高等代数第七章 线性变换复习讲义

第七章线性变换一.线性变换的定义和运算1.线性变换的定义（1）定义：设V是数域p上的线性空间，A是V上的一个变换，如果对任意α，β∈V和k∈P都有A（α＋β）=A（α）+A（β），A（kα）=kA（α）则称A为V的一个线性变换。

（2）恒等变换（单位变换）和零变换的定义：ε（α）=α，ο（α）=0，任意α∈V.它们都是V的线性变换。

（3）A是线性变换的充要条件：A（kα+lβ）=kA(α)+lA(β),任意α，β∈V，k，l∈P.2.线性变换的性质设V是数域P上的线性空间，A是V的线性变换，则有（1）A（0）=0；（2）A（-α）=-A（α），任意α∈V；（3）A（∑kiαi）=ΣkiA（α），α∈V，ki∈P，i=1,…,s;（4）若α1，α2，…,αs∈V,且线性相关，则A（α1），A （α2），…,A(αs)也线性相关，但当α1，α2，…,αs线性无关时，不能推出A（α1），A（α2），…,A(αs)线性无关。

3.线性变换的运算4.线性变换与基的关系（1）设ε1，ε2，…,εn是线性空间v的一组基，如果线性变换A和B在这组基上的作用相同，即Aεi=Bεi，i=1,2，…,n,则有A=B.（2）设ε1，ε2，…,εn是线性空间v的一组基，对于V中任意一组向量α1，α2，…,αn,存在唯一一个线性变换A使Aεi=αi,i=1,2，…,n.二．线性变换的矩阵1.定义：设ε1，ε2，…,εn是数域P上n维线性空间v的一组基，A是V中的一个线性变换，基向量的像可以被基线性表出Aε1=a11ε1+a21ε2+…an1εnAε2=a12ε1+a22ε2+…an2εn……Aεn= a1nε1+a2nε2+…annεn用矩阵表示就是A（ε1，ε2，…,εn）=（ε1，ε2，…,εn）A,其中a 11 a 12 …… a 1na 21 a 22 …… a 2nA= ……a n1 a n2 …… a nn称为A在基ε1，ε2，…,εn下的矩阵。

2.线性变换与其矩阵的关系（1）线性变换的和对应于矩阵的和；（2）线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；（3）线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积；（4）可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵。

3. α与A(α)在同一组基下的坐标之间的关系设A在基α1，α2，…,αn下的矩阵为A，对任意α∈V，设α在基α1，α2，…,αn下的坐标为（x1,x2,…,xn）,即α=（α1，α2，…,αn）x1 ，则A（α）=A （（α1，α2，…,αnX1 )=[ A(α1, α2,…,αn)] x1 = (α1, α2,…,αn)A x1 .即A（α）在基α1, …,… ………Xn xn Xn xnαn下的坐标是A（α）=A x14.同一线性变换在不同基下的矩阵之间的关系设α1，α2，…,αn和β1，β2，…,βn是V的两组基，且α1，α2，…,αn到β1，β2，…,βn的过渡矩阵为T，即（β1，β2，…,βn）=（α1，α2，…,αn）T，T 是n级可逆矩阵，若A在基α1，α2，…,αn下的矩阵为A，则A在基β1，β2，…,βn下的矩阵为T-1 AT，它和A 在基α1，α2，…,αn下的矩阵A是相似的，即同一个线性变换在不同基下的矩阵相似。

三．特征值和特征向量1．特征值与特征向量的定义设A是数域P上线性空间V的一个线性变换，如果对于数域P中一数λ0，存在一个非零向量ξ，使得Aξ=λ0ξ,那么λ0称为A的一个特征值，而ξ称为A的属于特征值λ0的一特征向量。

2．特征矩阵和特征多项式的定义设A是数域P上一n级矩阵，λ是一个文字，矩阵λE-A的行列式|λE-A|= λ-a11 -a12… -a1n 称为A的特征多项式，这是数域P上的一个n次多项式。

-a21 λ-a22… -a2n……-a n1 -a n2 … λ-a nn3.求线性变换A的特征值和特征向量的步骤（1）在线性空间V中取一组基ε1，ε2，…,εn,写出A在这组基下的矩阵A；（2）求出A的特征多项式|λE-A|在数域P中的全部根，即为A （或者A）的全部特征值；（3）对于每个特征值λ，求解齐次线性方程组（λE-A）X=0，求得的非零解，即为对应于λ的特征向量。

4.相关性质列举（1）线性变换A（或n级方阵A）的属于不同特征值的特征向量线性无关。

（2）设λ0是n级方阵A的特征值，则a.任意k∈N，λ0k是A k的特征值；b．任意l∈P，lλ0是lA的特征值；c．设f（x）是多项式，则f（λ0）是f（A）的特征值；d．若A可逆，则λ0≠0，且1/λ0是A-1的特征值。

（3）若λ0是线性变换A（或n级方阵A）的特征值。

属于λ0的所有特征向量再添加零向量构成V（或P n）的子空间，称这个子空间为A（或A）的关于特征值λ0的特征子空间，记作Vλ0，而维（Vλ0）为（λ0 E-A）X=0的解空间的维数。

（4）若λ1，λ2，…,λs是线性变换A（或n级方阵A）的全部互异的特征值，则和Vλ1+…+Vλs是直和。

若维（Vλ1）+…+维（Vλs）=n，则V= Vλ1+…+Vλs ,且Vλ1，…，Vλs的基的联合是V的一组基，在此基下，A的矩阵是准对角型。

（5）A∈P n×n ,设λ1，…,λs(可能有相同的)为A的全部特征根，则λ1+λ2+…+λn=(a11+…+a nn )称为A的迹。

四．矩阵的相似和相似对角化（1）矩阵相似的定义设A.B 为数域P上两个n级矩阵，如果存在可逆矩阵P，使P-1 AP=B，则称 A和B相似，记为A~B。

（2）矩阵相似的性质a.矩阵的相似是一种等价关系，即满足反身性、对称性和传递性；b．线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的；反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵。

（3）n级方阵A相似对角化的判别设P为数域，）A∈P n×n ,设λ1，…,λs为A的所有互异的特征值，则下列条件等价：a.A与数域P上的对角矩阵相似；b.在P中，A有n个线性无关的特征向量；c.Σ（λi的重数）=n，且Vλi的维数=λi的重数，i=1,2，…,s;d.Σdim（Vλi）=n；e.A的最后一个不变因子无重根；f.A的初等因子是一次的。

五．线性变换的值域与核1.定义：设A是线性空间V的一个线性变换，A的全体像组成的集合称为A的值域，用A V表示；所有被A变成零向量的向量组成的集合称为A的核，用A-1（0）表示。

线性变换的值域和核都是V的子空间。

2.值域和核的性质（1）设A 是n 维线性空间V 的一个线性变换，ε1，ε2，…, εn 是V 的一组基，在这组基下的矩阵是A ，则有 a. A V=L(A ε1，A ε2，…, A εn); b. A 的秩等于A 的秩。

(2) 设A 是线性空间V 的一个线性变换,则A V 的一组基的原像及A -1（0）的一组基起来就是V 的一组基，并且有A 的秩+A 的零度=n 。

（3）值域和核都是V 的不变子空间。

（4）若V 是有限维线性空间，则A 是单射＜＝＞A -1（0）=﹛0﹜＜＝＞A V=V ＜＝＞A 是满射。

（5）A 的秩等于A 的值域A V 的维数，A 的零度等于A -1（0）的维数。

六．不变子空间 1、不变子空间的定义为了解决不变子空间的问题，我们需要不变子空间的概念.先看一个例子.在3V 中，设σ是数量变换，即有一个确定的数k ，使得对任意αασαk )(,3=∈V ，设W 是3V 中过原点的一个平面，W 是3V 的一个子空间，对W 中每一个向量ξ，ξ在σ作用之下的像)(ξσ仍是W 中的向量，这样的子空间W 就是σ的不变子空间.定义1 设σ是F 上向量空间V 的一个线性变换，W 是V 的一个子空间，若W 中向量在σ下的像仍在W 中，即对于W中任一向量ξ，都有W ∈)(ξσ，则称W 是σ的一个不变子空间，或称W 在σ之下不变.例1 向量空间V 本身和零子空间是V 的任一个线性变换的不变子空间，称它们为V 的平凡不变子空间，其它不变子空间称为非平凡不变子空间.例2 向量空间V 的任一子空间都是数量变换的不变子空间.例3 在R [x]中，令x)(f (f(x))'=σ，对任意][],[)(x R x R x f n ∈是R [x]的子空间，并且]x [n R 是σ的不变子空间.例4 设σ是3V 中以过原点的一条直线L 为轴,旋转θ角的变换,则L 是σ的一维不变子空间;过原点且与L 垂直的平面H 是σ的一个二维不变子空间.2、不变子空间的判断下面给出一种判断不变子空间的方法定理7.4.1 设σ是n 维向量空间V 的一个线性变换，W 是V 的子空间，{}r 21,,,ααα 是W 的基.则W 是σ的不变子空间的充要条件是)(,),(),(r 21ασασασ 在W 中.设W 是向量空间V 的关于线性变换σ的不变子空间，那么对于任意的W ∈α，必有W ∈)(ασ，因此σ也可看作是向量空间W 的一个线性变换，用W σ表示，即对于任意W ∈ξ，)()(ξσξσ=W若W ∉ξ，那么)(ξσW 就没有意义. W σ叫做σ在W 上的限制.4、不变子空间与线性变换的矩阵的关系设σ是n 维向量空间V 的一个线性变换，W 是σ的一个非平凡不变子空间.在W 中取一个基{}r 21,,,ααα ，把它扩充成V 的一个基},,,,,,{1r 21n r ααααα +，由于),,2,1()(r i W i =∈ασ，故可设r r a a a αααασ12211111)(+++=r r a a a αααασ22221212)(+++=…………r r a a a αααασr 2r 21r 1r )(+++=n r n a a a a ααααασ1,1r 1r 1r r 1r r 11r 11r )(++++++++++++= ，，，，…………n nn r n r r rn n n a a a a ααααασ+++++=++ 1,111)(因此，σ关于这个基的矩阵为,00002311,,11,11,111,1111⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++A A A a a a a a a a a a a a a nn r n n r r r rn r r rr r n r r这里1A 是W σ关于W 的基{}r 21,,,ααα 的矩阵. 4.不变子空间与空间分解（1）如果V 可以分解成两个非平凡不变子空间1W 与2W 的直和,21W W V ⊕=那么选取1W 的一个基{}r 21,,,ααα 和2W 的一个基{}n 1,,αα +r ，凑成V 的一个基{}n r ααααα,,,,,,1r 21 +，当1W 和2W 都在σ下不变时，σ关于这个基的矩阵是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2100A A A 这里1A 是r 阶矩阵，2A 是n-r 阶矩阵，它们分别是1W σ关于基{}r 21,,,ααα 的矩阵和2W σ关于基{}n 1,,αα +r 的矩阵.（2）若V 可分解成s 个非平凡子空间s 21,,,W W W 的直和，并且每一i W 都是σ的不变子空间，那么在每一子空间中取一个基，凑成V 的基，σ关于这个基的矩阵就为分块对角形矩阵其中i A 是i W σ关于i W 的基的矩阵，.,2,1s i =（3）设线性变换 A 的特征多项式f （λ）可以分解成一次因式的乘积 f （λ）=（λ-λ1 ）r1（λ-λ2 ）r2……（λ-λs ）rs,则V 可以分解成不变子空间的直和V=V 1 ○+ V 1○+…○+V s ，其中V i =﹛ξ|（A —λi ε）ri ξ=0，ξ∈P ﹜ 5.根子空间的定义我们称V i =﹛ξ|（A —λi ε）riξ=0，ξ∈P ﹜为A 的属于特征值λi 的根子空间，常记为V λi.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛s 21A A A。