二元正态分布定义

定理1 设P( x, y )是( , )的联合p.d . f , P ( x), P ( y )是边际p.d . f ，则
2 和相互独立 P( x, y ) P ( x) P ( y ), ( x , y ) R
定理2 设二维离散型R.V.( , )的联合分布列为
lim F ( x, y ) F ( x, )
同理：F ( y) F (, y)
F ( x) F ( x, )
x

p( , )d d
x


[ p( , )d ]d

P ( x)
p( x, )d
为n维随机变量 (1, 2 , , n ) 的联合分布函数。 【注】为方便，我们重点讨论二维随机变量( , )。
F ( x, y) ( x, y) R2 有 此时， P( x, y)。
由上述得：F(x,y）是二维随机变量 落入图中 （，） 阴影部分的概率。 y
（x，y） ●
1 , ( x, y) p( x, y) () 0, 其它
显然： P(( , ) B)
p( x, y)dxdy
B
p(x,y)是随机变量 ( ,) 服从区域 上的均匀分布
注：
特别地，当为矩形D={(x,y)：a x b,c y d}，则 1 , ( x, y ) D p(x,y)= (b-a)(d-c) 0, ( x, y ) D


p( x, y)dxdy 1
1 P e ( x ) p ( x, y ) dy 2 1 ( x a1 )2 2 12
P ( y)

p( x, y)dx
1 2 2
e

( y a2 )2 2 22
可以把二维区域 上的 均匀分布推广到n维区 域上的均匀分布
【例1】设 ( , )～ (a, b, c, d )，求边际分布
【解】
1 , a xb P ( x) b a 其它 0, 1 , c yd P (y) d c 其它 0,
【注】 F (, y )
x y
lim F ( x, y )
x y
F ( x, )
lim F ( x, y )
lim F ( x, y )
F (, ) 1
定理2：n维随机变量 ( , , , )的联合分布函数 F ( x1 , x2 , , xn )具有如下性质： F ( x1, x2 , , xn ) 对每个变量是非降的；
即：
～ (a, b) ～ (c, d )
上的二元 【注】1. 均匀分布可推广 到m维区域上的均 匀分布。 2. (a, b; c, d ) 可推广 到n次矩形体上的 多元均匀分布。
附：
当( , )～ (a, b; c, d )时，则不难求出( , )的联合d . f .F ( x, y )： 0, x a或y c ( x a )( y c) , a x b, c y d (b a )(d c) y c , x b, c y d F ( x, y ) d c xa , a x b, y d ba 1, x b, y d
（，） 的联合密度函数p(x,y)具有如下性质：
p(x,y) ≥0



）＝1 P( x, y)dxdy F (，
2 F( x, y) P( x, y) 在p(x,y)的连续点(x,y)处有 xy
G是平面上某一区域，则P{( , ) G} p ( x, y ) dxdy
2
1 , 2 , a1 , a2 , 是五个常数，且 1 0， 2 0， 1，那么
称( , )服从参数为(a1 , a2 , , 2 , )的二元正态分布。
2 1 2
记为( , )～N(a1 , a2 , 12 , 2 2 , )。
（2）二元正态密度的性质 P( x, y) 0
3.3 多维随机变量及其分布
一、多维随机变量及其联合分布函数
定义1：如果 1, 2 , , n 是概率空间(, F , P) 上的n个随机 变量，那么称向量（ 1 , 2 , , n）为n维随机变量或n维随 机向量。 定义2：对 ( x1, x2 , , xn ) Rn ，称
F ( x1, x2 , , xn ) P(1 x1, 2 x2 , , n xn )
x
（，） 落入任一矩形 {( x, y) : x1 x x2 , y1 y y2} 显见： 内的概率：
P( x1 x2 , y1 y2 ) F ( x2 , y2 ) F ( x1 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y1 ) y y2·
～N (0,1) ～N (0,1)
1 P e ( y) 2
y2 2
两个边际分布都是正态的，但它们的联合分 布可以不是二元正态
四、随机变量的独立性
定义： 设( , )的联合d.f为F(x,y),边际d.f为F ( x)，F ( y )。
如果P( x, y ) P( x) P( y ), ( x, y ) R 2 , 或F ( x, y ) F ( x) F ( y ), ( x, y ) R 2 , 那么称 与相互独立。
8xy, 0 x y,0 y 1 P(x,y)= 其它 0, 问 与是否相互独立？
【解】 4 x 4 x 3 , 0 x 1 P ( x) 其它 0,
4 y 3 , 0 y 1 P (y) 其它 0,
由此可见：当点(x,y)图中阴影部分时，P(x,y) P ( x)P ( y)
G
边际分布
F ( x) P( x) P{( x) } P{( x) ( )} P{( x) ( )} P{ x, } F(x,y)的边际分布函数 lim Biblioteka Baidu{ x, y}
y y
, an n bn ) F (b1 , b2 , , bn 1 , an )
二、二维连续型随机变量
（，） 定义：如果二维R.V. 的联合分布函数 F（x，y），存在非负可积函数p（x，y），使得
F ( x, y)

P(, )d d
x
y
那么，称F（x，y）是连续型联合分布函数，并称 （，） 是二维连续型R.V。 此时，也称p（x，y）为 的概率密度函数。 （，）
2.二元正态分布 （1）二元正态分布定义
如果（，）的联合p.d . f 为 p( x, y ) 1 2 1 2 1 p 2 e
1 2(1 p )
2
[
( x a1 )2
12
( x a1 )( y a2 ) ( y a1 ) 2 2 ] 2
1 2
P( =xi , y j ) Pij , (i, j N ) 边际分布列为P( xi ) Pi (i N )
P( y j ) P j ( j N)
则与相互独立 P ij P i P j
思考题
把定理1和定理2推广到n元的情形
【例2】 设（，）的联合p.d . f 为：

即 P ( x)
p( x, y)dy

p(x,y)的边际p.d.f
同理： P ( x)

p( x, y)dx
三、常用的二维连续型分布 1.均匀分布
设 是一平面区域，其面积为 () ，向 内随机地投一 点，( ,) 表示投点的坐标，由几何概型知：对任一区域B R2 ,有 ( B ) P(( , ) B) () 假设
【例1】
1 p ( x, y ) e 2 且
x2 y 2 2
(1 sin x sin y ), x R, y R，可见P(x,y) 0，
p( x, y)dxdy 1
x2 2
p( x, y)是联合p.d . f ，易求出：
P ( x) 1 e 2
与不相互独立
定理3
设( , )～N (1 , 2 , 12 , 2 2 , ), 则
与相互独立 ＝0
y1 · x1
·
x2
·
x
的联合分布函数F(x,y) 定理1：二维随机变量 （，） 具有如下的基本性质： F（x，y）对每个变元是非降的； F（x，y）对每个变元左连续； F（-∞，y）＝0，F（x，-∞）＝0,F(-∞, +∞ ）=1
F ( x2 , y2 ) F ( x1 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y1 ) 0
1 2 n

F ( x1 , x2 ,
xi xi
, xn ) 对每个变量是左连续的；
lim F ( x1 , x2 , lim F ( x1 , x2 ,
, xn ) 0 , xn ) 1
i 1, n
对任意的实数 ai bi，i 1, n
P (a1 1 b1 , a2 2 b2 , (1) n F (a1 , a2 , F (b1 , b2 , , bn ) [ F ( a1 , b2 , , an ) 0 , bn )