2015全国高中数学联赛湖南预赛试题及答案(A卷)

2015年湖南省高中数学竞赛（A 卷）

（2015-06-27）

一、选择题（每个5分，共6题）

1.将选手的9个得分去掉1个最高分，去年1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数的茎叶图有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示，则7个剩余分数的方差为

A.

116

9

B.

367

C. 36

2.半径为R 的球的内部装有4个有相同半径r 的小球，则小球半径r 可能的最大值是

A.

B.

C .

3.已知数列{a n }和{b n }对任意*n N ∈，都有n n a b >，当n →+∞时，数列{a n }和{b n }的极限分别是A 和B ，则

A. A B >

B. A B ≥

C.

A B ≠ D. A 和B 的大小关系不确定

4.对所有满足15n m ≤≥≤的m,n,极坐标方程1

1cos n

m C ρθ

=-表示的不同双曲线条数为

A. 6

B. 9

C. 12

D. 15

5.使关于x k 有解的实数k 的最大值是

A. C.

6.设22{|,,}M x y x y Z αα==-∈，则对任意的整数n ，形如4n,4n+1,4n+2,4n+3的数中，不是M 中的元素的数为 A. 4n B. 4n+1 C. 4n+2 D. 4n+3

二、填空题（每个8分，共6题）

7.已知三边为连续自然数的三角形的最大角是最小角的两倍，则该三角形的周长为： 8.对任一实数序列123(,,,...)A ααα=，定义△A 为序列213243(,,,...)αααααα---，它的第n 项是1n n αα+-，假定序列△（△A ）的所有项都是1，且19920αα==，则1α的值为： 9.满足使1[]

2n

I =为纯虚数的最小正整数n=

10.将1，2，3，...，9这9个数字填在如图所示的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，当3，4固定在图中的位置时，填写空格的方法数为：

11.记集合3124

234

{0,1,2,3,4,5,6},{

|,1,2,3,4}7777i a a a a T M a T i ==+++∈=，将M 中的元素按从大到小顺序排列，则第2015年数是：

12.设直线系:cos (2)sin 1(02)M x y θθθπ+-=≤≤，对于下列四个命题： ①M 中所有直线均经过一个定点

②存在定点P 不在M 中的任一条直线上

③对于任意整数(3)n n ≥存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上 ④M 中的直线所能围成的三角形面积都相等

其中真命题的代号是： （写出所有真命题的代号）

三、解答题（共4题，满分72分）

13.（本小题满分16分）

如图所示，AB 为Rt △ABC 的斜边，I 为其内心，若△IAB 的外接圆的半径为R ，Rt △ABC 的内切圆半径为r ，求证：(22)R r ≥+.

如图，A ，B 为椭圆22221x y a b +=（a>b>0)和双曲线22

221x y a b -=的公共顶点，P 、Q 分别为双曲

线和椭圆上不同于A 、B 的动点，且满足()(,||1)AP BP AQ BQ R λλλ+=+∈>

求证：（Ⅰ）三点O 、P 、Q 在同一直线上；

（Ⅱ）若直线AP 、BP 、AQ 、BQ 的斜率分别是k 1、k 2、k 3、k 4，则k 1+k 2+k 3+k 4是定值。

15.（本小题满分20分）

已知整数列{}n a ，{}n b 满足11n n a a +=+，11

2n n n b a b +=+，对于正整数n ，定义函数

2()n n n f x x a x b =++，证明：若存在某个()k f x 有两个整数零点，则必有无穷多个()n f x 有两

个整数零点。

已知0a >，函数()ln (1),()x f x x a x g x e =--=。

（Ⅰ）经过原点分别作曲线()y f x =和()y g x =的切线1l 和2l 。已知两切线的斜率互为倒数，

求证：211e e a e e

--<<

（Ⅱ）设()(1)()h x f x g x =++，当0x ≥时，()1h x ≥恒成立，试求实数a 的聚会范围。

2015年湖南省高中数学竞赛答案（A卷）BBBADC

7.15 8.819 9.3 10.6 11.386

2401

12.②③

13.

14.