最简三角方程

6.5最简三角方程（2）

上海市第四中学张云一、教学内容分析

在掌握最简三角方程的解集基础上，学会解简单的三角方程．利用同角三角比或三角比的有关公式将同时含有几个三角函数的方程化为只含有一个角的一个三角函数的方程，然后采用基本的转化方法，将原方程化成简单三角方程求解．有关三角方程的实数解问题，不仅要考虑以三角函数为未知数的一元二次方程的0

∆≥，而且要关注此三角函数本身的条件限制．

二、教学目标设计

1．会解简单的三角方程（形如sin cos

A x

B x C

+=，2

A x

B x C

+=，

sin sin 2

+=等）．

A x

B x C

sin cos

[说明]把简单的三角方程转化为最简单的三角方程，一是要掌握基本方法，二是要合理选用公式和变换方法．其基本的转化方法有：（1）化为同角、同名的三角函数；（2）因式分解法；（3）化为sin x、cos x 的齐次式；（4）引入辅助角．

２．利用函数的图像解与三角函数有关的方程问题．

三、教学重点及难点

重点：简单的三角方程转化为最简单的三角方程基本方法与合理选用公式和变换方法；

难点：简单的三角方程转化为最简单的三角方程的过程中合理选用公式和变换方法，及含有字母三角方程的实数解讨论．

四、教学用具准备

多媒体设备

五、教学流程设计

六、教学过程设计

1．概念辨析

已知三角函数值求角（实际上是求解最简三角方程），要熟练掌握最简三角方程的解集，并在理解的基础上熟记下表：

把简单的三角方程转化为最简单的三角方程，一是要掌握基本方法，二是要合理选用公式和变换方法．其基本的转化方法有： （1）可化为同角、同名的三角函数的方程，通常用解代数方程的方法，转化为最简的三角方程；

（2）一边可以分解，而另一边为零的方程，通常用因式分解法，转化为最简的三角方程；

（3）关于sin x 、cos x 的齐次方程，，通常化为关于tan x 的方程。再用解代数方程的方法，转化为关于tan x 最简的三角方程；

（4）形如sin cos a x b x c +=的方程，通常是引入辅助角，化原方程为

sin()x θ+=

1≤时，方程有解．

2．例题分析

例1、解方程22sin 3cos 0x x +=．

解 原方程可化为 22(1c o s )3c o s 0

x x -+=， 即 22cos 3cos 20x x --=． 解这个关于cos x 的二次方程，得

cos 2x =，1

cos 2

x =-．

由cos 2x =，得解集为φ； 由1

cos 2

x =-，得解集为22,3x x k k Z ππ⎧

⎫=±

∈⎨⎬⎩

⎭

．

所以原方程的解集为22,3x x k k Z ππ⎧

⎫=±

∈⎨⎬⎩

⎭

． [说明]方程中的2sin x 可化为21cos x -，这样原方程便可看成以cos x 为未知数的一元二次方程，当0∆≥时，可用因式分解将原方程转化成两个最简方程，从而求得它们的解．

例2、解方程22sin cos cos 03

x x x x -

-=． 解一 因为cos 0x ≠（使cos 0x =的x 的值不可能满足原方程），所以在方程的两边同除以2cos x ，得

2tan 10x x -=． 解关于tan x 的二次方程，得

tan x =tan x =

由tan x =,3

x x k k Z ππ⎧⎫

=+∈⎨⎬⎩

⎭

；

由tan x =,6x x k k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭

． 所以原方程的解集为,,3

6

x x k x k k Z ππππ⎧⎫

=+=-∈⎨⎬⎩

⎭

或．

[说明]若方程的每一项关于sin cos x x 及的次数都是相同的（本题都是二次）,那么这样的方程叫做关于sin cos x x 及的齐次方程．它的解法一般是,先化为只含有未知数的正切函数的三角方程，然后求解．

解二 降次得 1c o s 231c o s 2

i n 2022

x x x -+-=，

化简得

i n 2c o s 20

x x +=． 因为cos 20x ≠（使cos 20x =的x 的值不可能满足原方程），所以

在方程的两边同除以

cos 2x ，得tan 2x =

由tan 2x = 2,3

x k k Z π

π=-∈，即,26

k x k Z ππ

=

-∈． 所以原方程的解集为,26k x x k Z ππ⎧

⎫=

-∈⎨⎬⎩

⎭

． [说明]由于转化方法的不同，所得解集的表达形式不同，但当k 是偶数2n 时，

26k ππ-变成n 6ππ-；当k 是奇数2n+1时，26k ππ-变成n 3

π

π+，所以实质上,,3

6

x x k x k k Z ππππ⎧⎫=+=-∈⎨⎬⎩

⎭

或与,26k x x k Z ππ⎧

⎫

=

-∈⎨⎬⎩

⎭

是相等的集合．

解三 降次得 1c o s 231c o s 2

i n 2022

x x x -+-=，

化简得

i n 2c o s 20

3

x x +=， 即 sin(2)03

x π

+=，

得 2,3

x k k Z π

π+

=∈，即,26

k x k Z ππ

=

-∈． 所以原方程的解集为,26k x x k Z ππ⎧

⎫=

-∈⎨⎬⎩

⎭

． [说明]一般说来，对于形如sin cos a x b x c +=的三角方程，可先在方程

的两边都除以，然后引入辅助角，原方程变形为

sin()x θ+=

1≤时，方程有解．

例3、若方程cos 22sin 10x x m -+-=存在实数解，求m 的取值范围． 解一 由原方程，得 22sin 2sin 0x x m +-=，