二元正态分布定义
正态分布
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汉漢▼正态分布概率密度函数绿线代表标准正态分布累积分布函数颜色与概率密度函数同参数μlocation（real）σ2 > 0 squared scale（real）支撑集概率密度函數累积分布函数期望值μ中位数μ众数μ方差σ2偏度0峰度 3信息熵动差生成函数特性函数正态分布（Normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。
若随机变量X服从一个数学期望为μ、标准方差为σ2的高斯分布，记为：X∼N(μ,σ2),则其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。
因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。
我们通常所说的标准正态分布是μ = 0,σ = 1的正态分布（见右图中绿色曲线）。
目录• 1 概要o 1.1 历史• 2 正态分布的定义o 2.1 概率密度函数o 2.2 累积分布函数o 2.3 生成函数▪ 2.3.1 动差生成函数▪ 2.3.2 特征函数• 3 性质o 3.1 标准化正态随机变量o 3.2 矩(英文:moment)o 3.3 生成正态随机变量o 3.4 中心极限定理o 3.5 无限可分性o 3.6 稳定性o 3.7 标准偏差• 4 正态测试• 5 相关分布• 6 参量估计o 6.1 参数的极大似然估计▪ 6.1.1 概念一般化o 6.2 参数的矩估计•7 常见实例o7.1 光子计数o7.2 计量误差o7.3 生物标本的物理特性o7.4 金融变量o7.5 寿命o7.6 测试和智力分布•8 计算统计应用o8.1 生成正态分布随机变量•9 参见•10 引用条目•11 外部连接[编辑]概要正态分布是自然科学与行为科学中的定量现象的一个方便模型。
二元正态分布函数
二元正态分布函数一、简介二元正态分布函数（双变量正态分布）是二维统计分布，表示随机变量X和Y之间的关系。
它是正态分布的推广，在统计学中很常用。
正态分布函数又称标准正态分布或正态分位分布（Normal Quantile Distribution），其起源于卡尔·弗里德曼（Karl Fredric Gauss）。
正态分布函数能够更好的描述理想情况下，随机变量的分布情况，这也是为什么它总是在许多函数估计中被运用的原因。
二元正态分布函数由其平均值μ和标准差σ决定，当μ=0时，σ=1时，称为标准正态分布函数。
两个变量x和y是独立的，因此联合概率密度函数是二元正态分布的乘积：f(x,y)=f1(x)*f2(y)。
其中f1(x)和f2(y)是单变量正态分布的概率密度函数，单变量正态分布的概率密度函数可以表示为：f1(x)=1/(2πσ1）*exp(-((x-μ1）/σ1）^2/2），其中μ1和σ1是x的平均值和标准差；f2(y)可以表示为：f2(y)=1/(2πσ2）*exp(-((y-μ2）/σ2）^2/2），其中μ2和σ2是y的平均值和标准差。
二元正态分布的概率密度函数可以表示为：f(x,y)=1/(2πσ1σ2）*exp(-((x-μ1）^2/2σ1^2 + (y-μ2）^2/2σ2^2）。
三、应用1、在微观经济学中，二元正态分布函数常被用来模拟货币需求函数附近的数据，以及其他经济问题的数据。
2、在金融学中，二元正态分布函数经常用于描述资产价格波动规律，反映资产价格变动的相关性。
3、在社会学和心理学中，二元正态分布函数常用于模拟两组数据之间存在的关系。
4、二元正态分布函数还可用于模拟生物学常见问题，例如植物生长的正态分布，生物标本个体特征的正态分布等。
概率论与数理统计考点
《概率论与数理统计》 第一章 随机事件与概率事件之间的关系： 事件之间的运算： 运算法则：交换律A ∪B=B ∪A A ∩B=B ∩A结合律(A ∪B)∪C=A ∪(B ∪C) (A ∩B)∩C=A ∩(B ∩C) 分配律(A ∪B)∩C=(AC)∪(BC) (A ∩B)∪C=(A ∪C)∩(B ∪C) 对偶律 A ∪B ‾‾ =A ‾∩B ‾ A ∩B ‾‾ =A ‾∪B ‾ 古典概型： 概率公式：求逆公式 P(A ‾)=1- P(A)加法公式 P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)P(A ∪B ∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) 求差公式：P(A-B)=P(A)-P(AB); 当A ⊃B 时，有P(A-B)=P(A)-P(B)注意： A-B = A B ‾ = A-AB = (A ∪B)-B条件概率公式：P(A|B)=P(AB)P(B); (P(B)>0)P(A|B)表示事件B 发生的条件下，事件A 发生的概率。
乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A)= P(B)P(A|B) (其中P(A)>0, P(B)>0) 一般有P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB) (其中P(AB)>0)全概率公式：P(A)= ∑i=1nP(A|B i )P(B i ) 其中B 1,B 2,…,B n 构成Ω的一个分斥。
贝叶斯公式：P(A k |B)= P(B|A k )P(A k )P(B) = P(B|A k )P(A k )∑i=1nP(B|A i )P(A i )（由果溯因）概论的性质：事件的独立性：如果事件A 与事件B 满足P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A 与事件B 相互独立。
结论：1. 如果P(A)>0，则事件A 与B 独立⇔2. 事件A 与事件B 独立⇔事件A 与事件B ‾独立⇔事件A ‾与事件B 独立⇔事件A ‾与事件B ‾独立贝努里概型：指在相同条件下进行n 次试验；每次试验的结果有且仅有两种A 与A ‾；各次试验是相互独立；每次试验的结果发生的概率相同P(A)=p, P(A‾)=1-p 。
正态分布的相关与独立
第十一周正态分布专题11.1正态分布的相关与独立二元正态分布的两个重要性质：（1）二元正态分布的边缘分布为一元正态分布。
但是逆命题不成立，即边缘密度均为正态，联合分布未必是二元正态。
（2）如果()()ρσσμμ,,,,~,222121N Y X ，则Y X ,相互独立⇔Y X ,不相关，即()0,=Y X Cov 或0=ρ。
注：对一般随机变量Y X ,,Y X ,相互独立可以推出Y X ,不相关。
但是Y X ,不相关则不能推出YX ,一定相互独立。
二元正态分布从不相关推出独立的性质是很容易验证：()()()()222212122222121212221212x y x y e e e μμμμσσσσπσσ⎡⎤-----⎢⎥+--⎢⎥⎣⎦=**********************************************************定理：设随机变量()()221212,~,,,,X Y N μμσσρ，则()1122,a X b Y a X b Y ++也服从二元正态分布。
计算aX bY +的分布参数()()()E aX bY aE X bE Y +=+12a b μμ=+()()()()2,Var aX bY Var aX Var bY Cov aX bY+=++222212122a b ab σσρσσ=++()2222121212~,2aX bY N a b a b ab μμσσρσσ++++。
**********************************************************例11.1.1(,)X Y 服从二维正态分布，,X Y 都服从2(0,)N σ，,X Y 的相关系数为0.6。
如果aX Y -和X Y +相互独立，试求常数a 的值。
解：(,)aX Y X Y -+服从二维正态分布，所以,aX Y X Y -+独立当且仅当它们不相关，即Cov(aX -Y,X +Y)=0。
正态分布（高斯分布）
正态分布（⾼斯分布）正态分布（Normal distribution）⼜名⾼斯分布（Gaussian distribution），是⼀个在数学、物理及⼯程等领域都⾮常重要的概率分布，在统计学的许多⽅⾯有着重⼤的影响⼒。
正态分布是⾃然科学与⾏为科学中的定量现象的⼀个⽅便模型。
各种各样的⼼理学测试分数和物理现象⽐如光⼦计数都被发现近似地服从正态分布。
尽管这些现象的根本原因经常是未知的，理论上可以证明如果把许多⼩作⽤加起来看做⼀个变量，那么这个变量服从正态分布(在R.N.Bracewell的Fourier transform and its application中可以找到⼀种简单的证明)。
正态分布出现在许多区域统计:例如, 采样分布均值是近似地正态的，既使被采样的样本总体并不服从正态分布。
另外，常态分布信息熵在所有的已知均值及⽅差的分布中最⼤，这使得它作为⼀种均值以及⽅差已知的分布的⾃然选择。
正态分布是在统计以及许多统计测试中最⼴泛应⽤的⼀类分布。
在概率论，正态分布是⼏种连续以及离散分布的极限分布。
正态态分布最早是亚伯拉罕·棣莫弗在1734年发表的⼀篇关于⼆项分布⽂章中提出的。
拉普拉斯在1812年发表的《分析概率论》拉普拉斯定理。
（Theorie Analytique des Probabilites）中对棣莫佛的结论作了扩展。
现在这⼀结论通常被称为棣莫佛－拉普拉斯定理。
拉普拉斯在误差分析试验中使⽤了正态分布。
勒让德于1805年引⼊最⼩⼆乘法这⼀重要⽅法；⽽⾼斯则宣称他早在1794年就使⽤了该⽅法，并通过假设误差服从正态分布给出了严格的证明。
“钟形曲线”这个名字可以追溯到Jouffret他在1872年⾸次提出这个术语"钟形曲⾯"，⽤来指代⼆元正态分布（bivariate normal）。
正态分布这个名字还被Charles S. Peirce、Francis Galton、Wilhelm Lexis在1875分布独⽴的使⽤。
二元正态分布定义
【例1】
1 p ( x, y ) e 2 且
x2 y 2 2
(1 sin x sin y ), x R, y R，可见P(x,y) 0，
p( x, y)dxdy 1
x2 2
p( y)是联合p.d . f ，易求出：
P ( x) 1 e 2
1 , ( x, y) p( x, y) () 0, 其它
显然： P(( , ) B)
p( x, y)dxdy
B
p(x,y)是随机变量 ( ,) 服从区域 上的均匀分布
注：
特别地，当为矩形D={(x,y)：a x b,c y d}，则 1 , ( x, y ) D p(x,y)= (b-a)(d-c) 0, ( x, y ) D
2
1 , 2 , a1 , a2 , 是五个常数，且 1 0， 2 0， 1，那么
称( , )服从参数为(a1 , a2 , , 2 , )的二元正态分布。
2 1 2
记为( , )～N(a1 , a2 , 12 , 2 2 , )。
（2）二元正态密度的性质 P( x, y) 0
F ( x1, x2 , , xn ) P(1 x1, 2 x2 , , n xn )
为n维随机变量 (1, 2 , , n ) 的联合分布函数。 【注】为方便，我们重点讨论二维随机变量( , )。
F ( x, y) ( x, y) R2 有 此时， P( x, y)。
y1 · x1
·
x2
·
x
的联合分布函数F(x,y) 定理1：二维随机变量 （，） 具有如下的基本性质： F（x，y）对每个变元是非降的； F（x，y）对每个变元左连续； F（-∞，y）＝0，F（x，-∞）＝0,F(-∞, +∞ ）=1
二元正态分布的条件分布
二元正态分布的条件分布
在统计学中，二元正态分布是指一个具有两个连续随机变量的正态分布，通常被表示为[X,Y]~N(μ, Σ)，其中μ是平均向量，Σ是协方差矩阵。
当给定其中一个变量的值时，我们可以计算另一个变量的条件分布。
具体而言，当给定X=x时，Y的条件分布为：
Y|x ~ N(μy|x,σy^2|x)
其中μy|x和σy^2|x是给定X=x时Y的平均值和方差，它们可以通过以下公式计算：
μy|x = μy + ρσy(x-μx)/σx
σy^2|x = σy^2(1-ρ^2)
其中，ρ是X和Y之间的相关系数，μx和σx是X的平均值和标准差，μy和σy是Y的平均值和标准差。
这个公式告诉我们，当给定X时，Y的均值和方差都会发生变化，而这个变化是由X和Y之间的相关性决定的。
条件分布的意义在于，在给定一个变量的值的情况下，我们可以更准确地预测另一个变量的取值。
在实际应用中，条件分布广泛应用于金融、医学、天气预测等领域。
- 1 -。
a第3讲1.4特征函数-1.5多元正态分布1
[ ] ∑ g(t ) = E eitX = eitxk pk
k
1
江西理工大学理学院
若 X 为连续型随机变量，其概率密度函数为 f (x)，
[ ] ∫ g(t ) = E eitX = ∞ eitx f (x)dx = &[ f ( x)](−t) −∞
江西理工大学理学院
性质 2 设 X = (X1, X2 ,L, Xn )服从n维正态分布 N (a, B)，
则a和B分别为n维随机向量 X 的均值向量和协方差矩 阵，即
µi = EX i , i = 1,2,L, n;
bik = cov(Xi , Xk ),i,k = 1,2,L, n 性质 3 设 X = (X1, X2,L, Xn )服从n维分布 N (a, B)，则
∫ ∫ g(t ) = ∞ eitx f (x)dx = −∞
1
2π
∞⎡
−
∞
exp⎢− ⎣
x2 2
⎤ ⎥e
itx
dx
⎦
=
1
2π
&
⎢⎢⎣⎡exp⎜⎜⎝⎛
−
x2 2
⎟⎟⎠⎞⎥⎥⎦⎤(− t )
=
exp⎜⎜⎝⎛
−
t2 2
⎟⎟⎠⎞
( ) 例设 X 服从 N µ,σ 2 ,求其特征函数。
解:
令Y
=
X−
σ
µ
,
则Y ~ N (0,1),
§1.4 特征函数
江西理工大学理学院
定义 1.10 设随机变量 X 的分布函数为F ( x)，则称
[ ] ∫ gX (t) = E eitX
=
高等数学3.3 随机变量及其函数分布
, ,
1 y 1 其它
例3.4 设二维随机变量(X , Y)具有密度函数
2e (2 x + y ) , f ( x, y ) = 0 , 求概率 P{Y ≤X} .
x 0, y 0 其它
解 将(X , Y)看作是平面上随机点的坐标 . 即有 {Y ≤X}= {(X , Y) G } , 其中G为xOy平面上 直线 y=x 及其下方的部分 , 如右图所示 . 于是
却未必服从二元正态分布 . 这是因为不同的
对应于不同的二维正态分布, 但它们的边缘 分布却可能一样 .
二、两个随机变量函数的分布:
1、Z = X + Y 的分布: 设(X , Y)的概率密度为 f (x , y) , 则Z = X + Y 的 分布函数为
FZ (z ) = P Z z
=
x yz
??????221211exp2121fxy????设二维随机变量xy的密度函数为???????????????????2211222212122xxyy??22121212其中为参数数且?????????????????????????2212120xy称服从参数为????????????????????二元正态分布的记作221212xyn??????????????????二元正态分布的边缘分布是一元注正态分布4它们的参数对应于二元正态分布的前前个参数
2 0 称 X Y 服从参数为 1 2 12 2
的二元正态分布, 记作
X Y N 1 2
2 1 2 2
注 二元正态分布的边缘分布是一元正态分布, 它们的参数对应于二元正态分布的前4个参数. 但两个边缘分布为正态分布的二维随机向量
心理学基本概念系列文库：二元正态分布
心理学基本概念系列——
二元正态分布形而上是人类区别于动物的重要文明之一，
情志，即现在所说的心理学，
在人类医学有重要地位。
本文提供对心理学基本概念
“二元正态分布”
的解读，以供大家了解。
二元正态分布
一译“双变量正态分布”。
正态分布的一种。
一元正态分布在二元情形下的推广。
若(X1，X2)是二维随机向量，其联合密度函数为
f(x1，x2)=·exp｛－［()2－2ρ()()+()2］｝，(对一切－∞＜x1＜+∞，－∞＜x2＜+∞成立)，式中μ1，μ2，σ1，σ2，ρ是分布的五个参数，σ1＞0，σ2＞0，｜ρ｜＜1，则称(X1，X2)服从二元正态分布。
二元正态分布的二个边际分布是两个一元正态分布，即f1(x1)=f(x1，x2)dx2=e－(x1－μ1)2／，(对一切－∞＜x1＜+∞)，f2(x2)=f(x1，x2)dx1=e－(x2－μ2)2／，(对一切－∞＜x2＜+∞)，即X1～N(μ1，)，X2～N(μ2，)。
二元正态分布情况下，两个变量的独立性与相关性是等价的(注意，一般情况下，此结论未必成立)。
因为X1与X2之间的相关系数ρ=，式中σ12是X1与X2之间的协方差，即σ12=(x1－μ1)(x2－μ2)f(x1，
x2)dx1dx2。
当ρ=0与σ12=0是等价的，再由(X1，X2)的联合密度函数f(x1，x2)看出，若ρ=0，推出f(x1，
x2)=f1(x1)·f2(x2)，即X1与X2相互独立，反之亦成立。
正态分布的数学期望与方差
正态分布的数学期望与方差正态分布:密度函数为: 分布函数为的分布称为正态分布～记为N(a, σ2). 密度函数为:或者称为n元正态分布。
其中B是n阶正定对称矩阵～a是任意实值行向量。
称N(0,1)的正态分布为标准正态分布。
,1, 验证是概率函数,正值且积分为1, ,2, 基本性质:,3, 二元正态分布:其中～二元正态分布的边际分布仍是正态分布:二元正态分布的条件分布仍是正态分布:即 ,其均值是x的线性函数,其中r可证明是二元正态分布的相关系数。
,4, 矩～对标准正态随机变量～有,5, 正态分布的特征函数多元正态分布,1, 验证其符合概率函数要求,应用 B为正定矩阵～L为非奇异阵～然后进行向量线性变换,,2, n元正态分布结论a) 其特征函数为:b) 的任一子向量 ,m?n 也服从正态分布～分布为其中～为保留B的第～… 行及列所得的m阶矩阵。
表明:多元正态分布的边际分布还是正态分布c) a,B分别是随机向量的数学期望及协方差矩阵～即表明:n元正态分布由它的前面二阶矩完全确定d) 相互独立的充要条件是它们两两不相关e) 若～为的子向量～其中是～的协方差矩阵～则是～相应分量的协方差构成的相互协方差矩阵。
则相互独立的充要条件为 ,0f) 服从n元正态分布N(a,b)的充要条件是它的任何一个线性组合服从一元正态分布表明:可以通过一元分布来研究多元正态分布g) 服从n元正态分布N(a,b),C为任意的m×n阶矩阵～则服从m元正态分布表明:正态变量在线性变换下还是正态变量～这个性质简称正态变量的线性变换不变性推论: 服从n元正态分布N(a,b)～则存在一个正交变化U～使得是一个具有独立正态分布分量的随机向量～他的数学期望为Ua～而他的方差分量是B的特征值。
条件分布若服从n元正态分布N(a,b)～～则在给定下～的分布还是正态分布～其条件数学期望:(称为关于的回归)其条件方差为:,与无关,•••••••••••••••••• 【唯美句子】走累的时候～我就到升国旗哪里的一角台阶坐下～双手抚膝～再闭眼～让心灵受到阳光的洗涤。
二项分布与正态分布
二项分布与正态分布在概率统计学中，二项分布和正态分布是两个非常重要的概率分布。
二项分布是描述离散型随机变量的分布，而正态分布则是描述连续型随机变量的分布。
本文将对二项分布和正态分布进行详细介绍和比较。
一、二项分布二项分布是由进行多次独立的二元实验而引起的概率分布。
在每次实验中，结果只有两种可能，成功或失败，成功的概率为p，失败的概率为1-p。
进行n次实验后，成功的次数就构成了一个二项分布。
二项分布的概率质量函数可以用公式表示为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，C(n,k)表示从n个实验中取出k个成功的组合数，p表示成功的概率，(1-p)表示失败的概率。
二、正态分布正态分布又称为高斯分布，是自然界中非常常见的一种连续型概率分布。
正态分布的概率密度函数在数学上表达为：f(x) = (1/σ√(2π)) * e^-(x-μ)^2/(2σ^2)其中，μ表示分布的均值，σ表示标准差，e表示自然对数的底。
正态分布的形状是一个钟形曲线，呈现对称性，并且均值、中位数、众数都位于曲线中心。
三、二项分布与正态分布的关系当二项分布中的实验次数n足够大，并且成功的概率p足够接近于0.5时，二项分布可以近似地用正态分布来描述。
这是由于中心极限定理的作用，即大量相互独立的随机变量的和近似服从正态分布。
具体来说，当n比较大时，二项分布的均值μ=n*p和方差σ^2=n*p*(1-p)的值也比较大。
而正态分布的均值和方差可以通过对二项分布的均值和方差进行适当的变换得到。
当n趋近于无穷大时，二项分布与正态分布的差别越来越小，因此可以用正态分布来近似描述二项分布。
四、应用场景二项分布常用于描述二元实验的结果，比如投掷硬币的结果、产品的合格率等。
通过对二项分布进行分析，可以计算出实验成功的概率、失败的概率以及在一定实验次数下成功的期望次数。
而正态分布则广泛应用于自然和社会科学的各个领域。
由于其对称性和中心极限定理的作用，正态分布可以用于描述和分析连续型随机变量的分布情况。
统计学常识标准差，正态分布，西格玛
统计学常识标准差，正态分布，西格玛为非负数值，与测量资料具有相同单位。
一个总量的标准差或一个随机变量的标准差，及一个子集合样品数的标准差之间，有所差别。
标准差的观念是由卡尔·皮尔逊(KarlPearson)引入到统计中。
标准差可以当作不确定性的一种测量。
例如在物理科学中，做重复性测量时，测量数值集合的标准差代表这些测量的精确度。
当要决定测量值是否符合预测值，测量值的标准差占有决定性重要角色:如果测量平均值与预测值相差太远(同时与标准差数值做比较)，则认为测量值与预测值互相矛盾。
这很容易理解，因为如果测量值都落在一定数值范围之外，可以合理推论预测值是否正确。
标准差应用于投资上，可作为量度回报稳定性的指标。
标准差数值越大，代表回报远离过去平均数值，回报较不稳定故风险越高。
相反，标准差数值越小，代表回报较为稳定，风险亦较小。
在真实世界中，除非在某些特殊情况下，找到一个总体的真实的标准差是不现实的。
大多数情况下，总体标准差是通过随机抽取一定量的样本并计算样本标准差估计的。
在实际应用上，常考虑一组数据具有近似于正态分布的机率分布。
若其假设正确，则约68%数值分布在距离平均值有1个标准差之内的范围，约95%数值分布在距离平均值有2个标准差之内的范围，以及约99.7%数值分布在距离平均值有3个标准差之内的范围。
称为68-95-99.7法则。
从几何学的角度出发，标准差可以理解为一个从n维空间的一个点到一条直线的距离的函数。
举一个简单的例子，一组数据中有3个值，X1,X2,X3。
它们可以在3维空间中确定一个点P=(X1,X2,X3)。
想像一条通过原点的直线。
如果这组数据中的3个值都相等，则点P就是直线L上的一个点，P到L的距离为0,所以标准差也为0。
若这3个值不都相等，过点P作垂线PR垂直于L，PR交L于点R，则R的坐标为这3个值的平均数，运用一些代数知识，不难发现点P与点R之间的距离(也就是点P到直线L的距离)是。
《计量经济学》第二章知识
第二章 数学基础 (Mathematics)第一节 矩阵(Matrix)及其二次型(Quadratic Forms)第二节 分布函数(Distribution Function)，数学期望(Expectation)及方差(Variance) 第三节 数理统计（Mathematical Statistics ） 第一节 矩阵及其二次型(Matrix and its Quadratic Forms)2.1 矩阵的基本概念与运算 一个m ×n 矩阵可表示为：v a a a a a aa a a a A mn m m n n ij ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡== 212222111211][矩阵的加法较为简单，若C=A +B ，c ij =a ij +b ij但矩阵的乘法的定义比较特殊，若A 是一个m ×n 1的矩阵，B 是一个n 1×n 的矩阵，则C =AB 是一个m ×n 的矩阵，而且∑==nk kj ikij b ac 1，一般来讲，AB ≠BA ，但如下运算是成立的：● 结合律（Associative Law ） (AB )C =A （BC ） ● 分配律（Distributive Law ） A (B +C )=AB +AC 问题：(A+B)2=A 2+2AB+B 2是否成立？向量（Vector ）是一个有序的数组，既可以按行，也可以按列排列。
行向量(row ve ctor)是只有一行的向量，列向量(column vector)只有一列的向量。
如果α是一个标量，则αA =[αa ij ]。
矩阵A 的转置矩阵(transpose matrix)记为A '，是通过把A 的行向量变成相应的列向量而得到。
显然(A ')′=A ，而且（A +B ）′=A '+B '，● 乘积的转置（Transpose of ａ production ） A B AB ''=')(，A B C ABC '''=')(。
《正态分布》说课稿
《正态分布》说课稿引言概述：正态分布是概率统计学中重要的一种概率分布，也被称为高斯分布。
它在自然界和社会科学中的应用非常广泛，被广泛用于描述各种随机变量的分布情况。
本文将从五个方面详细介绍正态分布的概念、性质、应用以及计算方法。
一、正态分布的概念1.1 正态分布的定义：正态分布是一种连续型的概率分布，其概率密度函数呈钟形曲线，摆布对称，以均值μ为中心，标准差σ决定曲线的宽窄。
1.2 正态分布的特点：正态分布具有惟一的均值和标准差，均值决定了曲线的位置，标准差决定了曲线的形状。
1.3 正态分布的标准化：通过标准化可以将正态分布转化为标准正态分布，使得计算更加方便。
二、正态分布的性质2.1 正态分布的对称性：正态分布的概率密度函数在均值处对称，即摆布两侧的曲线形状彻底相同。
2.2 正态分布的稳定性：正态分布具有稳定性，即多个独立的正态分布的和仍然服从正态分布。
2.3 正态分布的中心极限定理：根据中心极限定理，当样本容量足够大时，样本均值的分布将近似服从正态分布。
三、正态分布的应用3.1 统计判断：正态分布在统计判断中起到重要的作用，例如通过样本均值的正态分布来判断总体均值的置信区间。
3.2 质量控制：正态分布在质量控制中被广泛应用，例如通过控制图来判断产品质量是否稳定。
3.3 金融领域：正态分布在金融领域中的应用也非常广泛，例如股票收益率的分布通常被假设为正态分布。
四、正态分布的计算方法4.1 正态分布的概率计算：可以使用标准正态分布表或者计算机软件来计算正态分布的概率。
4.2 正态分布的参数估计：可以使用最大似然估计或者最小二乘法来估计正态分布的参数。
4.3 正态分布的抽样方法：可以使用随机抽样方法来获取符合正态分布的样本。
五、结语正态分布作为概率统计学中重要的一种分布，具有丰富的性质和广泛的应用。
通过深入了解正态分布的概念、性质、应用以及计算方法，我们可以更好地应用正态分布进行数据分析和判断，为各个领域的决策提供科学依据。
第三章多元正态分布
E
Σˆ
=
1 n
E
n i 1
xi
x
xi
x
=
1 n
E
n i 1
xi
μ
x
μ
xi
μ
x
μ
1 n
E
n
i1
xi
μ
xi
μ
n
x
μ
x
μ
1 n
n
V
i 1
xi
nV
x
1 n
nΣ
n
1 n
Σ
n 1 n
Σ
25
2.有效性
❖ 设θˆ 是θ的一个无偏估计，若对θ的任一无偏估计 θ
有
V θˆ V θ ，θ Θ
；14 44
x4
4 44 41 43
(iii)
x1 x3
N3
1 3
,
14 34
11 31
。13 33
11
❖ (5)设x1,x2,⋯,xn相互独立，且xi~Np(μi, Σi) ，i=1,2,⋯,n， 则对任意n个常数k1,k2,⋯,kn，有
n
μ1
2
μ1
Σ12
Σ
1 22
x2 μ2
Σ11
2
Σ11
Σ12
Σ
1 22
Σ
21
➢ μ1·2和Σ11·2分别是条件数学期望和条件协方差矩阵， Σ11·2通常称为偏协方差矩阵。
14
➢ 这一性质可作一般化推广，并对于多元正态变量， 其子向量的条件分布仍是（多元）正态的。
❖ 例3.2.7 设x~N3(μ, Σ)，其中
F, a1x1 a2 x2 ap xp 1
正态分布的数学期望与方差
正态分布的数学期望与方差正态分布:密度函数为: 分布函数为的分布称为正态分布～记为N(a, σ2). 密度函数为:或者称为n元正态分布。
其中B是n阶正定对称矩阵～a是任意实值行向量。
称N(0,1)的正态分布为标准正态分布。
,1, 验证是概率函数,正值且积分为1, ,2, 基本性质:,3, 二元正态分布:其中～二元正态分布的边际分布仍是正态分布:二元正态分布的条件分布仍是正态分布:即 ,其均值是x的线性函数,其中r可证明是二元正态分布的相关系数。
,4, 矩～对标准正态随机变量～有,5, 正态分布的特征函数多元正态分布,1, 验证其符合概率函数要求,应用 B为正定矩阵～L为非奇异阵～然后进行向量线性变换,,2, n元正态分布结论a) 其特征函数为:b) 的任一子向量 ,m?n 也服从正态分布～分布为其中～为保留B的第～… 行及列所得的m阶矩阵。
表明:多元正态分布的边际分布还是正态分布c) a,B分别是随机向量的数学期望及协方差矩阵～即表明:n元正态分布由它的前面二阶矩完全确定d) 相互独立的充要条件是它们两两不相关e) 若～为的子向量～其中是～的协方差矩阵～则是～相应分量的协方差构成的相互协方差矩阵。
则相互独立的充要条件为 ,0f) 服从n元正态分布N(a,b)的充要条件是它的任何一个线性组合服从一元正态分布表明:可以通过一元分布来研究多元正态分布g) 服从n元正态分布N(a,b),C为任意的m×n阶矩阵～则服从m元正态分布表明:正态变量在线性变换下还是正态变量～这个性质简称正态变量的线性变换不变性推论: 服从n元正态分布N(a,b)～则存在一个正交变化U～使得是一个具有独立正态分布分量的随机向量～他的数学期望为Ua～而他的方差分量是B的特征值。
条件分布若服从n元正态分布N(a,b)～～则在给定下～的分布还是正态分布～其条件数学期望:(称为关于的回归)其条件方差为:,与无关,•••••••••••••••••• 【唯美句子】走累的时候～我就到升国旗哪里的一角台阶坐下～双手抚膝～再闭眼～让心灵受到阳光的洗涤。
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P( =xi , y j ) Pij , (i, j N ) 边际分布列为P( xi ) Pi (i N )
P( y j ) P j ( j N)
则与相互独立 P ij P i P j
思考题
把定理1和定理2推广到n元的情形
【例2】 设（，）的联合p.d . f 为：
8xy, 0 x y,0 y 1 P(x,y)= 其它 0, 问 与是否相互独立？
【解】 4 x 4 x 3 , 0 x 1 P ( x) 其它 0,
4 y 3 , 0 y 1 P (y) 其它 0,
由此可见：当点(x,y)图中阴影部分时，P(x,y) P ( x)P ( y)
（，） 的联合密度函数p(x,y)具有如下性质：
p(x,y) ≥0
）＝1 P( x, y)dxdy F (，
2 F( x, y) P( x, y) 在p(x,y)的连续点(x,y)处有 xy
G是平面上某一区域，则P{( , ) G} p ( x, y ) dxdy
lim F ( x, y ) F ( x, )
同理：F ( y) F (, y)
F ( x) F ( x, )
x
p( , )d d
x
[ p( , )d ]d
P ( x)
p( x, )d
, an n bn ) F (b1 , b2 , , bn 1 , an )
二、二维连续型随机变量
（，） 定义：如果二维R.V. 的联合分布函数 F（x，y），存在非负可积函数p（x，y），使得
F ( x, y)
P(, )d d
x
y
那么，称F（x，y）是连续型联合分布函数，并称 （，） 是二维连续型R.V。 此时，也称p（x，y）为 的概率密度函数。 （，）
即 P ( x)
p( x, y)dy
p(x,y)的边际p.d.f
同理： P ( x)
p( x, y)dx
三、常用的二维连续型分布 1.均匀分布
设 是一平面区域，其面积为 () ，向 内随机地投一 点，( ,) 表示投点的坐标，由几何概型知：对任一区域B R2 ,有 ( B ) P(( , ) B) () 假设
即：
～ (a, b) ～ (c, d )
上的二元 【注】1. 均匀分布可推广 到m维区域上的均 匀分布。 2. (a, b; c, d ) 可推广 到n次矩形体上的 多元均匀分布。
附：
当( , )～ (a, b; c, d )时，则不难求出( , )的联合d . f .F ( x, y )： 0, x a或y c ( x a )( y c) , a x b, c y d (b a )(d c) y c , x b, c y d F ( x, y ) d c xa , a x b, y d ba 1, x b, y d
2
1 , 2 , a1 , a2 , 是五个常数，且 1 0， 2 0， 1，那么
称( , )服从参数为(a1 , a2 , , 2 , )的二元正态分布。
2 1 2
记为( , )～N(a1 , a2 , 12 , 2 2 , )。
（2）二元正态密度的性质 P( x, y) 0
p( x, y)dxdy 1
1 P e ( x ) p ( x, y ) dy 2 1 ( x a1 )2 2 12
P ( y)
p( x, y)dx
1 2 2
e
( y a2 )2 2 22
【注】 F (, y )
x y
lim F ( x, y )
x y
F ( x, )
lim F ( x, y )
lim F ( x, y )
F (, ) 1
定理2：n维随机变量 ( , , , )的联合分布函数 F ( x1 , x2 , , xn )具有如下性质： F ( x1, x2 , , xn ) 对每个变量是非降的；
～N (0,1) ～N (0,1)
1 P e ( y) 2
y2 2
两个边际分布都是正态的，但它们的联合分 布可以不是二元正态
四、随机变量的独立性
定义： 设( , )的联合d.f为F(x,y),边际d.f为F ( x)，F ( y )。
如果P( x, y ) P( x) P( y ), ( x, y ) R 2 , 或F ( x, y ) F ( x) F ( y ), ( x, y ) R 2 , 那么称 与相互独立。
1 2 n
F ( x1 , x2 ,
xi xi
, xn ) 对每个变量是左连续的；
lim F ( x1 , x2 , lim F ( x1 , x2 ,
, xn ) 0 , xn ) 1
i 1, n
对任意的实数 ai bi，i 1, n
P (a1 1 b1 , a2 2 b2 , (1) n F (a1 , a2 , F (b1 , b2 , , bn ) [ F ( a1 , b2 , , an ) 0 , bn )
为n维随机变量 (1, 2 , , n ) 的联合分布函数。 【注】为方便，我们重点讨论二维随机变量( , )。
F ( x, y) ( x, y) R2 有 此时， P( x, y)。
由上述得：F(x,y）是二维随机变量 落入图中 （，） 阴影部分的概率。 y
（x，y） ●
3.3 多维随机变量及其分布
一、多维随机变量及其联合分布函数
定义1：如果 1, 2 , , n 是概率空间(, F , P) 上的n个随机 变量，那么称向量（ 1 , 2 , , n）为n维随机变量或n维随 机向量。 定义2：对 ( x1, x2 , , xn ) Rn ，称
F ( x1, x2 , , xn ) P(1 x1, 2 x2 , , n xn )
x
（，） 落入任一矩形 {( x, y) : x1 x x2 , y1 y y2} 显见： 内的概率：
P( x1 x2 , y1 y2 ) F ( x2 , y2 ) F ( x1 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y1 ) y y2·
y1 · x1
·
x2
·
x
的联合分布函数F(x,y) 定理1：二维随机变量 （，） 具有如下的基本性质： F（x，y）对每个变元是非降的； F（x，y）对每个变元左连续； F（-∞，y）＝0，F（x，-∞）＝0,F(-∞, +∞ ）=1
F ( x2 , y2 ) F ( x1 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y1 ) 0
定理1 设P( x, y )是( , )的联合p.d . f , P ( x), P ( y )是边际p.d . f ，则
2 和相互独立 P( x, y ) P ( x) P ( y ), ( x , y ) R
定理2 设二维离散型R.V.( , )的联合分布列为
与不相互独立
定理3
设( , )～N (1 , 2 , 12 , 2 2 , ), 则
与相互独立 ＝0
可以把二维区域 上的 均匀分布推广到n维区 域上的均匀分布
【例1】设 ( , )～ (a, b, c, d )，求边际分布
【解】
1 , a xb P ( x) b a 其它 0, 1 , c yd P (y) d c 其它 0,
2.二元正态分布 （1）二元正态分布定义
如果（，）的联合p.d . f 为 p( x, y ) 1 2 1 2 1 p 2 e
1 2(1 p )
2
[
( x a1 )2
12
( x a1 )( y a2 ) ( y a1 ) 2 2 ] 2
Байду номын сангаас
1 2
G
边际分布
F ( x) P( x) P{( x) } P{( x) ( )} P{( x) ( )} P{ x, } F(x,y)的边际分布函数 lim P{ x, y}
y y
【例1】
1 p ( x, y ) e 2 且
x2 y 2 2
(1 sin x sin y ), x R, y R，可见P(x,y) 0，
p( x, y)dxdy 1
x2 2
p( x, y)是联合p.d . f ，易求出：
P ( x) 1 e 2
1 , ( x, y) p( x, y) () 0, 其它
显然： P(( , ) B)
p( x, y)dxdy
B
p(x,y)是随机变量 ( ,) 服从区域 上的均匀分布
注：
特别地，当为矩形D={(x,y)：a x b,c y d}，则 1 , ( x, y ) D p(x,y)= (b-a)(d-c) 0, ( x, y ) D