1.4晶列、晶面指数解析

③ 遇到负数在该数上方加一横线。
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(3)等效晶向 在立方体中有，沿立方边的 晶列一共有6个不同的晶向，由于 [100]
[001]
[010]
[100]
晶格的对称性，这6个晶向并没有
什么区别，晶体在这些方向上的 性质是完全相同的，统称这些方 向为等效晶向，写成<100>。 同样 有12个等效〈110〉 面对角线 k j
D A
c
b
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C
B I
G F
。
在三个坐标 h' 轴上的截距 k' l'
AEG 1
ABCD
1
1
1
O a E H DIHG 2 1
1 1 1 h:k :l : : h k l
1:1:1
(111)
1 1 1 : : 1
(hkl)
(001)
1 1 1 : : 2 1 (120)
三个基矢坐标轴上截距系数的倒数之比。
综上所述，晶面指数(h1h2h3 )表示的意义是；
(1)基矢a1 , a 2 , a 3 被平行的晶面等间距的分割成|h1 |、 |h2|、|h3 |等份； (2)以 a1 , a2 , a3 为各轴的长度单位所求得的晶面指数是在
坐标轴上的截距倒数的互质比；
(3)晶面的法线与基矢夹角的方向余弦的比值。
记为[ l1l2 l3]， [ l1l2 l3 ]即为该晶列的晶向指数。
如遇到负数，将该数的上面加一横线。
如[121]表示
l1 1, l2 2, l3 1
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(2)以晶胞基矢表示
在晶胞基矢坐标系中，任一格点R’的位置矢量表示为
R ma nb p c
a , b , c 为晶胞基矢
2.晶向指数 (1) 用固体物理学原胞基矢表示 取原点O，晶格中任一格点的位矢为：
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a1 l2 a 2 l3 a3 R l1
a1 ,a 2 ,a 3
为固体物理学原胞基矢
, l3 为整数，将 l , l , l 化为互质的整数 l , l , l ， 其中 l1, l2 1 2 3 1 2 3
有一个晶面通过坐标系的原点；在基矢 a1 , a 2 , a 3 末端上的格点
也一定落在该晶面族的晶面上； (2)同一晶面族中的晶面平行且相邻晶面间距相等,故在原 点与基矢的末端间一定只有整数个晶面。
a1 n h1d a 2 n h2d a 3 n h3d
a cosa , n h d a cosa , n h d
A3
N
n
A2 A1
a 3 d
a2
O
a1
得：
所以
1 1 1 cos a1, n :cos a2 , n :cos a3, n : : ra1 sa2 ta3
h1 : h2 : h3 1 1 1 : : r s t
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任一晶面族的晶面指数，等于晶面族中任一晶面在
实际应用中常用的是以晶胞的基矢 a, b , c 为坐标轴
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来表示的晶面指数。方法与上述相同。
以晶胞基矢 a , b,c为坐标轴来表示的晶面指 数称为密勒指数，用(hkl)表示。 例如:某一晶面在a,b,c三轴的截距为4，1，2，则其倒数之
比为 1 : 1 : 1 1: 4 : 2 ，则该晶面族的密勒指数为(142)；
标明晶面
11:33 晶面的法线方向(法线方向与三个坐标轴夹角 )
晶面在三个坐标轴上的截距
在原胞基矢坐标系下表示
如图取一格点为顶点，原胞的三个 基矢a1 , a 2 , a 3为坐标系的三个轴，设某 一晶面与三个坐标轴分别交于A1,A2,A3, 设晶面的法线ON交晶面A1A2A3于N， A3
n
N
由于晶格的周期性，通过其它任一 格点可引出与原晶列平行 的晶列，这些相互平行的晶列族将全部格点包含无遗。
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晶列的特点
(1)平行晶列组成晶列族，晶 列族包含所有的格点； (2)由于晶格周期性，晶列 上格点按一定的周期分布， 该周期与晶向有关； (3)晶列族中的每一晶列上，格点 分布的取向和周期都是相同的； (4)在同一平面内，相邻晶列间的距离相等。
设OA1 r a1 ,OA2 sa 2 ,OA3 t a 3
r a1 n d sa 2 n d ta3 n d
s a cosa , n d t a cosa , n d
r a1cos a 1 , n d
2 2 3 3
F
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密勒指数是(210) 的晶面是ABCD面； 密勒指数是 (121) 的晶面是EFG面；
C E
B D A
a
c
G
b
F
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密勒指数小的面，晶面间距大，面原子密度高，晶体易于 在这些面上解理，X-ray衍射中这些面族的衍射也最强。
凡是立方晶格，如sc, fcc, bcc的晶面指数一般用密勒指 数表示（即在晶胞基矢坐标系下）。
a1 cos a 1 , n h1d
2 3 2 3 2 3
A3
n
N
a 3 d
a2
O
A2 A1
a1
即
h1 h2 h3 cos(a1, n):cos(a2, n):cos(a3, n) a : a : a 1 2 3
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若h1,h2和h3已知，则晶面族法矢量的方向余弦，即晶 面在空间的方位即可确定，我们定义h1，h2，h3为晶面指 数，并记作（ h1h2h3）。可以证明h1，h2，h3互质。
其中 m , n , p 为有理数,将 m , n , p化为互质的整数 m,n,p, 记为[mnp]，[mnp]即为该晶列的晶向指数.
D是BC的中点，求BE,AD的晶列指数。 解： OB i ,
a i , b j, c k 例1：如图在立方体中， A
OE i j k ,
a3
O
d
a2
A2 A1
ON长度为d，d为该晶面族相邻晶面间
的距离，为整数，该晶面法线方向的
a1
单位矢量用 n
程为：
表示，则晶面A1A2A3的方
x n d
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设 a 1 , a 2 , a 3的末端上的格点分别在离原点距离h1d、h2d、 h3d的不同的晶面上，这里 h1、h2、h3为整数 。 (1)所有格点都包容在一族晶面上；因此给定晶面族中必
4 1 2
由于对称性，在物理上完全等价的晶面族也可以统一表 示为{hkl} 。 可以证明，对于立方晶体，晶列 [hkl]与晶面 （ hkl） 正交。（晶面的密勒指数与晶面法线的晶向指数完全相 同。） 若某晶面系和某个轴平行，截距为无穷大，则相应的指 数为0。
例2：如图所示 a b c ，I和H 分别为BC，EF之中点，试求晶面 AEG，ABCD，DIHG的密勒指数
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AEG 的密勒指数是(111)； OEFG的密勒指数是(001)； DIHG的密勒指数是(120)。 例3:
D
A
c
b
C
F
在立方晶系中画出(210)、 (121) 晶面。
晶面在三个坐标轴上的截距分别为：
a
(210)
1 2
1
b
1
c
1
C E
B D A
a
c
G
b
(121)
1 2
c
b
E
C
BE OE OB j k
O
D
a
B
晶列BE的晶列指数为： [011]
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求AD的晶列指数。
E A
c
b
OA k ,
1 AD OD OA i j k 2
AD的晶列指数为: [212] 注意:
1 OD i j , 2
C D
a
O
B
① 晶列指数一定是一组互质的整数； 晶列(11-1) ② 晶列指数用方括号表示[ ]； 晶列[11-1] 晶列(111) 晶列[111]
晶面指数依赖于基矢的选取： 按照原胞和晶胞基矢得出同一晶面的面指数是不一样的。 如面心立方中，密勒指数为(110)的晶面，在原胞基矢坐 标系中其晶面指数为(112).
截距为2
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截距为2
截距为1 所以在原胞基矢坐标系下，此面的晶面指数为(112).
11:33
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§1.4
一、 晶向及晶向指数
晶列
晶面指数
1.晶向
晶体通常各向异性，研究或描述晶体的性质或内部发生的某 过程时，常常要指明晶体中的某个方向或某个方位的晶面。因 而需要建立一套标志方向的参量。 通过晶格中任意两个格点连一条直线称为晶列，晶列的取 向称为晶向，描写晶向的一组数称为晶向指数(或晶列指数)。 过一格点可以有无数晶列。
[001]
[010] [001]
[100]
[111] [100]
i
[010]
[110] [100]
8个等效〈111〉 体对角线
二、
晶面及密勒指数
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1.晶面
在晶格中，通过任意三个不在同一直线上的格点作一平面， 称为晶面，描写晶面方位的一组数称为晶面指数。 (1) 相互平行的晶面系将全部格点包含无遗，（即任一格点 必然落在晶面系的一个晶面上）; (2) 晶面上格点分布具有周期性； (3) 同一晶面族中的每一晶面上，格点分布(情况)相同； (4) 同一晶面族中相邻晶面间距相等。 2.晶面指数