高考数学复习 第二章 不等式 第3讲 基本不等式
上海高考数学复习专题-不等式
【注】本例中
“a＞0”是先决条件，否则需要讨论
x1，x2 与对称轴
x=−
$
的大小关系，非常
复杂。（如图 d）
图a
图b
图c
图d
2）分离参数法：将不等式变换为 f(x) ≥a 或 f(x) ≤a 的形式。 f(x) ≥m，x∈R 恒成立(如图 e)，则 8! "3R ≥ 2 f(x) ≤m,x∈R 恒成立，（如图 f）则 8! "3 I ≤ 2 f(x) ≥m,在区间[x1,x2]恒成立，（如图 g），则 f! '" ≥ m
个
当且仅当 ' = $ = ⋯ = 时，取等号。
即：n 个正数的算术平均值，不小于它的几何平均值。当且仅当它们都相等时取等号。
【注】算术平均值 = .# /#⋯ #
几何平均值 = 0 ' ∙ $ ∙ ⋯ ∙
1.3 几个常用的重要结论
ab > 0 ⇒ + ≥ 2，当且仅当 a=b 时，取等号。
>0 2 = 常数 > 0，
一个含参数的等式（或参数）时，不得扩大或缩小原变量的范围。 如:若 a＞b ⇒ ac＞bc，则有 c＞0
H
如：若
>
⇒ bc＞ad，则有 ac＞0
2.2 求解一元二次不等式
【注】1）对于a $ + + > 0!或 < 0"，必须讨论：（1）a=0 ，（2）a≠0 2）一元二次不等式的解集，常与一元二次方程 a $ + + = 0 (a≠0)的根联系在一起。
"> 0
n!I"
m!I" n!I"
≥
0
高考数学二轮复习不等式
(2)(2022·新高考全国Ⅱ改编)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则下列结论正确 的是__②__③____.(填序号) ①x＋y≤1；②x＋y≥－2；③x2＋y2≤2；④x2＋y2≥1.
由x2＋y2－xy＝1可变形为(x＋y)2－1＝3xy≤3x＋2 y2， 解得－2≤x＋y≤2， 当且仅当x＝y＝－1时，x＋y＝－2， 当且仅当x＝y＝1时，x＋y＝2，所以①错误，②正确； 由x2＋y2－xy＝1可变形为x2＋y2－1＝xy≤x2＋2 y2， 解得x2＋y2≤2，当且仅当x＝y＝±1时取等号，所以③正确； x2＋y2－xy＝1 可变形为x－2y2＋34y2＝1，
考点二
线性规划
核心提炼
1.截距型：形如z＝ax＋by，求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转
化为y＝－abx＋bz
(b≠0)，通过求直线的截距
z b
的最值间接求出z的最值.
2.距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则z
＝|PM|2. 3.斜率型：形如z＝yx－ －ba (x≠a)，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则z＝kPM.
作出不等式组2x－3y－6≤0， x＋2y＋2≥0
表示的平面区域如图
中阴影部分(包括边界)所示，
函数z＝(x＋1)2＋(y＋2)2表示可行域内
的点与点(－1，－2)的距离的平方. 由图知， z＝ x＋12＋y＋22的最小值为点(－1，－2)到直线 x＋2y
＋2＝0 的距离，
即|－1－4＋2|＝3 5
C.[－1，3]
D.[－3，1]
作出约束条件的可行域，如图阴影部分(含边界)所示，
其中 A(1，0)，B(0，1)，C(2，3)，z＝22yx＋－11＝yx＋－1212， 表示定点 M12，－12与可行域内点(x，y)连线的斜率，
高考数学一轮复习讲义(新高考版) 第2章 第3讲 基本不等式
第3讲 基本不等式一、知识梳理 1．基本不等式:ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件:a ≥0,b ≥0. (2)等号成立的条件:当且仅当a ＝b 时取等号．(3)其中a ＋b2称为正数a ,b ,ab a ,b 的几何平均数．[点拨] 应用基本不等式求最值要注意:“一正、二定、三相等”．忽略某个条件,就会出错．2．利用基本不等式求最值 已知x ≥0,y ≥0,则(1)如果积xy 是定值p ,那么当且仅当x ＝y 时,x ＋y 有最小值是2p ．(简记:积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值s ,那么当且仅当x ＝y 时,xy 有最大值是s 24．(简记:和定积最大)[点拨] 在利用不等式求最值时,一定要尽量避免多次使用基本不等式．若必须多次使用,则一定要保证它们等号成立的条件一致．常用结论几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ,b ∈R ),当且仅当a ＝b 时取等号． (2)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ,b ∈R ),当且仅当a ＝b 时取等号． (3)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ,b ∈R ),当且仅当a ＝b 时取等号． (4)b a ＋ab ≥2(a ,b 同号),当且仅当a ＝b 时取等号． 二、教材衍化1．设x ＞0,y ＞0,且x ＋y ＝18,则xy 的最大值为( ) A ．80 B ．77 C ．81D ．82解析:选C ．xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝⎝⎛⎭⎫1822＝81,当且仅当x ＝y ＝9时等号成立,故选C ． 2．若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是________．解析:设矩形的长为x m ,宽为y m ,则x ＋y ＝10,所以S ＝xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝25,当且仅当x ＝y ＝5时取等号．答案:25 m 2一、思考辨析判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( )(2)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22成立的条件是ab >0.( )(3)“x >0且y >0”是“x y ＋yx ≥2”的充要条件．( )(4)若a >0,则a 3＋1a 2的最小值是2a .( )答案:(1)× (2)× (3)× (4)× 二、易错纠偏常见误区| (1)忽视不等式成立的条件a >0且b >0; (2)忽视定值存在; (3)忽视等号成立的条件． 1．若x <0,则x ＋1x ( )A ．有最小值,且最小值为2B ．有最大值,且最大值为2C ．有最小值,且最小值为－2D ．有最大值,且最大值为－2解析:选D ．因为x <0,所以－x >0,－x ＋1－x ≥21＝2,当且仅当x ＝－1时,等号成立,所以x ＋1x≤－2.2．若x >1,则x ＋4x －1的最小值为________．解析:x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5. 当且仅当x －1＝4x －1,即x ＝3时等号成立．答案:53．设0<x <1,则函数y ＝2x (1－x )的最大值为________． 解析:y ＝2x (1－x )≤2⎝⎛⎭⎫x ＋1－x 22＝12.当且仅当x ＝1－x ,即x ＝12时,等号成立．答案:12考点一 利用基本不等式求最值(基础型) 复习指导| 探索并了解基本不等式的证明过程,会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．核心素养:逻辑推理 角度一 通过配凑法求最值(1)已知0<x <1,则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________． (2)已知x <54,则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________．【解析】 (1)x (4－3x )＝13·(3x )(4－3x )≤13·⎣⎡⎦⎤3x ＋（4－3x ）22＝43, 当且仅当3x ＝4－3x , 即x ＝23时,取等号．(2)因为x <54,所以5－4x >0,则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－(5－4x ＋15－4x)＋3≤－2（5－4x ）15－4x＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ,即x ＝1时,等号成立．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1. 【答案】 (1)23(2)1通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形,拼系数、凑常数是关键,利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题:(1)拼凑的技巧,以整式为基础,注意利用系数的变化以及等式中常数的调整,做到等价变形;(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标; (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．角度二 通过常数代换法求最值已知a >0,b >0,a ＋b ＝1,则⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b 的最小值为________． 【解析】 ⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1＋a ＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋a ＋b b ＝⎝⎛⎭⎫2＋b a · ⎝⎛⎭⎫2＋a b ＝5＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9.当且仅当a ＝b ＝12时,取等号．【答案】 9【迁移探究1】 (变问法)若本例中的条件不变,则1a ＋1b 的最小值为________．解析:因为a >0,b >0,a ＋b ＝1,所以1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b ＝4,即1a ＋1b的最小值为4,当且仅当a ＝b ＝12时等号成立． 答案:4【迁移探究2】 (变条件)若本例条件变为:已知a >0,b >0,4a ＋b ＝4,则⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b 的最小值为________．解析:由4a ＋b ＝4得a ＋b4＝1,⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b 4a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b 4b ＝⎝⎛⎭⎫2＋b 4a ⎝⎛⎭⎫54＋a b ＝52＋2a b ＋5b 16a ＋14≥114＋258＝114＋102.当且仅当42a ＝5b 时取等号． 答案:114＋102常数代换法求最值的步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数); (2)把确定的定值(常数)变形为1;(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积的形式; (4)利用基本不等式求解最值． 角度三 通过消元法求最值若正数x ,y 满足x 2＋6xy －1＝0,则x ＋2y 的最小值是( )A ．223B ．23C ．33D ．233【解析】 因为正数x ,y 满足x 2＋6xy －1＝0,所以y ＝1－x26x .由⎩⎨⎧x >0y >0即⎩⎨⎧x >01－x 26x>0解得0<x <1.所以x ＋2y ＝x ＋1－x 23x ＝2x 3＋13x ≥22x 3·13x ＝223,当且仅当2x 3＝13x ,即x ＝22,y ＝212时取等号．故x ＋2y 的最小值为223.【答案】 A通过消元法求最值的方法消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题,解决方法是消元后利用基本不等式求解．但应注意保留元的范围．1．(2020·辽宁大连第一次(3月)双基测试)已知正实数a ,b 满足a ＋b ＝(ab )32,则ab 的最小值为( )A ．1B ． 2C ．2D ．4解析:选C ．(ab )32＝a ＋b ≥2ab ＝2(ab )12,所以ab ≥2,当且仅当a ＝b ＝2时取等号,故ab 的最小值为2,故选C ．2．已知x ,y 为正实数,则4x x ＋3y ＋3y x 的最小值为( )A ．53B ．103C ．32D ．3解析:选D ．由题意得x >0,y >0,4x x ＋3y ＋3y x ＝4xx ＋3y ＋x ＋3y x －1≥24x x ＋3y ·x ＋3yx－1＝4－1＝3(当且仅当x ＝3y 时等号成立)．3．已知x >0,y >0,且x ＋16y ＝xy ,则x ＋y 的最小值为________． 解析:已知x >0,y >0,且x ＋16y ＝xy .即16x ＋1y ＝1,则x ＋y ＝(x ＋y )·⎝⎛⎭⎫16x ＋1y ＝16＋1＋16y x ＋x y≥17＋2 16y x ·xy＝25,当且仅当x ＝4y ＝20时等号成立,所以x ＋y 的最小值为25. 答案:25考点二 利用基本不等式解决实际问题(应用型) 复习指导| 利用基本不等式解决实际问题,关键是把实际问题抽象出数学模型,列出函数关系,然后利用基本不等式求最值．某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x 2－200x ＋80 000,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．(1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利,求出最大利润;如果不获利,则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？【解】 (1)由题意可知,二氧化碳每吨的平均处理成本为y x ＝12x ＋80 000x －200≥212x ·80 000x－200＝200, 当且仅当12x ＝80 000x ,即x ＝400时等号成立,故该单位月处理量为400吨时,才能使每吨的平均处理成本最低,最低成本为200元．(2)不获利．设该单位每月获利为S 元,则S ＝100x －y ＝100x －⎝⎛⎭⎫12x 2－200x ＋80 000＝－12x 2＋300x －80 000＝－12(x －300)2－35 000,因为x ∈[400,600],所以S ∈[－80 000,－40 000]．故该单位每月不获利,需要国家每月至少补贴40 000元才能不亏损．应用基本不等式解决实际问题的基本步骤(1)理解题意,设出变量,建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最值问题; (2)在定义域内,利用基本不等式求出函数的最值; (3)还原为实际问题,写出答案．某游泳馆拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的泳池,池的深度为1米,池的四周墙壁建造单价为每米400元,中间一条隔壁建造单价为每米100元,池底建造单价每平方米60元(池壁厚忽略不计),则泳池的长设计为多少米时,可使总造价最低．解:设泳池的长为x 米,则宽为200x 米,总造价f (x )＝400×⎝⎛⎭⎫2x ＋2×200x ＋100×200x＋60×200＝800×⎝⎛⎭⎫x ＋225x ＋12 000≥1 600x ·225x ＋12 000＝36 000(元),当且仅当x ＝225x(x >0),即x ＝15时等号成立．即泳池的长设计为15米时,可使总造价最低．[基础题组练]1．(2020·安徽省六校联考)若正实数x ,y 满足x ＋y ＝2,则1xy 的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析:选A ．因为正实数x ,y 满足x ＋y ＝2, 所以xy ≤（x ＋y ）24＝224＝1,所以1xy ≥1.2．若2x ＋2y ＝1,则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．[－2,0] C ．[－2,＋∞)D ．(－∞,－2] 解析:选D ．因为1＝2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y ,(当且仅当2x ＝2y ＝12,即x ＝y ＝－1时等号成立)所以2x ＋y ≤12,所以2x ＋y ≤14,得x ＋y ≤－2.3．若实数a ,b 满足1a ＋2b ＝ab ,则ab 的最小值为( )A ． 2B ．2C ．2 2D ．4解析:选C ．因为1a ＋2b ＝ab ,所以a ＞0,b ＞0,由ab ＝1a ＋2b≥21a ×2b＝22ab, 所以ab ≥22(当且仅当b ＝2a 时取等号), 所以ab 的最小值为2 2.4．(多选)若a ,b ∈R ,且ab >0,则下列不等式中,恒成立的是( ) A ．a ＋b ≥2ab B ．1a ＋1b >1abC ．b a ＋ab≥2D ．a 2＋b 2≥2ab解析:选CD ．因为ab >0,所以b a >0,a b >0,所以b a ＋ab≥2b a ·ab＝2,当且仅当a ＝b 时取等号．所以选项C 正确,又a ,b ∈R ,所以(a －b )2≥0,即a 2＋b 2≥2ab 一定成立．5．已知x >0,y >0,lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2,则1x ＋13y 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．2 3解析:选C ．因为lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2,所以lg(2x ·8y )＝lg 2,所以2x ＋3y＝2,所以x ＋3y ＝1.因为x >0,y >0,所以1x ＋13y ＝(x ＋3y )·⎝⎛⎭⎫1x ＋13y ＝2＋3y x ＋x 3y ≥2＋23y x ·x3y＝4,当且仅当x ＝3y ＝12时取等号,所以1x ＋13y的最小值为4.故选C ．6．设P (x ,y )是函数y ＝2x(x >0)图象上的点,则x ＋y 的最小值为________．解析:因为x >0,所以y >0,且xy ＝2.由基本不等式得x ＋y ≥2xy ＝22,当且仅当x ＝y 时等号成立．所以x ＋y 的最小值为2 2.答案:2 27．函数y ＝x 2x ＋1(x >－1)的最小值为________．解析:因为y ＝x 2－1＋1x ＋1＝x －1＋1x ＋1＝x ＋1＋1x ＋1－2(x >－1),所以y ≥21－2＝0,当且仅当x ＝0时,等号成立． 答案:08．(2020·湖南岳阳期末改编)若a >0,b >0,且a ＋2b －4＝0,则ab 的最大值为________,1a ＋2b的最小值为________． 解析:因为a >0,b >0,且a ＋2b －4＝0,所以a ＋2b ＝4,所以ab ＝12a ·2b ≤12×⎝⎛⎭⎫a ＋2b 22＝2,当且仅当a ＝2b ,即a ＝2,b ＝1时等号成立,所以ab 的最大值为2,因为1a ＋2b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋2b ·a ＋2b4＝14(5＋2b a ＋2a b )≥14⎝⎛⎭⎫5＋2·2b a ·2a b ＝94,当且仅当a ＝b 时等号成立,所以1a ＋2b 的最小值为94. 答案:2 949．(1)当x <32时,求函数y ＝x ＋82x －3的最大值;(2)设0<x <2,求函数y ＝x （4－2x ）的最大值． 解:(1)y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2x 2＋83－2x ＋32.当x <32时,有3－2x >0,所以3－2x 2＋83－2x ≥23－2x 2·83－2x＝4, 当且仅当3－2x 2＝83－2x ,即x ＝－12时取等号．于是y ≤－4＋32＝－52,故函数的最大值为－52.(2)因为0<x <2,所以2－x >0,所以y ＝x （4－2x ）＝2·x （2－x ）≤2·x ＋2－x2＝2,当且仅当x ＝2－x ,即x ＝1时取等号,所以当x ＝1时,函数y ＝x （4－2x ）的最大值为 2. 10．已知x >0,y >0,且2x ＋8y －xy ＝0,求 (1)xy 的最小值; (2)x ＋y 的最小值． 解:(1)由2x ＋8y －xy ＝0, 得8x ＋2y ＝1, 又x >0,y >0, 则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y ＝8xy. 得xy ≥64,当且仅当x ＝16,y ＝4时,等号成立． 所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0,得8x ＋2y ＝1,则x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫8x ＋2y ·(x ＋y ) ＝10＋2x y ＋8yx≥10＋22x y ·8yx＝18. 当且仅当x ＝12,y ＝6时等号成立,所以x ＋y 的最小值为18.[综合题组练]1．设a >0,若关于x 的不等式x ＋ax －1≥5在(1,＋∞)上恒成立,则a 的最小值为( ) A ．16 B ．9 C ．4D ．2解析:选C ．在(1,＋∞)上,x ＋a x －1＝(x －1)＋a x －1＋1≥2 （x －1）×a（x －1）＋1＝2a ＋1(当且仅当x ＝1＋a 时取等号)．由题意知2a ＋1≥5,所以a ≥4. 2．(2020·福建龙岩一模)已知x >0,y >0,且1x ＋1＋1y ＝12,则x ＋y 的最小值为( ) A ．3 B ．5 C ．7D ．9解析:选C ．因为x >0,y >0.且1x ＋1＋1y ＝12,所以x ＋1＋y ＝2⎝⎛⎭⎫1x ＋1＋1y (x ＋1＋y )＝2(1＋1＋y x ＋1＋x ＋1y )≥2(2＋2y x ＋1·x ＋1y )＝8,当且仅当yx ＋1＝x ＋1y ,即x ＝3,y ＝4时取等号,所以x ＋y ≥7,故x ＋y 的最小值为7,故选C ．3．已知正实数x ,y 满足x ＋y ＝1,①则x 2＋y 2的最小值为________;②若1x ＋4y ≥a 恒成立,则实数a 的取值范围是________．解析:因为x ＋y ＝1,所以xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝14,所以x 2＋y 2＝(x ＋y )2－2xy ≥1－14×2＝12,所以x 2＋y 2的最小值为12.若a ≤1x ＋4y 恒成立,则a 小于等于⎝⎛⎭⎫1x ＋4y 的最小值,因为1x ＋4y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋4y (x ＋y )＝5＋y x ＋4x y ≥5＋2y x ×4x y ＝9,所以1x ＋4y的最小值为9,所以a ≤9,故实数a 的取值范围是(－∞,9]． 答案:12(－∞,9]4．(2020·洛阳市统考)已知x >0,y >0,且1x ＋2y ＝1,则xy ＋x ＋y 的最小值为________．解析:因为1x ＋2y ＝1,所以2x ＋y ＝xy ,所以xy ＋x ＋y ＝3x ＋2y ,因为3x ＋2y ＝(3x ＋2y )·(1x ＋2y )＝7＋6x y ＋2yx,且x >0,y >0,所以3x ＋2y ≥7＋43,所以xy ＋x ＋y 的最小值为7＋4 3. 答案:7＋4 3教案、讲义、课件、试卷、PPT 模板、实用文案，请关注【春暖文案】，进店下载。
2.1 不等式的基本性质课件-2023届广东省高职高考数学第一轮复习第二章不等式
A．x2＞y2
B．ax＞ay
C．x＋5＞y＋5
D．x＋2y＞3y
【解析】 B选项中，当a＝0时，ax＝ay，故选项B不成立．
2．a、b、c 为实数，且 c≠0，下列命题中正确的是( D ) A．a＞b⇒ac＞bc B．ac＜bc⇒a＜b C．a＞b⇒1a＜1b D．a＞b⇒ca2＞cb2 【解析】 利用不等式的性质或举反例进行判断，取 a＝2、b＝－1、c＝－1 来检验，对 A 有ac＜bc，故 A 错；对 B 有 a＞b，故 B 错；对 C 有a1＞1b，故 C 错；对 D，∵ c≠0，∴ c12＞0，由不等式的性质知，选项 D 正确．
【融会贯通】 比较大小． (1)( 2＋ 3)2 与 4＋2 6； (2)2x2＋5x＋6 与(x＋3)(x＋2)，x∈R. 解：(1)∵( 2＋ 3)2－(4＋2 6)＝(5＋2 6)－(4＋2 6)＝1＞0，∴( 2＋ 3)2 ＞(4＋2 6)． (2)∵(2x2＋5x＋6)－(x＋3)(x＋2)＝(2x2＋5x＋6)－(x2＋5x＋6)＝x2≥0， ∴(2x2＋5x＋6)≥(x＋3)(x＋2)．
2.1 不等式的基本性质
知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5
1．不等式的概念 用不等号“≠、＞、＜、≥、≤”表示不等关系的式子叫做不等 式．如：f(x)＞g(x)，f(x)≤g(x)，等等．
知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5
2．几个恒不等式 任意实数的平方不小于0，即a2≥0. 任意实数的绝对值不小于0，即|a|≥0.
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件
【解析】 根据不等式的性质可知，a＞3 且 b＞3⇒a＋b＞6 成立，a＞3 且 b
2025年高考数学复习核心考点全题型突破(新教材新高考)第03讲 基本不等式(解析版)
A．
f
(x)
x2
1 x2
B． f (x) cos x 1 (0 x )
cos x
2
C． f (x) x2 4 x2 3
D．
f
(x)
3x
4 3x
2
【答案】AD
【详解】对于选项
A：∵x2＞0，∴由基本不等式可得 x2
1 x2
2 ，当且仅当
x2
1 x2
，即
x＝1
或
x= 1时，
等号成立，故选项 A 正确；
x 23
1 2 ，当且仅当 x2 3
x2 3
1 ，
x2 3
即 x2 2 时，等号成立，显然不可能取到，故选项 C 不正确；
对于选项
D：∵3x＞0，∴由基本不等式可得
f
(x)
3x
4 3x
2
2
3x
4 3x
2 2 ，当且仅当 3x
4 3x
，即 x＝
log32 时，等号成立，故选项 D 正确． 故选：AD．
D．若
a,
b
Rห้องสมุดไป่ตู้
，且
ab
0
，则
b a
a b
b a
a b
2
b a
a b
2
【答案】D
【详解】对于 A 选项，当 ab 0 时， b a 0 ，所以 A 选项错误. ab
对于 B 选项，如 x 时， cos x 1 2 0 ，所以 B 选项错误. cos x
对于
C
选项，由于
x
精练核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）下列不等式的证明过程正确的是（ ）
A．若 a,b R ，则 b a 2 b a 2 a b ab
专题03基本不等式-2022年(新高考)数学高频考点+重点题型(原卷版)
专题03基本不等式--2022年（新高考）数学高频考点+重点题型一、关键能力探索基本不等式的证明过程，会用基本不等式解决简单最大(小)值问题，利用不等式求最值的方法较多，要理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择合适大的运算方法，设计合理运算程序，并对条件问题中的代数式合理变形求得运算结果，培养学生的数学运算能力．二、教学建议基本不等式是解决问题的基本工具。
强化推理证明和不等式的应用意识．从新高考的命题看，试题多与数列、函数、解析几何交汇渗透，对不等式知识、方法技能要求较高．抓好推理论证，强化不等式的应用训练是提高解综合问题的关键．三、自主先学1．基本不等式：2a b+(1)基本不等式成立的条件：00a b >>，． (2)等号成立的条件：当且仅当a b =时取等号． (3)其中+2a b称为正数a ，b,a b 的几何平均数． 若0,0a b >>时, 211a b≤+2a b +≤当且仅当a b =时等号成 2．几个重要的不等式(1)重要不等式：22a b +≥2ab (),a b R ∈．当且仅当a b =时取等号．(2ab ≤22a b +⎛⎫⎪⎝⎭(),a b R ∈，当且仅当a b =时取等号．(3()222,22a b a b a b R ++⎛⎫≥∈ ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时取等号．3．利用基本不等式求最值 已知0,0x y >>，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x y =时，x y + 有最小值是(简记：积定和最小)．(2)如果和x y +是定值s ，那么当且仅当x y =时，xy 有最大值是24s (简记：和定积最大)．四、高频考点+重点题型考点一、基本不等式求最值（消元法）1．（2021·曲靖市第二中学高三二模（文））已知(),,0,a b c ∈+∞，320a b c -+=，的（ ）A BC D 2．（2021·浙江宁波市·高三二模）已知正数a ，b 满足2a b +=，当a =______时，2-a b取到最大值为______．3.设,,x y z 为正实数，满足230x y z -+=，则2y xz的最小值是考点二、基本不等式求最值（“1”的活用）1．（2021·重庆高三其他模拟）已知0a >，0b >，122a b+=，则2+a b 的最小值为（ ） A ．9 B ．5 C ．92 D ．522．（2021·沙坪坝区·重庆南开中学高三其他模拟）已知正实数m ，n 满足()14m n n -=，则4m n +的最小值是（ ） A ．25B ．18C ．16D ．83．（多选）（2021·福建三明市·高三三模）已知0x >，0y >，且21x y +=，则1x xy+可能取的值有（ ） A ．9 B ．10C ．11D ．124．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）已知正数a ，b 满足1a b +=，则1aa b+的最小值是___________.5．（2021·上海嘉定区·高三二模）已知正数,x y 满足41x y +=，则1y x+的最小值为________．6．（2021·全国高三其他模拟（理））已知0a >，0b >，且2a b +=，则1aa b+的最小值为___________.考点三、基本不等式求最值（配凑积、和）1．（多选）（2021·全国高三其他模拟）若x ＞1，y ＞2，且满足xy ﹣2x ＝y ，则1812x y +--的值可以为（ ） A ．72B ．3C ．4D ．1122．（2021·宁波中学高三其他模拟）若实数x 、y 满足2221x xy y +-=，则22522x xy y -+的最小值为___________.3．（2021·宁波市北仑中学高三其他模拟）已知正实数,x y 满足(31)(21)1x y x y +-+-=，则x y +的最小值是________．4．（2021·天津高三二模）已知,,a b c +∈R ，且24ab ac +=，则22822a b c a b c+++++的最小值是___________.考点四、多次使用基本不等式1．（2021·天津高考真题）若0 , 0a b >>，则21a b ab ++的最小值为____________．2．（2021·天津市武清区杨村第一中学高三其他模拟）已知,x y 都为正实数，则()241xy x x y++的最小值为___________．3．（2021·天津和平区·耀华中学高三二模）设0a b >>，那么41()a b a b +-的最小值是________.4．（2021·全国高三其他模拟）已知0a b >>，则41a ab a b+++-的最小值为__________．考点五、基本不等式功能：创建不等关系1．（2021·江苏扬州市·扬州中学高三其他模拟）已知正实数x ，y 满足()()419x y ++=，则xy 的最大值等于______．2.已知3,(0,0)ab a b a b =++>>，则ab 的取值范围是3.已知实数,x y 满足x y ，则x y +的最大值为4.已知01,0,,,=-+=++∈bc a c b a R c b a ，则a 的取值范围是考点六、比较式的大小1．（多选）（2021·全国高三其他模拟）已知a ，b ，c ∈R ，且2a b +=，则下列判断正确的是（ ）A ．若a b >，则a c b c >B ．若a b <，则c a c b ->-C ．2122a b+≥D ．222a b +≥2．（多选）（2021·全国高三二模）已知正数a ，b 满足ab a b =+，则（ ）A ．11211a b +≥-- B ．221112a b +≥ C ．1222ab --+≥D ．22log log 2a b +≥3．（多选）（2021·江苏南通市·高三其他模拟）若非负实数a 、b 满足21a b +=，则下列不等式中成立的有（ ） A ．214ab ≤B ．2412a b +≥C b ≥D ．2234a b +≥4．（多选）（2021·江苏南通市·高三一模）已知0a >，0b >，a b ab +=则（ ）A ．23a b +≥+B ．228a b +≥C ．15abab+≥ D ≤5．（多选）（2021·山东烟台市·烟台二中高三三模）已知0a >，0b >，且1a b -=，则（ ）A ．e e 1a b ->B ．e e 1a b -<C ．914a b-≤ D ．222log log 2a b -≥6．（多选）（2021·福建厦门市·厦门外国语学校高三其他模拟）已知00a b >>，，且4a b ab +=，则下列不等式正确的（ ）A ．16ab ≥B ．26a b +≥+C ．0a b -<D ．2211612a b +≥达标测试一、单项选择题1．不等式x 2＋x <a b ＋ba对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是( )A ．(－2,0)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－2,1)D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)2．已知向量a ＝(1，x －1)，b ＝(y,2)，其中x >0，y >0.若a ⊥b ，则xy 的最大值为( ) A ．14B ．12C ．1D ．23．若x >0，y >0，x ＋2y ＝1，则xy2x ＋y的最大值为( ) A ．14B ．15C ．19D ．1124．（2021·陕西西安市·西安中学高三其他模拟（文））已知a ，b R ∈，0a >，0b >，且21a b +=，则下列不等式中，成立的个数有①18ab ≤，①2127ab ≤，①23a b +<，①115a b+>（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4二、多项选择题5．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）当0x >，0y >时，下列不等式中恒成立的有（ ）A ．2xyx y ≤+B ．114x y x y+≥+C ．11x y +D ．22334x y x y x y++≥三、填空题6．若正数,x y 满足2249330x y xy ++=，则xy 的最大值是________．7．已知()()2log 2f x x =-，若实数,m n 满足()()23f m f n +=，则m n +的最小值是 ．四、解答题8．运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50100x ≤≤(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油(2＋2360x )升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．。
2021届浙江省数学学案第二章第3节基本不等式ab≤a+b2含解析
2021届浙江省高考数学一轮学案：第二章第3节基本不等式：ab≤a＋b2含解析第3节基本不等式：错误!≤错误!考试要求 1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题。
知识梳理1.基本不等式：错误!≤错误!（1）基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.(2)等号成立的条件:当且仅当a＝b时取等号。
(3）其中错误!称为正数a，b的算术平均数，错误!称为正数a，b的几何平均数。
2.几个重要的不等式（1)a2＋b2≥2ab（a,b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.(2）ab≤错误!错误!(a，b∈R),当且仅当a＝b时取等号。
（3)错误!≥错误!错误!(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号。
（4）错误!＋错误!≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号.3.利用基本不等式求最值已知x≥0，y≥0，则（1）如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2错误!(简记：积定和最小）。
(2)如果和x＋y是定值s,那么当且仅当x＝y时,xy有最大值是错误!（简记：和定积最大)。
［常用结论与易错提醒]1。
对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab≤错误!错误!≤错误!，错误!≤错误!≤错误!（a〉0,b〉0）等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件.2。
使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可。
3。
连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致。
4。
基本不等式的一般形式：错误!(a1＋a2＋a3＋…＋a n）≥错误!（其中a1,a2，a3，…,a n∈(0，＋∞)，当且仅当a1＝a2＝a3＝…＝a n时等号成立）。
诊断自测1。
判断下列说法的正误。
(1）当a≥0，b≥0时，错误!≥错误!。
（)(2）两个不等式a2＋b2≥2ab与a＋b2≥错误!成立的条件是相同的。
（）（3）函数y＝x＋错误!的最小值是2。
高考数学复习课件_基本不等式
§7.4
a+b 基本不等式: 基本不等式: ab ≤ (a > 0, b > 0) 2
基础知识 自主学习
要点梳理
1.基本不等式 1.基本不等式 ab ≤ a + b (1)基本不等式成立的条件:____________. (1)基本不等式成立的条件:____________. 基本不等式成立的条件 a>0,b>0 >0,b (2)等号成立的条件:当且仅当______时取等号. a=b (2)等号成立的条件:当且仅当______时取等号. 等号成立的条件 ______时取等号
a +b >0,b>0， 设a>0,b>0，则a,b的算术平均数为 ,几何平均 2 数为______ 基本不等式可叙述为： 两个正数的算 ______， 数为______，基本不等式可叙述为：_____________ ab 术平均数不小于它们的几何平均数 ________________________________.
8 yz • xz • xy ≥ = 8. xyz 当且仅当x 时等号成立. 当且仅当x=y=z时等号成立.
1 9 知能迁移2 已知x>0,y>0， 知能迁移2 （1）已知x>0,y>0，且 + = 1, 求x+y x y 的最小值； 的最小值； 5 1 已知x 的最大值; （2）已知x< , 求函数 y = 4 x − 2 + 的最大值; 4 4x − 5 ∈(0,+∞)且 +8y xy=0, =0,求 的最小值. （3）若x,y∈(0,+∞)且2x+8y-xy=0,求x+y的最小值.
y x
z x x y
第03讲 基本不等式(原卷版)备战2023年高考数学一轮复习精讲精练
第03讲基本不等式 (精讲+精练）目录第一部分：思维导图（总览全局）第二部分：知识点精准记忆第三部分：课前自我评估测试第四部分：典型例题剖析高频考点一：利用基本不等式求最值①凑配法②“1”的代入法③二次与二次（一次）商式（换元法）④条件等式求最值高频考点二：利用基本不等式求参数值或取值范围高频考点三：利用基本不等式解决实际问题高频考点四：基本不等式等号不成立，优先对钩函数第五部分：高考真题感悟第六部分：第03讲基本不等式（精练）1、基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱）①如果0a >，0b >2a b+≤，当且仅当a b =时，等号成立． ②a ，b 的几何平均数；2a b+叫做正数a ，b 的算数平均数． 2、两个重要的不等式①222a b ab +≥（,a b R ∈）当且仅当a b =时，等号成立． ②2()2a b ab +≤（,a b R ∈）当且仅当a b =时，等号成立． 3、利用基本不等式求最值①已知x ，y 是正数，如果积xy 等于定值P ，那么当且仅当x y =时，和x y +有最小值；②已知x ，y 是正数，如果和x y +等于定值S ，那么当且仅当x y =时，积xy 有最大值24S；4、常用技巧利用基本不等式求最值的变形技巧——凑、拆（分子次数高于分母次数）、除（分子次数低于分母次数））、代（1的代入）、解（整体解）. ①凑：凑项，例：()1123x x a a a x a x a x a+=-++≥+=>--； 凑系数，例：()()2112121112212022282x x x x x x x +-⎛⎫⎛⎫-=⋅-≤⋅=<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；②拆：例：()2244442244822223x x x x x x x x x -+==++=-++≥=>----；③除：例：()2221011x x x x x=≤>++； ④1的代入：例：已知0,0,1a b a b >>+=，求11a b+的最小值. 解析：1111()()24b aa b a b a b a b+=++=++≥. ⑤整体解：例：已知a ,b 是正数，且3ab a b =++，求a b +的最小值.解析：22,322a b a b ab a b ++⎛⎫⎛⎫≤∴≥++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()21304a b a b +-+-≥，解得()62a b a b +≥+≤-舍去.一、判断题1．（2022·江西·贵溪市实验中学高二期末）当0,2x π⎛⎤∈⎥⎝⎦时，4sin sin x x +的最小值为4 ( )2．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）已知102x <<，则()12x x -的最大值为18( ) 二、单选题1．（2022·江西·高一阶段练习）当0x >时，92x x+的最小值为（ ） A ．3B ．32C ．D ．2．（2022·湖南湖南·二模）函数()122y x x x =+>-+的最小值为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．03．（2022·湖南·高一阶段练习）已知0a >，0b >且2510a b +=，则ab 的最大值为（ ） A ．2B ．5C ．32D ．524．（2022·新疆·乌苏市第一中学高一开学考试）下列函数，最小值为2的函数是（ ） A ．1y x x=+B ．222y x x -=+C ．3y x =+D ．2y =高频考点一：利用基本不等式求最值①凑配法1．（2022·北京大兴·高一期末）当02x <<时，(2)x x -的最大值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．42．（2022·山西·怀仁市第一中学校二模（文））函数413313y x x x ⎛⎫⎪⎝=>-⎭+的最小值为（ ） A ．8B ．7C ．6D ．53．（2022·安徽省蚌埠第三中学高一开学考试）已知x >3，则对于43y x x =+-，下列说法正确的是（ ） A ．y 有最大值7B ．y 有最小值7C ．y 有最小值4D ．y 有最大值44．（2022·江苏省天一中学高一期末）设实数x 满足1x >-，则函数41y x x =++的最小值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．65．（2022·上海虹口·高一期末）已知04x <<，则()4x x -的最大值为______．②“1”的代入法1．（2022·河南·夏邑第一高级中学高二期末（文））已知x ，y 均为正数，若261x y +=，则当3x y +取得最小值时，x y +的值为（ ） A ．16B ．4C ．24D ．122．（2022·安徽·高三阶段练习（文））已知0x >，0y >，22x y +=，则12x y+的最小值是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．63．（2022·四川·泸县五中高二开学考试（文））已知,x y 为正实数，且2x y +=，则212x y+的最小值为__________.4．（2022·广西桂林·高一期末）已知0,0a b >>，若31a b +=，则31a b+的最小值是___________.5．（2022·天津·南开中学高一期末）已知110, 0, 4a b a b>>+=，则4a b +的最小值为_______________.③二次与二次（一次）商式1．（2022·全国·高三专题练习（理））若11x -<< ，则22222x x y x -+=-有（ ）A ．最大值1-B ．最小值1-C ．最大值1D ．最小值12．（2022·全国·高三专题练习）函数233(1)1x x y x x ++=<-+的最大值为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．-13．（2022·江西南昌·高一期末）当2x >-时，函数2462++=+x x y x 的最小值为___________．4．（2022·上海·高三专题练习）若1x >，则函数211x x y x -+=-的最小值为___________.5．（2021·江西·宁冈中学高一阶段练习（理））()21147x x x x ->-+的最大值为______.6．（2022·全国·高三专题练习）求下列函数的最小值 （1）21(0)x x y x x ++=>； （2）226(1)1x x y x x ++=>-.④条件等式求最值1．（2022·陕西咸阳·高二期末（文））已知0x >，0y >，若28x y xy +=，则xy 的最小值是（ ）A ．4B 2C ．18D ．142．（2022·全国·高三专题练习）已知0,0a b >>，且3ab a b =++，则a b +的最小值为（ ） A ．4B ．8C ．7D ．63．（2022·江苏·高三专题练习）已知0a >，0b >且满足2a b ab +=，则2+a b 的最小值为（ ） A ．4B ．6C ．8D ．104．（2022·安徽芜湖·高一期末）已知正数x ，y 满足8xy x y =++，则x y +的最小值为_________ 5．（2022·全国·高三专题练习）已知2,1a b >>，且满足21ab a b =++，则2a b +的最小值为_______. 6．（2022·重庆·高一期末）已知0x >，0y >，24xy x y =++，则x y +的最小值为______． 7．（2022·广东广州·高一期末）已知0a >，0b >，且3a b ab +=-，则a b +的最小值为______．高频考点二：利用基本不等式求参数值或取值范围1．（2022·全国·高三专题练习）当2x >时，不等式12+≥-x a x 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],2-∞B ．[)2,+∞C ．[)4,+∞D ．(],4-∞2．（2022·浙江·高三专题练习）若关于 x 的不等式220x ax -+>在区间[]1,5上恒成立，则a 的取值范围为（ ）A ．()+∞B ．(,-∞C ．(),3-∞D ．27,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭3．（2022·全国·高三专题练习）已知0a >，0b >，若不等式41ma b a b+≥+恒成立，则m 的最大值为（ ） A ．10B ．12C ．16D ．94．（2022·全国·高三专题练习）已知x ，()0,y ∈+∞，且1x y +=，若不等式2221124x y xy m m ++>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()2,1-D ．()3,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭5．（2022·全国·高三专题练习）若对任意220,1xx a x x >≥++恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[1,)-+∞B ．[3,)+∞C ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．(,1]-∞6．（2022·甘肃·无高二期末（文））已知正实数a ，b 满足191a b+=，若不等式2418a b x x m +≥-++-对任意的实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[)3,+∞B ．(],3-∞C ．(],6-∞D ．[)6,+∞7．（2022·全国·高三专题练习）若对任意0x >，231xa x x ≤++恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．1,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦高频考点三：利用基本不等式解决实际问题1．（2022·北京市十一学校高二期末）某公司要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为48m 3，高为3m ，如果箱底每1m 2的造价为15元，箱壁每1m 2造价为12元，则箱子的最低总造价为（ ） A ．72元B ．300元C ．512元D ．816元2．（2022·河南开封·高一期末）中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a ，b ，c ，三角形的面积S 可由公式S =p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足14a b +=，6c =，则此三角形面积的最大值为（ ）A ．6B ．C ．12D ．3．（2022·江苏常州·高一期末）2021年初，某地区甲、乙、丙三位经销商出售钢材的原价相同．受钢材进价普遍上涨的影响，甲、乙计划分两次提价，丙计划一次提价．设0p q <<，甲第一次提价%p ，第二次提价%q ；乙两次均提价%2p q+；丙一次性提价()%p q +．各经销商提价计划实施后，钢材售价由高到低的经销商依次为（ ） A ．乙、甲、丙 B ．甲、乙、丙 C ．乙、丙、甲D ．丙、甲、乙4．（2022·全国·高三专题练习（文））已知k ∈R ，则“对任意,a b ∈R ，22a b kab +≥”是“k 2≤”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．（2022·河南·模拟预测（理））一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10g 黄金，售货员先将5g 的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g 的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.若顾客实际购得的黄金为g m ，则（ ） A ．10m >B ．10m =C ．10m <D ．以上都有可能6．（2022·全国·高一）如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建为一个更大的矩形花坛AMPN ，要求点B 在AM 上，点D 在AN 上，且对角线MN 过点C ，已知4AB =米，3AD =米，当BM =_______时，矩形花坛AMPN 的面积最小.高频考点四：基本不等式等号不成立，优先对钩函数1．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知命题p ：“21,4,402x x ax ⎡⎤∃∈-+>⎢⎥⎣⎦”为真命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．4a < B ．172a <C ．133a <D ．5a >2．（2022·浙江·高三专题练习）若不等式210x ax ++≥对一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．0a ≥B ．2a ≤-C ．52a ≥-D ．3a ≤-3．（2022·全国·高三专题练习）函数2y =的最小值为（ ）A ．2B ．52C ．1D ．不存在4．（2022·新疆·石河子第二中学高二阶段练习）已知函数4()f x x x =+，()2x g x a =+，若11,12x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2[2,3]x ∃∈，使得()()12f x g x ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．9,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[3,)-+∞D ．[1,)+∞5．（2022·全国·高二课时练习）函数()3421x xf x x x -=++在区间[]1,3上（ ）A 0B ．有最大值为2491，最小值为0C D ．有最大值为2491，无最小值1．（2021·江苏·高考真题）已知奇函数()f x 是定义在R 上的单调函数，若正实数a ，b 满足()()240f a f b +-=则121a b ++的最小值是（ ） A ．23B ．43C ．2D ．42．（2021·全国·高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（ ） A ．224y x x =++ B ．4sin sin y x x=+ C ．222x x y -=+D ．4ln ln y x x=+3．（2021·天津·高考真题）若0 , 0a b >>，则21ab ab ++的最小值为____________． 4．（2021·江苏·高考真题）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y 万元与年产量x 吨之间的函数关系可以近似地表示为22420005xy x =-+，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨.（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低?并求最低平均成本;（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润?并求最大利润.一、单选题1．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高一开学考试）下列说法正确的为（ ）A ．12x x+≥ B ．函数224x y += 4C ．若0,x >则(2)x x -最大值为1D ．已知3a >时，43+≥-a a 43=-a a 即4a =时，43+-a a 取得最小值8 2．（2022·福建·莆田一中高一期末）函数2455()()22x x f x x x -+=≥-有（ ） A ．最大值52 B ．最小值52 C ．最大值2 D ．最小值23．（2022·河南·郏县第一高级中学高二开学考试（理））正实数ab 满足121a b+=，则()()24a b ++的最小值为（ ）A ．16B ．24C ．32D ．404．（2022·江西抚州·高二期末（文））若命题“对任意(),0x ∈-∞，使得2240x ax -+≥成立”是真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)2,-+∞B ．[)2,+∞C ．(],2-∞-D ．(],2-∞5．（2022·河南·驻马店市基础教学研究室高二期末（理））中国大运河项目成功人选世界文化遗产名录，成为中国第46个世界遗产项目，随着对大运河的保护与开发，大运河已成为北京城市副中心的一张亮丽的名片，也成为众多旅游者的游览目的地．今有一旅游团乘游船从奥体公园码头出发顺流而下至漕运码头，又立即逆水返回奥体公园码头，已知游船在顺水中的速度为1V ，在逆水中的速度为()212V V V ≠，则游船此次行程的平均速度V 与122V V +的大小关系是（ ） A ．122V V V +<B ．122V V V +≤C ．122V V V +>D ．122V V V += 6．（2022·浙江温州·二模）已知正数a ，b 和实数t 满足221a tab b ++=，若a b +存在最大值，则t 的取值范围是（ ）A ．(],2-∞B ．()2,-+∞C ．(]2,2-D ．[)2,+∞7．（2022·广东·高三阶段练习）在足球比赛中，球员在对方球门前的不同的位置起脚射门对球门的威胁是不同的，出球点对球门的张角越大，射门的命中率就越高.如图为室内5人制足球场示意图，设球场（矩形）长BC 大约为40米，宽AB 大约为20米，球门长PQ 大约为4米.在某场比赛中有一位球员欲在边线BC 上某点M 处射门（假设球贴地直线运行），为使得张角PMQ ∠最大，则BM 大约为（ ）（精确到1米）A ．8米B ．9米C ．10米D ．11米8．（2022·江苏无锡·模拟预测）已知实数a ，b 满足如下两个条件：（1）关于x 的方程2320x x ab --=有两个异号的实根；（2）211a b+=，若对于上述的一切实数a ，b ，不等式222a b m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()4,2-B ．()2,4-C ．][(),42,-∞-⋃+∞D ．][(),24,-∞-⋃+∞二、填空题9．（2022·陕西西安·高三阶段练习（文））已知0x >，0y >，334x y x y +--=.则x y +的取值范围为__________. 10．（2022·上海·二模）已知对()0,x ∀∈+∞，不等式1x m x>-恒成立，则实数m 的最大值是_________. 11．（2022·浙江·高三阶段练习）已知函数()29x f x x+=，()2log g x x a =+，若存在[]13,4x ∈，任意[]24,8x ∈，使得()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是___________.12．（2022·安徽合肥·高一期末）如图所示，某农科院有一块直角梯形试验田ABCD ，其中//,AB CD AD AB ⊥.某研究小组计则在该试验田中截取一块矩形区域AGEH 试种新品种的西红柿，点E 在边BC 上，则该矩形区域的面积最大值为___________.三、解答题13．（2022·湖南·高一课时练习）（1）把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？（2）把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？14．（2022·辽宁朝阳·高一开学考试）如图，设矩形()ABCD AB AD >的周长为8cm ，将△ABC 沿AC 向△ADC 折叠，AB 折过去后交DC 于点P ，设AB xcm =，求ADP △面积的最大值及相应x 的值.15．（2022·贵州·赫章县教育研究室高一期末）已知关于x 的不等式220ax ax ++>的解集为R ，记实数a 的所有取值构成的集合为M .(1)求M ；(2)若0t >，对a M ∀∈，有245321a t t a --≤+-+，求t 的最小值.16．（2022·山西·怀仁市第一中学校高一期末）党中央国务院对节能减排高度重视，各地区认真贯彻党中央国务院关于“十三五”节能减排的决策部署，把节能减排作为转换发展方式，新能源汽车环保节能以电代油，减少排放，既符合我国国情，也代表了汽车产业发展的方向．为了响应国家节能减排的号召，2022年某企业计划引进新能源汽车生产设备．通过市场分析：全年需投入固定成本2500万元．每生产x （百辆）新能源汽车，需另投入成本()C x 万元，且()210500,040,64009016300,40.x x x C x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩由市场调研知，每辆车售价9万元，且生产的车辆当年能全部销售完．(1)请写出2022年的利润()L x （万元）关于年产量x （百辆）的函数关系式；（利润＝售价－成本）(2)当2022年的总产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．。
第3讲 不等式的恒成立与存在性问题(解析版)-高考数学复习《导数与解析几何》必掌握问题
第3讲 不等式的恒成立与存在性问题典型例题构造中间值函数证明不等式【例1】已知函数()e x f x =,求证:曲线e (0)x y x =>总在曲线2ln y x =+的上方. 【分析】要证函数()f x 的图像恒在另一个函数()g x 图像的上方,即证()()f x g x >,可用作差法,构造新函数()()()h x f x g x =-,利用导数证明()0h x >.也可以考虑中间值法,找到一个函数()x ϕ使()()()f x x g x ϕ>>. 【解析】证法一 构造中间值函数:1y x =+. 令()()e 1x F x x =-+,则()e 1x F x '=-.因为0x >,所以e 1x >,则e 10x ->,所以()0F x '>,故()F x 在()0,∞+上单调递增. 因为()00F =,所以()0F x >,即e 1x x >+. 令()()()12ln 1ln G x x x x x =+-+=--,则 ()111(0).x G x x x x'-=-=> 令()0G x '=,得1x =.当x 变化时,()(),G x G x '在()0,∞+上的变化情况见表3.1.表3.1所以当1x =时,()G x 有最小值()10G =.所以()0G x ,则12ln x x ++,即e 2ln x x >+,所以曲线e (0)x y x =>总在曲线2ln y x =+的上方.证法二 构造中间值函数:e y x =.令()e e (0)x H x x x =->,则()e e x H x '=-.令()0H x '=,得1x =. 当x 变化时,()(),H x H x '在()0,∞+上的变化情况见表3.2.表3.2所以当1x =时,()H x 有最小值()10H =.所以()0H x ,即e e x x ,当且仅当1x =时,“=”成立. 令()()e 2ln x x x ϕ=-+,则()1e 1e .x x x xϕ-=-=' 令()0x ϕ'=,得1ex =.当x 变化时,()(),x x ϕϕ'在()0,∞+上的变化情况见表3.3表3.3则当1e x =时,()x ϕ有最小值1112ln 0e e ϕ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以()0x ϕ,即e 2ln x x +,当且仅当1e x =时,"=”成立.所以e 2ln x x >+(=“”不能同时成立). 所以曲线e (0)x y x =>总在曲线2ln y x =+的上方. 证法三 构造差函数.设()()()2ln e ln 2(0)x g x f x x x x =-+=-->,则()1e x g x x =-'.令()1e x h x x=-,则()21e 0x h x x=+>'.所以()h x 在()0,∞+上单调递增,即()g x '在()0,∞+上单调递增. 因为()121e 20,1e 102g g ''⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,所以()g x '在()0,∞+上存在唯一的0x ,使得()0001e 0x g x x =-=',即001e x x =,则00ln x x =-,且0112x <<.当x 变化时,()g x '与()g x 在()0,∞+上的变化情况见表3.4表3.4则当0x x =时,()g x 取得最小值()000001e ln 22x g x x x x =--=+-. 因为01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以()0001220.g x x x =+->= 因此()0g x >,即()2ln (0)f x x x >+>,所以曲线e (0)x y x =>总在曲线2ln y x =+的上方.【点睛】因为不等式与函数关系密切,所以经常将证明不等式恒成立的问题转化为求对应函数或构造新函数问题,而研究什么函数、如何构造函数是解题的关键.本题给出了几种证明不等式的方法,前两种方法都用到中间值法,寻找某函数在某点处的切线方程,进而利用差函数判断这条切线是否位于两个函数之间.在证法一中,1y x =+是函数e x y =在()0,1处的切线方程,也恰好是函数2ln y x =+在()1,2处的切线方程;在证法二中,y ex =是函数e x y =在()1,e 处的切线方程.这两种方法只要找到不等号两边的中间值函数,往往就可以使问题变得容易处理.证法三是直接构造差函数,利用导数的性质,以及灵活运用极值点处导数为0的方程,将函数的最值转化成均值不等式求解.构造差函数是常用的方法,但是对于导函数性质的研究需要深入,并且需要综合不等式的相关知识,难度稍大些. 参变分离求参数取值范围【例2】已知函数()ln f x x x =,若对任意1x 都有()1f x ax -,求实数a 的取值范围. 【分析】对于不等式恒成立问题,可以考虑构造差函数,对参数进行分类讨论,利用导数研究差函数的取值范围;也可以考虑将参数分离出来,研究参数分离之后的新函数的图像和性质;还可以考虑将定义域内的特殊值代入不等式,首先限定参数的取值范围,再对参数进行分类讨论.【解析】解法一 直接构造差函数,分类讨论.()()()1ln 1,g x f x ax x x ax =--=-+令则()()1ln .g x f x a a x =-=-+''(1)若1a ,当1x >时,()1ln 10g x a x a '=-+>-,故()g x 在()1,∞+上为增函数. 所以当1x 时,()()110g x g a =-,即()1f x ax -.(2)若1a >,方程()0g x '=的根为10e a x -=.此时,若()01,x x ∈,则()0g x '<,故()g x 在该区间为减函数.所以当()01,x x ∈时,()()110g x g a <=-<,即()1f x ax <-,与题设()1f x ax -相矛盾.综上所述,满足条件的a 的取值范围是(],1∞-. 解法二 参变分离.依题意,得()1f x ax -在[)1,∞+上恒成立,即不等式1ln a x x+对于[)1,x ∞∈+恒成立.令()1ln g x x x=+,则 ()211111.g x x x x x '⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭当1x >时,因为()1110g x x x '⎛⎫=-> ⎪⎝⎭,故()g x 是()1,∞+上的增函数,所以()g x 的最小值为()11g =,因此a 的取值范围是(],1∞-. 解法三 取特殊值.令()()()1ln 1g x f x ax x x ax =--=-+,由题意知对任意1x 都有()0g x ,所以()110g a =-,则1a ,因此()()1ln 0g x a x =-+',故()g x 在()1,∞+上为增函数. 所以当1x 时,()()min ()10g x g x g =,即()1f x ax -恒成立. 所以a 的取值范围是(],1∞-.【点睛】对于不等式恒成立问题,构造差函数、对参数进行分类讨论研究差函数的符号,是解决这类问题的常用方法.但是有时分类讨论过于烦琐,而参变分离构造的新函数由于脱离了参数的千扰,易于研究其图像和性质.适当使用特殊值,将参数的范围界定在更小的范围内,有时会得到意想不到的效果.构造差函数求解恒成立问题【例3】已知函数()ln f x x x =,若对于任意1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,都有()1f x ax -,求实数a 的取值范围.【分析】对于不等式恒成立问题,通常转化为函数的问题来求解,构造差函数是最常用的一种解决办法.本题可直接构造差函数()()()1h x f x ax =--,问题即可转化为()0h x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立时求a 的取值范围,可通过求()h x 的最大值来求解.【解析】解法一 参变分离构造新函数. 当1e e x 时,不等式()ln 1f x x x ax =-,等价于1ln a x x+. 令()11ln ,e e g x x x x ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭,则()221111,e .e x g x x x x x ⎛⎫-⎡⎤=-=∈' ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭当1,1e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()0g x '<,所以()g x 在区间1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减;当(]1,e x ∈时,()0g x '>,所以()g x 在区间()1,e 上单调递增.因为()1111ln e e 1 1.5,e lne 1 1.5.e e e e g g ⎛⎫=+=->=+=+< ⎪⎝⎭所以()g x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1e 1e g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.所以当e 1a -时,对于任意1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,都有()1f x ax -.所以实数a 的取值范围是e 1a -. 解法二 直接构造差函数.设()()()1ln 1h x f x ax x x ax =--=-+,则()0h x 对任意1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立.对()h x 求导,得()1ln .h x x a =+-'令()0h x '=,得ln 1x a =-,所以1e a x -=.当x 变化时,()(),h x h x '在()0,∞+上的变化情况见表3.5. 表3.5当11e e a -,即0a 时,()h x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,所以()max ()e e e 10h x h a ==-+,则11ea +,不满足0a ,舍去.当11e e e a -<<,即02a <<时,()h x 在11,e e a -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,在(1e ,e a -⎤⎦上单调递增, 于是(e)0,10,e h h ⎧⎪⎨⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎩所以11,e e 1.a a ⎧+⎪⎨⎪-⎩又因为02a <<,所以e 12a -<.当1e e a -,即2a 时,()h x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,所以max 1()0e h x h ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则e 1a -,满足2a .综上所述,实数a 的取值范围是e 1a -. 解法三 先等价变形,再构造差函数.因为0x >,所以不等式()ln 1f x x x ax =-等价于1ln x a x-.设()11ln ln x x a x a x x ϕ⎛⎫=--=+- ⎪⎝⎭,即()0x ϕ对任意1,e ex ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立.对()x ϕ求导,得()22111.x x x x xϕ-=-='由解法一知,()x ϕ在区间1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,在区间()1,e 上单调递增.所以()10,e e 0,ϕϕ⎧⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪⎩即e 1,11,e a a -⎧⎪⎨+⎪⎩故e 1a -. 【点睛】对于含有参数的不等式恒成立问题,构造差函数后,分析导数的符号情况时,通常要对参数进行分类讨论.有时,对不等式进行等价变形后再构造差函数,会使问题更加容易解决利用二次函数性质判断参数取值范围【例4】已知函数()()321232af x x x x a =-+-∈R .若对于任意()1,x ∞∈+都有()2f x a '<-成立,求实数a 的取值范围.【分析】若原函数是三次函数,则其导数为二次函数.有关导数的不等式恒成立问题可以由二次函数的图像和性质直接求解,也可以利用参变分离结合构造的新函数的图像和性质求解.【解析】解法一 参变分离构造新函数. 对函数()f x 求导,得()2 2.f x x ax '=-+-因为对于任意()1,x ∞∈+都有()2f x a '<-成立,即222x ax a -+-<-成立.因为10x ->,所以对于任意()1,x ∞∈+都有21x a x <-成立.令()()()21,1x g x x x ∞=∈+-,则 ()()()222222122.(1)(1)(1)x x x x x x x g x x x x ----===---' 令()0g x '=,得2x =.当x 变化时,()(),g x g x '在()1,∞+上的变化情况见表3.6.表3.6所以()min ()24g x g ==,故实数a 的取值范围是4a <. 解法二 直接研究二次函数.对函数()f x 求导,得 ()2 2.f x x ax '=-+-若对任意()1,x ∞∈+都有()2f x a '<-成立,即222x ax a -+-<-成立,亦即20x ax a -+>成立.设()2h x x ax a =-+,则二次函数()h x 的图像是开口向上的抛物线,对称轴为2a x =.由题意,对于任意()1,x ∞∈+都有()0h x >,则()1,1,2210Δ0,a a h ⎧⎧>⎪⎪⎨⎨⎪⎪><⎩⎩或即2,2,04,a a a a ⎧>⎧⎨⎨∈<<⎩⎩R 或 所以2a 或24a <<.所以实数a 的取值范围是4a <.解法三 参变分离结合均值不等式.由解法一知,对于任意()1,x ∞∈+都有21x a x <-成立,则()()22(1)21111 2.111x x x x x x x -+-+==-++--- 因为10x ->,所以()()1122124,1x x x -++-=- 当且仅当11,11,x x x ⎧-=⎪-⎨⎪>⎩即2x =时,“=”成立.所以实数a 的取值范围是4a <.【点睛】二次函数是基本初等函数之一,在研究函数的导数符号时会经常遇到.二次函数与二次方程、二次不等式在有关函数问题的求解中起到重要作用,对二次函数的图像和性质要予以足够的重视. 等价转化求解恒成立或存在性问题【例5】已知函数()e x f x x =-,当[]0,2x ∈时,不等式()f x ax >恒成立,求实数a 的取值范围.【分析】我们在解决不等式恒成立问题时,可以将不等式等价变形,通过移项、去分母或者乘以(除以)某一正项,再分离参数、构造新函数,将不等式问题等价转化为函数问题,就可以利用导数来研究函数的图像和性质了. 【解析】解法一 参变分离构造新函数. 由()f x ax >,得()1e x a x +<.当0x =时,上述不等式显然成立,则a ∈R .当02x <时,将()1e xa x +<等价变形得e 1x a x <-,令()e 1xg x x=-,则()()21e x x g x x-='. 令()0g x '>,解得1x >;令()0g x '<,解得1x <.所以()g x 在()0,1上单调递减,在()1,2上单调递增.所以当1x =时,()g x 取得最小值e 1-,因此所求实数a 的取值范围是(),1e ∞--.解法二 等价变形后构造新函数.由题意,不等式()e x f x x ax =->,当0x =时,()010f =>恒成立,a ∈R .当02x <时,将()1e xa x +<等价变形得e 10xa x-->.设()e 1(02)xh x a x x=--<,则()()21e xx h x x -=',由解法一知,()min ()1e 10h x h a ==-->,所以e 1a <-,故所求实数a 的取值范围是(),e 1∞--.解法三 直接构造差函数,分类讨论.设()()e x x f x ax x ax ϕ=-=--,则()e 1x x a ϕ=--'.由题意知,对于任意[]()0,2,0x x ϕ∈>恒成立,等价于min?()0x ϕ>.①当1a -时,10a --,因为e 0x >,所以()0x ϕ'>,则()x ϕ在[]0,2上单调递增,所以()min ()010x ϕϕ==>,故1a -满足题意.(2)当1a >-时,则()e 10x x a ϕ=--=',得e 1x a =+,所以()ln 1x a =+. 当x 变化时,()(),x x ϕϕ'在(),∞∞-+上的变化情况见表3.7.表3.7当()ln 10a +,即011,10a a <+-<时,()x ϕ在[]0,2上单调递增,则()min?()010x ϕϕ==>,所以10a -<,满足题意.当()0ln 12a <+<,即2211e ,0e 1a a <+<<<-时,()x ϕ在()()0,ln 1a +上单调递减,在()()ln 1,2a +上单调递增,则()()()()min ()ln 11ln 1ln 1x a a a a a ϕϕ=+=+-+-+()()11ln 10,a a ⎡⎤=+-+>⎣⎦ 因为()10,1ln 10a a +>-+>,所以01e a <+<,因此0e 1a <<-. 当()ln 12a +,即221e ,e 1a a +-时,()x ϕ在[]0,2上单调递减,则()min()2e 220x a ϕϕ==-->,所以2e 12a <-,不满足2e 1a -.综上所述,实数a 的取值范围是(),e 1∞--.【点睛】不等式恒成立或存在性问题常常转化为对应函数的最值问题,可以通过不等式的等价变形,找到易于研究的函数求解. 分类讨论研究函数的图像和性质【例6】设函数()e 1(0)x f x ax a =-+>,当1x <时,函数()f x 的图像恒在x 轴上方,求a 的最大值.【分析】函数()f x 的图像恒在x 轴上方(或下方)之类的问题,转化为代数语言即()0f x >(或()0)f x <恒成立的问题,本质上还是不等式问题.此时,求解参数的取值范围,一种思路是通过研究导数的零点而研究原函数的图像和性质,找到()f x 的最小值或取值范围,即可找到参数的取值范围;另一种思路是将参数直接分离出来,研究分离后的新函数的图像和性质.这两种思路通常都需要用到分类讨论的思想方法.【解析】解法一 因导数零点的不确定性而分类讨论.对()f x 求导,得()e x f x a '=-.令()0f x '=,即e x a =,则ln x a =.①当ln 1a <,即0e a <<时,对于任意(),ln x a ∞∈-,有()0f x '<,故()f x 在(),ln a ∞-上单调递减;对于任意()ln ,1x a ∈,有()0f x '>,故()f x 在()ln ,1a 上单调递增.因此当ln x a =时,()f x 有最小值()()ln ln 11ln 10.f a a a a a a =-+=-+> 故0e a <<成立.②当ln 1a ,即e a 时,对于任意(),1x ∞∈-,有()0f x '<,故()f x 在(),1∞-上单调递减.因为()0f x >恒成立,所以()10f ,即e 10a -+,所以e 1a +,则e e 1a +. 综上所述,a 的最大值为e 1+. 解法二 因分离参数而分类讨论.由题设知,当1x <时,()e 10x f x ax =-+>.① 当01x <<时,e 1x a x +<.设()e 1x g x x+=,则()()221e 1e e 10.xx x x x g x x x '----==<故()g x 在()0,1上单调递减,因此,()()1e 1g x g >=+,所以e 1a +. ② 当0x =时,()20f x =>成立.③ 当0x <时,e 1x a x +>,因为e 10x x +<,所以当e 1a =+时,e 1x a x +>成立. 综上所述,a 的最大值为e 1+.【点睛】何时需要分类讨论?是不是有参数就一定要分类讨论?其实,这是没有一定之规的,关键是按照研究的需要而定.本题的两种解法提供了两种分类讨论的角度,解法一讨论的是参数,解法二讨论的是自变量.因为解法一中导数的零点ln x a =含参数,所以无法确定其与定义域()(),1x ∞∈-的关系,于是就要按照ln a 与1的大小关系来分类讨论;而解法二是为了分离参数,由()0f x >得e 1x ax +,不等式两边同时除以x ,因确知x 的符号而进行分类讨论.解题时不要墨守成规,要根据实际情况灵活选用恰当的方法.关注特殊值,优化分类讨论【例7】已知函数()e ax f x x =-,当1a ≠时,求证:存在实数0x 使()01f x <. 【分析】为证明“存在实数0x 使()01f x <”,只需找到一个满足条件的实数0x 即可.因函数()f x 中含有参数a ,故考虑对参数a 进行分类讨论.当实数0x 容易寻找时,可直接得出结论;当实数0x 不能直接发现时,可以将不等式()01f x <等价转化为函数()f x 的最小值小于1.【解析】证法一 当0a 时,显然有()1e 101a f =-<,即存在实数0x 使()01f x <. 当0,1a a >≠时,对函数()f x 求导,得()e 1.ax f x a =-' 由()0f x '=可得11ln x a a =.所以当11,ln x a a ∞⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,()0f x '<,则函数()f x 在11,ln a a ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减;当11ln ,x a a ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时,()0f x '>,则函数()f x 在11ln ,a a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增,所以()111ln 1ln f a a a a⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是()f x 的最小值.由函数()e ax f x x =-可得()01f =,由1a ≠可得11ln 0a a ≠,所以()11ln 01f f a a ⎛⎫<= ⎪⎝⎭. 综上所述,当1a ≠时,存在实数0x 使()01f x <.证法二 当0a 时,显然有()1e 101a f <-<,即存在实数0x 使()01f x <. 当0,1a a >≠时,由()0f x '=可得11ln x a a =.所以当11,ln x a a ∞⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,()0f x '<,则函数()f x 在11,ln a a ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减;当11ln ,x a a ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时,()0f x '>,则函数()f x 在11ln ,a a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增.所以111ln ln af a a a +⎛⎫= ⎪⎝⎭是()f x 的极小值.设()1ln x g x x +=,则()2ln (0)xg x x x-=>'.令()0g x '=,得1x =. 当x 变化时,()(),g x g x '在()0,∞+上的变化情况见表3.8.表3.8所以当1x ≠时,()()11g x g <=,所以11ln 1f a a ⎛⎫< ⎪⎝⎭.综上所述,当1a ≠时,存在实数0x 使()01f x <.【点睛】证明存在性(或不存在性)问题,只需找到满足条件的变量即可,这时要注意观察函数结构,可以结合不等式性质、定义域等寻找特殊值.常取的自变量的值一般首先考虑0,1,1-,112,e,,2e,等等,还要注意端点的函数值以及极值、最值等,具体要根据实际情况而定.有时特殊值选取恰当,可以起到事半功倍的效果.另外,还要注意等价转化的恰当使用,如转化为求函数的最值问题等,可以使目标更加明确. 先找必要条件再证充分性【例8】 设函数()2ln f x ax a x =--,其中a ∈R .确定a 的所有可能取值,使得()11e xf x x->-在区间()1,∞+内恒成立. 【分析】当()1,x ∞∈+时,211ln e xax a x x--->-恒成立,求参数a 的取值范围.常规的解法有两种.第一种:将所有项移到左边构造函数,令()211ln e x g x ax a x x -=---+,对该函数求导,求出在()1,∞+内的最小值(含参数a ),再令最小值大于0,求得a 的取值范围.第二种:分离参数得121ln e 1x x x a x -+->-,右边不含参数,利用导数求其最大值,则可得a 的取值范围.这两种方法容易想到,但操作过程异常复杂,利用高中知识很难解决,所以可以尝试变形改变结构,将该不等式的结构变为易于处理的形式,把对数、指数都移到一边:()212111ln e 1ln e .x x ax a x a x x x x---->-⇔->+- 这样至少左边的函数是我们比较熟悉的.猜想存在一个函数()h x 满足()()2111ln e x a x h x x x -->>+-,我们的想法是先证明()11ln e x h x x x->+-,然后再由()()21a x h x ->求得a 的取值范围.这种方法的本质是利用不等式的传递性,用切线作中间量,此外还有如下思路:设命题()211:ln e 0x p g x ax a x x -=---+>在区间()1,∞+内恒成立,易见()10g =,于是根据导数的定义,有()()()()1111lim lim 11x x g x g g x g x x ++→→'-==--(符号1x +→表示从1的右侧趋近于1),可知若命题p 成立,则有命题():10q g '成立.即命题q 是命题p 的必要条件,于是命题p 对应的范围是命题q 所对应的范围的子集.利用此方法我们可以得到一个大致的范围.【解析】解法一 利用不等式的传递性,用切线作中间量. 由题意,有()212111ln e 1ln e .x x ax a x a x x x x---->-⇔->+- 设()11ln e x G x x x -=+-,则()1211e 0(1),x G x x x x-'=-+>> 所以函数()G x 在()1,∞+上单调递增.以点()1,0A 为切点,对应的切线为:1G l y x =-. 下面证明()G x 的图像位于直线G l 的下方,即11ln e 1xx x x-+-<-. ()()1111ln e 1ln e 1,x x H x x x x x x x --=+---=+--+则()1211e 1.x H x x x-'=-+- 因为ln 1x x <-, 则1111ln.x x e x x--<⇔< 所以()2122211111(1)e 110.xx H x x x x x x x --=-+-<'-+-=-<因此()H x 在()1,∞+上单调递减.因为()10H =,所以()0H x <,即结论成立. 于是()21111ln e xa x x x x-->->+-,则问题转化为()211(1)a x x x ->->,求参数a 的范围.化简上式可得()11a x +>,易得12a ,所以1,2a ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭. 解法二 必要性先行.设()211ln e x g x ax a x x -=---+,则()10g =,对()g x 求导,得()12112e x g x ax x x -=-+-'由()10g ',得()1210g a =-',即12a. 下面再证明充分性,即当1,2a ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭时,()211ln e 0x g x ax a x x -=---+>.因为12a,所以()()221112a x x --在()1,∞+上恒成立.于是不等式转化为()()21111ln e 2x g x x x x ----+,则只需证明()21111ln e 02x x x x----+>即可. 有以下两种证法: 证法一 令()()21111ln e ,2x H x x x x -⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭对()H x 求导,得()()()212221111111e 0,xx x x H x x x x x x x x x --+-=-+->-+-=>'其中指数函数的放缩技巧参考解法一.所以()H x 在()1,∞+上单调递增,故()()10H x H >=,即()21111ln e 2x x x x-->+- 证法二令()()21111ln e 2x H x x x x -⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭,则()1211e ,x H x x x x -=-'+- ()3112331221e e .xx x x H x x x x--'+-=+-+='+ 因为()1,x ∞∈+,所以320x x +->,则()0H x ''>,所以()H x '在()1,∞+上单调递增,而()10H '=,于是()0H x '>,则()H x 在()1,∞+上单调递增,所以()()10H x H >=.综上可知,a 的取值范围为1,2a ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭.【点睛】解法一的核心思路是利用不等式的传递性,把切线作为中间量,既转化了问题,又降低了难度.也就是,先证明()11ln e x h x x x->+-,然后再由()()21a x h x ->求得a 的取值范围.最简单的函数就是一次函数了,这样我们就自然想到了切线,设()11ln e x G x x x-=+-,设想存在一条()G x 的切线y kx b =+满足()kx b G x +>,这样的话说明切线应该位千函数()G x 的图像上方,那究竟是不是这样呢? 我们先利用导数来判断()G x 的单调性,()1211e 0(1)x G x x x x-'=-+>>,说明该函数在()1,∞+上单调递增,那么它的形态到底是图3.1还是图3.2呢?图3.1图3.2事实上这里就涉及函数的“凹凸性”问题,但鉴于高中阶段的教学内容中没有“凹凸性”的定义,所以我们只能用代数方式来证明()G x 的图像是图3.2的形式,也就是说,()G x 图像上任意一点处的切线都在()G x 图像的“上方”,那么在这个问题里,我们选哪个点为切点呢?因为现在给定的区间是()1,∞+,所以我们选择了端点. 我们的目标是要证明()0H x '<,因为()10H '=,并且()1211e 1x H x x x-=-+-'中前面两个函数都是分式函数,于是考虑将指数1e x -放缩为分式函数.该解法最难的部分是“凹凸性”的代数证明,函数()G x 的“凹凸性”确保了该解法的正确性.如果函数()G x 是“向下凸”也即图3.1,则“切线法”就失效了,因此“切线法”有其局限性.解法二的精髄在于,先求得一个大致的范围,即寻找一个必要条件,再结合题千信息证明其充分性.对于比较难的题目,我们可通过弱化题目要求,先解决问题的一部分,自行降低难度,先获得一些简单的结论,再将其扩充至一般情形,这是一种“以退为进”的策略.。
高考数学复习知识点讲解教案第3讲 等式与不等式
> 1，，， >
0，则
0，则
>
<
+
+
+
+
< 1；
> 1.
◆ 对点演练 ◆
题组一 常识题
1.［教材改编］
设 = + 2， = +
[解析] ∵ − = +
2
2
+ 1 − + 2 =
≥
+ 1，则与的大小关系是_______.
2
− 2 + 1 = − 1
不等式中不成立的是(
)
D
D.
A. + > +
B. >
C. <
>
［思路点拨］（1）利用不等式的性质判断选项A，B，利用平方法判断选项C，
进而判断选项D即可.
[解析] ∵ > > > > 0，∴ + > + ， > ，故A，B中不等式成立；
< 0，可得 < < 0，即能推出 > ；反之，
1
0.所以“
<
1
< 0”是“ > ”的充分不必要条件，故B正确.
对于C，若 > ，则当 = −2， = 1时，满足 > ，但 < ；反之，
若 > ，则当 = 2， = −3时，满足 > ，但 < .
<
（2）传递性: > , > ⇒ > （单向性）.
2023年人教版高考数学总复习第一部分考点指导第二章不等式第一节不等式性质与基本不等式
a＋b 3．基本不等式 ab ≤ 2 【1】 (1)基本不等式成立的条件：a＞0，b＞0.
y－9
y－9
y－9
y－9
以 y－9＞0，
所以 y－9＋y－9 9 ≥2 （y－9）·y－9 9 ＝6. 当且仅当 y－9＝ 9 ，即 y＝12 时等号成立，此时 x＝4，所以当 x＝4，y＝12
y－9
时，x＋y 取得最小值 16.
方法三：(配凑法)由1x ＋9y ＝1，得 y＋9x＝xy， 所以(x－1)(y－9)＝9.所以 x＋y＝10＋(x－1)＋
A．若 a＞b，则a1 ＜1b
B．若 a＞b，则 ac2≥bc2
C．若 a＞0＞b，则 a2＜－ab
D．若 c＞a＞b＞0，则 a ＞ b c－a c－b
【解析】选 BD.A.根据 a＞b，取 a＝1，b＝－1，则1a ＜1b 不成立，故 A 错误；
B．因为 a＞b，所以由不等式的基本性质知 ac2≥bc2 成立，故 B 正确；
配凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过_添__项__、___拆__项____等方法凑成_和__ 为定值或_积___为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．配凑法的实
质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．
2．常数代换法求最值的步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数).
m＋n＝3
3α－β＝(m＋n)α＋(n－m)β.所以
高考数学复习专题 基本不等式
高考数学复习专题基本不等式全国名校高考数学复优质学案、专题汇编（附详解）高考数学复专题：基本不等式一、基本不等式1.基本不等式：对于任意非负实数 $a$ 和 $b$，有 $a+b \geq 2\sqrt{ab}$，等号成立当且仅当 $a=b$。
2.算术平均数与几何平均数：设 $a>0$，$b>0$，则$a$ 和 $b$ 的算术平均数不小于它们的几何平均数。
3.利用基本不等式求最值问题：1）如果积 $xy$ 是定值 $P$，那么当且仅当 $x=y$ 时，$x+y$ 有最小值 $2\sqrt{P}$。
2）如果和 $x+y$ 是定值 $P$，那么当且仅当 $x=y$ 时，$xy$ 有最大值 $\frac{P}{4}$。
4.常用结论：1）$a+b \geq 2ab$（$a$，$b$ 为任意实数）。
2）$\frac{b^2}{a}+\frac{a^2}{b} \geq 2(a+b)$（$a$，$b$ 为同号实数）。
3）$ab \leq \frac{a^2+b^2}{2} \leq (\frac{a+b}{2})^2$（$a$，$b$ 为任意实数）。
4）$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \geq\frac{3}{2}$（$a$，$b$，$c$ 为正实数）。
5）$2(a+b) \geq \sqrt{2}(a+b)$（$a$，$b$ 为任意实数）。
6）$\frac{a^2+b^2}{a+b} \geq \frac{a+b}{2}$（$a$，$b$ 为任意实数）。
7）$a^2+b^2 \geq ab$（$a>0$，$b>0$）。
二、基本不等式在实际中的应用1.问题的背景是人们关心的社会热点问题，如物价、销售、税收等。
题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解。
2.经常建立的函数模型有正（反）比例函数、一次函数、二次函数、分段函数以及 $y=ax+b$（$a>0$，$b>0$）等。
2022年新高考数学总复习：基本不等式
2022年新高考数学总复习：基本不等式知识点一重要不等式a 2＋b 2≥__2ab __(a ，b ∈R )(当且仅当__a ＝b __时等号成立)．知识点二基本不等式ab ≤a ＋b2(均值定理)(1)基本不等式成立的条件：__a >0，b >0__；(2)等号成立的条件：当且仅当__a ＝b __时等号成立；(3)其中a ＋b2叫做正数a ，b 的__算术平均数__，ab 叫做正数a ，b 的__几何平均数__.知识点三利用基本不等式求最大、最小值问题(1)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且xy ＝P (定值)，那么当__x ＝y __时，x ＋y 有最小值2P .(简记：“积定和最小”)(2)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且x ＋y ＝S (定值)，那么当x ＝y 时，xy 有最大值S 24.(简记：“和定积最大”)归纳拓展常用的几个重要不等式(1)a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)．(当且仅当a ＝b 时取等号)(2)ab (a ，b ∈R )．(当且仅当a ＝b 时取等号)≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )．(当且仅当a ＝b 时取等号)(4)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)．(当且仅当a ＝b 时取等号)．(5)21a ＋1b≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a ，b >0当且仅当a ＝b 时取等号)．双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x 4.(×)(2)“x >0且y >0”是“x y ＋yx ≥2”的充要条件．(×)(3)(a ＋b )2≥4ab (a ，b ∈R )．(√)(4)若a >0，则a 3＋1a 2的最小值为2a .(×)(5)不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 有相同的成立条件．(×)(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．(√)题组二走进教材2．(必修5P 100练习T1改编)若x <0，则x ＋1x (D)A ．有最小值，且最小值为2B ．有最大值，且最大值为2C ．有最小值，且最小值为－2D ．有最大值，且最大值为－2[解析]因为x <0，所以－x >0，－x ＋1－x≥2，当且仅当x ＝－1时，等号成立，所以x＋1x≤－2.3．(必修5P 100练习T3改编)设0<a <b ，则下列不等式中正确的是(B )A ．a <b <ab <a ＋b2B ．a <ab <a ＋b2<bC ．a <ab <b <a ＋b 2D ．ab <a <a ＋b2<b[解析]解法一(特值法)：代入a ＝1，b ＝2，则有0<a ＝1<ab ＝2<a ＋b2＝1.5<b ＝2.解法二(直接法)：我们知道算术平均数a ＋b2与几何平均数ab 的大小关系，其余各式作差(作商)比较即可，答案为B ．4．(必修5P 100A 组T2改编)若把总长为20m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是__25__m 2.[解析]设矩形的一边为x m ，面积为y m 2，则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ，其中0<x <10，∴y ＝x (10－x )≤x ＋(10－x )22＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25.题组三走向高考5．(2020·江苏，12,5分)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是__45__.[解析]由5x 2y 2＋y 4＝1知y ≠0，∴x 2＝1－y 45y 2，∴x 2＋y 2＝1－y 45y 2y 2＝1＋4y 45y 2＝15y 2＋4y 25≥2425＝45，当且仅当15y 2＝4y 25，即y 2＝12，x 2＝310时取“＝”．故x 2＋y 2的最小值为45.6．(2019·天津，13)设x >0，y >0，x ＋2y ＝4，则(x ＋1)(2y ＋1)xy的最小值为__92__.[解析](x ＋1)(2y ＋1)xy ＝2xy ＋x ＋2y ＋1xy ＝2xy ＋5xy＝2＋5xy .∵x >0，y >0，∴4＝x ＋2y ≥2x ·2y ，解得0<xy ≤2，当且仅当x ＝2y ＝2，即x ＝2且y ＝1时“＝”成立．此时1xy ≥12，∴2＋5xy ≥2＋52＝92，故(x ＋1)(2y ＋1)xy的最小值为92.考点突破·互动探究考点一利用基本不等式求最值——多维探究角度1拼凑法求最值例1(1)(2020·天津，14,5分)已知a >0，b >0，且ab ＝1，则12a ＋12b ＋8a ＋b的最小值为__4__.(2)(2021·吉林模拟)已知x >2，若f (x )＝x ＋1x －2在x ＝n 处取得最小值，则n ＝(B )A ．52B ．3C ．72D ．4(3)(2021·重庆南开中学质检)已知实数a ，b >1，且满足ab －a －b ＝5，则2a ＋3b 的最小值为__17__.[解析](1)12a ＋12b ＋8a ＋b ＝a ＋b 2ab ＋8a ＋b ＝a ＋b 2＋8a ＋b≥2a ＋b 2×8a ＋b＝4，当且仅当a ＋b 2＝8a ＋b ，即(a ＋b )2＝16，也即a ＋b ＝4时取等号．又∵ab ＝1＝2＋3，＝2－3或＝2－3，＝2＋3时取等号，∴12a ＋12b ＋8a ＋b的最小值为4.(2)由f (x )＝x ＋1x －2＝(x －2)＋1x －2＋2≥4，当且仅当x －2＝1x －2>0，即x ＝3时，取得等号，故选B ．(3)由ab－a－b＝5⇒6＝(a－1)(b－1)⇒36＝(2a－2)(3b－3)则2a＋3b≥17，当且仅当a＝4，b＝3取最小值．[引申]f(x)＝x＋1x－2的值域为__(－∞，0]∪[4，＋∞)__.[解析]f(x)＝(x－2)＋1x－2＋2，∵|(x－2)＋1x－2|＝|x－2|＋1|x－2|≥2(当且仅当|x－2|＝1即x＝3或1时取等号)∴(x－2)＋1x－2≥2或x－2＋1x－2≤－2，∴f(x)≥4或f(x)≤0，即f(x)的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)．名师点拨拼凑法求最值的技巧(1)用均值定理求最值要注意三个条件：一正、二定、三相等．“一正”不满足时，需提负号或加以讨论，“二定”不满足时，需变形，“三相等”不满足时，可利用函数单调性．(2)求乘积的最值．同样要检验“一正、二定、三相等”，如例(2)的关键是变形，凑出积为常数．角度2换元法求最值例2(1)已知x>54，求函数y＝16x2－28x＋114x－5的最小值；(2)(2021·百校联盟尖子生联考)已知a，b∈R＋，且a＋2b＝ab－16，则ab的最小值为(B)A．16B．32C．64D．128[思路](1)通过换元转化为形如Ax＋Bx＋C形式的函数．[解析](1)设4x－5＝t，则x＝t＋54.∵x>54，∴t>0.∴y＝－28·t＋54＋11t＝t2＋3t＋1t＝t ＋1t＋3≥2＋3＝5.当且仅当t ＝1即x ＝32时，上式取“＝”号．∴x ＝32时，y min ＝5.(2)ab －16＝a ＋2b ≥22ab ，令ab ＝t ，则t 2－22t －16≥0⇒t ≥22＋722＝42，故ab ≥32，即ab 最小值为32.(当且仅当a ＝8，b ＝4时取等号)故选B ．[答案](1)5角度3常数代换法求最值例3(1)已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝4，则2x ＋1y最小值为__2__；(2)已知正数x ，y 满足8x ＋1y ＝1，则x ＋2y 的最小值为__18__.[思路](2)先利用乘常数法或消元法，再利用基本不等式求解最值．[解析](1)2x ＋1y ＝x ＋2y )×14＝＋x y ＋＋ 2.当且仅当x y ＝4yx ，即y 2＝x 2，＋2y ＝4＝2，＝1时取等号．(2)解法一：x ＋2y x ＋2y )＝10＋x y ＋16yx ≥10＋2x y ·16yx ＝18，当且仅当＋1y ＝1，＝16y x＝12，＝3时“＝”成立，故x ＋2y 的最小值是18.解法二(消元法)：由8x ＋1y ＝1，得y ＝x x －8，由y >0⇒x x －8>0，又x >0⇒x >8，则x ＋2y ＝x＋2x x －8＝x ＋2(x －8)＋16x －8＝x ＋2＋16x －8＝(x －8)＋16x －8＋10≥2(x －8)·16x －8＋10＝18，当且仅当x －8＝16x －8，即x ＝12(x ＝4舍去)，y ＝3时，“＝”成立，故x ＋2y 的最小值为18.名师点拨常数代换法的技巧(1)常数代换法就是利用常数的变形以及代数式与“1”的积、商都是自身的性质，通过代数式的变形构造和式或积式为定值，然后利用基本不等式求最值．(2)利用常数代换法求解最值应注意：①条件的灵活变形，常数化成1是代数式等价变形的基础；②利用基本不等式求最值时“一正、二定、三相等”的检验，否则容易出现错解．〔变式训练1〕(1)(角度1)(2021·宁夏银川一中月考)已知正数x 、y 满足x ＋y ＝1，则1x ＋41＋y 的最小值为(B)A ．2B ．92C ．143D ．5(2)(角度2)(2021·山东师大附中模拟)若正数x ，y 满足x ＋5y ＝3xy ，则5x ＋y 的最小值为__12__；(3)(角度3)(2020·天津七校期中联考)已知a >0，b >0，且1a ＋1＋1b ＝1，求a ＋b 的最小值__3__.[解析](1)∵x ＋y ＝1，所以x ＋(1＋y )＝2，则[x＋(1＋y ＝4x 1＋y ＋1＋y x ＋5≥24x 1＋y ·1＋y x＋5＝9，所以1x ＋41＋y ≥92，＝1＋yx 1＝23＝13时取等号∴1x ＋41＋y 的最小值为92，故选B ．(2)∵x >0，y >0，x ＋5y ＝3xy ，即5x ＋1y ＝3，∵5x ＋yx ＋y )＋5y x ＋＋12，(当且仅当x ＝y ＝2时取等号)∴5x ＋y 的最小值为12，另解：∵x >0，y >0，x ＋5y ＝3xy ，即x ＝5y3y －1，令3y －1＝t ，则y ＝t ＋13，(t >0)，∴5x ＋y ＝25y 3y －1＋y＋t ＋13＝263＋≥263＋2325t·t ＝12.(当且仅当t ＝5，即x ＝y ＝2时取等号)∴5x ＋y 的最小值为12.(3)∵a >0，b >0，且1a ＋1＋1b＝1，∴a ＋b ＝[(a ＋1)＋b ]－1a ＋1)＋b ]－1＝b a ＋1＋a ＋1b＋1≥2b a ＋1·a ＋1b＋1＝3，当且仅当a ＋1＝b ，即a ＝1，b ＝2时取等号，∴a ＋b 的最小值为3，另解：(换元法)由1a ＋1＋1b ＝1得b ＝1＋1a ，(a >0)，∴a ＋b ＝a ＋1a＋1≥2a ·1a＋1＝3，当且仅当a ＝1，b ＝2时取等号，∴a ＋b 的最小值为3.考点二利用基本不等式求参数的范围——师生共研例4若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则(1)ab 的取值范围是__[9，＋∞)__；(2)a ＋b 的取值范围是__[6，＋∞)__.[解析](1)∵ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，令t ＝ab >0，∴t 2－2t －3≥0，∴(t －3)(t ＋1)≥0.∴t ≥3即ab ≥3，∴ab ≥9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号．(2)∵ab ＝a ＋b ＋3，∴a ＋b ＋3.今t ＝a ＋b >0，∴t 2－4t －12≥0，∴(t －6)(t ＋2)≥0.∴t ≥6即a ＋b ≥6，当且仅当a ＝b ＝3时取等号．名师点拨利用方程的思想是解决此类问题的常规解法．另外，本例第二问也可用如下方法求解：由已知b＝a＋3a－1>0，∴a－1>0，∴a＋b＝a＋a＋3a－1＝a＋a－1＋4a－1＝a＋1＋4a－1＝(a－1)＋4a－1＋2≥6.当且仅当a＝b＝3时取等号．〔变式训练2〕(2020·黑龙江哈尔滨三中期中)已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是__4__. [解析]解法一：∵x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8.∴(2y＋1)(x＋1)＝9且x＋1>0,2y＋1>0∴x＋2y＝(2y＋1)＋(x＋1)－2≥2(2y＋1)·(x＋1)－2＝4.(当且仅当x＝2，y＝1时取等号)∴x＋2y的最小值为4.解法二：∵x>0，y>0，∴2xy＝(2y＋x)42(当且仅当x＝2，y＝1时取等号)又x＋2y＋2xy＝8，∴x＋2y＋(x＋2y)42≥8，∴(x＋2y－4)(x＋2y＋8)≥0，∴x＋2y－4≥0，即x＋2y≥4(当且仅当x＝2，y＝1时取等号)∴x＋2y的最小值为4.解法三：∵x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，∴x＝8－2y1＋2y＝92y＋1－1，∴x＋2y＝92y＋1＋(2y＋1)－2≥292y＋1·(2y＋1)－2＝4(当且仅当y＝1时取等号)∴x＋2y的最小值为4.秒杀解法：x＋2y＋2xy＝8，即x＋2y＋x·2y＝8.由条件及结论关于x、2y的对称性知当x ＝2y＝2时x＋2y取最小值为4.考点三利用基本不等式解决实际问题——师生共研例5某人准备在一块占地面积为1800m2的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1m的小路(如图所示)，大棚总占地面积为S m2，其中a∶b＝1∶2，则S 的最大值为__1568__.[解析]由题意可得xy＝1800，b＝2a，x>3，y>3，则y＝a＋b＋3＝3a＋3，所以S＝(x－2)a＋(x－3)b＝(3x－8)a＝(3x－8)y－33＝1808－3x－83y＝1808－3x－83×1800x＝18083x＋4800x1808－23x×4800x＝1808－240＝1568，当且仅当3x＝4800x，即x＝40，y＝45时等号成立，S取得最大值，所以当x＝40，y＝45时，S取得最大值为1568.名师点拨应用基本不等式解决实际问题的步骤：①仔细阅读题目，深刻理解题意；②找出题目中的数量关系，并设出未知数，并用它表示其它的量，把要求最值的量设为函数；③利用基本不等式求出最值；④再还原成实际问题，作出解答．〔变式训练3〕某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4800m3，深度为3m．如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，要使水池总造价最低，那么水池底部的周长为__160__m.[解析]设水池底面一边的长度为x m，则另一边的长度为48003xm，由题意可得水池总造价f(x)＝150×48003＋1202×3x＋2×3×48003x＝240000＋720x＋1600x(x>0)，则f(x)＝720x＋1600x240000≥720×2x ·1600x＋240000＝720×2×40＋240000＝297600，当且仅当x ＝1600x，即x ＝40时，f (x )有最小值297600，此时另一边的长度为48003x＝40(m)，因此，要使水池的总造价最低，水池底部的周长应为160m.名师讲坛·素养提升基本不等式的综合应用角度1基本不等式与其他知识交汇的最值问题例6设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n的最小值是__92__.[解析]a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝n (1＋n )2，所以S n ＋8a n＝n (1＋n )2＋8n ＝＋16n＋2n ·16n＋＝92，当且仅当n ＝4时取等号，所以S n ＋8a n 的最小值是92.角度2求参数值或取值范围例7已知不等式(x ＋y 9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为(B)A ．2B ．4C ．6D ．8[解析]已知不等式(x ＋y 9对任意正实数x ，y 恒成立，只要求(x ＋y 最小值大于或等于9，∵1＋a ＋y x ＋axy ≥a ＋2a ＋1，当且仅当y ＝ax 时，等号成立，∴a ＋2a ＋1≥9，第11页共11页∴a ≥2或a ≤－4(舍去)，∴a ≥4，即正实数a的最小值为4，故选B ．名师点拨求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．〔变式训练4〕(1)(角度1)已知函数f (x )＝ax 2＋bx (a >0，b >0)的图象在点(1，f (1))处的切线的斜率为2，则8a ＋b ab的最小值是(B )A ．10B ．9C ．8D ．32(2)设x >0，y >0，不等式1x ＋1y ＋m x ＋y≥0恒成立，则实数m 的最小值是__－4__.[解析](1)由函数f (x )＝ax 2＋bx ，得f ′(x )＝2ax ＋b ，由函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线斜率为2，所以f ′(1)＝2a ＋b ＝2，所以8a ＋b ab＝1a ＋8b ＝a＋b )＋b a ＋＋＝12(10＋8)＝9，当且仅当b a ＝16a b ，即a ＝13，b ＝43时等号成立，所以8a ＋b ab 的最小值为9，故选B ．(2)原问题等价于m x ＋y≥∵x >0，y >0，∴等价于m ≥x ＋y )的最大值．x ＋y )＝－2－2－2＝－4，当且仅当x ＝y 时取“＝”，故m ≥－4.。
2022版高考数学一轮复习第2章不等式第3讲一元二次不等式课件
1．(教材改编)已知集合A＝{x|x2－x－6>0}，则∁RA等于 ( )
A．{x|－2<x<3}
B．{x|－2≤x≤3}
C．{x|x<－2或x>3}
D．{x|x≤－2或x≥3}
【答案】B
2．(2020 年广州期中考试)若关于 x 的不等式 ax2＋bx＋2＞0 的解集
为x|－12＜x＜13，则 a－b 的值是 A．－10
第二章
不等式
第3讲 一元二次不等式
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01 基础整合 自测纠偏 02 重难突破 能力提升
03 素养微专 直击高考 04
配套训练
1
基础整合 自测纠偏
1．一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式不等式叫作 一元二次不等式．
2．三个“二次”间的关系
判别式 Δ＝b2－4ac
考向 1 不含参的不等式
(1)不等式－2x2＋x＋3<0 的解集为________． (2)不等式xx2－－29>0 的解集是________． 【答案】(1)(－∞，－1)∪32，＋∞ (2)(－3,2)∪(3，＋∞)
【解析】(1)化－2x2＋x＋3<0 为 2x2－x－3>0，解方程 2x2－x－3＝0
得 x1＝－1，x2＝32，所以不等式－2x2＋x＋3＜0 的解集为(－∞，－1)∪
32，＋∞.
x2－9>0， x2－9<0，
(2) 原 不 等 式 ⇔ x－2>0
或 x－2<0
⇒ 解 集 为 {x|x>3 或 －
3<x<2}．
考向 2 含参不等式
解关于 x 的不等式：x2－(a＋1)x＋a<0.
第03讲 基本不等式(含新定义解答题) (分层精练)(解析版)-备战2025年高考新结构数学一轮复习
上·河北沧州·高一统考期末）已知正数
x，y
满足 3x
2y
2
，则
3 2x
1 y
的最小值
为（ ）
A．6 【答案】B
B．
25 4
C． 13 2
D． 25 2
【分析】借助基本不等式计算即可得.
【详解】 3 2x
1 y
1
2
3 2x
1 y
(3x 2 2
3y x
3x y
1 2
13 2
所以 a b 的最大值为 4.
故选：B
8．（2024 上·湖南·高一校联考期末）已知 a2 b2 4ab 1，则 ab 的最小值为（ ）
A．
1 2
B． 1 3
C．2
D．3
【答案】A
【分析】利用重要不等式列出不等式求解即可.
【详解】由重要不等式得 a2 b2 4ab 1 2ab ，当且仅当 a b 时取等，
2ab
，即 0
ab
1 8
，
当且仅当 a 2b ，即 a 1 ,b 1 时等号成立. 24
故选：C
5．（2024 上·山东滨州·高三统考期末）若不等式 x2 ax 4 0 对任意 x 1,3恒成立，则实
数 a 的取值范围是（ ）
A．0, 4
B． , 4
C．
,
13 3
D． ,5
【答案】B
4x2 1 x2
，即 x2
1 时，取到等号，D 正确. 3
故选：BD.
10．（2024 上·山东临沂·高一山东省临沂第一中学期末）下列命题中正确的是（ ）
A．若 x 0 ，则 x 1 2 x
B． x2 3 2 x2 2
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第二章 不等式
5
二、教材衍化
1．设 x＞0，y＞0，且 x＋y＝18，则 xy 的最大值为
()
A．80
B．77
C．81
D．82
解析：选 C．xy≤x＋2 y2＝1282＝81，当且仅当 x＝y＝9 时等号成立，故选 C．
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第二章 不等式
6
2．若把总长为 20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________． 解析：设矩形的长为 x m，宽为 y m，则 x＋y＝10，所以 S＝xy≤x＋2 y2＝25，当且仅 当 x＝y＝5 时取等号． 答案：25 m2
复习
指导
探索并了解基本不等式的证明过程，会用基本不等式解决简单的最大(小)值问
题．
核心素养：逻辑推理
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第二章 不等式
13
角度一 通过配凑法求最值 (1)已知 0<x<1，则 x(4－3x)取得最大值时 x 的值为________．
(2)已知 x<54，则 f(x)＝4x－2＋4x1－5的最大值为________． 【解析】 (1)x(4－3x)＝13·(3x)(4－3x)≤13·3x＋（24－3x）2＝43， 当且仅当 3x＝4－3x， 即 x＝23时，取等号．
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第二章 不等式
17
【迁移探究 1】 (变问法)若本例中的条件不变，则1a＋1b的最小值为________． 解析：因为 a>0，b>0，a＋b＝1，
所以1a＋1b＝a＋a b＋a＋b b＝2＋ba＋ab≥2＋2 ba·ab＝4，即1a＋1b的最小值为 4，当且仅当
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第二章 不等式
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3．设 0<x<1，则函数 y＝2x(1－x)的最大值为________．
解析：y＝2x(1－x)≤2x＋12－x2＝12. 当且仅当 x＝1－x，即 x＝12时，等号成立． 答案：12
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第二章 不等式
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考点一 利用基本不等式求最值(基础型)
（5－4x）5－14x＋3≤－2＋3
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第二章 不等式
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通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略 拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值 应注意以下几个方面的问题： (1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等 价变形； (2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．
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常用结论 几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时取等号． (2)ab≤a＋2 b2(a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时取等号． (3)a2＋2 b2≥a＋2 b2(a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时取等号． (4)ba＋ab≥2(a，b 同号)，当且仅当 a＝b 时取等号．
均数． [点拨] 应用基本不等式求最值要注意：“一正、二定、三相等”．忽略某个条件，就
会出错．
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第二章 不等式
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2．利用基本不等式求最值
已知 x≥0，y≥0，则 (1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当___x_＝__y____时，x＋y 有最小值是____2__p____．(简
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(× ) (× ) (×) (× )
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二、易错纠偏 常见误区 (1)忽视不等式成立的条件 a>0 且 b>0； (2)忽视定值存在； (3)忽视等号成立的条件．
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1．若 x<0，则 x＋1x
()
A．有最小值，且最小值为 2
B．有最大值，且最大值为 2
记：积定和最小)
s2
(2)如果和 x＋y 是定值 s，那么当且仅当___x_＝__y____时，xy 有最大值是_____4_____．(简
记：和定积最大)
[点拨] 在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式．若必须多次
使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致．
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第二章 不等式
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ห้องสมุดไป่ตู้
(2)因为 x<54，所以 5－4x>0， 则 f(x)＝4x－2＋4x1－5＝－(5－4x＋5－14x)＋3≤－2 ＝1. 当且仅当 5－4x＝5－14x，即 x＝1 时，等号成立． 故 f(x)＝4x－2＋4x1－5的最大值为 1. 【答案】 (1)23 (2)1
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角度二 通过常数代换法求最值 已知 a>0，b>0，a＋b＝1，则1＋1a1＋1b的最小值为________．
【解析】 1＋1a1＋1b＝1＋a＋a b1＋a＋b b＝2＋ba· 2＋ab＝5＋2ba＋ab≥5＋4＝9.当且仅当 a＝b＝12时，取等号． 【答案】 9
C．有最小值，且最小值为－2
D．有最大值，且最大值为－2
解析：选 D．因为 x<0，所以－x>0，－x＋－1x≥2 1＝2，当且仅当 x＝－1 时，等号
成立，所以 x＋1x≤－2.
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第二章 不等式
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2．若 x>1，则 x＋x－4 1的最小值为________． 解析：x＋x－4 1＝x－1＋x－4 1＋1≥4＋1＝5. 当且仅当 x－1＝x－4 1，即 x＝3 时等号成立． 答案：5
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第二章 不等式
一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数 y＝x＋1x的最小值是 2. (2)ab≤a＋2 b2成立的条件是 ab>0. (3)“x>0 且 y>0”是“xy＋xy≥2”的充要条件． (4)若 a>0，则 a3＋a12的最小值是 2 a.
第二章 不等式
第3讲 基本不等式
数学
第二章 不等式
1
01
基础知识 自主回顾
02
学科素养 探究提升
03
高效演练 分层突破
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第二章 不等式
2
一、知识梳理
1．基本不等式： ab≤a＋2 b
(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.
(2)等号成立a＋的b条件：当且仅当___a_＝__b____时取等号． (3)其中____2______称为正数 a，b 的算术平均数，_____a_b____称为正数 a，b 的几何平