的通项公式为T r+1=C 6r (2x)6−r (√x 3)r =26−r C 6r x 6−43r ， 由6−43r =2，得r =3．∴该展开式中x 2的系数为26−3C 63=8×6×5×43×2×1=160． 故答案为160．15.答案：{−3,5，9}解析：本题主要考查映射的定义，属于基础题，根据映射的定义，分别令x 的值得集合．解：根据映射的定义，分别令x =−1，3，5，得2x −1为−3，5，9从而得到集合B ={−3,5，9}故答案为{−3,5，9}．16.答案：72 解析：本题考查平面向量的数量积运算，考查向量加法、减法的三角形法则，是基础题．根据向量中点的公式以及向量加法法则，把AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 用向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC⃗⃗⃗⃗⃗ 表示，利用数量积的定义展开进行求解即可．解：∵AB =3，AC =4，M 是边BC 的中点，∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=4， ∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2) =12(42−32)=72．故答案为：72．17.答案：(0,1)解析：本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用，属于一般题．作f(x)的图象，从而由f 2(x)−af(x)=f(x)(f(x)−a)=0可得f(x)=a 有三个不同的解，从而结合图象解得．解：作f(x)的图象如下，，f2(x)−af(x)=f(x)(f(x)−a)=0，∴f(x)=0或f(x)=a；∵f(x)=0有两个不同的解，故f(x)=a有三个不同的解，故a∈(0,1)；故答案为(0,1)．18.答案：解：f(x)=2√3sinωx2cosωx2−2cos2ωx2+1，所以f(x)=√3sinωx−cosωx(ω>0,x∈R)，所以f(x)=2sin(ωx−π6)．所以f(x)max=2．因为函数f(x)与直线y=2的相邻两个交点之间距离为π，所以T=π，所以2πω=π，解得ω=2,所以f(x)=2sin(2x−π6)．因为x∈[0,π2]，所以−π6⩽2x−π6⩽5π6，所以−12⩽sin(2x−π6)⩽1，所以函数f(x)在区间[0,π2]的值域为[−1,2]．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，f(α2)=2sin(α−π6)，因为f(α2)=23，所以sin(α−π6)=13．所以sin(11π6−2α)=sin(π3−2α+3π2)=sin[3π2−(2α−π3)]=−cos(2α−π3)=−[1−2sin2(α−π6)]=−79．解析：本题主要考查诱导公式，二倍角公式，以及函数y=Asin(ωx+φ)的性质．(Ⅰ)利用二倍角公式，以及函数y=Asin(ωx+φ)的性质，即可得；(Ⅱ)利用诱导公式，以及二倍角公式化简求值，即可得．19.答案：证明：(Ⅰ)取AC中点O，连接A1O，BO，∴BO⊥AC，连接AB1交A1B于点M，连接OM，则B1C//OM，∵A1C1//AC，A1C1⊥B1C，∴AC⊥OM，又OM⊂面A1BO，OB⊂面A1BO，且OM∩OB=O，∴AC⊥面A1BO，∴A1B⊥AC；解：(Ⅱ)∵A1C1//AC，∴直线A1C1和平面ABB1A1所成的角等于直线AC和平面ABB1A1所成的角，∵三棱柱ABC−A1B1C1所有的棱长均为1，∴A1B⊥AB1，∵A1B⊥AB1，A1B⊥AC，∴A1B⊥面AB1C，∴面AB1C⊥面ABB1A1，∵面AB1C∩面ABB1A1=AB1，∴AC在平面ABB1A1的射影为AB1，∴∠B1AC为直线AC和平面ABB1A1所成的角，∵AB1=2AM=2√AB2−BM2=√3，∵A1C1⊥B1C，∴AC⊥B1C，∴在Rt△ACB1中，cos∠B1AC=ACAB1=√33，∴直线AC和平面ABB1A1所成角的余弦值为√33．即直线A1C1和平面ABB1A1所成的角的余弦值为√33．解析：本题考查线线垂直的证明，考查线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，是中档题．(Ⅰ)取AC中点O，连接A1O，BO，则BO⊥AC，连接AB1交A1B于点M，连接OM，则B1C//OM，推导出AC⊥OM，从而AC⊥面A1BO，由此能证明A1B⊥AC；(Ⅱ)由A1C1//AC，得直线A1C1和平面ABB1A1所成的角等于直线AC和平面ABB1A1所成的角，推导出A1B⊥AB1，A1B⊥AC，从而A1B⊥面AB1C，进而面AB1C⊥面ABB1A1，推导出∠B1AC为直线AC 和平面ABB1A1所成的角，由此能求出直线A1C1和平面ABB1A1所成的角的余弦值．20.答案：解：(Ⅰ)由已知，当n≥1时，a n+1=[(a n+1−a n)+(a n−a n−1)+⋯+(a2−a1)]+a1=3(22n−1+22n−3+⋯+2)+2=3×2(1−4n)1−4+2=22(n+1)−1．而a1=2，所以数列{a n}的通项公式为a n=22n−1．(Ⅱ)由b n=na n=n⋅22n−1知S n=1⋅2+2⋅23+3⋅25+⋯+n⋅22n−1①从而22S n=1⋅23+2⋅25+⋯+n⋅22n+1②①−②得(1−22)⋅S n=2+23+25+⋯+22n−1−n⋅22n+1．即S n=19[(3n−1)22n+1+2]．解析：(Ⅰ)由题意得a n+1=[(a n+1−a n)+(a n−a n−1)+⋯+(a2−a1)]+a1=3(22n−1+22n−3+⋯+2)+2=22(n+1)−1.由此可知数列{a n}的通项公式为a n=22n−1．(Ⅱ)由b n =na n =n ⋅22n−1知S n =1⋅2+2⋅23+3⋅25++n ⋅22n−1，由此入手可知答案．本题主要考查数列累加法(叠加法)求数列通项、错位相减法求数列和等知识以及相应运算能力． 21.答案：解：(1)抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F(1,0)，由题意可知直线AB 的方程为：y =k(x −1)，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则{y =k(x −1)y 2=4x，整理得：k 2x 2−2(k 2+2)x +k 2=0， 则x 1+x 2=2(k 2+2)k 2，x 1x 2=1，由|AB|=x 1+x 2+p =2(k 2+2)k 2+2=8，解得：k 2=1，则k =1，∴直线l 的方程y =x −1；(2)由(1)可得AB 的中点坐标为D(3,2)，则直线AB 的垂直平分线方程为y −2=−(x −3)，即y =−x +5，设所求圆的圆心坐标为(x 0,y 0)，则{y 0=−x 0+5(x 0+1)2=(y 0−x 0+1)22+16， 解得：{x 0=3y 0=2或{x 0=11y 0=−6, 因此，所求圆的方程为(x −3)2+(y −2)2=16或(x −11)2+(y +6)2=144．解析：本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，抛物线的焦点弦公式，考查圆的标准方程，考查转换思想，属于中档题．(1)设直线AB 的方程为y =k(x −1)，代入抛物线方程，根据抛物线的焦点弦公式即可求得k 的值，即可求得直线l 的方程；(2)设圆心坐标为(x 0,y 0)，结合题意构建方程，求得圆的方程．22.答案：(Ⅰ)解：a =1时，f′(x)=x 2−1，由f′(x)>0，可得x >1或x <−1；由f′(x)<0，可得−1<x <1，即有f(x)在(−1,1)递减，在[−2,−1]，[1,3]，递增，f(−2)=−113，f(1)=−113 f(−1)=−73，f(3)=3， ∴函数f(x)在区间[−2,3]的最大值为f(3)=3，最小值为f(−2)=f(1)=−113(Ⅱ)解：f′(x)=x 2−a当a ≤0时，f′(x)≥0恒成立，f(x)单调递增，无极值；当a >0时，令f′(x)=0，x =±√a ，f(x)在(−∞,−√a)，(√a,+∞)单调递增，在(−√a,√a)递减， ∴函数f(x)的极大，小值点分别为−√a ，√a ．解析：(Ⅰ)求得f(x)的导数，由导数大于0可得增区间；导数小于0，可得减区间，进而得到f(x)的最值；(Ⅱ)f′(x)=x 2−a ，分a ≤0，a >0讨论，本题考查导数的运用：求单调性和极值、最值，考查分类讨论思想方法，以及化简整理的运算能力，属于中档题．。
2020届浙江省绍兴市上虞区高三上学期期末数学试题
2019学年第一学期高三期末教学质量调测数学试卷参考公式：球的表面积公式24S R π=；球的体积公式343V R π=，其中R 表示球的半径. 第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}2,3,5A =，{}3,4,6B =，则()U A B =U ð（ ）A. {}3B. {}4,6C. {}1,3,4,6D. {}2,3,4,5,6 2.已知双曲线C ：22221x y a b-=的离心率为53，且其实轴长为6，则双曲线C 的方程为（ ） A. 221916x y -= B. 221169x y -= C. 22134x y -= D. 22143x y -= 3.已知随机变量X 的分布列（下表），21Y X =+，则()E Y =（ ）A. 13B. 53C. 73D. 2 4.若实数x ，y 满足约束条件203020x y x y x y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最大值是（ ）A. 0B. 3C. 4D. 55.ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则“()12a b c ≤+”是“A 为锐角”的（ ） A 充分非必要条件 B. 必要非充分条件.C 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件 6.函数2()x x x f x e+= 的大致图象是（ ） A.B. C. D. 7.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，P 为第一象限内椭圆上的一点，且124F PF π∠=，直线1PF 交y 轴于点M ，若122F F OM =，则该椭圆的离心率为（ ）A.B.C. 1D. 138.若函数()12f x x x a=+++最小值3，则实数a 的值为（ ） A. 5或8 B. 1-或5C. 1-或4-D. 4-或8 9.已知数列{}n a 中，12a =，若21n n n a a a +=+，设1212222111m m m a a a S a a a =++⋅⋅⋅++++，若2020m S <，则正整数m 的最大值为（ ）A. 1009B. 1010C. 2019D. 2020 10.在棱长均为正四面体ABCD 中，M 为AC 中点，E 为AB 中点，P 是DM 上的动点，Q 是平面ECD 上的动点，则AP PQ +的最小值是（ ） .的A.2 B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分. 11.已知复数21i z i=-（i 为虚数单位），则z =______，z =______. 12.已知方程为2220x y x ay a ++-+=的圆关于直线40x y +=对称，则圆的半径r =______.若过点()1,0M 作该圆的切线，切点为A ，则线段MA 长度为______.13.某几何体的三视图如图所示，正视图为正方形，侧视图为直角三角形，俯视图为等腰直角三角形，则其体积为______，表面积为______.14.若21nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭展开式中的各项系数之和为1024，则n =______，常数项为______. 15.已知集合{}0,1,2,9A B ==，f ：A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，那么该函数的值域的不同情况有______种.16.如图，已知圆C ：()()22221x y -+-=，ABD ∆为圆C 的内接正三角形，M 为边BD 的中点，当ABD ∆绕圆心C 转动，同时点N 在边AB 上运动时，ON CM ⋅u u u r u u u u r的最大值是______.17.若关于x 的方程12x a a x---=恰有三个不同的解，则实数a 的取值范围为______. 三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.已知函数())21sin 024x x f x ωωω=-->的图象如图所示，其中A 为图象的最高点，B ，C 为图象与x 轴的交点，且ABC ∆为等腰直角三角形.（1）求ω的值及()f x 的单调递增区间；（2）设()()13g x f x f x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，求函数()g x 在区间11,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值及此时x 的值.19.已知斜三棱柱111ABC A B C -，2ABC π∠=，1AC BC ⊥，12BC BA ==，1BC =，1AC =（1）求1AA 的长；（2）求1AA 与面ABC 所成的角的正切值.20.在数列{}n a 中，已知11a =，121n n n a a +=+-.（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）记()1n n b a n λ=+-，且数列{}n b 的前n 项和为n S ，若2S 为数列{}n S 中的最小项，求λ的取值范围. 21.已知抛物线1C ：()220y px p =>，圆2C ：()2220x y r r +=>，直线l ：()0y kx m m =+>与抛物线1C 相切于点A ，且与圆2C 相切于点B .（1）当2r =，1k =时，求直线l 方程与抛物线1C 的方程；（2）设F 为抛物线1C 焦点，FAB ∆，FOB ∆的面积分别为1S ，2S ，当21S S 取得最大值时，求实数22r p的值. 22.已知函数()22x a f x a x e a ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭. （1）若1a =-，求函数()f x 的单调区间及极值；（2）当0x >时，函数()1f x ≥-（其中0a >）恒成立，求实数a 的取值范围.的。
高中数学选择性必修三7.3.1 离散型随机变量的均值
7.3 离散型随机变量的数字特征7.3.1 离散型随机变量的均值基础过关练题组一 离散型随机变量的均值1.若离散型随机变量X 的分布列如下表,则E(X)=( )A.118B.19C.920D.92.(2020山东临沂高二下期末)在掷一枚图钉的随机试验中,令X={1,针尖向上,0,针尖向下,若随机变量X 的分布列如下表,则E(X)=( )A.0.21B.0.3 C .0.5 D 3.(2020安徽六校教育研究会高三第二次素质测试)为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标,国家加大了扶贫攻坚的力度.某地区在2015 年以前的年均脱贫率(脱离贫困的户数占当年贫困户总数的比)为70%.2015年开始,全面实施“精准扶贫”政策后,扶贫效果明显提高,其中2019年度实施的扶贫项目,各项目参加户数占比(参加各项目的户数占 2019 年贫困户总数的比)及各项目的脱贫率见下表.值为( )A.75B.4835C.4735D.37284.射手用手枪进行射击,击中目标就停止,否则继续射击,他射中目标的概率是0.8,若枪内只有3颗子弹,则他射击次数的数学期望是( )A.0.8B.0.992C.1D.1.245.(2020天津六校高二下期中联考)某班举行了一次“心有灵犀”的活动,教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学,这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学.若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4,同学乙猜对成语的概率是0.5,且规定猜对得1分,猜错得0分,则这两个同学各猜1次,得分之和X的数学期望为( )A.0.9B.0.8C.1.2D.1.16.(2020重庆九校联盟高二上联考)随机变量X的分布列如表所示.若数学期望E(X)=13,则c= .7.(2020黑龙江哈尔滨三中高三综合测试)小建大学毕业后分别向三家不同的公司提交了应聘简历,若被A,B,C 公司录用的概率分别为12,23,34,且被各公司录用与否相互独立.(1)求小建至少被一家公司录用的概率;(2)设小建应聘成功的公司的个数为X,试求X 的分布列和期望.题组二离散型随机变量的均值的性质8.(2020广东东莞高二下期末)随机变量X的分布列如下表,则E(5X+4)= ( )A.16B.11C.2.2D.2.39.(2020浙江绍兴上虞高三上期末)已知随机变量X的分布列如下表,Y=2X+1,则E(Y)=( )A.13B.53C.73D.210.(2020湖南常德高二下月考)若P(X=0)=1-p,P(X=1)=p,则E(2X-3)= .题组三均值的实际应用11.甲、乙两工人在同样的条件下生产某产品,两人的日产量相等,每天出废品的情况如表所示:A.甲的产品质量比乙的产品质量好一些B.乙的产品质量比甲的产品质量好一些C.两人的产品质量一样好D.无法判断谁的产品质量好一些12.(2020北京第四中学高三下阶段测试)某工厂的机器上有一种易损元件A,这种元件在使用过程中发生损坏时需要送维修处维修.工厂规定当日损坏的元件A在次日早上 8:30 之前送到维修处,并要求维修人员当日必须完成所有损坏元件A的维修工作.每个工人独立维修元件A所需时间相同.维修处记录了某月从1日到20日每天维修元件A的个数,具体数据如下表:(1)求X的分布列与数学期望;(2)目前维修处有两名工人从事维修工作,为使每个维修工人每天维修元件A的个数的数学期望不超过4,至少需要增加几名维修工人?(只需写出结论)13.(2020北京首都师范大学附属中学高二下期中)现有甲、乙两个投资项目,对甲项目投资十万元,根据对市场120份样本数据的统计,甲项目年利润分布如下表:对乙项目投资十万元,年利润与产品质量抽查的合格次数有关,在每次抽查中,产品合格的概率均为1,在一年之内要进行2次独立的抽查,在这2次抽3查中产品合格的次数与对应的利润如下表:记随机变量X,Y分别表示对甲、乙两个项目各投资十万元的年利润.将甲项目年利润的频率作为对应事件的概率.(1)求X>Y的概率;(2)某商人打算对甲或乙项目投资十万元,判断哪个项目更具有投资价值,并说明理由.能力提升练题组一 离散型随机变量的均值 1.(2020百校联盟高二下期中,)在一次射击训练中,每位士兵最多可射击3次,一旦命中目标,则停止射击,否则一直射击到3次为止.设士兵甲一次射击命中目标的概率为p(0<p<1),射击次数为X,若X 的数学期望E(X)>74,则p 的取值范围是( )A.(25,12) B.(15,12) C.(0,12) D.(12,1) 2.(2020山东莱州第一中学高二下阶段检测,)某城市有甲、乙、丙3个旅游景点,一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4,0.5,0.6,且此人是否游览哪个景点互不影响,设X 表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值,则E(X)等于( ) A.1.48 B.0.76C.0.24D.13.(2020河北保定三中高二下月考,)一个口袋中有5个大小相同的球,编号为1,2,3,4,5,从中任取2个球,用X 表示取出球的较大号码,则E(X)等于( ) A.4 B.5 C.3 D.4.54.()已知a,b,c 为实数,随机变量X,Y 的分布列如下:若E(Y)=P(Y=-1),随机变量X,Y 相互独立,则E(Z)的取值范围是( ) A.[-34,1] B.[-118,0]C.[118,1] D.[34,1]5.(多选)()已知随机变量X 的分布列如下表:X -1 0 1 记“函数f(x)=3sinx+X 2π(x∈R)是偶函数”为事件A,则 ( )A.P(A)=23B.E(X)=23C.E(X)=23-2a D.E(X 2)=236.(2020天津和平第一中学高三上月考,)已知甲盒中仅有一个球且为红球,乙盒中有3个红球和4个蓝球,从乙盒中随机抽取i(i=1,2)个球放在甲盒中,放入i 个球后,甲盒中含有红球的个数为X i (i=1,2),则E(X 1)+E(X 2)的值为 .7.(2020河北张家口第一中学高二月考,)张强同学进行三次定点投篮测试,已知第一次投篮命中的概率为13,第二次投篮命中的概率为12,前两次投篮是否命中相互之间没有影响,第三次投篮受到前两次结果的影响,如果前两次投篮至少命中一次,则第三次投篮命中的概率为23,否则为15.(1)求张强同学三次投篮至少命中一次的概率;(2)记张强同学三次投篮命中的次数为随机变量X,求X 的分布列及数学期望.题组二 均值的实际应用8.(2020北京师范大学附属中学高三期中,)某公司打算引进一台设备使用一年,现有甲、乙两种设备可供选择.甲设备每台10 000元,乙设备每台9 000元.此外设备使用期间还需维修,对于每台设备,一年间三次及三次以内免费维修,三次以外的维修费用均为每次1 000元.该公司统计了曾使用过的甲、乙各50台设备在一年间的维修次数,得到下面的频数分布表,以频率代替概率.(1)、Y,求X、Y的分布列;(2)若以数学期望为决策依据,希望购买设备和一年间维修的花费总额尽量低,且维修次数尽量少,则需要购买哪种设备?请说明理由.9.(2020广东番禺高三模拟,)某种大型医疗检查机器生产商对一次性购买2台机器的客户推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案.方案一:交纳延保金7 000元,在延保的两年内可免费维修2次,超过2次后每次收取维修费2 000元;方案二:交纳延保金10 000元,在延保的两年内可免费维修4次,超过4次后每次收取维修费1 000元.某医院准备一次性购买2台这种机器,现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案,为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数,得到下表:以这50台机器维修次数的频率作为1台机器维修次数发生的概率,记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数.(1)求X的分布列;(2)以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据,医院选择哪种延保方案更合算?答案全解全析 7.3 离散型随机变量的数字特征7.3.1 离散型随机变量的均值基础过关练1.D E(X)=0×19+1×16+2×718+3×19+4×16+5×118=209.2.D 易知0.3+p=1, 所以p=0.7,所以E(X)=0×0.3+1×0.7=0.7. 3.C 由题表得,2019年的脱贫率为0.4×0.95+0.4×0.95+0.1×0.9+0.1×0.9=0.94.所以2019年的脱贫率与全面实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的比值为0.940.7=4735.故选C.4.D 记射击次数为随机变量X,则X 的可能取值为1,2,3, P(X=1)=0.8 ,P(X=2)=0.2×0.8=0.16,P(X=3)=0.2×0.2×0.8+0.2×0.2×0.2=0.04,∴E(X)=1×0.8+2×0.16+3×0.04=1.24. 故选D.5.A 依题意得,X 的可能取值为0,1,2, P(X=0)=(1-0.4)×(1-0.5)=0.3,P(X=1)=0.4×(1-0.5)+(1-0.4)×0.5=0.5, P(X=2)=0.4×0.5=0.2. 可得X 的分布列如表所示.∴E(X)=0×0.3+1×0.5+2×0.2=0.9. 6.答案512解析 由已知得{a +c =23,-2a +2c =13,解得{a =14,c =512.7.解析 (1)A,B,C 公司都不录用小建的概率为(1-12)×(1-23)×(1-34)=124,则小建至少被一家公司录用的概率为1-124=2324.(2)X 的可能取值为0,1,2,3, P(X=0)=124,P(X=1)=12×13×14+12×23×14+12×13×34=14,P(X=2)=12×23×14+12×13×34+12×23×34=1124,P(X=3)=12×23×34=14. 可得X 的分布列为所以E(X)=0×124+1×14+2×1124+3×14=2312.8.A 由题意得E(X)=0×0.3+2×0.2+4×0.5=2.4, 故E(5X+4)=5E(X)+4=5×2.4+4=16, 故选A.9.B 由题可知12+13+a=1,所以a=16,所以E(X)=1×12+0×13+(-1)×16=13,因此E(Y)=E(2X+1)=2E(X)+1=53, 故选B.10.答案 2p-3解析 由题意得E(X)=p,∴E(2X -3)=2E(X)-3=2p-3.11.B 由题知,甲生产废品的期望是0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1, 乙生产废品的期望是0×0.3+1×0.5+2×0.2+3×0=0.9,所以甲生产废品的期望大于乙生产废品的期望,故乙的产品质量比甲的产品质量好一些. 故选B.12.解析 (1)X 的可能取值为9,12,15,18,24, P(X=9)=320,P(X=12)=520=14,P(X=15)=720,P(X=18)=220=110,P(X=24)=320.可得X 的分布列为故数学期望E(X)=9×320+12×14+15×720+18×110+24×320=15.(2)由(1)可知X 的数学期望为15,为使每个维修工人每天维修元件A 的个数的数学期望不超过4,至少需要增加2名维修工人.13.解析 (1)X>Y 的所有情况有: P(X=1.2,Y=1.1)=16×2×13×23=227,P(Y=0.6)=(23)2=49,所以P(X>Y)=227+49=1427.(2)随机变量X 的分布列为所以E(X)=1. P(Y=1.3)=13×13=19,P(Y=1.1)=13×23+23×13=49,P(Y=0.6)=23×23=49,所以随机变量Y 的分布列为所以E(Y)=0.9.因为E(X)>E(Y),且X>Y 的概率比X<Y 的概率大, 所以从长期投资来看,甲项目更具有投资价值.能力提升练1.C 依题意X 的可能取值为1,2,3, P(X=1)=p,P(X=2)=(1-p)p,P(X=3)=(1-p)2,∴E(X)=p+2(1-p)p+3(1-p)2=p 2-3p+3>74,且0<p<1,解得0<p<12.故选C.2.A X 的可能取值为1,3,X=3表示这三个景点都游览了或都没有游览, 所以P(X=3)=0.4×0.5×0.6+0.6×0.5×0.4=0.24,P(X=1)=1-0.24=0.76, 所以X 的分布列为所以E(X)=1×0.76+3×0.24=1.48.故选A. 3.A 由题意知X 的可能取值为2,3,4,5, P(X=2)=1C 52=110,P(X=3)=C 21C 52=210=15,P(X=4)=C 31C 52=310,P(X=5)=C 41C 52=410=25,故E(X)=2×110+3×15+4×310+5×25=4.故选A.4.B 由已知得,E(Y)=c-a,P(Y=-1)=a, 所以c-a=a,即c=2a,又a+b+c=1,故b=1-a-c=1-3a∈[0,1], 所以a∈[0,13],随机变量Z 的可能取值为-1,0,1, P(Z=-1)=13c+16a=56a,P(Z=0)=13b+12b+16b+12(a+c)=1-32a,P(Z=1)=13a+16c=23a,可得随机变量Z 的分布列为所以E(Z)=-56a+23a=-16a∈[-118,0]. 故选B.5.ACD 因为函数f(x)=3sinx+X 2π(x∈R)是偶函数,所以X 2π=π2+kπ,k∈Z,于是X=2k+1,k∈Z,又因为X=-1,0,1, 所以事件A 表示X=±1, 所以P(A)=a+b=1-13=23,E(X)=(-1)×a+0×13+1×b=b -a=23-2a,随机变量X 2的可能取值为0,1, P(X 2=0)=13,P(X 2=1)=23,所以E(X 2)=0×13+1×23=23.故选ACD. 6.答案237解析 当甲盒中含有红球的个数为X 1时,X 1的可能取值为1,2, P(X 1=1)=C 41C 71=47,P(X 1=2)=C 31C 71=37.所以E(X 1)=1×47+2×37=107.当甲盒中含有红球的个数为X 2时,X 2的可能取值为1,2,3, P(X 2=1)=C 42C 72=27,P(X 2=2)=C 31C 41C 72=47,P(X 2=3)=C 32C 72=17.所以E(X 2)=1×27+2×47+3×17=137.所以E(X 1)+E(X 2)=107+137=237.7.解析 (1)张强同学三次投篮都没有命中的概率 P 1=(1-13)×(1-12)×(1-15)=415, 所以张强同学三次投篮至少命中一次的概率P 2=1-415=1115.(2)由题意知随机变量X 的可能取值为0,1,2,3, P(X=0)=415,P(X=1)=13×(1-12)×(1-23)+(1-13)×12×(1-23)+(1-13)×(1-12)×15=730, P(X=2)=13×12×(1-23)+13×(1-12)×23+(1-13)×12×23=718, P(X=3)=13×12×23=19.故随机变量X 的分布列为所以数学期望E(X)=0×415+1×730+2×718+3×19=12190.8.解析 (1)由题中频数分布表可知,X 的可能取值为10 000,11 000,12 000, P(X=10 000)=5+1050=310,P(X=11 000)=3050=35,P(X=12 000)=550=110.因此X 的分布列为Y 的可能取值为9 000,10 000,11 000,12 000, P(Y=9 000)=550=110,P(Y=10 000)=1550=310,P(Y=11 000)=1550=310,P(Y=12 000)=1550=310.因此Y 的分布列为(2)由(1)可得,E(X)=10 000×310+11 000×35+12 000×110=10 800,E(Y)=9 000×110+10 000×310+11 000×310+12 000×310=10 800.设甲、乙两设备一年内的维修次数分别为X 1、Y 1, X 1的可能取值为2,3,4,5, P(X 1=2)=550=110,P(X 1=3)=1050=15,P(X 1=4)=3050=35,P(X 1=5)=550=110.则X 1的分布列为。
浙江省绍兴市上虞区2019-2020学年高二上学期期末数学试题
绝密★启用前浙江省绍兴市上虞区2019-2020学年高二上学期期末数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．直线x ﹣2y +1＝0的斜率是（ ） A ．﹣2B ．2C ．﹣12D ．122．已知点（1，1）在圆（x ﹣a ）2+（y +a ）2＝4的内部，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣1，1）B ．（0，1）C ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D ．{1，﹣1}3．若椭圆221x y m n+=的焦点在y 轴上，则（ ）A ．m ＞n ＞0B ．n ＞m ＞0C ．m ＜0＜nD ．n ＜0＜m4．已知直线m ，n 及平面α，β，则下列说法正确的是（ ） A ．若m //α，m //β，则α//β B ．若m //α，m //n ，则n //α C ．若m ⊥α，n //α，则m ⊥nD ．若m ⊥α，α⊥β，则m //β5．若抛物线y 2＝4ax 的准线与圆x 2+y 2﹣2y ＝0相离，则实数a 的范围是（ ） A ．（﹣2，2）B ．（﹣1，1）C ．（﹣∞，2）∪（2，+∞）D ．（﹣∞，1）∪（1，+∞）6．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为棱AB 的中点，则异面直线MD 1与A 1B 1所成角的余弦值为（ ） A ．2B ．3C ．13D ．3…○…………装…………○※※请※※不※※要※※在※※装※…○…………装…………○7．已知12,F F为椭圆22184x y+=的左、右焦点，P是椭圆上一点，若124F PFS∆=，则12F PF∠等于（）A．030B．045C．060D．0908．已知二面角α﹣l﹣β的大小为60°，点P在面α内，设P在平面β上的射影为Q.且PQ Q到平面α的距离为（）A．1 B．2C．32D．39．设F1是双曲线C：22xa﹣22yb＝1（a＞0，b＞0）的左焦点，O是坐标原点，若P是双曲线C的渐近线与圆x2+y2＝a2的一个交点，且|PF1|＝3|PO|＞b，则C的离心率为（）A B C D10．如图，三棱锥S﹣ABC中，SA＝SB＝SC，∠ABC＝90°，AB＞BC，E，F，G分别是AB，BC，CA的中点，记直线SE与SF所成的角为α，直线SG与平面SAB所成的角为β，平面SEG与平面SBC所成的锐二面角为γ，则（）A．α＞γ＞βB．α＞β＞γC．γ＞α＞βD．γ＞β＞α第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题11．抛物线y2=2x的焦点坐标为．○…………外………○…………线……_○…………内………○…………线……m ＝_____.13．圆x 2+y 2﹣2x ﹣2ay ﹣1＝0（a 为常数）的圆心是_____；半径是_____.14．某几何体的正视图和侧视图如图1所示，俯视图的直观图如图2所示，则该几何体的表面积为_____，体积为_____.15．已知三棱锥A ﹣BCD 的侧棱AB ，AC ，AD 两两垂直，且AB ＝AC ＝AD ＝1，则三棱锥的外接球的表面积是_____.16．在直角△ABC 中，AC BC ＝1，点D 是斜边AB 上的动点，将△BCD 沿着CD 翻折至△B 'CD ，使得点B '在平面ACD 内的射影H 恰好落在线段CD 上，则翻折后|AB '|的最小值是_____.17．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点A （0，5）且与曲线x 2+y 2＝5（x ＞0）相切于点B ，则直线l 的方程是_____，设E 是线段OB 的线段PQ （P 在Q 的上方）在直线l 上滑动，则|OP |+|EQ |的最小值是_____. 三、解答题18．已知点A （﹣2，1），B （2，4），点P 是直线l ：y ＝x 上的动点. （1）若P A ⊥PB ，求点P 的坐标；（2）设过A 的直线l 1与过B 的直线l 2均平行于l ，求l 1与l 2之间的距离.19．如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，已知M ，N 分别为线段BB 1，A 1C 的中点，MN ⊥AA 1，且MA 1＝MC .求证：………○…………………订…………○…※※请※※不※※※线※※内※※答※※题※※………○…………………订…………○…（2）平面A 1MC ⊥平面A 1ACC 1.20．已知直线l ：3x ﹣4y +t ＝0，圆C 1经过点A （0，1）与B （2，1），且被y 轴的正半轴截得的线段长为2. （1）求圆C 1的方程；（2）设圆C 2是以直线l 上的点为圆心的单位圆，若存在圆C 2与圆C 1有交点，求t 的取值范围.21．四棱锥P ﹣ABCD 中，AD //BC ，BC ⊥CD ，BC ＝CD ＝2AD ＝2，PD ，侧面PBC 是等边三角形.（1）证明：P A ⊥平面PBC ；（2）求BC 与平面PCD 所成角的余弦值.22．如图，设F 1，F 2是椭圆C ：2221x y a b +=（a ＞b ＞0）的左、右焦点，直线y ＝kx （k＞0）与椭圆C 交于A ，B .已知椭圆C 的焦距是2，四边形AF 1BF 2的周长是.（1）求椭圆C 的方程；（2）直线AF 1，BF 1分别与椭圆C 交于M ，N ，求△MNF 1面积的最大值.参考答案1．D【解析】【分析】利用直线一般式斜率计算公式即可得出.【详解】直线x﹣2y+1＝0的斜率是12.故选：D.【点睛】本题考查了直线的斜率，属于简单题.2．A【解析】【分析】直接利用两点间的距离与圆的半径的关系的应用求出结果.【详解】由于（1，1）在圆（x﹣a）2+（y+a）2＝4的内部，所以点（1，1）到圆心（a，﹣a）的距离d＜2，2，整理得：﹣1＜a＜1.故选：A.【点睛】本题考查了根据点和圆的位置关系求参数，意在考查学生的计算能力. 3．B【解析】【分析】直接利用椭圆的简单性质求解即可.【详解】椭圆22y1xm n+=的焦点在y轴上，则一定有：n＞m＞0.故选：B.【点睛】本题考查了椭圆的焦点问题，属于简单题.4．C【解析】【分析】根据空间中线面平行或垂直的判定定理、性质定理逐一判断每个选项即可.【详解】对于A，若m∥α，m∥β，则α与β的位置关系是平行或相交，即A错误；对于B，若m∥α，m∥n，则n∥α或n⊂α，即B错误；对于C，若m⊥α，n∥α，由线面垂直的性质知，m⊥n，即C正确；对于D，若m⊥α，α⊥β，则m∥β或m⊂β，即D错误；故选：C.【点睛】本题考查了直线和平面的位置关系，意在考查学生的推断能力.5．D【解析】【分析】由抛物线的方程可得准线的方程，求出圆心坐标及半径，由准线与圆相离可得圆心到直线的距离大于半径，求出a的取值范围.【详解】由题意可得抛物线的准线方程为：x＝﹣a，圆的圆心坐标（0，1），半径为1，所以由题意可得：|a|＞1，解得a＞1或a＜﹣1，故选：D.【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，抛物线准线，意在考查学生的综合应用能力.6．C【解析】【分析】如图所示，连接C1M.根据A1B1∥C1D1，可得∠MD1C1即为异面直线MD1与A1B1所成角. 【详解】如图所示，连接C 1M ，∵A 1B 1∥C 1D 1，∴∠MD 1C 1即为异面直线MD 1与A 1B 1所成角.不妨取AB ＝2.MD 1 3.，则cos ∠MD 1C 1＝13. 故选：C .【点睛】本题考查了异面直线夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 7．D 【解析】由22184x y +=，可得2,2a b c ====，设11(,)P x y 且10y >，所以121211114422F PF S F F y y ∆=⋅=⨯⨯=，解得12y =， 此时点P 的坐标为(0,2)P ，所以122PF PF ==， 则2221212PF PF F F +=，所以01290F PF ∠=，故选D.8．B 【解析】 【分析】先过点Q 作QK ⊥l ，则∠PKQ 为二面角的平面角，∠PKQ ＝60°，然后根据等面积法建立等式关系，解之即可得点Q 到平面α的距离. 【详解】如图，过Q 作QK ⊥l ，连接PK ，则∠PKQ ＝60°，PQ QK ＝1，PK ＝2，根据等面积法得Q 到平面α=. 故选：B .【点睛】本题考查了点面距离，利用等面积法是解题的关键.9．B【解析】【分析】利用已知条件，结合余弦定理以及渐近线的斜率，列出方程求解即可. 【详解】设F1是双曲线C：22xa﹣22yb＝1（a＞0，b＞0）的左焦点，O是坐标原点，若P是双曲线C的渐近线与圆x2+y2＝a2的一个交点，且|PF1|＝3|PO|＞b，可得9a2＝a2+c2+2accosθ，其中tanθ＝ba，所以cosθ＝ac，所以6a2＝c2，所以e.故选：B.【点睛】本题考查了双曲线的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力. 10．A【解析】【分析】根据题意可知，G 作SE 的垂线l ，显然l 垂直平面SAB ，故直线SG 与平面SAB 所成的角为β＝∠GSE ，同理，平面SEG 与平面SBC 所成的锐二面角为γ＝∠FSG ，利用三角函数结合几何性质，得出结论. 【详解】因为AB ⊥BC ，SA ＝SB ＝SC ，所以AB ⊥SE ，所以AB ⊥平面SGE ，AB ⊥SG ， 又SG ⊥AC ，所以SG ⊥平面ABC ， 过G 作SE 的垂线l ，显然l 垂直平面SAB ， 故直线SG 与平面SAB 所成的角为β＝∠GSE ，同理，平面SEG 与平面SBC 所成的锐二面角为γ＝∠FSG ， 由tanγ＝tan FG EGSG SGβ>=，得γ＞β，γ也是直线SF 与平面SEG 所成的角， 由cosα＝cosβ•cosγ＜cosγ，则α＞γ，所以α＞γ＞β， 故选：A .【点睛】本题考查了异面直线夹角，线面夹角，二面角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 11．（，0）． 【解析】试题分析：焦点在x 轴的正半轴上，且p=1，利用焦点为（，0），写出焦点坐标． 解：抛物线y 2=2x 的焦点在x 轴的正半轴上，且p=1，∴=，故焦点坐标为（，0），故答案为（，0）．考点：抛物线的简单性质．12．﹣122【解析】【分析】利用两条直线相互平行垂直与斜率之间的关系即可得出. 【详解】由﹣1﹣2m＝0，解得m＝﹣12.∴11∥l2，则m＝﹣12，若l1⊥l2，则2﹣m＝0，解得m＝2.故答案为：﹣12，2.【点睛】本题考查了根据直线位置关系求参数，意在考查学生的计算能力.13．（1，a）【解析】【分析】将圆的一般方程化为标准方程可得圆心坐标及半径.【详解】化为标准方程可得：（x﹣1）2+（y﹣a）2＝a2+2，故答案分别为：（1，a）.【点睛】本题考查了圆方程的圆心和半径，意在考查学生的计算能力.14．【解析】【分析】由三视图及俯视图的直观图可得几何体为底面是平行四边形的直棱柱，高为4，底面平行四边形的相邻的边分别为6，，求出底面的高为，进而求出表面积及体积【详解】由图2可得底面为的平行四边形，且底为6，高为，则可得另一条边长为，图1可知高为4的直四棱柱，所以S表＝2底+S侧＝26⋅⋅（）•4＝，V＝Sh＝64⋅＝，故答案分别为：，.【点睛】本题考查了根据三视图求表面积和体积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 15．3π【解析】【分析】由题意将该三棱锥放在正方体中，可得正方体的棱长为1，再由正方体的对角线等于外接球的直径2R可得半径R的值，进而求出外接球的表面积.【详解】将该三棱锥放在正方体中，由题意可得正方体的棱长为1，再由正方体的对角线等于外接球的直径2R可得，外接球的半径（2R）2＝3•12＝3，所以外接球的表面积S＝4πR2＝3π.故答案为：3π.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.16【解析】【分析】过点B ′作B ′H ⊥CD 于E ，连结BH ，AH ，设∠BCD ＝∠B ′CD ＝α，则有B ′H ＝sinα，CH ＝cosα，∠ACE ＝2π﹣α，由此利用余弦定理、勾股定理能求出当α＝时，AB ′取得最小值. 【详解】过点B ′作B ′H ⊥CD 于H ，连结BH ，AH ，设∠BCD ＝∠B ′CD ＝α， 则有B ′H ＝sinα，CH ＝cosα，∠ACH ＝2π﹣α， 在△AHC 中，由余弦定理得：AH 2＝AC 2+CH 2﹣2×CH ×AC ×cos ∠ACH ＝3+cos 2α﹣（ 2π﹣α）＝3+cos 2α﹣， 在Rt △AHB ′中，由勾股定理得：AB '2＝AH 2+B ′H 2＝3+cos 2α﹣+sin 2α＝42α，∴当α＝4π时，AB ′【点睛】本题考查了根据余弦定理求最值，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.17．2x ﹣y +5＝0或2x +y ﹣5＝0 【解析】由直线与圆相切求出切线的斜率即可得知切线的方程；作出图象，结合勾股定理表示出|OP |+|EQ |，所以当PB |OP |+|EQ |取得最小值. 【详解】①显然直线l 的斜率一定存在，所以设直线l 的方程为：y ＝kx +5，即kx ﹣y +5＝0，∵直线l 与曲线x 2+y 2＝5（x ＞0=，解得：k ＝±2，∴直线l 的方程为：2x ﹣y +5＝0或2x +y ﹣5＝0.②由①可知，直线l 的两条方程关于y 轴对称，所以不妨取直线l 的方程为2x ﹣y +5＝0，如图所示，由勾股定理得，OP =，EQ ==＝|OP |+|EQ |，当PB |OP |+|EQ |2+.故答案为：2x ﹣y +5＝0或2x +y ﹣5＝02. 【点睛】本题考查了求直线方程，最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.18．（1）（0，0）或（52，52）；（2）2【解析】（1）设点P（a，a），利用P A⊥PB得14122a aa a--⨯=-+-，解得：a＝0或52，从而求出点P的坐标；（2）设直线l1的方程为：y＝x+m，设直线l2的方程为：y＝x+n，（m≠n），代入点A，B的坐标，求出m＝3，n＝2，再利用两平行线间的距离公式即可求出结果.【详解】（1）∵点P是直线l：y＝x上的动点，∴设点P（a，a），∵P A⊥PB，∴14122a aa a--⨯=-+-，解得：a＝0或52，∴点P（0，0）或（52，52）；（2设直线l1的方程为：y＝x+m，设直线l2的方程为：y＝x+n，（m≠n），∴﹣2+m＝1，2+n＝4，∴m＝3，n＝2，∴直线l1的方程为：y＝x+3，即x﹣y+3＝0，直线l2的方程为：y＝x+2，即x﹣y+2＝0，∴l1与l2=.【点睛】本题考查了求直线的交点，平行直线距离，意在考查学生的计算能力.19．（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）取AC中点P，连结NP，BP，推导出四边形PNMB是平行四边形，从而MN∥BP，由此能证明MN∥平面ABC；（2）推导出MN⊥A1C，MN⊥AA1，从而MN⊥平面A1ACC1，由此能证明平面A1MC⊥平面A1ACC1.【详解】（1）取AC中点P，连结NP，BP，∵N是A1C中点，P为AC中点，∴PN∥AA1，且BB1＝AA1，又M为BB1中点，∴BM∥AA1，且BM＝12AA1，∴PN∥BM，且PN＝BM，∴四边形PNMB是平行四边形，∴MN∥BP，∵MN⊄平面ABC，BP⊂平面ABC，∴MN∥平面ABC.（2）∵MA 1＝MC ，且N 是A 1C 的中点，∴MN ⊥A 1C ， 又MN ⊥AA 1，AA 1∩A 1C ＝A 1，A 1C ，AA 1⊂平面A 1ACC 1，∴MN ⊥平面A 1ACC 1， ∵MN ⊂平面A 1MC ，∴平面A 1MC ⊥平面A 1ACC 1.【点睛】本题考查了线面平行和面面垂直，意在考查学生的空间想象能力和推断能力.20．（1）（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝2；（2）[10﹣，10+5] 【解析】 【分析】（1）由题意结合图形求出圆C 1的圆心坐标和半径，即可写出圆C 1的标准方程； （2）由题意知直线3x ﹣4y +t ＝0表示一组平行线，由圆心C 1到直线的距离列出不等式，即可求得t 的取值范围. 【详解】（1）由题意知，被y 轴的正半轴截得的线段长为2，故圆过点()0,3D ， 圆C 1经的圆心在线段AB 、AD 的垂直平分线交点上，所以圆心坐标为C 1（1，2），半径为r 1，所以圆C 1的标准方程为（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝2；（2）由题意知，3x ﹣4y +t ＝0表示与3x ﹣4y ＝0平行的一组平行线； 且圆C 2是以直线l 上的点为圆心的单位圆， 则圆心C1到直线l 的距离为d ＝|5|5t -；若存在圆C 2与圆C 1有交点，则d +1，即|5|5t -+1，解得﹣≤t ，所以t 的取值范围是[10﹣，].【点睛】本题考查了圆的标准方程，圆和圆的位置关系，意在考查学生的计算能力.21．（1）证明见解析；（2 【解析】 【分析】（1）先证明BC ⊥平面P AM ，得到BC ⊥P A ，又P A ⊥PM ，根据线面垂直的判定定理证明即可；（2）BC ＝2，过B 作BH ⊥平面PCD ，连接CH ，则∠BCH 为BC 与平面PCD 所成的角，利用等体积转化法求出BH ，再利用三角公式求出即可.【详解】（1）取BC 的中点M 连接AM ，PM ，所以PM ⊥BC ，AM ⊥BC ，PM ∩AM ＝M ，所以BC ⊥平面P AM ，所以BC ⊥P A ，所以P A ⊥AD ，P A ＝1， 所以P A 2+PM 2＝1+3＝4＝AM 2，得P A ⊥PM ，又P A ⊥BC ，PM ∩BC ＝M ， 故P A ⊥平面PBC ；（2）BC ＝2，过B 作BH ⊥平面PCD ，连接CH ，则∠BCH 为BC 与平面PCD 所成的角，设P 到底面ABCD 的距离为h ，h ＝PA PM AM ⋅=，由PC ＝CD ＝2，PD ，所以PCD 11PD 22S ∆==由等体积法，V p ﹣BCD ＝V B ﹣PDC ，所以1133BCD PCD S h S BH =⋅V V ，得BH ，所以sin ∠BCH ＝BH BC =，所以cos ∠BCH ＝7.【点睛】本题考查了线面垂直，线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.22．（1）222x y +＝1；（2 【解析】 【分析】（1）由题意可得2c ＝2，4a ＝，b 2＝a 2﹣c 2，由此能求出椭圆的方程.（2）设A （x 0，y 0），B （﹣x 0，﹣y 0），则直线AF 1：1011x x y y ++=，直线BF 1：0011x x y y -++=-，联立求出0M 0y y 2x 3=-+，0M M 0x 1x y 1y +=- 0N 0y y 23x =-+，x N ＝001123x x -+--+，由M ，N ，E 三点共线得k ME ＝k NE ，得t ＝﹣43，由此能求出△MNF 1面积的最大值. 【详解】（1）由题意可得2c ＝2，4a ＝，b 2＝a 2﹣c 2，解得：a 2＝2，b 2＝1，∴椭圆的方程为：222x y +＝1.（2）设A （x 0，y 0），（x 0＞0，y 0＞0），B （﹣x 0，﹣y 0）， 则直线AF 1：0011x x y y ++=，直线BF 1：0011x x y y -++=-联立22001211x y x x y y ⎧+=⎪⎪⎨+⎪+=⎪⎩，得()202000211210x x y y y y ⎡⎤+⎛⎫+⎢⎥+--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 又22002x y +＝1，代入化简得()()2200002321x y x y y y +-+-＝0， ∴y 0y M ＝﹣20y 2x 3+，∴0M 0y y 2x 3=-+，∴0M M0x 1x y 1y +=-＝﹣001123x x +-+， 同理得0N 0y y 2x 3=-+，x N ＝001123x x -+--+，设直线MN 与x 轴交于E （t ，0），由M ，N ，E 三点共线得k ME ＝k NE ，得t ＝﹣43， ∴1MNF S V ＝112N EF y y ⋅-¥＝020y 94x -＝02018y y +，当0y =. ∴△MNF 1。
浙江省绍兴上虞2020届高三上学期期末调测数学试题(含答案)
2019学年上虞高三上期末一、选择题：每小题4分，共40分1. 设全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}2,3,5A =，{}3,4,6B =，则()U A B =ð（ ）A ．{}3B ．{}4,6C ．{}1,3,4,6D ．{}2,3,4,5,62. 已知双曲线22221x y C a b -=：的离心率为53，且其实轴长为6，则双曲线C 的方程为（ ）A ．221916x y -=B ．221169x y -=C ．22134x y -=D ．22143x y -=3.()E Y =（ ）A ．13B ．53C ．73D ． 24. 若实数x ，y 满足约束条件203020x y x y x y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最大值是（ ）A ．0B ．3C ．4D ．55. ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则“()12a b c ≤+”是“A 为锐角”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件6. 函数2xx xy e +=的大致图象是（）7. 已知椭圆C ：()222210x ya b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，P 为第一象限内椭圆上的一点，且124F PF π∠=，直线1PF 交y 轴于点M ，若122F F OM =，则该椭圆的离心率为（ ）A B C 1 D 8. 若函数()12f x x x a =+++的最小值为3，则实数a 的值为（ ）A ．5或8B ．1-或5C ．1-或4-D ．4-或89. 已知数列{}n a 中，12a =，若21n n n a a a +=+，1212222111mm ma a a S a a a =++++++，若2020m S <，则正整数m 的最大值为（ ）A ．1009B ．1010C ．2019D ．2020D1侧视图俯视图正视图210.在棱长均为ABCD中，M为AC的中点，E为AB的中点，P是DM上的动点，Q是平面ECD上的动点，则AP PQ+的最小值是（）ABCD．二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11.已知复数2i1iz=-（i为虚数单位），则z=，z=．12.已知方程为2220x y x ay a++-+=的圆关于直线40x y+=对称，则圆的半径r=，若过点()1,0作该圆的切线，切点为A，则线段MA长度为．13.某几何体的三视图如图所示，正视图为正方形，侧视图为直角三角形，俯视图为等腰直角三角形，则其体积为，表面积为．14.若21nx⎛⎫⎪⎝⎭展开式中的各项系数之和为1024，则n=，常数项为．15.已知集合{}0,1,2,9A B==，:f A B→为从集合A到集合B的一个函数，那么该函数的值域的不同情况有种．16.如图，已知C：()()22221x y-+-=，ABD△为圆C的内接正三角形，M为边BD的中点，当ABD△绕圆心C转动，同时N在边AB上运动时，ON CM⋅的最大值是．17.若关于x的方程12x a ax---=恰有三个不同的解，则实数a的取值范围为．三、解答题：5小题，共74分 18. 已知函数())21sin 024x f x x ωωω=->的图象如图所示，其中A 为图象的最高点，B ，C 为图象与x 轴的交点，且ABC △为等腰直角三角形．（1）求ω的值及()f x 的单调递增区间；（2）设()()13g x f x f x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，求函数()g x 在区间11,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值及此时x 的值．19. 已知斜三棱柱111ABC A B C -，2ABC π∠=，1AC BC ⊥，12BC BA ==，1BC =，1AC =．（1）求1AA 的长；（2）求1AA 与面ABC 所成的角的正切值．20. 在数列{}n a 中，已知11a =，121n n n a a +=+-．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）记()1n n b a n λ=+-，且数列{}n b 的前n 项和为n S ，若2S 为数列{}n S 中的最小项，求λ的取值范围．C 1B 1A 1CBA21. 已知抛物线1C ：()220y px p =>，圆2C ：()2220x y r r +=>，直线l ：()0y kx m m =+>与抛物线1C 相切于点A ，且与圆2C 相切于点B ．（1）当2r =，1k =时，求直线l 方程与抛物线1C 的方程；（2）设F 为抛物线1C 的焦点，FAB △，FOB △的面积分别为1S ，2S ，当21S S 取得最大值时，求实数 22r p 的值．22. 已知函数()2e 2x af x x a a ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭．（1）若1a =-，求函数()f x 的单调区间及极值； （2）当0x >时，函数()1f x ≥-（其中0a >）恒成立，求实数a 的取值范围．。
2022-2023学年浙江省绍兴市上虞区高三(上)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年浙江省绍兴市上虞区高三（上）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x |y ＝log 2x +1}，B ＝{y |y ＝log 2x +1}，则A ∩B ＝（ ） A ．（0，+∞）B ．（1，+∞）C ．∅D ．R2．设复数z =1−i1+i ，其中i 为虚数单位，则|z |＝（ ） A ．1B ．√2C ．2D ．33．“r ≥2”是“圆C 1：x 2+y 2＝r 2（r ＞0）与圆C 2：（x ﹣3）2+y 2＝1有公切线”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．康托尔三分集是一种重要的自相似分形集．具体操作如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段(13，23)，记为第一次操作；再将剩下的两个区间[0，13]，[23，1]分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作，⋯，将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集，记为P ．若使留下的各区间长度之和不超过110，则至少需要操作（ ）次（参考数据：lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771） A ．4B ．5C ．6D ．75．已知向量a →=(√3，1)，b →=(1，−√3)，c →=ta →+b →，若c →在a →方向上的投影向量模长为1，则实数t 的值为（ ） A ．±1 B ．±12C ．﹣1D ．−126．若椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左焦点F 关于y =−√3x 对称的点P 在椭圆C 上，则椭圆的离心率为（ ） A ．√33B ．√22C ．√3−1D ．√2−17．已知a =10099，b =e 0.01，c =1+12tan 149，则（ ） A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜c ＜aD ．b ＜a ＜c8．在四棱锥E ﹣ABCD 中，正方形ABCD 所在平面与△EAB 所在平面相互垂直，AE ⊥BE ，F 为EC 上一点，且BF ⊥EC ，O 为正方形ABCD 的中心，四棱锥E ﹣ABCD 体积的最大值为43，则三棱锥O ﹣BCF 的外接球的表面积为（）A．3πB．4πC．5πD．6π二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列说法正确的是（）A．若事件M，N互斥，P（M）=12，P(N)=13，则P（M∪N）=56B．若事件M，N相互独立，P（M）=12，P(N)=13，则P（M∪N）=23C．若P（M）=12，P（M|N）=34，P（M|N）=38，则P（N）=13D．若P（M）=12，P（M|N）=34，P（M|N）=38，则P（N|M）=1410．主动降噪耳机工作的原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成的噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声．设噪声声波曲线函数为y＝f（x），降噪声波曲线函数为y＝g（x），已知某噪声的声波曲线f(x)=Asin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜π2)部分图像如图所示，则下列说法正确的是（）A．f（x）＝﹣g（x）B．f(x)=2sin(2x+π6)C．y＝g（x）的单调减区间为[π6+kπ，3π4+kπ]D．y＝f（x）图像可以由y＝g（x）图像向右平移π个单位得到11．已知A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线C：y2＝x上不同于原点O的两点，点F是抛物线C的焦点，下列说法正确的是（）A．点F的坐标为(12，0)B．|AB|＝x1+x2+12C．若OA⊥OB，则直线AB经过定点（1，0）D．若点P（﹣2，1），P A、PB为抛物线C的两条切线，则直线AB的方程为x﹣2y﹣2＝012．已知函数f （x ）及其导函数f '（x ）的定义域均为R ，f （1+x ）+f （1﹣x ）＝2，f （x ）为奇函数且x ＞0时f '（x ）＞0，则（ ） A ．f '（x ）为偶函数B ．f （8+x ）＝f （x ）C ．当x ∈Z 时，f （x ）＝xD ．存在实数M ，使得|f （x ）﹣x |≤M三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知tan α=√3，π＜α＜32π，则cos α﹣sin α＝ ．14．若展开式(√x 3+12x )n 中只有第5项的二项式系数最大，则其展开式中常数项为 ． 15．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱AB 、AD 的中点，过C 1、M 、N 的平面α把正方体截成两部分体积分别为V 1，V 2（V 1≥V 2），则V 1V 2= ．16．设a ＞0，若函数f （x ）＝e 2x +a ﹣a √ae x −a ≥0恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在①2a sin B ＝b tan A ，②c 2﹣a 2＝bc ﹣b 2.③√3sin A ＝1+cos A 这三个条件中任选一个，填在以下的横线中，并完成解答．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且_____． （1）求角A 的大小；（2）若AB →⋅AC →=1．点D 满足BD →=3DC →，求线段AD 长的最小值．18．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1+2a 2+22a 3+…+2n ﹣1a n ＝（n ﹣1）•2n +1．（1）求数列{a n }的通项公式： （2）设A n 为数列{a n2a n}的前n 项和，求大于A 2023的最小的整数k ． 19．（12分）从某学校获取了容量为200的有放回简单随机样本，将所得数学和语文期末考试成绩的样本观测数据整理如下：（1）依据α＝0.05的独立性检验能否认为数学成绩与语文成绩有关联？（2）从200个样本中任取3个，记这3人中语文数学成绩至少一门优秀的人数为X ，求X 的分布列与期望． 附：参考公式：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ．20．（12分）在四棱锥P ﹣ABCD 中，CD ∥AB ，AD ＝DC ＝CB ＝1，AB ＝2，AC ⊥PB （1）证明：平面P AC ⊥平面PBC ；（2）若PB ⊥BC ，PB =√3，直线PD 与平面P AC 所成的角的正弦值．21．（12分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为2，右焦点F 到其中一条渐近线的距离为√3．（1）求双曲线C 的标准方程；（2）过右焦点F 作直线AB 交双曲线于A ，B 两点，过点A 作直线l ：x =12的垂线，垂足为M ，求证直线MB 过定点．22．（12分）已知函数f （x ）＝xlnx ﹣λ（x ﹣1）． （1）当x ≥1时，f （x ）≥0，求λ的取值范围；（2）函数g （x ）＝f （x ）﹣λx 2+（λ﹣1）x 有两个不同的极值点x 1，x 2（其中x 1＜x 2），证明：lnx 1+3lnx 2＞4； （3）求证：1n+1+1n+2+1n+3+⋯+12n＜ln 2（n ∈N *）．2022-2023学年浙江省绍兴市上虞区高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|y＝log2x+1}，B＝{y|y＝log2x+1}，则A∩B＝（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．∅D．R解：集合A＝{x|y＝log2x+1}＝{x|x＞0}，B＝{y|y＝log2x+1}＝R，故A∩B＝（0，+∞）．故选：A．2．设复数z=1−i1+i，其中i为虚数单位，则|z|＝（）A．1B．√2C．2D．3解：复数z=1−i1+i=(1−i)2(1+i)(1−i)=−2i1−i2=−i，∴|z|＝1．故选：A．3．“r≥2”是“圆C1：x2+y2＝r2（r＞0）与圆C2：（x﹣3）2+y2＝1有公切线”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：因为两圆的圆心距C1C2＝3，若圆C1：x2+y2＝r2（r＞0）与圆C2：（x﹣3）2+y2＝1没有公切线，则两圆内含，所以|r﹣1|＞3，即r＞4或r＜﹣2（舍），故圆C1：x2+y2＝r2（r＞0）与圆C2：（x﹣3）2+y2＝1有公切线时，0＜r≤4，所以“r≥2”是“圆C1：x2+y2＝r2（r＞0）与圆C2：（x﹣3）2+y2＝1有公切线”的即不充分也不必要条件．故选：D．4．康托尔三分集是一种重要的自相似分形集．具体操作如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段(13，23)，记为第一次操作；再将剩下的两个区间[0，13]，[23，1]分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作，⋯，将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集，记为P．若使留下的各区间长度之和不超过110，则至少需要操作（）次（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）A．4B．5C．6D．7解：由题意可得，第一次操作去掉的区间长度为13，第二次操作去掉两个长度为19的区间，长度和为29，第三次操作去掉四个长度为127的区间，长度和为427，•， 则第n 次操作去掉2n ﹣1个长度为13n的区间，长度和为2n−13n，进行了n 次操作后，所有去掉的区间长度之和为：S n =13+29+•+2n−13n =13[1−(23)n]1−23=1−(23)n ， ∵要使康托三分集的各区间长度之和不超过110，∴1−(23)n ＞1−110，∴n （lg 3﹣lg 2）＞1， ∴n ＞1lg3−lg2≈5.679， ∵n 为整数，∴n 的最小值为6． 故选：C ．5．已知向量a →=(√3，1)，b →=(1，−√3)，c →=ta →+b →，若c →在a →方向上的投影向量模长为1，则实数t 的值为（ ） A ．±1B ．±12C ．﹣1D ．−12解：向量a →=(√3，1)，b →=(1，−√3)，c →=ta →+b →，则a →⋅c →=a →⋅(ta →+b →)=ta →2+a →⋅b →=4t ，|a →|=√(√3)2+12=2， ∵c →在a →方向上的投影向量模长为1，∴|c →⋅a →|a →||=|2t|=1，解得t =±12． 故选：B ．6．若椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左焦点F 关于y =−√3x 对称的点P 在椭圆C 上，则椭圆的离心率为（ ） A ．√33B ．√22C ．√3−1D ．√2−1解：设F （﹣c ，0）关于y =−√3x 对称点P （m ，n ），则{n m+c ⋅(−√3)=−1n 2=−√3(m−c 2)，解得{m =c 2n =√3c 2，∴P （c 2，√3c 2），又点P 在椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)上， ∴c 24a 2+3c 24b 2=1，又b 2＝a 2﹣c 2， ∴c 2a 2+3c 2a 2−c 2=4，∴e 2+31e2−1=4，∴e 4﹣8e 2+4＝0，又e ∈（0，1）， ∴e 2=4−2√3， ∴e =√3−1， 故选：C ． 7．已知a =10099，b =e 0.01，c =1+12tan 149，则（ ） A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜c ＜aD ．b ＜a ＜c解：令f （x ）＝lnx +1x −1，x ＞1，则f ′（x ）=1x −1x 2=x−1x ＞0，故f （x ）在（1，+∞）上单调递增， 所以x ＞1时，f （x ）＞f （1）＝0，即lnx ＞1−1x， 所以ln10099＞1−99100=0.01，所以10099＞e 0.01，即a ＞b ，又当x ∈（0，π2）时，tan x ＞x ，所以c ＝1+12tan 149＞1+12×149＞10099，即c ＞a ，综上c ＞a ＞b ． 故选：D ．8．在四棱锥E ﹣ABCD 中，正方形ABCD 所在平面与△EAB 所在平面相互垂直，AE ⊥BE ，F 为EC 上一点，且BF ⊥EC ，O 为正方形ABCD 的中心，四棱锥E ﹣ABCD 体积的最大值为43，则三棱锥O ﹣BCF 的外接球的表面积为（ ） A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π解：如图，设正方形ABCD 的边长为2a ，取AB 的中点H ，连接HE ，又AE ⊥BE ，∴EH =12AB ＝a ， 又平面EAB ⊥平面ABCD ，∴当EH ⊥AB 时，可得EH ⊥平面ABCD ， 此时四棱锥E ﹣ABCD 体积最大为13×2a ×2a ×a =43，∴a ＝1，∴正方形ABCD 的边长为2， ∵O 为正方形ABCD 的中心，∴BO ⊥CO ， 又F 为EC 上一点，且BF ⊥EC ，∴三棱锥O ﹣BCF 的外接球的直径为BC ，球心P 为BC 中点，又BC ＝2，∴三棱锥O ﹣BCF 的外接球的半径R ＝1， 三棱锥O ﹣BCF 的外接球的表面积为4πR 2＝4π， 故选：B ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的是（ ）A ．若事件M ，N 互斥，P （M ）=12，P(N)=13，则P （M ∪N ）=56 B ．若事件M ，N 相互独立，P （M ）=12，P(N)=13，则P （M ∪N ）=23C ．若P （M ）=12，P （M |N ）=34，P （M |N ）=38，则P （N ）=13D ．若P （M ）=12，P （M |N ）=34，P （M |N ）=38，则P （N |M ）=14 解：对于A ，P （M ∪N ）＝P （M ）+P （N ）=56，故A 正确； 对于B ，P （M ∪N ）＝P （M ）+P （N ）﹣P （M ∩N ）=12+13−12×13=23，故B 正确； 对于C ，P （M |N ）=P(MN)P(N)=34， P （M|N ）=P(MN)P(N)=1−P(M)−P(N)+P(MN)1−P(N)=38，∴P （N ）＝P （MN ）+P （M N ）＝P （MN ）+34P(N)，∴P （MN ）=14P(N)，∴1−P(M)−P(N)+14P(N)1−P(N)=38，解得P （N ）=13，故C 正确；对于D ，由C 得P （N |M ）=P(MN)P(M)=14×1312=16，故D 错误．故选：ABC ．10．主动降噪耳机工作的原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成的噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声．设噪声声波曲线函数为y ＝f （x ），降噪声波曲线函数为y ＝g （x ），已知某噪声的声波曲线f(x)=Asin(ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)部分图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．f （x ）＝﹣g （x ）B ．f(x)=2sin(2x +π6)C ．y ＝g （x ）的单调减区间为[π6+kπ，3π4+kπ]D ．y ＝f （x ）图像可以由y ＝g （x ）图像向右平移π个单位得到解：对于A ，由已知，g （x ）＝A sin[﹣（ωx +φ）]＝﹣A sin （ωx +φ）＝﹣f （x ），所以f （x ）＝﹣g （x ），故A 正确；对于B ，因为ω＞0，所以由图象知，T2=12×2πω=11π12−5π12，所以ω＝2，又因为f （5π12）＝A sin （2×5π12+φ）＝0，且x =5π12在f （x ）的单调递减区间上，所以2×5π12+φ=5π6+φ＝2k π+π，（k ∈Z ），因为|φ|＜π2，所以φ=π6， 又因为f （0）＝A sinπ6=1，所以A ＝2，所以f （x ）＝2sin （2x +π6），故选项B 正确；对于C ，g （x ）＝2sin[﹣（2x +π6）]＝﹣2sin （2x +π6），由−π2+2k π≤2x +π6≤π2+2k π，k ∈Z ，解得−π3+k π≤x ≤π6+k π，k ∈Z ， 所以y ＝g （x ）的单调减区间为[−π3+k π，π6+k π]（k ∈Z ），故选项C 错误；对于D ，y ＝g （x ）图像向右平移π个单位得到：y ＝g （x ﹣π）＝﹣2sin[2（x ﹣π）+π6]＝﹣2sin （2x +π6−2π）＝﹣2sin （2x +π6）≠f （x ），故选项D 错误． 故选：AB ．11．已知A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是抛物线C ：y 2＝x 上不同于原点O 的两点，点F 是抛物线C 的焦点，下列说法正确的是（ ） A ．点F 的坐标为(12，0)B ．|AB |＝x 1+x 2+12C ．若OA ⊥OB ，则直线AB 经过定点（1，0）D．若点P（﹣2，1），P A、PB为抛物线C的两条切线，则直线AB的方程为x﹣2y﹣2＝0解：抛物线C：y2＝x的焦点F（−14，0），故A错误；由抛物线的定义可得，过焦点F的弦AB的长为x1+x2+p＝x1+x2+12，但直线AB不一定经过点F，故B 错误；设直线AB的方程为x＝my+t，与抛物线的方程联立可得y2﹣my﹣t＝0，可得m2+4t＞0，y1+y2＝m，y1y2＝﹣t，x1x2＝（y1y2）2＝t2，由OA⊥OB，可得x1x2+y1y2＝t2﹣t＝0，解得t＝1（t＝0舍去），即有直线AB的方程为x＝my+1，即直线AB恒过定点（1，0），故C正确；由抛物线y2＝2px（p＞0）上一点（x0，t0）的切线方程y0y＝p（x+x0），可得抛物线y2＝x上A、B处的切线的方程分别为y1y=12（x+x1），y2y=12（x+x2），又直线P A和直线PB都过点P（﹣2，1），可得y1=12（﹣2+x1），y2=12（﹣2+x2），由两点确定一条直线，可得直线AB的方程为y=12（﹣2+x），即x﹣2y﹣2＝0，故D正确．故选：CD．12．已知函数f（x）及其导函数f'（x）的定义域均为R，f（1+x）+f（1﹣x）＝2，f（x）为奇函数且x＞0时f'（x）＞0，则（）A．f'（x）为偶函数B．f（8+x）＝f（x）C．当x∈Z时，f（x）＝x D．存在实数M，使得|f（x）﹣x|≤M解：设g（x）＝f（x）﹣x，因为f（x）为奇函数，所以g（x）也是奇函数，由f（1+x）+f（1﹣x）＝2可得：f（1+x）+f（1﹣x）＝1+x+1﹣x，所以f（1+x）﹣（1+x）+f（1﹣x）﹣（1﹣x）＝0，即g（1+x）+g（1﹣x）＝0，所以g（x）关于（1，0）对称，又g（x）关于（0，0）对称，所以g（x）的周期为2，对于A，f（x）为奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），求导得f'（﹣x）•（﹣1）＝﹣f'（x），即f'（﹣x）＝f'（x），所以f'（x）为偶函数，故A正确；对于B，因为g（x+8）＝g（x），所以f（x+8）﹣（x+8）＝f（x）﹣x，所以f（x+8）＝f（x）+8，故B 不正确；对于C，因为g（x）是奇函数，所以g（0）＝0，令x＝0，则g（1+x）+g（1﹣x）＝0，所以g（1）+g （1）＝0，即g（1）＝0，又g （x ）的周期为2，所以当x 为奇数时，g （x ）＝g （1）＝0；当x 为偶数时，g （x ）＝g （0）＝0，故当x ∈Z 时，g （x ）＝0，即f （x ）＝x ，故C 正确；对于D ，由x ＞0时f '（x ）＞0，可知f （x ）单调递增，且由C 选项知f （0）＝0，f （1）＝1，f （2）＝2，所以当0≤x ≤1时，0≤f （x ）≤1，所以﹣1≤g （x ）＝f （x ）﹣x ≤1，同理，当1≤x ≤2时，1≤f （x ）≤2，所以﹣1≤g （x ）＝f （x ）﹣x ≤1，所以0≤x ≤2时，|g （x ）|≤1，根据g （x ）的周期为2知，∀x ∈R ，|g （x ）|≤1，故存在M ＝1，使得|f （x ）﹣x |≤M ，故D 正确． 故选：ACD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知tan α=√3，π＜α＜32π，则cos α﹣sin α＝12(√3−1) ．解：由已知tan α=√3，π＜α＜32π，得到cos α=−12，sin α=−√32， 所以cos α﹣sin α=−12+√32=12(√3−1)； 故答案为：12(√3−1)． 14．若展开式(√x 3+12x)n中只有第5项的二项式系数最大，则其展开式中常数项为 7 ． 解：∵展开式(√x 3+12x)n中只有第5项的二项式系数最大，∴n ＝8， 故展开式的通项公式 T r +1=C 8r ⋅(√x 3)8−r⋅(12x )r =C 8r ⋅12r ⋅x 8−4r 3，令8﹣4r ＝0，求得r ＝2，可得展开式中常数项为C 82⋅122=7， 故答案为：7．15．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱AB 、AD 的中点，过C 1、M 、N 的平面α把正方体截成两部分体积分别为V 1，V 2（V 1≥V 2），则V 1V 2=4725．解：延长MN ，交CD 的延长线于点O ，连接C 1O ，交DD 1于E ，连接EN ， 延长NM 交CB 的延长线于点P ，连接C 1P 交BB 1于点F ，连接FM ， ∴过C 1，M ，N 的截面为C 1ENMF ，如图，设正方体的棱长为2a ，由△PBM ≌△NAM ≌△NDO ，M ，N 分别是AB ，AD 的中点， ∴BP ＝BM ＝AM ＝AN ＝DN ＝OD ＝a ， ∴OC ＝3a ，PC ＝3a ，则过C 1，M ，N 的截面下方几何体的体积为：V 2=13S △C 1CP ⋅OC −2⋅13S △EDM ⋅OD =13×12×3a ×2a ×3a −2×13×12×a ×2a3×a =259a 3， ∴另一部分体积为V 1=8a 3−259a 3=259a 3， ∴V 1V 2=4725．故答案为：4725．16．设a ＞0，若函数f （x ）＝e 2x +a ﹣a √ae x −a ≥0恒成立，则实数a 的取值范围是 （0，4] ． 解：令t =√e x −1，则e x ＝t 2+1，g(t)=(t 2+1)2+a −a √at ≥0恒成立， 所以(t 2+1)2+at−a √a ≥0，又(t 2+1)2+at≥4t 2+a t≥4√att=4√a ， 则4√a −a √a ≥0，解得0＜a ≤4， 故答案为：（0，4]．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在①2a sin B ＝b tan A ，②c 2﹣a 2＝bc ﹣b 2.③√3sin A ＝1+cos A 这三个条件中任选一个，填在以下的横线中，并完成解答．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且_____． （1）求角A 的大小；（2）若AB →⋅AC →=1．点D 满足BD →=3DC →，求线段AD 长的最小值． 解：（1）若选①2a sin B ＝b tan A ， 则2sin A sin B ＝sin B tan A =sinBsinAcosA， 因为sin B ＞0，sin A ＞0，所以cos A =12， 由A 为三角形内角可得A ＝60°； 若选②c 2﹣a 2＝bc ﹣b 2，由余弦定理得cos A =b 2+c 2−a 22bc=12， 由A 为三角形内角得A ＝60°； 若选③√3sin A ＝1+cos A ，则2（√32sinA −12cosA ）＝1， 所以sin （A ﹣30°）=12， 由A 为三角形内角得A ＝60°；（2）AB →⋅AC →=bc cos A =12bc ＝1，所以bc ＝2，因为BD →=3DC →，所以AD →=AB →+BD →=AB →+34BC →=AB →+34AC →−34AB →=14AB →+34AC →，所以AD →2=116AB →2+916AC →2+38AB →⋅AC →=c 2+9b 2+616≥6bc+616=98，当且仅当b ＝3c 且bc ＝2，即b =√6，c =√63时取等号， 故|AD |≥3√24，即线段AD 的最小值为3√24． 18．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1+2a 2+22a 3+…+2n ﹣1a n ＝（n ﹣1）•2n +1． （1）求数列{a n }的通项公式： （2）设A n 为数列{a n2a n}的前n 项和，求大于A 2023的最小的整数k ． 解：（1）a 1+2a 2+22a 3+…+2n ﹣1a n ＝（n ﹣1）•2n +1，当n ≥2时，有a 1+2a 2+22a 3+…+2n ﹣2a n ﹣1＝（n ﹣2）•2n ﹣1+1．两式相减，得2n ﹣1a n ＝n •2n ﹣1，则a n ＝n ，又n ＝1时，a 1＝1，故a n ＝n ； （2）由（1）得a n 2a n=n 2n ，∴A n =12+222++⋯+n2n ①， 两边同乘以12得，12A n =122+223+324+⋯+n2n+1②， ①﹣②得，12A n =12+122+123+⋯+12n −n 2n+1=12(1−12n )1−12−n 2n+1=1−12n −n 2n+1=1−n+22n+1， ∴A n ＝2−n+22n ，∴A 2023＝2−202522023＜2，∴k ＝2． 19．（12分）从某学校获取了容量为200的有放回简单随机样本，将所得数学和语文期末考试成绩的样本观测数据整理如下：（1）依据α＝0.05的独立性检验能否认为数学成绩与语文成绩有关联？（2）从200个样本中任取3个，记这3人中语文数学成绩至少一门优秀的人数为X ，求X 的分布列与期望． 附：参考公式：χ2=n(ad−bc)(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ．解：（1）由题意得χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=200×(80×40−40×40)2120×80×120×80≈5.556＞3.841＝x 0.05，故依据α＝0.05的独立性检验，能认为数学成绩与语文成绩有关联；（2）语文数学成绩至少一门优秀的概率为p ＝1−80200=35，且随机变量X 的取值可能有0，1，2，3，∴P （X ＝0）=∁30（25）3=8125，P （X ＝1）=∁31×35×（25）2=36125，P （X ＝2）=∁32×（35）2×25=54125，P （X ＝3）=∁33（35）3=27125，故随机变量X 的分布列为：故E （X ）＝0×8125+1×36125+2×54125+3×27125=95． 20．（12分）在四棱锥P ﹣ABCD 中，CD ∥AB ，AD ＝DC ＝CB ＝1，AB ＝2，AC ⊥PB （1）证明：平面P AC ⊥平面PBC ；（2）若PB ⊥BC ，PB =√3，直线PD 与平面P AC 所成的角的正弦值．（1）证明：在平面四边形ABCD 中，CD ∥AB ，AD ＝DC ＝CB ＝1，AB ＝2，所以四边形ABCD 是等腰梯形，过点C 作CE ⊥AB 于E ，因为四边形ABCD 是等腰梯形， 所以BE =12，AE =32，CE =√BC 2−BE 2=√12−(12)2=√32，AC =√AE 2+CE 2=√(32)2+(√32)2=√3， 所以AC 2+BC 2＝AB 2，所以AC ⊥BC ，又AC ⊥PB ，BC ⋂PB ＝B ，BC ，PB ⊂平面PBC ，所以AC ⊥平面PBC ， 又AC ⊂平面P AC ，所以，平面P AC ⊥平面PBC ．（2）解：因为PB ⊥BC ，AC ⊥PB ，BC ⋂AC ＝C ，BC ，AC ⊂平面ABCD ，所以PB ⊥平面ABCD ，由（1）知，AC ⊥BC ，以C 为原点，建立空间直角坐标系C ﹣xyz ，如图所示：则C(0，0，0)，A(√3，0，0)，B(0，1，0)，D(√32，−12，0)， 因为AC ⊥平面PBC ，PB ⊥BC ，PB =√3，所以P （0，1，√3）， 则CA →=(√3，0，0)，CP →=(0，1，√3)，DP →=（−√32，32，√3），设平面P AC 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅CA →=0n →⋅CP →=0，即{√3x =0y +√3z =0，令y =√3，则x ＝0，z ＝﹣1，所以n →=(0，√3，−1)， 直线PD 与平面P AC 所成的角为θ，则sin θ＝|cos ＜DP →，n →＞|=3√32−√326=√28， 即直线PD 与平面P AC 所成的角的正弦值为√28． 21．（12分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为2，右焦点F 到其中一条渐近线的距离为√3．（1）求双曲线C 的标准方程；（2）过右焦点F 作直线AB 交双曲线于A ，B 两点，过点A 作直线l ：x =12的垂线，垂足为M ，求证直线MB 过定点．解：（1）由题意可知，F （c ，0），双曲线C 的渐近线方程为bx ±ay ＝0， ∴右焦点F 到其中一条渐近线的距离为√a 22=bc c=b ，∴b =√3， 又∵离心率e =ca=2，a 2+b 2＝c 2， ∴a ＝1，c ＝2，∴双曲线C 的标准方程为：x 2−y 23=1； 证明：（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），当直线AB 的斜率不为0，设直线AB 的方程为x ＝my +2，联立方程{x 2−y 23=1x =my +2，消去x 得：（3m 2﹣1）y 2+12my +9＝0，∴y 1+y 2=−12m 3m 2−1，y 1y 2=93m 2−1， ∴y 1+y 2y 1y 2=−12m 9=−43m ，∴直线MB 的方程为y ﹣y 1=y 2−y 1x 2−12（x −12）， 令y ＝0得，﹣y 1=y 2−y 1x 2−12（x −12）， ∴x −12=−y 1⋅x 2−12y 2−y 1=−y 1⋅my 2+32y 2−y 1=−my 1y 2+32y 1y 2−y 1=−m(−34m )(y 1+y 2)+32y 1y 2−y 1=34y 2−34y 1y 2−y 1=34， ∴x =54，∴直线MB 过定点D （54，0），当直线AB 的斜率为0时，直线MB 的方程为y ＝0，也过点D （54，0），综上所述，直线MB 过定点D （54，0）．22．（12分）已知函数f （x ）＝xlnx ﹣λ（x ﹣1）． （1）当x ≥1时，f （x ）≥0，求λ的取值范围；（2）函数g （x ）＝f （x ）﹣λx 2+（λ﹣1）x 有两个不同的极值点x 1，x 2（其中x 1＜x 2），证明：lnx 1+3lnx 2＞4； （3）求证：1n+1+1n+2+1n+3+⋯+12n＜ln 2（n ∈N *）．解：（1）f ′（x ）＝lnx +1﹣λ，且f （1）＝0， 当λ≤1时，因为x ≥1，故f ′（x ）≥0恒成立， 所以f （x ）≥0成立，当λ＞1时，令f ′（x ）＝lnx +1﹣λ＝0，得x ＝e λ﹣1，所以在[1，e λ﹣1）时f ′（x ）≤0，所以f （x ）≤f （1）＝0，不可能， 综上所述，λ≤1，所以λ的取值范围为（﹣∞，1]．（2）证明：根据题意可得g （x ）＝f （x ）﹣λx 2+（λ﹣1）x ＝xlnx ﹣λx 2+λ﹣x ， g ′（x ）＝lnx +1﹣2λx ﹣1＝lnx ﹣2λx ，因为函数有两个不同的极值点x 1，x 2（其中x 1＜x 2）， 所以lnx 1＝2λx 1，lnx 2＝2λx 2， 要证lnx 1+3lnx 2＞4，只需要证4＜lnx 1+3lnx 2＝2λx 1+6λx 2＝2λ（x 1+3x 2）， 因为0＜x 1＜x 2， 所以只需要证明2λ＞4x 1+3x 2即可，因为lnx 1＝2λx 1，lnx 2＝2λx 2， 所以2λ=lnx 1−lnx 2x 1−x 2，所以只需证lnx 1−lnx 2x 1−x 2＞4x 1+3x 2，即证lnx 1x 2＜4(x 1−x 2)x 1+3x 2，即证ln x 1x 2＜4(x1x 2−1)x 1x 2+3，令t =x1x 2，0＜t ＜1，等价于证明lnt ＜4(t−1)t+3， 令g （t ）＝lnt −4(t−1)t+3，0＜t ＜1，g′（t）=1t −16(t+3)2=t2−10t+9t(t+3)2=(t−1)(t−9)t(t+3)，因为0＜t＜1，所以g′（t）＞0，所以g（t）在（0，1）上单调递增，所以g（t）＜g（1）＝0，得证．（3）证明：由（1）可知f（x）＝xlnx﹣（x﹣1）＞0，即lnx＞x−1 x，令x＝1+1n，所以ln（1+1n）＞1nn+1n=1n+1，所以1n+1＜ln（n+1）﹣lnn，所以1n+1+1n+2+1n+3+...+12n＜[ln（n+1）﹣lnn]+[ln（n+2）﹣ln（n+1）]+...+[ln（2n）﹣ln（2n﹣1）]＝ln2n﹣lnn＝ln2，所以1n+1+1n+2+1n+3+...+12n＜ln2．。
2020年元月上虞高三调测期末案
综上可得
a
的取值范围为
a
e
1 1
.
---------15 分
方法二：
f
(x)
1 即
x
x(e a
2
2)
a
1
0
恒成立
a
令 x t ，即 x at ，题意变为 at(et 2 2) a 1 0 ，即 atet (2a 2)t a 1 0 对
2
24
44
4
---------2 分
1 sin( x ) 或 1 cos( x )
2
32
6
---------4 分
由图像可知 ABC 的 BC 边上高为 1 ，可得 BC 1 T 2 ，故 ---------6 分
2
即 f (x) 1 sin( x )
14． 5 ， 405 ；
15． 15；
16． 1 4 2 ； 17．1,1 ．
4
三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18．（本题满分 14 分）（Ⅰ） f (x) 3 cos2 x 1 sin x 3 3 cos x 1 sin x
1 1 e
---------5 分
（Ⅱ）方法一：
f
(x)
1 即
x
x(e a
2
2)
a
1
0
恒成立
a
令 x t ，即 x at ，题意变为 at(et 2 2) a 1 0 ，即 atet (2a 2)t a 1 0 对
浙江省绍兴市上虞区职教中心高三数学上学期期末试卷(含解析)
2015-2016学年浙江省绍兴市上虞区职教中心高三（上）期末数学试卷一、选择题（每小题3分，共计36分）1．设全集U=R，已知A={x|x＜0或x≥3}，B={x|x≥﹣2}，则A∩B的集合为（）A．[﹣2，3] B．[﹣2，0）C．[﹣2，0）∪[3，+∞） D．[3，+∞）2．下列各组函数中，表示同一个函数的是（）A．B．C．D．3．下列函数中，在区间（0，1]上是增函数且最大值为﹣1的为（）A．y=﹣x2B．C．D．y=2x4．函数f（x）=sin（2x+）（x∈R）的最小正周期为（）A．B．πC．2πD．4π5．已知直线y=kx﹣1与直线x+2y+3=0垂直，则k的是（）A．3 B．1 C．﹣1 D．26．数列的一个通项公式为（）A．B．C．D．7．在△ABC中，三边长分别为a，b，c，且A=30°，B=45°，a=1，则b的值是（）A．B．C．D．8．任给△ABC，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列等式成立的是（）A．c2=a2+b2+2abcosC B．c2=a2+b2﹣2abcosCC．c2=a2+b2+2absinC D．c2=a2+b2﹣2absinC9．已知a，b∈R，且a＞b，则下列不等式正确的是（）A．2a＞2b B．C．a2＞b2D．lg（a﹣b）＞010．若双曲线的一条渐近线与3x﹣y+1=0平行，则此双曲线的离心率是（）A．B．C．3 D．11．在数列{a n}中，a1=1且已知a n+1=2a n﹣3，则a4等于（）A．5 B．﹣5 C．﹣13 D．﹣2912．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC1的中点，则DE与面BCC1B1所成角的正切值为（）A．B．C．D．二.填空题（每空3分，共15空，共45分）13．已知二次函数g（x）=﹣2x2+6x﹣1，则：（1）其对称轴：；（2）顶点坐标为；（3）单调区间为和；（4）g（x）的最大值为．14．已知平面向量=（2，3），=（1，m），且∥，则实数m的值为．15．求值：= ；（2）若|2x﹣1|+（y﹣2）2=0，则lg（xy）．16．已知等比数列{a n}中，a1=1，a5=16，则公比a3= ，a2= ．17．已知一个球的表面积为4πcm2，则它的半径等于cm．18．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（﹣2，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是．19．在空间中，设l，m为两条不同直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题正确的有（填上正确的编号）①若l⊂α，m不平行于l，则m不平行于α；② 若l⊂α，m⊂β，且α，β不平行，则l，m不平行；③ 若l⊂α，m不垂直于l，则m不垂直于α；④若l⊂α，m⊂β，l不垂直于m，则α，β不垂直．20．设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，若F到直线y=x的距离为，则p= ．三、解答解：本大题共4小题，共39分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21．已知θ∈（，π），sinθ=，求cosθ及sin（θ+）的值．22．在等差数列{a n}中，a1=21，a5=13，试问前几项和最大？最大值多少．23．有60m长的钢材，要制作如图所示的窗框：（1）求窗框面积y与窗框宽x的函数关系；（2）当窗框宽为多少米时，面积y有最大值？最大值是多少？24．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，点D是AB的中点．（1）求证：AC⊥BC1；（2）求证：AC1∥平面CDB1．2015-2016学年浙江省绍兴市上虞区职教中心高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共计36分）1．设全集U=R，已知A={x|x＜0或x≥3}，B={x|x≥﹣2}，则A∩B的集合为（）A．[﹣2，3] B．[﹣2，0）C．[﹣2，0）∪[3，+∞） D．[3，+∞）【考点】交集及其运算．【专题】计算题；转化思想；定义法；集合．【分析】利用不等式性质及交集定义求解．【解答】解：∵全集U=R，A={x|x＜0或x≥3}，B={x|x≥﹣2}，∴A∩B={x|﹣2≤x＜0或x≥3}=[﹣2，0）∪[3，+∞）．故选：C．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2．下列各组函数中，表示同一个函数的是（）A．B．C．D．【考点】判断两个函数是否为同一函数．【专题】计算题；规律型；对应思想；函数的性质及应用．【分析】判断两个函数的定义域以及对应法则是否相同，判断即可．【解答】解：，两个函数的定义域不相同，不是相同函数．，两个函数的定义域相同，对应法则相同，是相同函数．，两个函数的对应法则不相同，不是相同函数．，两个函数的定义域不相同，不是相同的函数．故选：B．【点评】本题考查函数的定义域已经对应法则是否相同，考查计算能力．3．下列函数中，在区间（0，1]上是增函数且最大值为﹣1的为（）A．y=﹣x2B．C．D．y=2x【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据函数单调性的性质进行判断即可．【解答】解：y=﹣x2在区间（0，1]上是减函数，不满足条件．y=（）x在区间（0，1]上是减函数，不满足条件，在区间（0，1]上是增函数，最大值为y=﹣1，满足条件，y=2x在区间（0，1]上是增函数，最大值为y=2，不满足条件，故选：C【点评】本题主要考查函数单调性和最值的应用，要求熟练掌握常见函数的单调性的性质．4．函数f（x）=sin（2x+）（x∈R）的最小正周期为（）A．B．πC．2πD．4π【考点】三角函数的周期性及其求法．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】根据了函数y=Asin（ωx+φ）的周期为，计算求得结果．【解答】解：函数f（x）=sin（2x+）（x∈R）的最小正周期为T==π，故选：B．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的周期性，利用了函数y=Asin（ωx+φ）的周期为，属于基础题．5．已知直线y=kx﹣1与直线x+2y+3=0垂直，则k的是（）A．3 B．1 C．﹣1 D．2【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】方程思想；综合法；直线与圆．【分析】根据两条直线垂直，它们的斜率之积等于﹣1，求出k的值．【解答】解：∵直线y=kx﹣1与直线x+2y+3=0垂直，∴k=2；故选：D．【点评】本题考查了两条直线垂直的判定与应用问题，解题时应用两直线垂直，斜率之积等于﹣1，即可得出答案．6．数列的一个通项公式为（）A．B．C．D．【考点】数列的概念及简单表示法．【专题】对应思想；归纳法；函数的性质及应用．【分析】把数列化为，﹣，，﹣，…；根据各项特点写出它的一个通项公式．【解答】解：数列；可以化为，﹣，，﹣，…；∴该数列的一个通项公式为a n=（﹣1）n+1•．故选：C．【点评】本题考查了根据数列各项特点写出它的一个通项公式的应用问题，是基础题目．7．在△ABC中，三边长分别为a，b，c，且A=30°，B=45°，a=1，则b的值是（）A．B．C．D．【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】由正弦定理，即可得出结论．【解答】解：∵三边长分别为a，b，c，且A=30°，B=45°，a=1，∴由正弦定理可得，∴b==．故选：A．【点评】本题考查正弦定理，考查学生的计算能力，属于基础题．8．任给△ABC，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列等式成立的是（）A．c2=a2+b2+2abcosC B．c2=a2+b2﹣2abcosCC．c2=a2+b2+2absinC D．c2=a2+b2﹣2absinC【考点】余弦定理．【专题】阅读型；整体思想；分析法；解三角形．【分析】根据余弦定理的各个式子，与题中各选项加以对照，即可得到本题答案．【解答】解：式子c2=a2+b2﹣2abcosC符合余弦定理，正确；故选：B．【点评】本题判断几个式子是否符合余弦定理，着重考查了余弦定理公式与变形的知识，属于基础题．9．已知a，b∈R，且a＞b，则下列不等式正确的是（）A．2a＞2b B．C．a2＞b2D．lg（a﹣b）＞0【考点】不等式的基本性质．【专题】计算题；函数思想；分析法；不等式．【分析】利用特殊值代入法，再根据函数函数的单调性，从而得出结论．【解答】解：由于函数y=2x在R上是增函数，且a＞b，故有 2a＞2b，由于函数y=x在R上是减函数，且a＞b，故有，由于a，b∈R，且a＞b，当a=1，b=﹣2时，显然不成立，a2＞b2 不成立，当0＜a﹣b＜1时，lg（a﹣b）＜0，故lg（a﹣b）＞0不成立．故选 A．【点评】本题主要考查不等式与不等关系，指数函数的单调性，利用特殊值代入法，排除不符合条件的选项，是一种简单有效的方法，属于基础题．10．若双曲线的一条渐近线与3x﹣y+1=0平行，则此双曲线的离心率是（）A．B．C．3 D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据双曲线渐近线方程的公式，结合平行直线的性质可得b=3a，因此c==a．再由双曲线的离心率公式，即可算出此双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线的渐近线方程为y=x，∴若一条渐近线与3x﹣y+1=0平行，则b=3a因此c== a此双曲线的离心率是e==故选：D【点评】本题给出双曲线的一条渐近线与已知直线平行，求此双曲线的离心率．着重考查了直线的位置关系、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．11．在数列{a n}中，a1=1且已知a n+1=2a n﹣3，则a4等于（）A．5 B．﹣5 C．﹣13 D．﹣29【考点】数列递推式．【专题】转化思想；等差数列与等比数列．【分析】a1=1且a n+1=2a n﹣3，变形为a n+1﹣3=2（a n﹣3），利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵a1=1且a n+1=2a n﹣3，∴a n+1﹣3=2（a n﹣3），∴数列{a n﹣3}是等比数列，首项为﹣2，公比为2．∴a n﹣3=﹣2×2n﹣1，a n=3﹣2×2n﹣1，则a4=3﹣2×23=﹣13．故选：C．【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC1的中点，则DE与面BCC1B1所成角的正切值为（）A．B．C．D．【考点】直线与平面所成的角．【专题】空间角．【分析】以D为原点，以DA为x轴，以DC为y轴，以DD1为z轴，建立空直角坐标系，利用向量法能求出DE与面BCC1B1所成角的正切值．【解答】解：设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，以D为原点，以DA为x轴，以DC为y轴，以DD1为z轴，建立空直角坐标系，∵E为BC1的中点，∴D（0，0，0），E（1，2，1），∴=（1，2，1），设DE与面BCC1B1所成角的平面角为θ，∵面BCC1B1的法向量，∴sinθ=|cos＜＞|=||=，∴cosθ==，∴tanθ==．故选：C．【点评】本题考查直线与平面所成角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．二.填空题（每空3分，共15空，共45分）13．已知二次函数g（x）=﹣2x2+6x﹣1，则：（1）其对称轴：；（2）顶点坐标为（，）；（3）单调区间为（﹣∞，）和（，+∞）；（4）g（x）的最大值为．【考点】二次函数的性质．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据二次函数的性质分别求出即可．【解答】解：已知二次函数g（x）=﹣2x2+6x﹣1，则：（1）其对称轴：x=﹣=；（2）g（x）=﹣2x2+6x﹣1=﹣2+，顶点坐标为（，）；（3）g（x）在（﹣∞，）递增，在（，+∞）递递减；（4）g（x）的最大值是g（）=；故答案为：；（，）；（﹣∞，），（，+∞）；．【点评】本题考察了二次函数的性质，是一道基础题．14．已知平面向量=（2，3），=（1，m），且∥，则实数m的值为．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】平面向量及应用．【分析】直接利用向量共线的坐标表示列式计算．【解答】解：∵平面向量=（2，3），=（1，m），且∥，∴2m=3×1，∴m=．故答案为：．【点评】本题考查向量的平行，平行问题是一个重要的知识点，在高考题中常常出现，常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别．15．求值：= ；（2）若|2x﹣1|+（y﹣2）2=0，则lg（xy）0 ．【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】（1）直接利用有理指数幂的运算性质和对数的运算性质化简得答案；（2）由题意可得x，y的值，代入对数的运算性质得答案．【解答】解：（1）====．故答案为：．（2）∵|2x﹣1|+（y﹣2）2=0，∴x=，且y=2，∴lgxy=lg1=0．故答案为：0．【点评】本题考查有理指数幂的化简与求值，考查了对数的运算性质，是基础题．16．已知等比数列{a n}中，a1=1，a5=16，则公比a3= 4 ，a2= ±2．【考点】等比数列的通项公式．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】由已知求出等比数列的公比，代入等比数列的通项公式得答案．【解答】解：在等比数列{a n}中，由a1=1，a5=16，得，∴q=±2，则，a2=a1q=±2．故答案为：4；±2．【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．17．已知一个球的表面积为4πcm2，则它的半径等于 1 cm．【考点】球的体积和表面积．【专题】球．【分析】一个球的表面积为4πcm2，由球的表面积的计算公式能求出这个球的半径．【解答】解：一个球的表面积为4πcm2，设这个球的半径这R，则4πR2=4πcm2，解得R=1cm，故答案为：1．【点评】本题考查球的体表面积的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．18．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（﹣2，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是．【考点】椭圆的标准方程．【专题】计算题．【分析】先根据题意a=2b，c=2并且a2=b2+c2求出a，b，c的值，代入标准方程得到答案．【解答】解：已知∴∴为所求；故答案为：【点评】本题主要考查椭圆的标准方程．属基础题．19．在空间中，设l，m为两条不同直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题正确的有③（填上正确的编号）①若l⊂α，m不平行于l，则m不平行于α；② 若l⊂α，m⊂β，且α，β不平行，则l，m不平行；③ 若l⊂α，m不垂直于l，则m不垂直于α；④若l⊂α，m⊂β，l不垂直于m，则α，β不垂直．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】在 ①中，则m与α相交、平行或m⊂α；在②中， 则l与m相交、平行或异面；在③中， 由线面垂直的性质定理得m不垂直于α；在④中，α，β有可能垂直．【解答】解：在空间中，由l，m为两条不同直线，α，β为两个不同的平面，知：在 ①中，若l⊂α，m不平行于l，则m与α相交、平行或m⊂α，故①错误；在②中， 若l⊂α，m⊂β，且α，β不平行，则l与m相交、平行或异面，故②错误；在③中， 若l⊂α，m不垂直于l，则由线面垂直的性质定理得m不垂直于α，故③正确；在④中，若l⊂α，m⊂β，l不垂直于m，则α，β有可能垂直，故④错误．故选：③．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．20．设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，若F到直线y=x的距离为，则p= 4 ．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出抛物线的焦点坐标，利用距离公式求解即可．【解答】解：抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F（，0）．∵F到直线y=x的距离为，∴可得： =，解得p=4．故答案为：4．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．三、解答解：本大题共4小题，共39分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21．已知θ∈（，π），sinθ=，求cosθ及sin（θ+）的值．【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】三角函数的求值．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得cosθ，再利用两角和的正弦公式求得sin （θ+）的值．【解答】解：∵，∴．又∵，∴．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式的应用，属于中档题．22．在等差数列{a n}中，a1=21，a5=13，试问前几项和最大？最大值多少．【考点】等差数列的前n项和．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】利用等差数列通项公式求出公差，由此求出数列前n项和，再利用配方法能求出前几项和最大，最大值多少．【解答】解：∵在等差数列{a n}中，a1=21，a5=13，∴21+4d=13，解得d=﹣2，∴=﹣n2+22n=﹣（n﹣11）2+121．∴前11项和最大，最大值是121．【点评】本题考查等差数列的前几项和最大，最大值多少的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．23．有60m长的钢材，要制作如图所示的窗框：（1）求窗框面积y与窗框宽x的函数关系；（2）当窗框宽为多少米时，面积y有最大值？最大值是多少？【考点】基本不等式在最值问题中的应用；基本不等式．【专题】应用题；函数思想；综合法；不等式．【分析】（1）设窗框的宽为xxm，窗框的高为m，由题意得窗框面积y与窗框宽x的函数关系；（2）利用基本不等式，可得面积最大值．【解答】解：（1）设窗框的宽为xm，窗框的高为m，由题意得y=x•（0＜x ＜20）（2）y=x•=•3x•（60﹣3x）≤•=150，当且仅当3x=60﹣3x，即x=10m时，这个窗户的面积最大，最大值是150m2．【点评】此题考查一元二次函数的实际运用，根据长方形的面积建立方程是解决问题的关键．24．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，点D是AB的中点．（1）求证：AC⊥BC1；（2）求证：AC1∥平面CDB1．【考点】直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．【专题】综合题；空间位置关系与距离．【分析】（1）利用勾股定理的逆定理可得AC⊥BC．利用线面垂直的性质定理可得CC1⊥AC，再利用线面垂直的判定定理即可证明结论；（2）利用直三棱柱的性质、正方形的性质、三角形的中位线定理即可得出ED∥AC1，再利用线面平行的判定定理即可证明结论【解答】证明：（1）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，所以C1C⊥平面ABC，所以C1C⊥AC．又因为AC=3，BC=4，AB=5，所以AC2+BC2=AB2，所以AC⊥BC．又C1C∩BC=C，所以AC⊥平面CC1B1B，所以AC⊥BC1．（2）连结C1B交CB1于E，再连结DE，由已知可得E为C1B的中点，又∵D为AB的中点，∴DE为△BAC1的中位线．∴AC1∥DE又∵DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1∴AC1∥平面CDB1．【点评】熟练掌握勾股定理的逆定理、线面垂直的判定和性质定理、直三棱柱的性质、正方形的性质、三角形的中位线定理、线面平行的判定定理是解题的关键．。
2023届浙江省绍兴市上虞区高三上学期期末数学试题(解析版)
2023届浙江省绍兴市上虞区高三上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}2log 1A xy x ==+∣，{}2log 1B y y x ==+∣，则A B =（ ） A ．()0,∞+ B ．()1,+∞C ．∅D ．R【答案】A【分析】集合A 与集合B 分别为函数2log 1y x =+的定义域和值域，求出集合A 与集合B 再求其交集即可.【详解】由已知，集合A 与集合B 分别为函数2log 1y x =+的定义域和值域， 求得2log 1y x =+定义域为()0,∞+，值域为R ， ∴()0,A =+∞，(),B =-∞+∞， ∴()0,A B =+∞. 故选：A. 2．设复数1i1i-=+z （i 为虚数单位），则z =（ ）A ．2 BC D ．1【答案】D【分析】根据复数计算规则计算即可. 【详解】()()()()1i 1i 1i i 1i 1i 1i z ---===-++-，所以1z =； 故选：D3．“2r ≥”是“圆2221:(0)C x y r r +=>与圆222:(3)1C x y -+=有公切线”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】由圆的方程可得两圆圆心和半径，由两圆有公切线时圆心距和两圆半径之间的关系可确定结果．【详解】由已知有，圆2221:(0)C x y r r +=>的圆心为()0,0，半径为r ，圆222:(3)1C x y -+=的圆心为()3,0，半径为1，两圆圆心距3d =，当两圆有公切线时，两圆的位置关系为：内切、相交、外切和相离， 此时两圆的半径与圆心之间的距离满足1d r ≥-， 即31r ≥-，又0r >，故解得04r <≤，当04r <≤时，两圆的位置关系可能为：内切、相交、外切和相离，此时两圆有公切线，所以圆2221:(0)C x y r r +=>与圆222:(3)1C x y -+=有公切线的充要条件为04r <≤，所以“2r ≥”是“两圆有公切线”的既不充分也不必要条件， 故选：D ．4．康托尔三分集是一种重要的自相似分形集.具体操作如下：将闭区间[]0,1均分为三段，去掉中间的区间段12,33⎛⎫⎪⎝⎭，记为第一次操作；再将剩下的两个区间120,,,133⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作，，将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集，记为P .若使留下的各区间长度之和不超过110，则至少需要操作（ ）次（参考数据：lg20.3010,lg30.4771≈≈） A ．4 B ．5C ．6D ．7【答案】C【分析】根据条件得到规律：第n 次操作去掉的线段长度之和为12133n -⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，然后利用等比数列的求和公式可得留下的各区间长度之和，然后解不等式可得答案. 【详解】第一次操作去掉的线段长度为13，第二次操作去掉的线段长度之和为2133⨯，第三次操作去掉的线段长度之和为221333⨯⨯，……第n 次操作去掉的线段长度之和为12133n -⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭， 所以留下的各区间长度之和为11213312121211233333313nn n -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦--⨯--⨯=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，所以21310n⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，即2311log 5.710lg3lg2n ≥=≈-； 故选：C. 5．已知向量()()3,1,1,3,a b c ta b ==-=+，若c 在a 方向上的投影向量模长为1，则实数t 的值为（ ） A ．1± B ．12±C ．1-D ．12-【答案】B【分析】先求出c 的坐标，再求出,||ca a ⋅，即得解. 【详解】解：由题得()(3,11,1c tt =++，，所以223(31)34,||312c a t t t a ⋅=++-==+=，所以c 在a 方向上的投影向量模长为21c a t a ⋅==，解得12t =±. 故选：B6．若椭圆2222:1(0)x y C ab a b+=>>的左焦点F关于y =对称的点P在椭圆C 上，则椭圆的离心率为（ ） AB C1 D 1【答案】C【分析】设(),0F c -，由题意求出2c P ⎛ ⎝⎭，代入椭圆C 的方程得，222234c ca b +=，化简即可得出答案.【详解】设(),0F c -，设(),P x y ，则由题意可得：(122yx cy x c ⎧⋅=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪⎩，解得：2c x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则2c P ⎛⎝⎭，代入椭圆C 的方程得，222234c c ab +=.又222c a b =-，可得223b a =，所以222214c b a a=-=-1.故选：C. 7．已知0.0110011,e ,1tan 99249a b c ===+，则（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．b<c<a D ．b a c <<【答案】D【分析】构造函数1()ln 1f x x x=+-讨论单调性和最值可比较得a b >，再构造函数()tan =-g x x x 可比较得c a >.【详解】设221111()ln 1,()x f x x f x xxx x-'=+-=-=， 令()0f x '>解得1x >，令()0f x '<解得01x <<， 所以()f x 在(0,1)单调递减，()1,+∞单调递增，所以()(1)0f x f ≥=，即1ln 1x x≥-，当且仅当1x =时取等， 所以10099ln10.0199100>-=，所以0.01100e 99>，即a b >. 设2222πcos sin 0,,()1tan 02cos ()tan ,x x x g x g x x x x x +⎪=-⎛⎫'∈=-=> ⎝⎭， 所以()tan (0)0g x x x g =->=， 即当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，tan x x >，所以11111001tan124924999c a =+>+⨯>=， 综上所述，b a c <<， 故选：D.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于利用导数与最值之间的关系证明不等式1ln 1x x≥-和当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，tan x x >，根据不等式赋值即可比较大小. 8．在四棱锥E ABCD -中，正方形ABCD 所在平面与EAB 所在平面相互垂直，,AE BE F ⊥为EC 上一点，且,BF EC O ⊥为正方形ABCD 的中心，四棱锥E ABCD -体积的最大值为43，则三棱锥O BCF -的外接球的表面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π【答案】B【分析】根据题意，由四棱锥体积的最大值可得正方形ABCD 的边长，然后可得BC 是三棱锥O BCF -的外接球的一条直径，再结合球的表面积公式即可得到结果.【详解】设AB a ，则点E 到直线AB 的距离的最大值为2a ，即点E 到平面ABCD 距离的最大值为2a .因为四棱锥E ABCD -体积的最大值为43，所以241332aa =⨯⨯，得2a =.因为,BF EC BO OC ⊥⊥，所以BC 是三棱锥O BCF -的外接球的一条直径， 故三棱锥O BCF -的外接球半径为1，其表面积为4π. 故选:B.二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．若事件,M N 互斥，()()11,23P M P N ==，则()56P M N ⋃=B ．若事件,M N 相互独立，()()11,23P M P N ==，则()23P M N ⋃=C ．若133(),(),()248P M P M N P M N ===∣∣，则()13P N = D ．若133(),(),()248P M P M N P M N ===∣∣，则()14P N M =∣ 【答案】ABC【分析】根据互斥事件的概率加法公式判断A ；根据独立事件的乘法公式判断B ；根据条件概率以及全概率公式可判断C,D .【详解】对于A ：()()()56P M N P M P N ⋃=+=，正确； 对于B ：()()()()1111223233P MN P M P N P MN =+-=+-⨯=，正确； 对于C ：()3()1()()()3(),()()4()1()8P MN P MN P M P N P MN P MN P M N P N P N P N --+=====-∣∣，31()()()()(),()()44P N P MN P MN P MN P N P MN P N =+=+∴=，所以()()()()113418P M P N P N P N --+=-，解得()1,3P N =C 正确； 对于D ：由C 得()()()11143162P MN P NM P M ⨯===∣，D 错误， 故选：ABC.10．主动降噪耳机工作的原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声.设噪声声波曲线函数为()y f x =，降噪声波曲线函数为()y g x =，已知某噪声的声波曲线()()πsin 0,2f x A x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭部分图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．()()f x g x =-B ．()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()y g x =的单调减区间为π3ππ,π64k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，（k ∈Z ）D ．()y f x =图像可以由()y g x =图像向右平移π个单位得到 【答案】AB【分析】由图象求出()f x 解析式，依据题意得出()g x 解析式，对各选项逐个辨析即可. 【详解】对于A ，由已知，()()()()sin sin g x A x A x f x ωϕωϕ=-+=-+=-⎡⎤⎣⎦， ∴()()f x g x =-，故选项A 正确； 对于B ，∵0ω>，∴由图象知，12π11π5π221212T ω=⨯=-，∴2ω=， 又∵sin 205π5π1212f A ϕ⎛⎛⎪⎫⨯+= ⎪⎝=⎝⎭⎫ ⎭，且5π12x =在()f x 的单调递减区间上，∴5π5πππ22126k ϕϕ⨯=+=++，（k ∈Z ），∵π2ϕ<，∴π6ϕ=，又∵()sin1π06A f ==，∴2A =， ∴()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故选项B 正确；对于C ，()ππ2sin 22sin 266g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=⎝⎭，由πππ2π22π262k x k -+≤+≤+，（k ∈Z ），解得ππππ36k x k -+≤≤+，（k ∈Z ），∴()y g x =的单调减区间为πππ,π36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，（k ∈Z ），故选项C 错误；对于D ，()y g x =图像向右平移π个单位得到：()()()ππππ2sin 2π2sin 22π2sin 2666y g x x x f x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=--+=-+-=-+≠ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭，故选项D 错误. 故选：AB.11．已知()()1122,,,A x y B x y 是抛物线2:C y x =上不同于原点O 的两点，点F 是抛物线C 的焦点，下列说法正确的是（ ）A ．点F 的坐标为1,02⎛⎫⎪⎝⎭B ．1212AB x x =++C ．若OA OB ⊥，则直线AB 经过定点()1,0D ．若点()2,1,P PA PB -､为抛物线C 的两条切线，则直线AB 的方程为220x y --= 【答案】CD【分析】根据抛物线的方程可得焦点坐标可判断A ，根据焦点弦的性质可判断B ，根据垂直关系得121y y =-，由两点坐标求解直线方程即可判断C,根据切线方程求出切点坐标，进而根据两点求解直线方程即可求解D.【详解】因为拋物线2:C y x =，故F 的坐标为1,0,4⎛⎫⎪⎝⎭故A 错误；由于直线AB 不一定过焦点，所以AB 不是经过焦点的弦长，故B 错误； 若OA OB ⊥，故()2121212120x x y y y y y y +=+=，即121y y =-或120y y =（舍去）， 因为直线()121112:x x y y AB y x x y -=-+-，即()212122*********1y y y y y x y y x y y y y y y ---=+++=+，得()1211y x y y =-+，故直线AB 经过定点()1,0,C 正确； 点设过()2,1P -的切线方程为()12x m y =--，联立()221220x m y y my m y x⎧=--⇒-++=⎨=⎩ ，所以2480m m ∆=--=，故2m =+或2m =-2m y =， 故切线,PA PB的斜率分别为12m =+和22m =-，故121222m m y y ++==， 121224m m y y ==-， 可得直线()21212111212122211:12y y y y AB y x y y x x y y y y y y =-+=+=-+--+，即220x y --=，故D 正确； 故选:CD.12．已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为()()()R,112,f x f x f x ++-=为奇函数且0x >时0f x，则（ ）A ．()f x '为偶函数B ．()()8f x f x +=C ．当Z x ∈时，()f x x =D ．存在实数M ，使得()f x x M -≤【答案】ACD【分析】由题意可得()()f x f x -=-，求导后可得()()f x f x ''-=，判断A ；由题意设设()()g x f x x =-，可推得()()20g x g x +-=，结合题意推出()()2g x g x +=，可得()()88f x f x +=+，判断B ；结合()()g x f x x =-的性质采用赋值法推得当Z x ∈时，()0g x =，即()f x x =，判断C ；利用()f x 的单调性，结合()()g x f x x =-的性质推出()R,1x g x ∀∈≤，可判断D. 【详解】对于A ，()f x 为奇函数，则()()f x f x -=-，求导得()()()1f x f x '-=-'-⋅， 即()()f x f x ''-=，所以()f x '为偶函数，故A 正确；对于B ，设()()g x f x x =-，因为()f x 为奇函数，所以()g x 也是奇函数；()()()()112,1111f x f x f x f x x x ++-=∴++-=++-，()()()()11110f x x f x x ∴+-++---=，即()()110g x g x ++-=，所以()g x 关于()1,0对称，即()()20g x g x +-=，又()g x 关于()0,0对称，即()()g x g x -=-， 故()()2g x g x -=-，即()()2g x g x +=，所以()g x 的周期为2，故()()()()()()()8,88,88g x g x f x x f x x f x f x +=∴+-+=-∴+=+，故B 不正确；对于C ，因为()g x 是奇函数，所以()00g =，令0x =，则()()()()()110,110,10g x g x g g g ++-=∴+=∴=，又()g x 的周期为2， 所以当x 为奇数时，()()10g x g ==；当x 为偶数时，()()00g x g ==， 故当Z x ∈时，()0g x =，即()f x x =，故C 正确； 对于D ，由0x >时0fx，可知()f x 单调递增，且由C 选项知()()()00,11,22f f f ===，所以当01x ≤≤时，()01f x ≤≤， 所以()()11g x f x x -≤=-≤，同理，当12x ≤≤时，()12f x ≤≤，所以()()11g x f x x -≤=-≤， 所以02x ≤≤时，()1g x ≤，根据()g x 的周期为2知，()R,1x g x ∀∈≤， 故存在1M =，使得()f x x M -≤，故D 正确； 故选：ACD.【点睛】关键点点睛：B,C,D 选项的判断比较困难，因此要根据函数性质结合函数结构特点设出()()g x f x x =-，结合()f x 的性质，判断出函数()g x 的性质，特别困难的是判断D 选项，要结合()f x 的单调性以及函数值情况推出()R,1xg x ∀∈≤，继而解决问题.三、填空题13．已知tanα＝3，π＜α32＜π，则cosα﹣sinα＝_____．【分析】根据tan 3α=，求cos ,sin αα的值，由此求得cos sin αα-的值.【详解】∵tanα＝3，π＜α32＜π，∴cosα=sinα==则cosα﹣sinα==【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.14．若展开式312nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭中只有第5项的二项式系数最大，则其展开式中常数项为__________. 【答案】7【分析】由展开式中只有第5项最大，得8n =，写出展开式的通项，求常数项. 【详解】由题意8n =，所以展开式第1r +项为8483318811C ()C 22r rrrrr r T x x x --+⎛⎫⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令8403r -=，得2r =，故常数项为2281C 72⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭.故答案为：7.15．在正方体1111ABCD A B C D -中，M N ､分别是棱AB AD ､的中点，过1C 、M 、N 的平面α把正方体截成两部分体积分别为()1212,V V V V ≥，则12V V =__________. 【答案】4725【分析】根据平面的基本性质画出过,,D E F 的截面，再利用柱体、锥体的体积公式求12,V V ，即可得结果.【详解】延长MN 交CD 的延长线与点O ，连接1C O 交1DD 于点E ，连接EN ： 延长NM 交CB 的延长线与点P ，连接1C P 交1BB 于点F ，连接FM ： 所以过1C 、M 、N 的截面为1C ENMF ，如下图所示：设正方体的棱长为2a ，由PBM NAM NDO ≅≅， M N ､分别是棱AB 、AD 的中点， 所以BP BM AM AN DN OD a ======， 所以3OC a =，3PC a =，则过1C 、M 、N 的截面下方几何体的体积为1321111112252323233323239C CPEDMa V SOC S OD a a a a a a =⋅-⋅⋅=⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅=， 所以另一部分体积为33312547899V a a a =-=，则124725VV =. 故答案为：4725. 16．设0a >，若函数()2e 0x f x a =+-恒成立，则实数a 的取值范围是__________. 【答案】(]0,4【分析】t =结合()()21gx x x =-在()1,+∞的单调性得e x≥进一步结合基本不等式得2≥a 的取值范围.【详解】由0a >，函数()2e 0xf x a =+-≥恒成立得：2e 1xa+≥t =（显然1t ≥，否则不等式自然成立），于是得到：()22e 1e 1x xa t t a⎧-=⎪⎨≥-⎪⎩ 两式相乘：()()22e 1e 1x x t t -≥-.令()()21g x x x =-，()2230g x x x '->=在()1,+∞恒成立，故()g x 在()1,+∞单调递增，则e x t ≥，从而ex≥=由0a >0x≥≥2≥，即ln 2x =时取等，则2≥04a <≤. 故答案为：(]0,4a ∈.四、解答题17．在①2sin tan a B b A =，②222c a bc b -=-.1cos A A =+这三个条件中任选一个，填在以下的横线中，并完成解答.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且__________.(1)求角A 的大小；(2)若1AB AC ⋅=，点D 满足3BD DC =，求线段AD 长的最小值. 【答案】(1)π3A =【分析】（1）选择①利用正弦定理化边为角可求答案，选择②利用余弦定理可得答案，选择③利用恒等变换可求答案；（2）利用向量的运算表示AD ，结合数量积运算和基本不等式求解. 【详解】（1）选择①：由2sin tan a B b A =得，sin 2sin sin sin cos AA B B A=⋅， 因为三角形中sin sin 0A B ≠，所以1cos 2A =，故π3A =.选择②：由222c a bc b -=-可知2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，故π3A =.选择③1cos A A =+得2cos 2cos 222A A A=，显然cos 02A ≠，cos22A A =，即tan 2A =π3A =.（2）因为1AB AC ⋅=，故2bc =. 又因为3BD DC =，则1344AD AB AC =+，于是222111(3)96444AD AB AC AB AC AB AC c =+=++⋅=由2bc =得324AD ≥3c b =，即b c ==.故线段AD . 18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()21123222121n nn a a a a n -+++⋯+=-⋅+.(1)求数列{}n a 的通项公式：(2)设n A 为为数列2n n a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，求大于2023A 的最小的整数k .【答案】(1)n a n =； (2)2k =.【分析】(1)根据题意得出当2n ≥时，()2211231222221n n n a a a a n ---+++⋯+=-⋅+，两式作差可得n a n =，验证1n =时是否成立，即可求解；(2)结合(1)得出22n n n a a n =，利用错位相减法得出222n n n A +=-，再结合202320232025222A =-<，进而求解. 【详解】（1）()21123222121n nn a a a a n -+++⋯+=-⋅+ ① 2n ∴≥时，()2211231222221n n n a a a a n ---+++⋯+=-⋅+ ②①-②得1122n n n a n --=⋅，n a n ∴=，当1n =时，11a =，满足上式， 故n a n =； （2）由（1）得：22n nn a a n =， 31231212312322222222n n n a a a a na a a a nA ∴=+++⋯+=+++⋯+ ③， 两边同乘以12得：2341112322222n n nA +=+++⋯+ ④ ③-④得：231111111111221222222212nn n n n n n A ++⎛⎫- ⎪⎝⎭=+++⋯+-=-- 111211222nn n n n +++=--=- 222n nn A +∴=-，202320232025222A ∴=-<，2k ∴=. 19．从某学校获取了容量为200的有放回简单随机样本，将所得数学和语文期末考试成绩的样本观测数据整理如下：(1)依据0.05α=的独立性检验能否认为数学成绩与语文成绩有关联？(2)从200个样本中任取3个，记这3人中语文数学成绩至少一门优秀的人数为X ，求X 的分布列与期望. 附：参考公式：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.【答案】(1)认为数学成绩与语文成绩有关联. (2)分布列见解析，95【分析】（1）计算出2χ，比较临界值可得；（2）确定X 的取值可能为0,1,2,3，求出语文数学成绩至少一门优秀的概率P ，然后由独立重复试验的概率公式计算概率得分布列，再由期望公式计算期望． 【详解】（1）根据表格计算可得：220.05200(80404040) 5.556 3.8411208012080x χ⨯⨯-⨯=≈>=⨯⨯⨯所以依据0.05α=的独立性检验，即认为数学成绩与语文成绩有关联； （2）语文数学成绩至少一门优秀的概率为80312005P =-=， 因为X 的取值可能为0,1,2,3，()()3201332832360C ,1C 512555125P X P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫======⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()23233332543272C ,3C 551255125P X P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫====== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以X 的分布列为：于是，()8365427901231251251251255E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 20．在四棱锥P ABCD -中，,1,2,CD AB AD DC CB AB AC PB ====⊥∥(1)证明：平面PAC ⊥平面PBC ；(2)若,3PB BC PB ⊥=PD 与平面PAC 所成的角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 2【分析】（1）根据已知条件及等腰梯形的性质，再利用勾股定理的逆定理及线面垂直的判定定理，结合面面垂直的判定定理即可证明；（2）解法1：由平面几何知识可知:1:2DO BO =，利用平面PAC ⊥平面PBC 的性质可求点B 到面PAC 的距离，从而可求点D 到面PAC 的距离，再根据直线与平面所成角的定义即可求解；解法2：根据（1）的结论及已知条件，建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出直线PD 的方向向量及平面PAC 的法向量，利用向量的夹角公式即可求解． 【详解】（1）在平面四边形ABCD 中， ∵,1,2CD AB AD DC CB AB ====∥， ∴四边形ABCD 是等腰梯形过点C 作CE AB ⊥于E ,因为四边形ABCD 是等腰梯形，所以13,22BE AE ==,22221312CE BC BE ⎛⎫-- ⎪⎝⎭, 222233232AC AE CE ⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以222AC BC AB +=，所以AC BC ⊥， 又,AC PB BCPB B ⊥=，BC ，PB ⊂平面PBC ，所以AC ⊥平面PBC ，又AC ⊂平面PAC ， 所以，平面PAC ⊥平面PBC .（2）解法1：连接BD 交AC 于O ，因为AC PB ⊥且BC PB ⊥，AC BC C =，AC BC ⊂，平面ABCD ，所以PB ⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，所以PB BD ⊥，由平面几何知识可知，3BD =，故6PD =， 同理可知:1:2DO BO =，由（1）知，平面PAC ⊥平面PBC ，过点B 作BH PC ⊥交PC 于点H ， 由面面垂直性质知BH ⊥面PAC ，且32BH =， 因为:1:2DO BO =，且BD 与平面PAC 相交于点O ，所以D 到平面PAC 的距离与B 到平面PAC 的距离之比也是1:2， 所以点D 到平面PAC 的距离为34， 设直线PD 与平面PAC 所成的角为θ，则324sin 86θ==，即直线PD 与平面PAC 所成的角的正弦值为28．（2）解法2：以C 为原点，,CA CB 分别为x 轴，y 轴建立空间直角坐标系， 则)()3,0,0,0,1,0AB因为AC ⊥平面,PBC PB BC ⊥，可设(3P ，则()3,0,0CA =，()3133,0,0,1,3,3222D CP DP ⎫⎛-==-⎪ ⎪ ⎝⎭⎝ 设平面PAC 的法向量为(),,n x y z =，则3030CA n x CP n y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取3y =()0,3,1n =-. 设直线PD 与平面PAC 所成的角为θ， 则33322sin |cos ,|826DP n θ-===. 即直线PD 与平面PAC 2．21．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为2，右焦点F 到其中一条渐近线的距离为3.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)过右焦点F 作直线AB 交双曲线于,A B 两点，过点A 作直线1:2l x =的垂线，垂足为M ，求证直线MB 过定点. 【答案】(1)2213y x -= (2)证明见解析【分析】（1）根据点到直线的距离公式可得3b =,,a b c 的关系即可求解，（2）联立直线与双曲线的方程得韦达定理，根据两点坐标求解直线MB 的方程，即可求解过定点. 【详解】（1）由题意，设右焦点F 的坐标为(),0c ， 双曲线C 的渐近线方程为：0bx ay ±=， 右焦点F 22bcb ca b ==+，可得3b = 又因为2222,ce a b c a==+=，解得1,2a c ==， 故双曲线C 的标准方程为2213y x -=. （2）当直线AB 的斜率不为0时，设()()1122,,,,:2AB A x y B x y l x my =+，则11,2M y ⎛⎫⎪⎝⎭联立方程组22213x my y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得223(2)3my y +-=整理得：()22311290m y my -++=.()()222Δ1243190310m m m ⎧=-⨯-⨯>⎪∴⎨-≠⎪⎩，且121222129,3131m y y y y m m +=-⋅=-- 121212493y y m m y y +∴=-=-，121234y y y y m ==-+,21121:122MB y y l y y x x -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭-，令0y =得，21121122y y y x x -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭- 221211121212113312222x my my y y x y y y y y y y y -+--∴-=-⋅=-⋅=--- ()121212121333335424444m y y y y y m x y y y y ⎛⎫--+-- ⎪⎝⎭===∴=--， ∴直线MB 过定点5,04D ⎛⎫⎪⎝⎭.当直线AB 的斜率为0时，此时直线AB :0y =，此时,M B 均在x 轴上，故直线MB 过定点5,04D ⎛⎫⎪⎝⎭.综上：直线MB 过定点5,04D ⎛⎫⎪⎝⎭.22．已知函数()()ln 1f x x x x λ=--. (1)当1x ≥时，()0f x ≥，求λ的取值范围；(2)函数()()()21g x f x x x λλ=-+-有两个不同的极值点12,x x （其中12x x <），证明：12ln 3ln 4x x +>；(3)求证：()*1111ln21232n n n n n+++⋯+<∈+++N . 【答案】(1)(],1-∞ (2)证明见解析 (3)证明见解析【分析】（1）由()10f =，利用导数研究函数单调性，转化为当1x ≥，()0f x '≥恒成立问题；（2）函数()g x 极值点12,x x ，是()g x '的两个零点，要证12ln 3ln 4x x +>，等价于证12112241ln 3x x xx x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭<+，通过换元，构造函数，利用导数研究单调性可证. （3）由（1）可知1ln x x x ->，11x n =+则有()1ln 1ln 1n n n <+-+，类似于数列求和的裂项相消法可证.【详解】（1）函数()()ln 1f x x x x λ=--，()ln 1f x x λ'=+-，且()10f =，①当1λ≤时，因为1x ≥，故()0f x '≥恒成立，此时()f x 单调递增，所以()0f x ≥成立； ②当1λ>时，令()ln 10f x x λ+'=-=，得1e x λ-=，当)11,ex λ-⎡∈⎣时()0f x '≤，此时()f x 单调递减，故()()10f x f ≤=，不满足题意； 综上可知：1λ≤. 即λ的取值范围为(],1-∞.（2）由()()()221ln g x f x x x x x x x λλλλ=-+-=-+-，故()ln 121ln 2g x x x x x λλ-='=+--，因为函数有两个不同的极值点12,x x （其中12x x <），故1122ln 2,ln 2x x x x λλ==. 要证：12ln 3ln 4x x +>，只要证：()1212124ln 3ln 2623x x x x x x λλλ<+=+=+. 因为120x x <<，于是只要证明12423x x λ>+即可.因为1122ln 2,ln 2x x x x λλ==，故1212ln ln 2x x x x λ-=-，因此只要证121212ln ln 43x x x x x x ->-+，等价于证()1212124ln 3x x x x x x -<+， 即证12112241ln 3x x xx x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭<+，令12(01)x t t x =<<，等价于证明()41ln 3t t t -<+，令()()()()()22224119116109ln (01),3(3)(3)(3)t t t t t t t t t t t t t t t t ϕϕ----+'=-<<=-==++++，因为01t <<，所以()0t ϕ'>，故()t ϕ在()0,1上单调递增，所以()()10t ϕϕ<=，得证. （3）由（1）可知当1x >时，()()ln 10f x x x x =-->，故1ln x x x->， 令11x n =+，所以111ln 111n n n n n⎛⎫+>= ⎪++⎝⎭，所以()1ln 1ln 1n n n <+-+， ()][()()][()()1111ln 1ln ln 2ln 1ln 2ln 211232n n n n n n n n n n ⎡⎤+++⋯+<+-++-+++--⎣⎦+++ln2ln ln2n n =-=， 所以1111ln21232n n n n+++⋯+<+++.【点睛】方法点睛：1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.。
专题15 复数的四则运算(解析版)
专题15 复数的四则运算一、单选题1．若复数Z 满足()·1 2z i i -=(i 是虚数部位)，则下列说法正确的是 A ．z 的虚部是-i B ．Z 是实数C ．z =D ．2z z i +=【试题来源】江苏省盐城市滨海中学2020-2021学年高三上学期迎八省联考考前热身 【答案】C【分析】首先根据题意化简得到1z i =-，再依次判断选项即可．【解析】()()()22122211112i i i i iz i i i i ++====---+-． 对选项A ，z 的虚部是1-，故A 错误． 对选项B ，1z i =-为虚数，故B 错误．对选项C ，z ==C 正确．对选项D ，112z z i i +=-++=，故D 错误．故选C 2．已知复数1z i =+（i 为虚数单位），则1z在复平面内对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】安徽省六安市示范高中2020-2021学年高三上学期教学质量检测（文） 【答案】D【分析】由复数的运算化简1z，再判断复平面内对应的点所在象限． 【解析】因为()()11111122i i z i i -==-+-，所以1z 在复平面内对应的点11 ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭在第四象限．故选D3．已知复数1z i =+（i 为虚数单位），则1z在复平面内对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】安徽省六安市示范高中2020-2021学年高三上学期教学质量检测（理）【答案】D 【分析】化简复数1z，利用复数的几何意义可得出结论． 【解析】因为()()11111112i i z i i i --===++-，所以1z在复平面内对应的点的坐标为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，在第四象限．故选D ． 4．设复数z 满足11zi z+=-，则z = A ．i B ．i - C ．1D ．1i +【试题来源】山东省威海市2020-2021学年高三上学期期末 【答案】B【分析】利用除法法则求出z ，再求出其共轭复数即可【解析】11zi z+=-得()11z i z +=-，即()()()()111111i i i z i i i i ---===++-，z i =-，故选B. 5．(1)(4)i i -+= A ．35i + B ．35i - C ．53i +D ．53i -【试题来源】安徽省皖西南联盟2020-2021学年高三上学期期末（文） 【答案】D【分析】根据复数的乘法公式，计算结果．【解析】2(1)(4)4453i i i i i i -+=-+-=-．故选D 6．设复数z 满足()11z i i -=+，则z 的虚部为． A ．1- B ．1 C ．iD ．i -【试题来源】安徽省芜湖市2020-2021学年高三上学期期末（文） 【答案】B【分析】利用复数的除法化简复数z ，由此可得出复数z 的虚部．【解析】()11z i i -=+，()()()211111i iz i i i i ++∴===--+， 因此，复数z 的虚部为1．故选B ． 7．若复数z 满足21zi i=+，则z = A ．22i + B ．22i - C ．22i --D ．22i -+【试题来源】安徽省芜湖市2020-2021学年高三上学期期末（理） 【答案】C【分析】求出()2122z i i i =+=-+，再求解z 即可． 【解析】()2122z i i i =+=-+，故22z i =--，故选C. 8．将下列各式的运算结果在复平面中表示，在第四象限的为A ．1ii + B ．1ii +- C ．1i i-D ．1i i--【试题来源】河南省湘豫名校2020-2021学年高三上学期1月月考（文） 【答案】A【分析】对A 、B 、C 、D 四个选项分别化简，可得． 【解析】由11ii i+=-在第四象限．故选A ． 【名师点睛】（1）复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根； （2）复数除法实际上是分母实数化的过程．9．若复数z 满足()z 1i i +=- (其中i 为虚数单位)则复数z 的虚部为A ．12-B ．12C ．12i -D ．12i【试题来源】安徽省马鞍山市2020-2021学年高三上学期第一次教学质量监测（文） 【答案】A【分析】先由已知条件利用复数的除法运算求出复数z ，再求其虚部即可． 【解析】由()z 1i i +=-可得()()()111111222i i i z i i i ----===--+-，所以复数z 的虚部为12-，故选A 10．复数z 满足()212()z i i -⋅+=（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】宁夏吴忠市2021届高三一轮联考（文） 【答案】D【分析】先计算复数221z i i=++，再求其共轭复数，即可求出共轭复数对应的点，进而可得在复平面内对应的点所在的象限． 【解析】由()()212z i i -⋅+=得()()()()21212211112i i z i i i i i ---====-++-， 所以1z i =+，1z i =-．所以复数z 在复平面内对应的点为()1,1-， 位于第四象限，故选D ．11．已知复数z 满足(2)z i i -=(i 为虚数单位)，则z = A ．125i-+ B ．125i-- C ．125i- D ．125i+ 【试题来源】安徽省名校2020-2021学年高三上学期期末联考（文） 【答案】A【分析】由已知可得2iz i=-，再根据复数的除法运算可得答案． 【解析】因为(2)z i i -=，所以()()()2122225i i i i z i i i +-+===--+．故选A ． 12．已知复数3iz i-=，则z =A ．4 BCD ．2【试题来源】江西省吉安市“省重点中学五校协作体”2021届高三第一次联考（文） 【答案】B【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解． 【解析】因为()()()3331131i i i i z i i i i -⋅----====--⋅-，所以z ==B ．【名师点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题． 13．复数z 满足：()11i z i -=+，其中i 为虚数单位，则z 的共轭复数在复平面对应的点的坐标为 A ．0,1 B ．0,1 C ．1,0D ．()1,0【试题来源】江西宜春市2021届高三上学期数学（理）期末试题 【答案】A【分析】先由()11i z i -=+求出复数z ，从而可求出其共轭复数，进而可得答案【解析】由()11i z i -=+，得21i (1i)2ii 1i (1i)(1+i)2z ++====--， 所以z i =-，所以其在复平面对应的点为0,1，故选A 14．已知复数312iz i+=-，则z =A ．1 BCD ．2【试题来源】湖南省岳阳市平江县第一中学2020-2021学年高二上学期1月阶段性检测 【答案】B【分析】利用复数的除法法则化简复数z ，利用复数的模长公式可求得z ．【解析】()()()()2312337217121212555i i i i i z i i i i +++++====+--+，因此，z ==B ． 15．设复1iz i=+（其中i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期期末 【答案】A【分析】利用复数的除法化简复数z ，利用复数的几何意义可得出结论． 【解析】()()()1111111222i i i i z i i i i -+====+++-，因此，复数z 在复平面内对应的点位于第一象限．故选A ．16．已知(1)35z i i +=-，则z = A ．14i - B ．14i -- C ．14i -+D ．14i +【试题来源】江苏省盐城市一中、大丰高级中学等四校2020-2021学年高二上学期期末联考 【答案】B【分析】由复数的除法求解．【解析】由题意235(35)(1)3355141(1)(1)2i i i i i i z i i i i -----+====--++-．故选B 17．复数(2)i i +的实部为 A ．1- B ．1 C ．2-D ．2【试题来源】浙江省绍兴市上虞区2020-2021学年高三上学期期末 【答案】A【分析】将(2)i i +化简即可求解．【解析】(2)12i i i +=-+的实部为1-，故选A ．18．已知i 是虚数单位，(1)2z i i +=，则复数z 所对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】山东省德州市2019-2020学年高一下学期期末 【答案】D【分析】利用复数的运算法则求解复数z ，再利用共轭复数的性质求z ，进而确定z 所对应的点的位置．【解析】由(1)2z i i +=，得()()()()2121211112i i i i z i i i i -+====+++-， 所以1z i =-，所以复数z 所对应的点为()1,1-，在第四象限，故选D ．【名师点睛】对于复数的乘法，类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可；对于复数的除法，关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式． 19．若复数2iz i=+，其中i 为虚数单位，则z =A B C ．25D ．15【试题来源】重庆市南开中学2020-2021学年高二上学期期末 【答案】B【分析】先利用复数的除法运算法则化简复数2iz i=+，再利用复数模的公式求解即可． 【解析】因为()()()21212222555i i i i z i i i i -+====+++-，所以z ==，故选B ． 20．52i i-= A ．152i--B ．52i-- C ．152i- D ．152i+ 【试题来源】江西省吉安市2021届高三上学期期末（文） 【答案】A【分析】根据复数的除法的运算法则，准确运算，即可求解． 【解析】由复数的运算法则，可得()5515222i i i ii i i ----==⨯．故选A ．21．设复数z 满足()1z i i R +-∈，则z 的虚部为 A ．1 B ．-1 C ．iD ．i -【试题来源】湖北省2020-2021学年高三上学期高考模拟演练 【答案】B【分析】根据复数的运算，化简得到()11(1)z i i a b i +-=+++，根据题意，求得1b =-，即可求得z 的虚部，得到答案．【解析】设复数,(,)z a bi a b R =+∈，则()11(1)z i i a b i +-=+++，因为()1z i i R +-∈，可得10b +=，解得1b =-，所以复数z 的虚部为1-．故选B ． 22．若复数151iz i-+=+，其中i 为虚数单位，则z 的虚部是 A ．3 B ．3- C ．2D ．2-【试题来源】安徽省淮南市2020-2021学年高三上学期第一次模拟（文） 【答案】A【分析】先利用复数的除法运算，化简复数z ，再利用复数的概念求解．【解析】因为复数()()()()1511523111i i i z i i i i -+--+===+++-， 所以z 的虚部是3，故选A. 23．若m n R ∈、且4334im ni i+=+-（其中i 为虚数单位），则m n -= A ．125- B ．1- C ．1D ．0【试题来源】湖北省部分重点中学2020-2021学年高三上学期期末联考 【答案】B【分析】对已知进行化简，根据复数相等可得答案．【解析】因为()()()()433443121225343434916i i i ii m ni i i i +++-+====+--++， 根据复数相等，所以0,1m n ==，所以011m n -=-=-．故选B ．24．若复数z满足()36z =-（i 是虚数单位），则复数z =A．32-B．32- C．322+D．322-- 【试题来源】湖北省荆州中学2020-2021学年高二上学期期末 【答案】A【分析】由()36z =-，得z =，利用复数除法运算法则即可得到结果．【解析】复数z满足()36z +=-，6332z --=====-∴+，故选A ．25．若复数2i()2i+=∈-R a z a 是纯虚数，则z = A ．2i - B ．2i C ．i -D ．i【试题来源】河南省驻马店市2020-2021学年高三上学期期末考试（理） 【答案】D【分析】由复数的除法运算和复数的分类可得结果． 【解析】因为2i (2i)(2i)22(4)i2i (2i)(2i)5+++-++===-+-a a a a z 是纯虚数， 所以22040a a -=⎧⎨+≠⎩，则1a =，i =z ．故选D ．26．复数12z i =+，213z i =-，其中i 为虚数单位，则12z z z =⋅在复平面内的对应点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】江苏省G4（苏州中学、常州中学、盐城中学、扬州中学）2020-2021学年高三上学期期末联考 【答案】D【分析】根据复数的乘法法则，求得55z i =-，即可求得答案． 【解析】由题意得122(2)(13)25355i i i i i z z z =+-=-==--⋅， 所以12z z z =⋅在复平面内的对应点为（5，-5）位于第四象限，故选D27．复数2()2+∈-R a ia i 的虚部为 A ．225+aB ．45a - C ．225a -D ．45a +【试题来源】河南省驻马店市2020-2021学年高三上学期期末考试（文） 【答案】D【分析】由得数除法运算化为代数形式后可得． 【解析】因为2i (2i)(2i)22(4)i 2i (2i)(2i)5+++-++==-+-a a a a ，所以其虚部为45a +．故选D ． 28．复数z 满足()12z i i ⋅+=，则2z i -=ABCD ．2【试题来源】安徽省蚌埠市2020-2021学年高三上学期第二次教学质量检查（文） 【答案】A【分析】先利用除法化简计算z ，然后代入模长公式计算．【解析】()1i 2i z ⋅+=变形得22222221112-+====++-i i i i z i i i ，所以2121-=+-=-==z i i i i A ．29．i 是虚数单位，若()17,2ia bi ab R i-=+∈+，则ab 的值是 A ．15- B ．3- C ．3D ．15【试题来源】山东省菏泽市2020-2021学年高三上学期期末 【答案】C【分析】根据复数除法法则化简得数后，由复数相等的定义得出,a b ，即可得结论．【解析】17(17)(2)2147132(2)(2)5i i i i i i i i i ------===--++-， 所以1,3a b =-=-，3ab =．故选C ． 30．复数3121iz i -=+的虚部为 A ．12i -B ．12i C ．12-D ．12【试题来源】江西省赣州市2021届高三上学期期末考试（理） 【答案】C【分析】由复数的乘除法运算法则化简为代数形式，然后可得虚部．【解析】231212(12)(1)1223111(1)(1)222i i i i i i i z i i i i i ---++--=====-+--+， 虚部为12-．故选C ． 31．若复数z 满足(1)2i z i -=，i 是虚数单位，则z z ⋅=AB ．2C ．12D ．2【试题来源】内蒙古赤峰市2021届高三模拟考试（理） 【答案】B【分析】由除法法则求出z ，再由乘法法则计算．【解析】由题意222(1)2()11(1)(1)2i i i i i z i i i i ++====-+--+， 所以(1)(1)2z z i i ⋅=-+--=．故选B ． 32．若23z z i +=-，则||z =A ．1 BCD ．2【试题来源】河南省（天一）大联考2020-2021学年高三上学期期末考试（理） 【答案】B【分析】设(,)z a bi a b R =+∈，代入已知等式求得,a b 后再由得数的模的定义计算． 【解析】设(,)z a bi a b R =+∈，则22()33z z a bi a bi a bi i +=++-=-=-，所以以331a b =⎧⎨-=-⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩，所以==z B ．33．复数z 满足(2)(1)2z i i -⋅+=（i 为虚数单位），则z = A ．1 B ．2CD 【试题来源】宁夏吴忠市2021届高三一轮联考（理） 【答案】C【分析】先将复数化成z a bi =+形式，再求模． 【解析】由(2)(1)2z i i -⋅+=得2211z i i i-==-+，所以1z i =+，z ==C ．34．已知a R ∈，若()()224ai a i i +-=-（i 为虚数单位），则a = A ．-1 B ．0 C ．1D ．2【试题来源】浙江省杭州市2020-2021学年高三上学期期末教学质量检测 【答案】B【分析】将()()22ai a i +-展开可得答案．【解析】()()()222444ai a i a a i i +-=+-=-，所以0a =，故选B.35．已知i 为虚数单位，且复数3412ii z+=-，则复数z 的共轭复数为 A ．12i -+ B ．12i -- C ．12i +D ．1 2i -【试题来源】湖北省孝感市应城市第一高级中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】D【分析】根据复数模的计算公式，以及复数的除法运算，求出z ，即可得出其共轭复数． 【解析】因为3412i i z+=-，所以512z i =-，则()()()512512121212i z i i i i +===+--+， 因此复数z 的共轭复数为1 2i -．故选D ． 36．已知复数i()1ia z a +=∈+R 是纯虚数，则z 的值为 A ．1 B ．2 C ．12D ．-1【试题来源】江西省赣州市2021届高三上学期期末考试（文） 【答案】A【分析】根据复数除法运算化简z ，根据纯虚数定义求得a ，再求模长． 【解析】()()()()11121122a i i a i a a z i i i i +-++-===+++-是纯虚数，102102a a +⎧=⎪⎪∴⎨-⎪≠⎪⎩，解得1a =-，所以z i ，1z =．故选A ． 37．设复数11iz i，那么在复平面内复数31z -对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】陕西省咸阳市2020-2021学年高三上学期高考模拟检测（一）（理） 【答案】C【分析】利用复数的除法法则化简复数z ，再将复数31z -化为一般形式，即可得出结论．【解析】()()()21121112i ii z i i i i ---====-++-，3113z i ∴-=--， 因此，复数31z -在复平面内对应的点位于第三象限．故选C ． 38．已知复数13iz i-=+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】江西省南昌市新建区第一中学2020-2021学年高二上学期期末考试（理） 【答案】D【分析】将复数化简成z a bi =+形式，则在复平面内对应的点的坐标为(),a b ，从而得到答案．【解析】因为1(1)(3)24123(3)(3)1055i i i i z i i i i ----====-++-， 所以z 在复平面内对应的点12(,)55-位于第四象限，故选D.39．若复数2(1)34i z i+=+，则z =A ．45 B ．35C ．25D 【试题来源】成都市蓉城名校联盟2020-2021学年高三上学期（2018级）第二次联考 【答案】C 【分析】先求出8625iz -=，再求出||z 得解． 【解析】由题得()()()()212342863434343425i i i i iz i i i i +-+====+++-，所以102255z ===．故选C. 40．设复数11iz i，那么在复平面内复数1z -对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】陕西省咸阳市2020-2021学年高三上学期高考模拟检测（一）（文） 【答案】C【分析】先求出z i =-，11z i -=--，即得解．【解析】由题得21(1)21(1)(1)2i i iz i i i i ---====-++-， 所以11z i -=--，它对应的点的坐标为(1,1)--， 所以在复平面内复数1z -对应的点位于第三象限．故选C. 二、多选题1．已知m ∈R ，若6()64m mi i +=-，则m =A ．B ．1-CD ．1【试题来源】2021年高考一轮数学（理）单元复习一遍过 【答案】AC【分析】将6()m mi +直接展开运算即可．【解析】因为()()66661864m mi m i im i +=+=-=-，所以68m =，所以m =故选AC ． 2．设复数z 满足1z i z+=，则下列说法错误的是 A ．z 为纯虚数B ．z 的虚部为12i -C ．在复平面内，z 对应的点位于第三象限D ．2z = 【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练 【答案】AB【分析】先由复数除法运算可得1122z i =--，再逐一分析选项，即可得答案． 【解析】由题意得1z zi +=，即111122z i i -==---， 所以z 不是纯虚数，故A 错误；复数z 的虚部为12-，故B 错误；在复平面内，z 对应的点为11(,)22--，在第三象限，故C 正确；2z ==，故D 正确．故选AB 【名师点睛】本题考查复数的除法运算，纯虚数、虚部的概念，复平面内点所在象限、复数求模的运算等知识，考查计算求值的能力，属基础题．3．已知复数122z =-，则下列结论正确的有 A ．1z z ⋅=B ．2z z =C ．31z =-D ．202012z =-+ 【试题来源】山东新高考质量测评联盟2020-2021学年高三上学期10月联考 【答案】ACD【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质．【解析】因为111312244z z ⎛⎫⎛⎫-+=+= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎭=⎝⋅，所以A 正确；因为221122z ⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭=，122z =+，所以2z z ≠，所以B 错误；因为3211122z z z ⎛⎫⎛⎫=⋅=-=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 正确；因为6331z z z =⋅=，所以()202063364431112222zzz z z ⨯+⎛⎫===⋅=-⋅-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以D 正确，故选ACD ．【名师点睛】本题考查复数乘法与乘方的计算，其中还涉及到了共轭复数的计算，难度较易． 4．下面是关于复数21iz =-+的四个命题，其中真命题是A ．||z =B ．22z i =C ．z 的共轭复数为1i -+D ．z 的虚部为1-【试题来源】福建省龙海市第二中学2019-2020学年高二下学期期末考试 【答案】ABCD【分析】先根据复数的除法运算计算出z ，再依次判断各选项． 【解析】()()()2121111i z i i i i --===---+-+--，z ∴==，故A 正确；()2212z i i =--=，故B 正确；z 的共轭复数为1i -+，故C 正确；z 的虚部为1-，故D 正确；故选ABCD ．【名师点睛】本题考查复数的除法运算，以及对复数概念的理解，属于基础题． 5．若复数351iz i-=-，则A ．z =B ．z 的实部与虚部之差为3C ．4z i =+D ．z 在复平面内对应的点位于第四象限 【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练 【答案】AD【分析】根据复数的运算先求出复数z ，再根据定义、模、几何意义即可求出． 【解析】()()()()351358241112i i i iz i i i i -+--====---+，z ∴==，z 的实部为4，虚部为1-，则相差5，z 对应的坐标为()41-,，故z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以AD 正确，故选AD ．6．已知复数202011i z i+=-(i 为虚数单位)，则下列说法错误的是A ．z 的实部为2B ．z 的虚部为1C ．z i =D ．||z =【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练 【答案】AC【分析】根据复数的运算及复数的概念即可求解．【解析】因为复数2020450511()22(1)11112i i i z i i i i +++=====+---，所以z 的虚部为1，||z =，故AC 错误，BD 正确．故选AC. 7．已知复数cos sin 22z i ππθθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位）下列说法正确的是A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．z 可能为实数C ．1z =D ．1z的虚部为sin θ 【试题来源】湖北省六校（恩施高中、郧阳中学、沙市中学、十堰一中、随州二中、襄阳三中）2020-2021学年高三上学期11月联考 【答案】BC【分析】分02θπ-<<、0θ=、02πθ<<三种情况讨论，可判断AB 选项的正误；利用复数的模长公式可判断C 选项的正误；化简复数1z，利用复数的概念可判断D 选项的正误．【解析】对于AB 选项，当02θπ-<<时，cos 0θ>，sin 0θ<，此时复数z 在复平面内的点在第四象限；当0θ=时，1z R =-∈； 当02πθ<<时，cos 0θ>，sin 0θ>，此时复数z 在复平面内的点在第一象限．A 选项错误，B 选项正确； 对于C 选项，22cos sin 1z θθ=+=，C 选项正确；对于D 选项，()()11cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin i i z i i i θθθθθθθθθθ-===-++⋅-， 所以，复数1z的虚部为sin θ-，D 选项错误．故选BC ． 8．已知非零复数1z ，2z 满足12z z R ∈，则下列判断一定正确的是 A ．12z z R +∈B ．12z z R ∈C ．12z R z ∈D ．12z R z ∈【试题来源】重庆市南开中学2020-2021学年高二上学期期中 【答案】BD【分析】设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈，结合选项逐个计算、判定，即可求解． 【解析】设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈，则()()12()()z z a bi c di ac bd ad bc i =++=-++，则0ad bc +=，对于A 中，12()()z z a bi c di a c b d i +=+++=+++，则12z z R +∈不一定成立，所以不正确；对于B 中，12()()ac bd ad bc z R i z =-+∈-一定成立，所以B 正确； 对于C 中，()()()()2122()()a bi c di a bi ac bd ad bc i R c di c di c z di z c d+-++--==∈++-+=不一定成立，所以不正确；对于D 中，()()()()2122()()a bi c di a bi ac bd ad bc iR c di c di c z di z c d ++++++==∈--++=一定成立，所以正确．故选BD ．9．已知复数()()()32=-+∈z a i i a R 的实部为1-，则下列说法正确的是 A ．复数z 的虚部为5- B ．复数z 的共轭复数15=-z i C．z =D ．z 在复平面内对应的点位于第三象限【试题来源】辽宁省六校2020-2021学年高三上学期期中联考 【答案】ACD【分析】首先化简复数z ，根据实部为-1，求a ，再根据复数的概念，判断选项． 【解析】()()()()23232323223z a i i a ai i i a a i =-+=+--=++-，因为复数的实部是-1，所以321a +=-，解得1a =-， 所以15z i =--，A ．复数z 的虚部是-5，正确；B ．复数z 的共轭复数15z i =-+，不正确；C ．z ==D ．z 在复平面内对应的点是()1,5--，位于第三象限，正确．故选ACD 10．已知复数cos sin 22z i ππθθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位），下列说法正确的是（） A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限 B ．cos z θ=C ．1z z ⋅=D ．1z z+为实数 【试题来源】山东省菏泽市2021届第一学期高三期中考试数学（B ）试题 【答案】CD【分析】利用复数对应点，结合三角函数值的范围判断A ；复数的模判断B ；复数的乘法判断C ；复数的解法与除法，判断D ． 【解析】复数cos sin ()22z i ππθθθ=+-<<（其中i 为虚数单位），复数z 在复平面上对应的点(cos ,sin )θθ不可能落在第二象限，所以A 不正确；1z ==，所以B 不正确；22·(cos sin )(cos sin )cos sin 1z z i i θθθθθθ=+-=+=．所以C 正确；11cos sin cos sin cos()sin()2cos cos sin z i i i z i θθθθθθθθθ+=++=++-+-=+为实数，所以D 正确；故选CD11．已知i 为虚数单位，下面四个命题中是真命题的是 A ．342i i +>+B ．24(2)()a a i a R -++∈为纯虚数的充要条件为2a =C ．()2(1)12z i i =++的共轭复数对应的点为第三象限内的点D ．12i z i +=+的虚部为15i 【试题来源】2020-2021年新高考高中数学一轮复习对点练 【答案】BC【分析】根据复数的相关概念可判断A ，B 是否正确，将()2(1)12z i i =++展开化简可判断C 选项是否正确；利用复数的除法法则化简12iz i+=+，判断D 选项是否正确． 【解析】对于A ，因为虚数不能比较大小，故A 错误；对于B ，若()242a a i ++-为纯虚数，则24020a a ⎧-=⎨+≠⎩，解得2a =，故B 正确；对于C ，()()()211221242z i i i i i =++=+=-+，所以42z i =--对应的点为()4,2--位于第三象限内，故C 正确；对于D ，()()()()12132225i i i i z i i i +-++===++-，虚部为15，故D 错误．故选BC ． 12．已知复数(12)5z i i +=，则下列结论正确的是A ．|z |B ．复数z 在复平面内对应的点在第二象限C ．2z i =-+D ．234z i =+【试题来源】河北省邯郸市2021届高三上学期期末质量检测【答案】AD【分析】利用复数的四则运算可得2z i =+，再由复数的几何意义以及复数模的运算即可求解．【解析】5512122121212()()()()i i i z i i i i i i -===-=+++-，22,||34z i z z i =-==+ 复数z 在复平面内对应的点在第一象限，故AD 正确．故选AD13．已知i 是虚数单位，复数12i z i -=(z 的共轭复数为z )，则下列说法中正确的是 A ．z 的虚部为1B ．3z z ⋅=C ．z =D ．4z z +=【试题来源】山东省山东师大附中2019-2020学年高一下学期5月月考【答案】AC 【分析】利用复数的乘法运算求出122i z i i-==--，再根据复数的概念、复数的运算以及复数模的求法即可求解． 【解析】()()()12122i i i z i i i i ---===---，所以2z i =-+， 对于A ，z 的虚部为1，故A 正确；对于B ，()2225z z i ⋅=--=，故B 不正确；对于C ，z =C 正确；对于D ，4z z +=-，故D 不正确．故选AC14．早在古巴比伦时期，人们就会解一元二次方程．16世纪上半叶，数学家得到了一元三次、一元四次方程的解法．此后数学家发现一元n 次方程有n 个复数根（重根按重数计）．下列选项中属于方程310z -=的根的是A．12 B．12-+ C．122-- D ．1【试题来源】江苏省苏州市2020-2021学年高二上学期1月学业质量阳光指标调研【答案】BCD【分析】逐项代入验证是否满足310z -=即可．【解析】对A，当122z =+时， 31z -31122i ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎭=⎝21112222⎛⎫⎛⎫+⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=21121344i ⎛⎫=++⋅ ⎪⎛⎫+- ⎪ ⎝ ⎭⎭⎪⎪⎝12112⎛⎫=-+⋅⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭2114⎫=-+-⎪⎪⎝⎭ 13144=--- 2=-，故3120z -=-≠，A 错误； 对B，当12z =-时，31z -3112⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭=211122⎛⎫⎛⎫-⋅-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=2113124242i ⎛⎫=-+⋅ ⎪ ⎪⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1221122⎛⎫-⎛⎫=--⋅ ⎪+ - ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭21142⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ 13144=+- 0=，故310z -=，B 正确； 对C，当12z =-时，31z-31122⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭=21112222⎛⎫⎛⎫--⋅--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=21131442i ⎛⎫=++⋅ ⎪ ⎪⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12112⎛⎫-⎛⎫=-+⋅ ⎪- - ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭2114⎫=--⎪⎪⎝⎭13144=+-0=，故310z -=，C 正确； 对D ，显然1z =时，满足31z =，故D 正确．故选BCD ．15．已知复数()()122z i i =+-，z 为z 的共轭复数，则下列结论正确的是A ．z 的虚部为3iB ．5z =C ．4z -为纯虚数D ．z 在复平面上对应的点在第四象限【试题来源】湖南师范大学附属中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】BCD【分析】先根据复数的乘法运算计算出z ，然后进行逐项判断即可．【解析】因为()()12243z i i i =+-=+，则z 的虚部为3，5z z ===，43z i -=为纯虚数，z 对应的点()4,3-在第四象限，故选BCD ．三、填空题1．已知复数z 满足(1)1z i i ⋅-=+(i 为虚数单位)，则z =_________．【试题来源】上海市松江区2021届高三上学期期末（一模）【答案】1【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【解析】由(1)1z i i ⋅-=+，得21(1)1(1)(1)i i z i i i i ++===--+，所以1z =．故答案为1． 2．i 是虚数单位，复数1312i i-+=+_________． 【试题来源】天津市七校2020-2021学年高三上学期期末联考【答案】1i +【分析】分子分母同时乘以分母的共轭复数12i -，再利用乘法运算法则计算即可． 【解析】()()()()22131213156551121212145i i i i i i i i i i i -+--+-+-+====+++--．故答案为1i +． 3．若复数z 满足方程240z +=，则z =_________．【试题来源】上海市复旦大学附属中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】2i ±【分析】首先设z a bi =+，再计算2z ，根据实部和虚部的数值，列式求复数．．【解析】设z a bi =+，则22224z a b abi =-+=-，则2240a b ab ⎧-=-⎨=⎩，解得02a b =⎧⎨=±⎩，所以2z i =±，故答案为2i ±. 4．复数21i-的虚部为_________． 【试题来源】上海市上海交通大学附属中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】1【分析】根据分母实数化，将分子分母同乘以分母的共轭复数1i +，然后即可判断出复数的虚部． 【解析】因为()()()2121111i i i i i +==+--+，所以复数的虚部为1，故答案为1． 5．若复数z 满足(12)1i z i +=-，则复数z 的虚部为_________．【试题来源】山东省山东师大附中2019-2020学年高一下学期5月月考 【答案】35【分析】根据复数的除法运算法则，求出z ，即可得出结果．【解析】因为(12)1i z i +=-，所以()()()()112113213121212555i i i i z i i i i -----====--++-， 因此其虚部为35．故答案为35． 6．复数34i i+=_________． 【试题来源】北京市东城区2021届高三上学期期末考试【答案】43i -【分析】分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理后得到最简形式即可． 【解析】由复数除法运算法则可得， ()343434431i i i i i i i i +⋅+-===-⋅-，故答案为43i -． 7．已知复数(1)z i i =⋅+，则||z =_________．【试题来源】北京市西城区2020-2021学年高二上学期期末考试【分析】根据复数的运算法则，化简复数为1z i =-+，进而求得复数的模，得到答案．【解析】由题意，复数(1)1z i i i =⋅+=-+，所以z == 8．i 是虚数单位，复数73i i-=+_________． 【试题来源】宁夏银川一中2020-2021学年高二上学期期末考试（文）【答案】2i -【分析】根据复数除法运算法则直接计算即可． 【解析】()()()()27372110233310i i i i i i i i i ----+===-++-．故答案为2i -． 9．设复数z 的共轭复数是z ，若复数143i z i -+=，2z t i =+，且12z z ⋅为实数，则实数t 的值为_________．【试题来源】宁夏银川一中2020-2021学年高二上学期期末考试（理） 【答案】34【分析】先求出12,z z ，再计算12z z ⋅即得解． 【解析】由题得14334i z i i-+==+，2z t i =-， 所以12(34)()34(43)z z i t i t t i ⋅=+-=++-为实数， 所以3430,4t t -=∴=．故答案为34【名师点睛】复数(,)a bi a b R +∈等价于0b =，不需要限制a ．10．函数()n nf x i i -=⋅（n N ∈，i 是虚数单位）的值域可用集合表示为_________． 【试题来源】上海市上海中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】{}1【分析】根据复数的运算性质可函数的值域．【解析】()()1111nn n n n n n n f x i i i i i i i i --⎛⎫=⋅⋅⋅⋅= ⎪⎝=⎭==，故答案为{}1． 11．已知()20212i z i +=（i 为虚数单位），则z =_________．【试题来源】河南省豫南九校2021届高三11月联考教学指导卷二（理）【分析】由i n 的周期性，计算出2021i i =，再求出z ，求出z ．【解析】因为41i =，所以2021i i =，所以i 12i 2i 55z ==++，所以z z == 【名师点睛】复数的计算常见题型：（1） 复数的四则运算直接利用四则运算法则；（2） 求共轭复数是实部不变，虚部相反；（3） 复数的模的计算直接根据模的定义即可．12．若31z i =-（i 为虚数单位），则z 的虚部为_________． 【试题来源】江西省上饶市2021届高三第一次高考模拟考试（文） 【答案】32-【分析】利用复数的除法化简复数z ，由此可得出复数z 的虚部． 【解析】()()()313333111122i z i i i i i +==-=-=-----+，因此，复数z 的虚部为32-． 故答案为32-． 13．设i 为虚数单位，若复数z 满足()21z i -⋅=，则z =_________． 【试题来源】江西省上饶市2020-2021学年高二上学期期末（文）【答案】2i +【分析】利用复数的四则运算可求得z ，利用共轭复数的定义可求得复数z ．【解析】()21z i -⋅=，122z i i ∴=+=-，因此，2z i =+．故答案为2i +． 14．已知i 是虚数单位，则11i i+=-_________． 【试题来源】湖北省宜昌市2020-2021学年高三上学期2月联考【答案】1【分析】利用复数的除法法则化简复数11i i +-，利用复数的模长公式可求得结果． 【解析】()()()21121112i i i i i i i ++===--+，因此，111i i i +==-．故答案为1． 15．i 是虚数单位，复数103i i=+____________． 【试题来源】天津市南开中学2020-2021学年高三上学期第四次月考【答案】13i +【分析】根据复数的除法运算算出答案即可．【解析】()()()()10310313333i i i i i i i i i -==-=+++-，故答案为13i +. 16．在复平面内，复数()z i a i =+对应的点在直线0x y +=上，则实数a =_________．【试题来源】北京市丰台区2021届高三上学期期末练习【答案】1【分析】由复数的运算法则和复数的几何意义直接计算即可得解．【解析】2()1z i a i ai i ai =+=+=-+，其在复平面内对应点的坐标为()1,a -， 由题意有：10a -+=，则1a =．故答案为1．17．已知复数z 满足()1234i z i +=+（i 为虚数单位），则复数z 的模为_________．【试题来源】江苏省苏州市2020-2021学年高二上学期1月学业质量阳光指标调研【分析】求出z 后可得复数z 的模．【解析】()()3412341121255i i i i z i +-+-===+，5z == 18．复数1i i-(i 是虚数单位)的虚部是_________． 【试题来源】北京通州区2021届高三上学期数学摸底（期末）考试【答案】1-【分析】先化简复数得1i 1i i-=--，进而得虚部是1-【解析】因为()()221i i 1i i i 1i i i--==--=--， 所以复数1i i-(i 是虚数单位)的虚部是1-．故答案为1-. 19．已知i 是虚数单位，复数11z i i =+-，则z =_________． 【试题来源】山东省青岛市2020-2021学年高三上学期期末【答案】2【分析】根据复数的除法运算，化简复数为1122z i =-+，再结合复数模的计算公式，即可求解． 【解析】由题意，复数()()111111122i z i i i i i i --=+=+=-+----，所以2z ==．故答案为2． 20．计算12z ==_______． 【试题来源】2021年高考一轮数学（理）单元复习一遍过【答案】-511【分析】利用复数的运算公式，化简求值．【解析】原式1212369100121511()i ==+=-+=--． 【名师点睛】本题考查复数的n次幂的运算，注意31122⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭，()212i i +=， 以及()()612211i i ⎡⎤+=+⎣⎦，等公式化简求值． 四、双空题1．设32i i 1ia b =++(其中i 为虚数单位，a ，b ∈R )，则a =_________，b =_________． 【试题来源】浙江省绍兴市嵊州市2020-2021学年高三上学期期末【答案】1- 1- 【分析】利用复数的除法运算化简32i 1i 1i=--+，利用复数相等的定义得到a ，b 的值，即得解． 【解析】322(1)2211(1)(1)2i i i i i a bi i i i ----===--=+++-，1,1a b ∴=-=-. 故答案为－1；－1.2．已知k ∈Z ， i 为虚数单位，复数z 满足：21k i z i =-，则当k 为奇数时，z =_________；当k ∈Z 时，|z +1+i |=_________．【试题来源】2020-2021学年【补习教材寒假作业】高二数学（苏教版）【答案】1i -+ 2【分析】由复数的运算及模的定义即可得解．【解析】当k 为奇数时，()()2211k k k i i ==-=-， 所以1z i -=-即1z i =-+，122z i i ++==； 当k 为偶数时，()()2211k k k i i ==-=，所以1z i =-，122z i ++==；所以12z i ++=．故答案为1i -+；2．3．若复数()211z m m i =-++为纯虚数，则实数m =_________，11z=+_________． 【试题来源】浙江省金华市义乌市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试【答案】1 1255i - 【分析】由题可得21010m m ⎧-=⎨+≠⎩，即可求出m ，再由复数的除法运算即可求出．【解析】复数()211z m m i =-++为纯虚数，21010m m ⎧-=∴⎨+≠⎩，解得1m =，。
2019-2020学年浙江省绍兴市上虞中学高三数学理模拟试题
2019-2020学年浙江省绍兴市上虞中学高三数学理模拟试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下表：根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为=10.5x+a，则a的值等于( )A．1 B．1.5 C．2 D．2.5参考答案：B考点：线性回归方程．专题：计算题；概率与统计．分析：求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于a的方程，解方程求出a．解答：解：∵==5，==54∴这组数据的样本中心点是（5，54）把样本中心点代入回归直线方程=10.5x+a，∴54=10.5×5+a，∴a=1.5，故选：B．点评：本题考查线性回归方程，解题的关键是线性回归直线一定过样本中心点，这是求解线性回归方程的步骤之一．2. 从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如右图）。
由图中数据可知身高在[120，130]内的学生人数为A．20 B．25 C．30 D．35参考答案：C3. 椭圆的一个焦点坐标为，则实数m=（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】将椭圆的方程化为标准方程，结合该椭圆的焦点坐标得出关于实数的方程，解出即可. 【详解】椭圆的标准方程为，由于该椭圆的一个焦点坐标为，则，解得.故选：D.【点睛】本题考查利用椭圆的焦点坐标求参数，解题时要将椭圆方程化为标准方程，同时要注意确定椭圆的焦点位置，考查运算求解能力，属于基础题.4. 正四棱锥V—ABCD的五个顶点在同一个球面上，若其底面边长为4，侧棱长为，则AB两点的球面距为（）A．B．C．D．参考答案：B5. 函数y＝sin(2x＋)图象的对称轴方程可能是()A．x＝－B．x＝－C．x＝D．x＝参考答案：D6.已知定义在R上的函数满足：对任意都有，则的一个周期为A．4 B．5 C．6 D． 7参考答案：答案:C7. 已知向量a=（2,1），b=（-1，k），a·（2a-b）=0，则k=（）A. -12B. -6C. 6D. 12参考答案：D略8. △各角的对应边分别为，满足，则角的范围是A．B．C．D．参考答案：由得：，化简得：，同除以得，，即，所以，故选．9. 过双曲线的右支上一点P，分别向圆和圆作切线，切点分别为M，N，则的最小值为（）A. 10 B. 13 C. 16 D. 19参考答案：B试题分析：由题可知，，因此，故选B．考点：圆锥曲线综合题．10. 对于非零向量a、b，“a＋b＝0”是“a∥b”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：【知识点】充分条件、必要条件A2【答案解析】A 非零向量，，∥推不出“+=0，+=0?““∥，由此可知“∥”是“+=0成立的充分不必要条件【思路点拨】非零向量，，∥推不出“+=0，+=0?““∥，由此可知“∥”是“+=0成立的充分不必要条件二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知幂函数Z为偶函数，且在区间上是单调增函数，则的值为．参考答案：16试题分析：因为幂函数在区间上是单调增函数，所以，解得：，因为，所以或或．因为幂函数为偶函数，所以是偶数，当时，，不符合，舍去；当时，；当时，，不符合，舍去．所以，故．考点：1、幂函数的性质；2、函数值．12. 若动直线与函数的图象分别交于两点，则的最大值为________．参考答案：2略13. 已知定义在R上的可导函数的图象在点处的切线方程为_________.参考答案：【知识点】导数的应用B12【答案解析】1 据题意知f′（1）=- f（1）=- +2= ∴f(1)+f′(1)=-+=1故答案为1【思路点拨】利用函数在切点处的导数就是切线的斜率求出f′（1）；将切点坐标代入切线方程求出f（1），求出它们的和．14. 已知抛物线与椭圆有相同的焦点，是两曲线的公共点，若，则此椭圆的离心率为______________．参考答案：略15. 已知函数，则．参考答案：∵，且，∴．16. 若不等式的解集为空集，则实数的取值范围为．参考答案：17. 如图，设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且.若点D是△ABC外一点，，则当四边形ABCD面积最大值时，．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。
浙江省绍兴市上虞区2021-2022学年高三上学期期末数学试题及答案
浙江省绍兴市上虞区2021-2022学年高三上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知全集U =R ，集合{}Z 11A x x =∈-≤，4R01x B x x -⎧⎫=∈>⎨⎬-⎩⎭，则()U A B =（ ） A ．[]1,2B ．[)2,4C ．{}0,1,2D ．{}2,12．双曲线2212x y -=的焦点坐标是（ ）A ．()1,0±B ．()0,1±C．()D．(0,3．若复数1i 2z b =+（b R ∈，i 为虚数单位）满足z z b ⋅=-，其中z 为z 的共扼复数，则12iz+的值为（ ） ABC ．1 D4．“α为锐角”是“0cos 1α<<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．若实数x ，y 满足约束条件2202030x y x y x y -+≤⎧⎪+≤⎨⎪-+≤⎩，则232z x y =-+的最大值为（ ） A ．-6B ．-3C ．65-D ．-96．函数()()22xf x x x e =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的最大值为（ ）A ．25B ．758C ．756D ．98．已知0,0x y >>，满足2220x xy +-=，则2x y +的最小值是（ ）A B C D 9．已知双曲线22221x y a b -=，(),0a b >的左右焦点记为1F ，2F ，直线l 过2F 且与该双曲线的一条渐近线平行，记l 与双曲线的交点为P ，若所得12PF F △的内切圆半径恰为3b，则此双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．53C D 10．已知数列{}n a 满足：101a <<，()1e 3e n n a a n a +=-，则下列说法正确的是（ ）A ．数列{}n a 为递减数列B ．存在*N n ∈，便得0n a <C ．存在*N n ∈，便得2n a >D ．存在*N n ∈，便得43n a >二、填空题11．设lg 2a =，lg5b =，则10a =_____________，55a b ⋅=_____________． 12．若3sin 5θ=，532πθπ<<，则tan 2cos 22θθ+=____________． 13．某区突发新冠疫情，为抗击疫情，某医院急从甲、乙、丙等9名医务工作者中选6人参加周一到周六的某社区核酸检测任务，每天安排一人，每人只参加一天．现要求甲、乙、丙至少选两人参加．考虑到实际情况，当甲、乙、丙三人都参加时，丙一定得排在甲乙之间，那么不同的安排数为__________．（请算出实际数值）14．设向量OA a =，OB b =，OC c =，2a b a b ==⋅=，点C 在AOB ∠内，且向量c与向量a c -的夹角为3π，则||||c c b -的取值范围是____________． 三、双空题15．在12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，若5n =，则含x 项的系数是____________；若常数项是24，则n =____________．16．已知随机变量ξ的分布列如下：且()72E ξ=，则实数x =____________，若随机变量23ηξ=-，则()D η=____________．17．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，点E 、F 分别在1CC 、1BB 上，12C E EC =，12BF FB =．动点M 在侧面11ADD A 内（包含边界）运动，且满足直线//BM 平面1D EF ，则点M 在侧面11ADD A 的轨迹的长度为_____________，三棱锥1D EFM -的体积为_____________．四、解答题18．设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c )cos sin a b C c B -=，点M 为AC 的中点，且1BM =．(1)求角B 的大小；(2)若a =ABC 的面积．19．正三棱柱111ABC A B C -底边长为2，E ，F 分别为1BB ，AB 的中点．(1)求证：平面1ACF ⊥平面1A EF ； (2)若1A E 与平面1A FC 所成的角的正弦值为35，求1AA 的值．20．已知各项均为正数的数列{}n a 满足：11a =，前n 项和为n S ，且212nn n a a S --=，()2n ≥．(1)求数列{}n a 的通项n a 与前n 项和n S ； (2)记2121n n nb a a -=，设n T 为数列{}n b 的前n 项和，求证231n nT n ≥+． 21．已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点到准线的距离是12．(1)求抛物线方程；(2)设点(),1P m 是该抛物线上一定点，过点P 作圆O ：()2222x y r -+=（其中01r <<）的两条切线分别交抛物线C 于点A ，B ，连接AB ．探究：直线AB 是否过一定点，若过，求出该定点坐标；若不经过定点，请说明理由． 22．已知函数()ln f x x ax =-，e 为自然对数的底数，a ∈R ． (1)讨论函数()f x 的单调性；(2)当1a =-时，证明：2(e 1)()(1)ex f x x -+<+．参考答案：1．D 【解析】 【分析】先化简集合AB 、，再去求()U A B ∩即可解决. 【详解】由11x -≤，可得111x -≤-≤，即02x ≤≤， 则{}Z 11A x x =∈-≤{}0,1,2= 由401x x ->-，可得4x >或1x <， 则4R01x B x x -⎧⎫=∈>⎨⎬-⎩⎭{R 4x x =∈>或}1x < 则{}14URB B x x ==≤≤，故(){}{}{}0,1,2141,2U A B x x ⋂=⋂≤≤= 故选：D 2．C 【解析】 【分析】求出c 的值，可得出双曲线的焦点坐标. 【详解】在双曲线2212x y -=中，a 1b =，则c因此，双曲线2212x y -=的焦点坐标为().故选：C. 3．D 【解析】 【分析】先求出12b =-，得到11i 22z =-，即可求出12i z +的值.【详解】因为1i 2z b =+，所以1i 2z b =-，所以214z z b b ⋅=+=-，解得：12b =-，所以11i 22z =-.12i 12i z z ===++ 故选：D 4．A 【解析】 【分析】由0cos 1α<<求出α的取值范围，再利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】若α为锐角，则02πα<<；若0cos 1α<<，则222k k ππαπ-<<或()22Z 2k k k ππαπ<<+∈，因为02παα⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭ 222k k παπαπ⎧-<<⎨⎩或22,Z 2k k k ππαπ⎫<<+∈⎬⎭，因此，“α为锐角”是“0cos 1α<<”的充分不必要条件. 故选：A. 5．B 【解析】 【分析】作出给定不等式组表示的平面区域，再利用目标函数的几何意义计算作答. 【详解】作出不等式组2202030x y x y x y -+≤⎧⎪+≤⎨⎪-+≤⎩表示的平面区域，如图中阴影区域，其中点(4,1)A --，(1,2)B -，目标函数232z x y =-+，即2233z y x -=-表示斜率为23，纵截距为23z --的平行直线系，作直线02:3l y x =，平移直线0l 到直线1l ，当直线1l 过点A 时，直线1l 的纵截距23z --最小，z 最大，所以max 2(4)3(1)23z =⨯--⨯-+=-. 故选：B 6．A 【解析】 【分析】由函数()f x 有两个零点排除选项C ，D ；再借助导数探讨函数()f x 的单调性与极值情况即可判断作答. 【详解】由()0f x =得，0x =或2x =，选项C ，D 不满足；由()()22e xf x x x =-求导得2()(2)e x f x x '=-，当x <x >()0f x '>，当x ()0f x '<，于是得()f x 在(,-∞和)+∞上都单调递增，在(上单调递减，()f x 在x =x B 不满足，A 满足.故选：A 7．B 【解析】 【分析】由三视图可知几何体是底面是直角梯形的四棱锥，根据棱锥的体积公式用基本不等式求体积的最大值即可. 【详解】由三视图将几何体还原为底面是直角梯形的四棱锥，如下图，设直角梯形的高为h ，则22425h x +=，由基本不等式22254254,4h x xh xh +=≥≤，当且仅当2h x = ，即42x h ==时等号成立.所以几何体的体积为1113753(2)33228V Sh x x h xh ==⨯⨯+⨯=≤.所以几何体的体积的最大值为758.故选：B. 8．B 【解析】 【分析】由2220x xy +-=，得到222x y x -=，化简2212(3)2222x x x y x x x+=+-=+，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由2220x xy +-=，可得222x y x-=，因为0,0x y >>，可得2202x x->且0x >，解得02x ，则22232121(3)222222x x x x x x x x y -+==+≥⨯=+=+当且仅当23x x =时，即x =所以2x y +. 故选：B. 9．A【分析】根据给定条件探求出12PF F △的内切圆圆心坐标，再借助点到直线距离公式计算作答. 【详解】令双曲线22221x y a b -=的半焦距为c ，则12(,0),(,0)F c F c -，由对称性不妨令与l 平行的渐近线为by x a =，直线l 方程为：()by x c a=-，即0bx ay bc --=， 令12PF F △的内切圆O '与12PF F △三边相切的切点分别为A ，B ，C ，令点0(,0)A x ，如图，由切线长定理及双曲线定义得：1212||||||||(||||)PF PF PC CF PB BF -=+-+()()1200022AF AF x c c x x a =-=+--==，即0x a =，而AO x '⊥轴，圆O '半径为3b，则有(,)3b O a '-，点O '到直线l|()|3bab a bc b -⋅--=，整理得|43|a c c -=，即43e e -=，而1e >，解得2e =，所以双曲线的离心率为2. 故选：A 【点睛】方法点睛：求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=； ①根据给定条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，再转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围).【解析】 【分析】由已知等式变形可得()1ln 3n n n a a a +=+-，构造函数()()ln 3f x x x =+-，其中03x <<，利用导数分析函数()f x 的单调性，可得出02n a <<，可判断BC 选项；利用数列的单调性可判断A 选项；计算出2a 、3a 的范围，可判断D 选项. 【详解】 因为()1e 3e n n a a n a +=-，则30n a ->，可得3n a <，由()1e3e n n a a n a +=-可得1e 3n n a a n a +-=-，则()1ln 3n n n a a a +--=，则()1ln 3n n n a a a +=+-，设函数()()ln 3f x x x =+-，其中03x <<，则()12133x f x x x -'=-=--. 当02x <<时，()0f x '>，此时函数()f x 单调递增，当23x <<时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减，所以，()()22f x f ≤=， 因为101a <<，则()()210,2a f a =∈，()()320,2a f a =∈，，以此类推可知，对任意的N n *∈，02n a <<，所以，()()1ln 3n n n n n a f a a a a +==+->， 故数列{}n a 为递增数列，A 错，B 错，C 错； 因为101a <<，则()211ln 3ln31a a a =+->>， ()32234ln 31ln 223a a a =+->+>>， 因此，存在*N n ∈，便得43n a >，D 对. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查与数列相关的单调性与范围问题的判断，根据数列的递推公式构造函数()()ln 3f x x x =+-，并利用导数研究函数的单调性，结合函数单调性求得n a 的范围是解题的关键. 11． 2 5 【解析】【分析】直接利用对数与指数的互化公式和对数的运算性质求解即可 【详解】因为lg 2a =，所以102a =，因为lg 2a =，lg5b =，所以lg 2lg5lg101a b +=+==， 所以5555a b a b +⋅==， 故答案为：2，5 12．3【解析】 【分析】先利用同角三角函数的关系求出cos θ，再利用半角公式求出cos 2θ，sin2θ，从而可求出tan2θ，进而可求得答案【详解】 因为3sin 5θ=，532πθπ<<，所以4cos 5θ==-， 因为532πθπ<< 所以53422πθπ<<，所以cos2θ==sin 2θ==， 所以sin 2tan32cos2θθθ==，所以tan2cos322θθ+=故答案为：313．37200 【解析】 【分析】根据给定条件分两类，再用分步乘法计数原理、排列、组合分类计算作答. 【详解】计算不同的安排数有两类办法：甲、乙、丙中只选两人，有23C 种选法，再从余下6人中任选4人有46C 选法， 将选取的6人安排到周一到周六有66A 种，因此，共有不同安排种数为246366C C A ， 当甲、乙、丙三人都参加时，从余下6人中任选3人有36C 选法，周一到周六中取3天安排甲、乙、丙且丙在甲乙之间有3262C A 种，另3天安排所选3人有33A 种，共有不同安排数为：33236623C (C A )A ，由分类加法计数原理得：共有不同的安排数为24633233666623C C A C (C A )A 31572020202637200+=⨯⨯+⨯⨯⨯=.故答案为：37200 【点睛】方法点睛：解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法)，分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏.14． 【解析】 【分析】以直线OA 为x 轴，线段OA 的中垂线为y 轴建立坐标系，探求点C 的坐标满足的关系，再利用换元法借助三角恒等变换计算作答. 【详解】以直线OA 为x 轴，线段OA 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，如图，因2a b a b ==⋅=，则1cos 2||||a b AOB a b ⋅∠==，而[0,]AOBπ∠∈，解得3AOB π∠=，则(1,0),(1,0),O A B -，设(,)(0)C x y y >，有(1,)c x y =+，(1,)a c CA x y -==--，因向量c 与向量a c -的夹角为3π，则221cos 32||||(1c CA c CA π⋅===， 221x y +<，2222242224[(1)](1)[(1)(1)]x y x y x x y --=-++++-，2242223(1)36(1)4x yx y y -+--=，整理得：22224(1)3x yy --=，即221x y y --=，因此，224(3x y +=，0y >，令点C θθ，566ππθ<<，令2222222(1||3)||||||c c t c b BC θθ====-++则54sin 2sin (41)sin 52t t t t θθθθθ-=-⇔-=-，于是得sin()θϕ+=|sin()|1θϕ+≤，即有|52|t -≤403t ≤≤， 当0=t 时，2sin 0θθ-=，即sin()13πθ-=，而566ππθ<<，有632πππθ-<-<，1sin()123πθ-<-<，矛盾，即0t >， 当43t =时，13sin 14θθ+=，即有sin()1θφ+=，其中锐角φ满足13sin 14φφ==， 则有2πθφ+=，13sin cos 14θφ==，cos sin θφ==，显然存在θ满足条件，则43t =，因此，403t <≤， 所以||||c c b -的取值范围是. 故答案为： 【点睛】思路点睛：给定向量的模探求向量问题，可以建立平面直角坐标系，借助向量的坐标表示，利用代数运算、三角变换等方法解决. 15． -80 4 【解析】 【分析】（1）写出二项式展开式的通项公式，令x 的指数等于1，即可求解答案; （2）写出二项式展开式的通项公式，令x 的指数等于零，即可求解答案. 【详解】5n =时，12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为：5251551()(2)(2)r r r r r r r T C x C x x--+=-=⨯-⨯ ，其中0,1,2,3,4,5r = ，令251r -= ，则3r = ，故335(2)80C -=- ，即含x 项的系数是80- ；12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为211()(2)(2)k n k k kk k n k n n T C x C x x --+=-=⨯-⨯， 其中0,1,2,,r n =，令20k n -=，则2nk =， 由常数项为24可得：22(2)24nnn C ⨯-= ，解得n =4， 故答案为：80-；4 16． 1673##123【解析】 【分析】由已知条件列方程组可求出,x y 的值，再利用方差公式求出()D ξ，从而可求出()D η 【详解】由题意得13872332x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，解得16x y ==，所以()222171727723462623212D ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()()7744123D D ηξ==⨯=， 故答案为：16，7317． 3 【解析】 【分析】在棱1AA 、1DD 分别取点H 、G 使得1113A H AA =，113DG DD =，连接GH ，取1D G 的中点N ，连接HN 、CN ，证明出平面//BGH 平面1D EF ，可知点M 在侧面11ADD A 内的轨迹为线段GH ，求出线段GH 的长，即为点M 在侧面11ADD A 的轨迹的长度，由等体积法可求得三棱锥1D EFM -的体积. 【详解】在棱1AA 、1DD 分别取点H 、G 使得1113A H AA =，113DG DD =，连接GH ， 取1D G 的中点N ，连接HN 、CN ，因为11//BB DD 且11BB DD =，由题意可知1//DG B F 且1DG B F =， 所以，四边形1BFD G 为平行四边形，所以，1//BG D F ，BG ⊄平面1D EF ，1D F ⊂平面1D EF ，所以，//BG 平面1D EF ，同理可证四边形1CED N 、BCNH 均为平行四边形，则1////BH CN D E ， 因为BH ⊄平面1D EF ，1D E ⊂平面1D EF ，故//BH 平面1D EF ，BG BH B =，故平面//BGH 平面1D EF ，当M GH ∈时，BM ⊂平面BGH ，则//BM 平面1D EF ， 所以，点M 在侧面11ADD A 内的轨迹为线段GH ， 11//A H D N 且1111111212233D N D G DD AA A H ==⨯==，又因为111A H A D ⊥， 故四边形11A D NH 为矩形，则113HN A D ==，1113NG DD ==，所以，GH//BM 平面1D EF ，则点M 到平面1D EF 的距离等于点B 到平面1D EF 的距离，132BEFSBF BC =⋅=， 1111111133333D EFM M D EF B D EF D BFE BEF V V V V S C D ----====⋅=⨯⨯=△.；3. 18．(1)3B π=.【解析】 【分析】（1sin B B =，即可求出3B π=；（2）利用向量法求出边长c =. (1)在ABC )cos sin a b C c B -=，)sin sin cos sin sin A B C C B -=.因为A B C π++=，所以()sin sin cos sin sin cos A B C C B C B =+=+，)sin sin cos sin sin A B C C B -=cos sin sin =C B C B .因为()0,C π∈，所以sin 0C ≠，消去sin C sin B B =.当2B π=sin B B =不成立，所以2B π≠，所以cos 0B ≠，所以tan B =因为()0,B π∈，所以3B π=.(2)因为M 为AC 的中点，所以()12BM BA BC =+，所以()2214BM BA BC =+， 即()222124BM BA BA BC BC =++.因为1BM =，BC a ==210c +-=，解得：c =（0c =<舍去）.所以ABC 的面积为11sin 22ac B ==. 19．(1)证明过程见解析 (2)12AA = 【解析】 【分析】（1）先根据三棱柱111ABC A B C -为正三棱柱得到面面垂直，然后根据线线垂直得到线面垂直，进而得到面面垂直；（2）作出辅助线，找到线面角，再利用余弦定理求出1AA 的值. (1)因为三棱柱111ABC A B C -为正三棱柱，故ABC 是等边三角形且底面ABC ①侧面11AA B B ，交线为AB ，因为F 是AB 中点，所以CF AB ⊥，所以CF ⊥平面11AA B B ，又因为CF ⊂平面1A CF ，所以平面1ACF ⊥平面1A EF ； (2)过点E 作EG ①1A F 于点G ，因为平面1ACF ⊥平面1A EF ，交线为1A F ，所以EG ①平面1A CF ，故1EA G ∠即为1A E 与平面1A FC 所成的角，所以13sin 5EAG ∠=，所以14cos 5EAG ∠=，设1AA x =，由勾股定理得：1A F1A EEF =由余弦定理得：222222111114114cos 25x x x A E A F EF EAG A E A F +++--+-∠===⋅，解得：2x =， 故12AA =20．(1)n a n =，()12n n n S +=； (2)证明见解析. 【解析】 【分析】（1）当2n =时，可求得2a 的值，令3n ≥，由212n n n a a S --=可得21122n n n a a S ----=，两式作差可推导出数列{}n a 为等差数列，确定该数列的首项可求得数列{}n a 的通项，利用等差数列的求和公式可求得n S ； （2）证明出()()2211323133231n b n n n n ⎛⎫≥=- ⎪-+-+⎝⎭，利用裂项相消法可证得结论成立.(1)解：当2n =时，222122a a S -==，因为20a >，解得22a =；当3n ≥时，由212n n n a a S --=可得21122n n n a a S ----=，上述两个等式相减可得221112n n n n n a a a a a -----+=，所以，()()1110n n n n a a a a --+--=，对任意的N n *∈，0n a >，故11n n a a --=且211a a -=，故数列{}n a 为等差数列，且该数列的首项和公差均为1，故11n a n n =+-=， 所以，()12n n n S +=. (2) 证明：()21211221n n nb a a n n -==⋅-，因为()()()()()21232312213231n b n n n n n n -=--+--+()()()()()()()()()()()()()()232314211220221323122132312213231n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n -+---++-===≥--+--+--+， 所以，()()()212112211221323133231n n n b a a n n n n n n -⎛⎫==≥=- ⎪⋅--+-+⎝⎭，因此，21111111212113447710323133131n nT n n n n ⎛⎫⎛⎫≥-+-+-++-=-= ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭. 21．(1)2y x = (2)过定点(0,1)- 【解析】 【分析】（1）由题意可得12p =，从而可得抛物线方程； （2）由直线,PA PB 与圆O 相切，可得2222(1)(24)240r a r a r -+-+-=，2222(1)(24)240r b r b r -+-+-=，从而可得,a b 是方程2222(1)(24)240r x r x r -+-+-=的两个根，再利用根与系数的关系结合直线AB 的方程可求得结果 (1)因为抛物线C ：()220y px p =>的焦点到准线的距离是12，所以12p =，所以抛物线方程为2y x = (2)当1y =时，1x =，所以()1,1P ， 设22(,),(,)A a a B b b ，则直线AB 为21()y a x a a b-=-+，即()0x a b y ab -++=， 因为直线:(1)0PA x a y a -++=与圆222:(2)O x y r -+=相切，r =，整理得2222(1)(24)240r a r a r -+-+-=，同理直线PB 与圆222:(2)O x y r -+=相切， 可得2222(1)(24)240r b r b r -+-+-=，所以可得,a b 是方程2222(1)(24)240r x r x r -+-+-=的两个根， 所以22224224,11r r a b ab r r --+==--， 代入()0x a b y ab -++=化简得，2(22)440x y r x y ++---=，令220440x y x y ++=⎧⎨---=⎩，得01x y =⎧⎨=-⎩，所以直线AB 恒过定点(0,1)- 22．(1)函数()f x 的单调性见解析； (2)证明见解析. 【解析】 【分析】(1)求出函数()f x 的导数()'f x ，再按a 值的正负讨论()'f x 符号作答. (2)根据给定条件将不等式等价转化，分别证明不等式ln 1e x x ≤和ln 11e e ex x x x +≤都成立作答. (1)函数()ln f x x ax =-的定义域为(0,)+∞，求导得：1()f x a x'=-， 当0a ≤时，()0f x '>，则()f x 在(0,)+∞上单调递增， 当0a >时，当10x a<<时，()0f x '>，当1x a >时，()0f x '<，则()f x 在1(0,)a 上单调递答案第17页，共17页 增，在1(,)a+∞上单调递减， 所以当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，当0a >时，()f x 在1(0,)a 上单调递增，在1(,)a+∞上单调递减. (2)当1a =-时，()ln f x x x =+，2ln 1ln 2(e 1)()(1)e e e ex x x x x f x x x x -+<+⇔++<， 令ln ()x g x x=，则21ln ()x g x x -'=，当0e x <<时，()0g x '>，当e x >时，()0g x '<， 于是得()g x 在(0,e)上递增，在(e,)+∞上递减，则有1()(e)e g x g ≤=，即ln 1ex x ≤，当且仅当e x =时取“=”，令1()e ln x h x x x x -=--，求导得：11()(1)(e)x h x x x -'=+-，显然函数11()e x x x ϕ-=-在(0,)+∞上单调递增，而(1)0ϕ=，则当01x <<时，()0x ϕ<，即()0h x '<，当1x >时，()0x ϕ>，即()0h x '>， 于是有()h x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，则()(1)0h x h ≥=， 即1ln 11e ln 0e e ex x x x x x x x ---≥⇔+≤，当且仅当1x =时取“=”， 因不等式ln 1e x x ≤与ln 11e e ex x x x +≤等号成立的条件不一致，则ln ln 112e e e e 1e x x x x x x <+++=， 所以2(e 1)()(1)ex f x x -+<+成立. 【点睛】思路点睛：函数不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助函数的单调性、极(最)值问题推理得解.。
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2019-2020学年浙江省绍兴市上虞区高三（上）期末数学试卷一、选择题：每小题4分，共40分1．（4分）设全集{1U =，2，3，4，5，6}，集合{2A =，3，5}，{3B =，4，6}，则()(U A B =U ð )A ．{3}B ．{4，6}C ．{1，3，4，6}D ．{2，3，4，5，6}2．（4分）已知双曲线2222:1x y C a b -=的离心率为53，且其实轴长为6，则双曲线C 的方程为( )A ．221916x y -=B ．221169x y -=C ．22134x y -=D ．22143x y -=3．（4分）已知随机变量X 的分布列（见表），21Y X =+，则()(E Y = )X 1 0 1-P12 13 aA ．13B ．53C ．73D ．24．（4分）若实数x ，y 满足约束条件203020x y x y x y -⎧⎪+-⎨⎪-⎩…„„，则2z x y =+的最大值是( )A ．0B ．3C ．4D ．55．（4分）ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则“1()2a b c +„”是“A 为锐角”的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件6．（4分）函数2xx xy e+=的大致图象是( ) A ． B ．C ．D ．7．（4分）已知椭圆2222:1(0)x yC a bab+=>>的左右焦点分别为1F，2F，O为坐标原点，P为第一象限内椭圆上的一点，且124F PFπ∠=，直线1PF交y轴于点M，若12||2||F F OM=，则该椭圆的离心率为()A．3B．10C．21-D．21+8．（4分）若函数()|1||2|f x x x a=+++的最小值为3，则实数a的值为() A．5或8B．1-或5C．1-或4-D．4-或89．（4分）已知数列{}na中，12a=，若21n n na a a+=+，1212222111mmmaa aSa a a=++⋯++++，若2020mS<，则正整数m的最大值为()A．1009B．1010C．2019D．202010．（4分）在棱长均为23的正四面体ABCD中，M为AC的中点，E为AB的中点，P是DM上的动点，Q是平面ECD上的动点，则AP PQ+的最小值是() A311+B32C534D．23二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11．（6分）已知复数2(1iz ii=-为虚数单位），则z=，||z=．12．（6分）已知方程为2220x y x ay a++-+=的圆关于直线40x y+=对称，则圆的半径r = ，若过点(1,0)M 作该圆的切线，切点为A ，则线段MA 长度为 ．13．（6分）某几何体的三视图如图所示，正视图为正方形，侧视图为直角三角形，俯视图为等腰直角三角形，则其体积为 ，表面积为 ．14．（6分）若21(3)nx x +展开式中的各项系数之和为1024，则n = ，常数项为 ． 15．（4分）已知集合{0A B ==，1，2，9}，:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，那么该函数的值域的不同情况有 种．16．（4分）如图，已知22:(2)(2)1C x y -+-=，ABD ∆为圆C 的内接正三角形，M 为边BD 的中点，当ABD ∆绕圆心C 转动，同时N 在边AB 上运动时，ON CM u u u r u u u u rg的最大值是 ．17．（4分）若关于x 的方程1||||2x a a x ---=恰有三个不同的解，则实数a 的取值范围为 ．三、解答题：5小题，共74分 18．（14分）已知函数2313()sin 0)24x f x x ωωω=->的图象如图所示，其中A 为图象的最高点，B ，C 为图象与x 轴的交点，且ABC ∆为等腰直角三角形． （1）求ω的值及()f x 的单调递增区间；（2）设1 ()()()3g x f x f x=++，求函数()g x在区间11[,]23-上的最大值及此时x的值．19．（15分）已知斜三棱柱111ABC A B C-，2ABCπ∠=，1AC BC⊥，12BC BA==，1BC=，123AC=．（1）求1AA的长；（2）求1AA与面ABC所成的角的正切值．20．（15分）在数列{}na中，已知11a=，121nn na a+=+-．（1）求数列{}na的通项公式na；（2）记(1)n nb a nλ=+-，且数列{}nb的前n项和为nS，若2S为数列{}nS中的最小项，求λ的取值范围．21．（15分）已知抛物线21:2(0)C y px p=>，圆2222:(0)C x y r r+=>，直线:(0)l y kx m m=+>与抛物线1C相切于点A，且与圆2C相切于点B．（1）当2r=，1k=时，求直线l方程与抛物线1C的方程；（2）设F为抛物线1C的焦点，FAB∆，FOB∆的面积分别为1S，2S，当21SS取得最大值时，求实数22rp的值．22．（15分）已知函数2()(2)xaf x x e aa=--+．（1）若1a=-，求函数()f x的单调区间及极值；（2）当0x>时，函数()1f x-…（其中0)a>恒成立，求实数a的取值范围．2019-2020学年浙江省绍兴市上虞区高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：每小题4分，共40分1．（4分）设全集{1U =，2，3，4，5，6}，集合{2A =，3，5}，{3B =，4，6}，则()(U A B =U ð )A ．{3}B ．{4，6}C ．{1，3，4，6}D ．{2，3，4，5，6}【解答】解：因为：全集{1U =，2，3，4，5，6}，集合{2A =，3，5}， 所以：{1U A =ð，4，6} 因为{3B =，4，6}， 则(){1U A B =U ð，3，4，6，} 故选：C ．2．（4分）已知双曲线2222:1x y C a b -=的离心率为53，且其实轴长为6，则双曲线C 的方程为( )A ．221916x y -=B ．221169x y -=C ．22134x y -=D ．22143x y -=【解答】解：双曲线2222:1x y C a b -=的离心率为53，且其实轴长为6，可得53c e a ==，26a =，即有3a =，5c =，4b =，则双曲线的方程为221916x y -=，故选：A ．3．（4分）已知随机变量X 的分布列（见表），21Y X =+，则()(E Y = )A ．13B ．53C ．73D ．2【解答】解：由随机变量X 的分布列得：11123a ++=，解得16a =， 1111()10(1)2363E X ∴=⨯+⨯+-⨯=．15()2()12133E Y E X ∴=+=⨯+=．故选：B ．4．（4分）若实数x ，y 满足约束条件203020x y x y x y -⎧⎪+-⎨⎪-⎩…„„，则2z x y =+的最大值是( )A ．0B ．3C ．4D ．5【解答】解：由2z x y =+，得1122y x z =-+，作出不等式对应的可行域，平移直线1122y x z =-+，由平移可知当直线1122y x z =-+ 经过点B 时，直线1122y x z =-+的截距最大，此时z 取得最大值，由2030x y x y -=⎧⎨+-=⎩，解得(1,2)A ，将(1,2)A ，代入2z x y =+， 得1225z =+⨯=． 故选：D ．5．（4分）ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则“1()2a b c +„”是“A 为锐角”的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件【解答】解：ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A 为锐角222b c a ⇔+>，“1()2a b c +„” 222211()()42a b c b c ⇔++剟． ∴ “1()2a b c +„”是“A 为锐角”的充分不必要条件． 故选：A ．6．（4分）函数2xx xy e +=的大致图象是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：函数2x x x y e +=的导数为21xx x y e -++'=，令0y '=，得15x ±=15(x -∈-∞时，0y '<，1515(x -+∈时，0y '>，15()x +∈+∞时，0y '<． ∴函数在15()--∞，15()++∞递减，在1515(-+递增． 且0x =时，0y =， 故选：D ．7．（4分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，P为第一象限内椭圆上的一点，且124F PF π∠=，直线1PF 交y 轴于点M ，若12||2||F F OM =，则该椭圆的离心率为( ) A 3 B 10 C 21- D ．213+ 【解答】解：如图，由12||2||F F OM =，得2||||OF OM c ==，在1Rt MOF ∆中，可得1tan 1MFO ∠=，即1245PF F ∠=︒，则21||||2222PFPF a c c +==+，即2121c e a ===-+． 故选：C ．8．（4分）若函数()|1||2|f x x x a =+++的最小值为3，则实数a 的值为( ) A ．5或8B ．1-或5C ．1-或4-D ．4-或8【解答】解：12a -<-时，2a x <-，()123112af x x x a x a =----=--->-；12a x --剟，()12112af x x x a x a =--++=+--…； 1x >-，()12312f x x x a x a a =+++=++>-，∴132a-=或23a -=， 8a ∴=或5a =， 5a =时，122aa -<-，故舍去； 12a--…时，1x <-，()12312f x x x a x a a =----=--->-； 12a x --剟，()12112af x x x a x a =+--=--+-+…； 2a x >-，()123112af x x x a x a =+++=++>-+，23a ∴-=或132a-+=，1a ∴=-或4a =-，1a =-时，122aa -+<-，故舍去；综上，4a =-或8． 故选：D ．9．（4分）已知数列{}n a 中，12a =，若21n nn a a a +=+，1212222111m m m a a a S a a a =++⋯++++，若2020m S <，则正整数m 的最大值为( )A ．1009B ．1010C ．2019D ．2020【解答】解：由12a =，21n n n a a a +=+，得1(1)6n n n a a a +=+…，∴11111(1)1n n n n n a a a a a +==-++， ∴11111n n n a a a +=-+， 则12122311111111111111()()()(0,)11122n n n n a a a a a a a a a a ++++⋯+=-+-+⋯+-=-∈+++， Q111n n n n a aa a +=-+， 121211112122()22()21212111233m m m m m a a a S m m m m a a a a a ++∴=++⋯+=--=-+<-+=-+++， 2020m S <Q ，2220203m ∴-<， 110103m ∴<+，∴正整数m 的最大值为1010，故选：B ．10．（4分）在棱长均为23的正四面体ABCD 中，M 为AC 的中点，E 为AB 的中点，P 是DM 上的动点，Q 是平面ECD 上的动点，则AP PQ +的最小值是( )A 311+B 32C 534D ．23【解答】解：由题意，平面CDE ⊥平面ABC ， 又平面CDE ⋂平面ABC CE =，过M 作MG CE ⊥，则MG ⊥平面CDE ，连接DG ，则DG 为DM 在平面CDE 上的射影，要使AP PQ +最小，则PQ DG ⊥，沿DM 把平面ADM 展开，使得平面ADM 与平面DMG 重合，则AP PQ +的最小值为A 到DG 的距离．132MG AE =22(23)(3)3DM -，则3sin MDG ∠= 33cos MDG ∴∠=， 30ADM ∠=︒，sin sin(30)sin cos30cos sin30ADG MDG MDG MDG ∴∠=∠+︒=∠︒+∠︒g g333313332+==． 又23AD =33311323AQ ++∴==． 故选：A ．二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11．（6分）已知复数2(1iz i i =-为虚数单位），则z = 1i -- ，||z = ． 【解答】解：Q 22(1)11(1)(1)i i i z i i i i +===-+--+， ∴1z i =--；||2z =故答案为：1i --212．（6分）已知方程为2220x y x ay a ++-+=的圆关于直线40x y +=对称，则圆的半径r =3 ，若过点(1,0)M 作该圆的切线，切点为A ，则线段MA 长度为 ．【解答】解：圆标准方程可化为222(1)()124a a x y a ++-=-+，所以圆心(1,)2a-在直线40x y +=上，代入解得8a =，所以2134a r a =-+=， 则圆的方程为22(1)(4)9x y ++-=，圆心(1,4)C - 当直线为1x =时，明显与圆不相切， 因为直线MA 与圆相切，故MA AC ⊥， 所以2220911MA MC r =-=-=， 故答案3，1113．（6分）某几何体的三视图如图所示，正视图为正方形，侧视图为直角三角形，俯视图为等腰直角三角形，则其体积为43，表面积为 ．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为四棱锥P ABCD -，ABCD 是边长为2的正方形，侧面PAB 为等腰直角三角形，2PA PB ==，侧面PAB ⊥底面ABCD ，∴1422133P ABCD V -=⨯⨯⨯=； 表面积11122222222615225222S =⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯-=++．故答案为：43；5225++． 14．（6分）若21(3)nx x+展开式中的各项系数之和为1024，则n = 5 ，常数项为 ． 【解答】解：21(3)nx x+中，令1x =得到展开式的各项系数和为41024n = 解得5n =，∴其通项公式为：5555215521(3)()3r rrr r r r T x xx---+==⨯g 痧；令55012rr -=⇒=； ∴其常数项为：4153405⨯=ð．故答案为：5，405．15．（4分）已知集合{0A B ==，1，2，9}，:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，那么该函数的值域的不同情况有 15 种．【解答】解：集合{0A B ==，1，2，9}，:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，则值域的不同情况为12344444464115C C C C +++=+++=． 故答案为：1516．（4分）如图，已知22:(2)(2)1C x y -+-=，ABD ∆为圆C 的内接正三角形，M 为边BD 的中点，当ABD ∆绕圆心C 转动，同时N 在边AB 上运动时，ON CM u u u r u u u u rg 的最大值是 124+．【解答】解：由题意可得ON OC CN =+u u u r u u u r u u u r，∴()ON CM OC CN CM OC CM CN CM =+=+u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u rgg g g ． Q 11||||cos ||cos 24CN CM CN CM MCN CN MCN =∠=∠u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r g g g g …，即N 与B 重合时取得最大值14， OC CM CO CM =-u u u r u u u u r u u u r u u u u rg g ，由圆22:(2)(2)1C x y -+-=，得圆心(2,2)C ，半径为1， 则||22CO =u u u r ，1||2CM =u u u u r ，可得||||cos ,[2,2]CO CM CO CM CO CM =<>∈-u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u rgg g ． ∴ON CM u u u r u u u u rg 的最大值是124+． 故答案为：124+． 17．（4分）若关于x 的方程1||||2x a a x ---=恰有三个不同的解，则实数a 的取值范围为[1-，1] ．【解答】解：原题等价于方程1||2x a a x--=±恰有三个不同的解， 记()||f x x a a =--，则函数()f x 的图象是顶点(,)a a -在直线y x =-的“V ”型函数，作出图象如下图所示，直线（蓝色）与函数12y x =+的图象（红色）相切于点A ，与函数12y x=-的图象（紫色）相切于点B ，当点P （函数()f x 图象上的顶点）在直线y x =-上运动时，当且仅当点P 在线段AB 上时有三个交点，此时[1a ∈-，1]． 故答案为：[1-，1]． 三、解答题：5小题，共74分 18．（14分）已知函数2313()cos sin (0)24x f x x ωωω=-->的图象如图所示，其中A 为图象的最高点，B ，C 为图象与x 轴的交点，且ABC ∆为等腰直角三角形． （1）求ω的值及()f x 的单调递增区间；（2）设1()()()3g x f x f x =++，求函数()g x 在区间11[,]23-上的最大值及此时x 的值．【解答】解：（1）23133131()sin cos )sin cos()24426x f x x x x x ωπωωωω=-=+-=+， 故()f x 的振幅为12，ABC ∆为等腰直角三角形，所以1212BC ==g ，所以2T =，22πωπ==， 1()cos()26f x x ππ=+，当[26x k ππππ+∈+，22]k ππ+时函数()f x 递增，故()f x 的单调递增区间为5[26k +，112]6k +； （2）111311333()()()cos()cos()sin sin sin )326224243g x f x f x x x x x x x x x πππππππππππ=++=+++---+，在区间11[,]23-上，2[,]363x ππππ+∈-，当03x ππ+=，即13x =-时，()g x 有最大值3． 19．（15分）已知斜三棱柱111ABC A B C -，2ABC π∠=，1AC BC ⊥，12BC BA ==，1BC =，123AC =．（1）求1AA 的长；（2）求1AA 与面ABC 所成的角的正切值．【解答】解：（1）Q 斜三棱柱111ABC A B C -，2ABC π∠=，1AC BC ⊥，AB BC ∴⊥，又1AC AB A =I ，BC ∴⊥平面1ABC ，1BC ⊂Q 平面1ABC ，1BC BC ∴⊥， 11//B C BC Q ，111B C BC ∴⊥，12BC BA ==Q ，1BC =，123AC =．222222*********AA BB B C BC BC BC ∴=++=+（2）延长AB ，过1C 作1C H AB ⊥于H ，由（1）知CB ⊥平面1ABC ，∴平面ABC ⊥平面1ABC ， 又面ABC ⋂面1ABC AB =，1C H AB ⊥，1C H ⊂面1ABC ， 进而1C H ⊥面ABC ，11//AA CC Q ，面//ABC 面111A B C ，1AA ∴与面ABC 所成角即为1CC 与面ABC 所成角， 1C CH ∴∠为1CC 与面ABC 所成角，在1ABC ∆中，1120ABC ∠=︒，∴13C H =，2CH =，116tan C H C CH CH ∴∠==， 1AA ∴与面ABC 所成的角的正切值为6．20．（15分）在数列{}n a 中，已知11a =，121n n n a a +=+-． （1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）记(1)n n b a n λ=+-，且数列{}n b 的前n 项和为n S ，若2S 为数列{}n S 中的最小项，求λ的取值范围．【解答】解：（1）由11a =，121n n n a a +=+-， 得12121a a -=-，23221a a -=-， 34321a a -=-，⋯1121n n n a a ---=-．∴12311(2222)(1)n n a a n --=+++⋯+--，∴12(12)11212n n n a n n --=+-+=--；（2）(1)2(1)2n n n n b a n n n n λλλ=+-=-+-=-，∴前n 项和为2482(123)n n S n λ=+++⋯+-+++⋯+2(12)(1)122n n n λ-+=--g， 若2S 为数列{}n S 中的最小项，则对*n N ∀∈有1(1)22632n n n λλ++---g …恒成立，即22216(6)n n n λ+-+-…对*n N ∀∈恒成立， 当1n =时，得2λ…； 当2n =时，得0λ…； 当3n …时，26(3)(2)0n n n n +-=+->恒成立，222166n n n λ+-∴+-„对3n ∀…恒成立． 令22216()6n f n n n +-=+-，则(1)()0f n f n +->对3n ∀…恒成立，22216()6n f n n n +-∴=+-在3n …时为单调递增数列． f λ∴„（3），即83λ„， 综上，823λ剟． 21．（15分）已知抛物线21:2(0)C y px p =>，圆2222:(0)C x y r r +=>，直线:(0)l y kx m m =+>与抛物线1C 相切于点A ，且与圆2C 相切于点B ．（1）当2r =，1k =时，求直线l 方程与抛物线1C 的方程；（2）设F 为抛物线1C 的焦点，FAB ∆，FOB ∆的面积分别为1S ，2S ，当21S S 取得最大值时，求实数22r p的值．【解答】解：（1）由题意可知，设直线l 的方程为0x y m -+=，且0m >， 由l 与圆相切，可知22d ==，解得22m =，所以直线l 的方程为20x y -+=，由2202x y y px⎧-+=⎪⎨=⎪⎩，所以2220y py -+=，由△0=，解得2p = 所以抛物线1C 的方程282y x =；（2）解法一：联立方程组22y kx m y px=+⎧⎨=⎩，消去x ，整理得2220ky py pm -+=，令△0=，即2480p kpm -=，解得2p km =，即2pm k=，0k >， 此时切点2(2p A k ，)p k ，直线方程为2py kx k =+221pk r k =+，再有直线2p y kx k =+，联立圆的方程222224(1)p x y k k +=+，解得29(2(1)B k -+，2)2(1)p k k +， 所以2222222(12)1||()()22(1)2(1)p p p p p k k AB k k k k k ++=++-=++， F 到AB 的距离21p k d +=222221311(12)1112||228p k k p k p k S AB d k++++===g g g ，222211222(1)8(1)p p p S k k k k ==++g g g，所以2222212131(21)(1)32S kS k k kk===-++++…当且仅当2212kk=，即22k=时，21SS的最大值为3-此时2222114(1)2rp k k-===+．所以22rp．解法二：设1(A x，1)y，2(B x，2)y，联立方程组22y kx my px=+⎧⎨=⎩，消去x，整理得2220ky py pm-+=，令△0=，即2480p kpm-=，解得2p km=，即2pmk=，0k>，所以1pyk=，直线AB的方程为：2py kxk=+，所以该直线与x轴的交点为2(2pQk-，0)，联立21py kxkyk⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得222(1)pyk k=+，22 11222231112()()()()2222222(1)8AQF BQFp p p p p p p kS S S y yk k k k k k ∆∆+ =-=+-=+-=+g，222211228(1)p pS yk k==+g g g（下同解法一）解法三：由解法二可得2(2pQk-，0)，1pyk=，222(1)pyk k=+，所以2222222 111222||||||2(1)2||||||(21)(1)222(1)BQFBQFppSS S yOF BQ OF kk kp p p pS S S QF AB QF y y k kk k k k∆∆+=====-+++-+g g g g，（下同解法一）解法四：设(A x，)y，则过点A的抛物线切线方程为00()y y p x x=+，所以该直线与x轴的交点为(Q x-，0)，所以||||2pQF AF x==+，取AQ 中点M ，则FM AQ ⊥，设FBM ∆，OBQ ∆的面积3S ，4S ，则13324FBM FAM S S S S S S S ∆∆=+=+++， 2343142222212S S S S S S S S S S ++==+⨯+， 因为OB AQ ⊥，FM AQ ⊥，所以//OB FM ，所以03200||||21||||2FBM OBM p x S S FM QF p S S OB QO x x ∆∆+=====+， 00422||||2x x S QO p S OF p===， 所以3001422200221212(1)33222S x x S S p p S S S x p x p=+⨯+=+++=+++…， 当且仅当002x p x p =，即02p x =，取等号， 所以21322S S -„， 所以21S S 的最大值为322-， 直线000px y y px -+=与圆相切，所以2222022200()2p x r p px p y ==++， 所以222002222000212222222x r p p px x x -====+++． 所以21S S 取得最大值时，22r p 的为21-．22．（15分）已知函数2()(2)xa f x x e a a=--+． （1）若1a =-，求函数()f x 的单调区间及极值；（2）当0x >时，函数()1f x -…（其中0)a >恒成立，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）1a =-时，函数()1x f x x e -=-g 的导数为()x x f x e xe --'=-， 当1x >时，()0f x '<，1x <时，()0f x '>， 可得()f x 的增区间为(,1)-∞，减区间为(1,)+∞， ()f x 有极大值f （1）11e -=-，无极小值；（2）当0x >时，函数()1f x -…（其中0)a >恒成立， 可得2(2)1x ax e a a --+-…对0x >，0a >恒成立，令x t a=，可得x at =， 即有(22)10t ate a t a -+++…，可得211t a t a te -+…，设21()t t g t te -=， (21)(1)()t t t g t te +-'=，0t >，可得()g t 在(0,1)递增，(1,)+∞递减，可得()g t 的最大值为g （1）1e=， 则11a a e +…，解得11a e -…．。