理论力学3-平面任意力系的简化与求解

其中A、C、E为光滑铰链，B、D为光滑接触，E为 中点，各杆自重不计。在水平杆 2 上作用一铅垂 向下的力 F，试证明无论力 F 的位置 x 如何改变， 其竖杆 1 总是受到大小等于F 的压力。
解：本题为求二力杆（杆1）的内力FA1或FC1。为 此先取杆2、4及销钉A为研究对象，受力如图。
ME (F) 0 :
FA1
b 2
F(b 2
x)
FNB
b 2
FND
b 2
0
(a)
上式中FND和FNB为未知量，必须先求得；为此再 分别取整体和杆2为研究对象。
a
xF
A
B
2
3
1E
4
C
D
b
F
A
B
FEy
FA1
FEx FNB
E
FND
D
例13 取整体为研究对象，受力如图。
MC (F ) 0 : FNDb Fx 0
FND
Fx b
(1)平面任意力系简化为一个力偶的情形
R' ＝0，MO≠0
原力系合成为合力偶。合力偶矩M等于原力系对简化 中心的主矩。此时主矩与简化中心的位置无关。
MO MO(F)
4.2 平面任意力系简化结果分析
(2)平面任意力系简化为一个合力的情形·合力矩定理
如果主矩等于零，主矢不等于零，则此时平面 力系简化为一合力，作用线恰好通过简化中心。
FAx
FAy
B
FBx
FBy
a
例5
再以AC为研究对象，受力如图。
MC (F ) 0 : FAxa FAya 0
解得：
FAx
FAy
1 4
qa
1 2
F
FBx
1 2
F
1 4
qa
F
C
FCx
A
FAx
FCy
FAy
q F
C
A
B
a
a
a
例6 例6 求图示多跨静定梁的支座反力。
F
q
解：先以CD为研究对象，受力如图。
F q
M
A
F
(a
b)
1 2
qa2
FBa
0
FB FB 求得
MA
FAx
M b
F,
FAy
qa,
MA L
FAx
A
FAy
C BM
C
FC
BM
F'B
B
例4 例8 组合结构如图所示，求支座反力和各杆的内力。
解：先以整体为研究对象，受力如图。
q
Fx 0 : FAx FD 0 Fy 0 : FAy q(2a b) 0
FR 0 MO 0
FR ( Fx )2 ( Fy )2 MO MO (Fi )
4.3 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
4.3.2 平衡方程 由于 FR ( Fx )2 ( Fy )2 , MO MO (Fi )
所以
Fxi 0 Fyi 0
M O (Fi ) 0
即：平面任意力系平衡的解析条件是：力系中所有各 力在其作用面内两个任选的坐标轴上投影的代数和分 别等于零，所有各力对任一点之矩的代数和等于零。 上式称为平面任意力系的平衡方程。
∴主矢 R X 2 Y 2 2002 1502 250N
cos cos(R, x) X 200 0.8
R 250
∴ =36.9°
mA mA (Fi ) P2 6 50 6 300N cm
2、简化最终结果
主矢 R 250N 方向： =36.9°
y
P2
P1
mA
B
例5 例5 求图示三铰刚架的支座反力。
解：先以整体为研究对象，受力如图。
Fx 0 : FAx FBx F 0
Fy 0 : FAy FBy qa 0
MA(F) 0:
FBy
2a
Fa
qa
3 2
a
0
可解得：
FAy
1 4
qa
1 2
F
FBy
1 2
F
3 4
qa
q F
C
A
B
a
a
q F
C
A
4.2.2 平行分布线荷载的简化
1、均布荷载 Q ql 2、三角形荷载 Q 1 ql
2
3、梯形荷载
可以看作一个三角形荷载和一 个均布荷载的叠加 结论： 1、合力的大小等于线荷载所组成几何 图形的面积。 2、合力的方向与线荷载的方向相同。 3、合力的作用线通过荷载图的形心。
Q q
l/2 l/2 Q q
第四章 平面任意力系
4 平面任意力系
• 平面任意力系向作用面内一点的简化 • 平面任意力系的平衡条件和平衡方程 • 物体系统的平衡·静定和超静定问题 • 平面简单桁架的内力计算
4.1 平面任意力系向作用面内一点简化
4.1.1 力线平移定理
定理：可以把作用在刚体上点A的力F平行
移到任一点O，但必须同时附加一个力偶，这
Q
FT
sin
l
P
l 2
Qa
0
(3)
从(3)式解出
FT
1
sin
l
(P l 2
Qa)
13.2
kN
代入(1)式解出 FAx FT cos 11.43 kN
代入(2)式解出 FAy Q P FT sin 2.1 kN
例3 FAx FT cos 0
(1)
C
FAy FT sin P Q 0 (2)
A
D
FAx
BC
FAy
1 2
F
1 2
q
FAy
FB
FD
例7 例7 求图示结构固定端的约束反力。 F
解：先以BC为研究对象，受力如图。
M 0 : FCb M 0
FC
M b
FB
再以AB部分为研究对象，受力如图。
a
b
q a A
Fx 0 : FAx F FB 0
FB
Fy 0 : FAy qa 0 MA(F) 0
A
MC
(F
)
0
:
3FD
3q
3 2
0
D BC
FD
3 2
q
2 21 3
再以整体为研究对象，受力如图。
q
Fx 0 : FAx 0 Fy 0 : FAy FB FD F 4q 0 MA(F) 0:
D
FCx C
FCy
FD
8FD 4FB 2F 4q 6 0
F
q
解得
FB
1 2
F
3q
示。已知水平力F＝6 kN，M＝4 kN·m，q＝3 kN/m。求固定端A
及铰链C的约束反力。
解: (1) 取BC分析
D
2l/3
M
FCy
B
C
M
B
CF
FBx
FCx
FBy
l/2
M B (F ) 0 : M FCy l 0
q0
A
M FCy l 2 kN 求得结果为负说明与假设方向相反。
(例2) 取1C2D分析
取水平杆2为研究对象，受力如图。
M A (F ) 0 : FNBb Fx 0
FNB
Fx b
代入（a）式得
平面力 偶 系力偶，MO (主矩，作用在该平面上)
4.1.2 平面任意力系向一点简化·主矢与主矩
平面任意力系中各力的矢量和称为平面任意力系 的主矢。主矢与简化中心的位置无关。
uur uur uur
rr
R' R'x + R'y X i Y j
R' ( X )2 (Y )2
cos( R'
,
例1 例1 求图示刚架的约束反力。
解：以刚架为研究对象，受力如图。
Fx 0 : FAx qb 0
P a A
q
b
Fy 0 : FAy P 0
P
M A(F) 0 :
MA
M
A
Pa
1 2
qb2
0
FAx
A
FAy
q
解之得：
FAx qb
FAy P
M
A
Pa
1 2
qb2
例3 例3 悬臂吊车如图所示。横梁AB长l＝2.5 m，重量P＝1.2 kN，
i)
X R'
cos( R'
,
j)
Y R'
4.1.2 平面任意力系向一点简化·主矢与主矩
原力系各力对简化中心力矩的代数和称为原力系
对简化中心的主矩。一般来说，主矩与简化中心的位
置有关。
n
uur
MO MO (F i )
i 1
平面任意力系向作用面内任一点O简化，可得 一个力和一个力偶。这个力等于该力系的主矢， 作用线通过简化中心O 。这个力偶的矩等于该 力系对于点O的主矩。主矢与简化中心的位置 无关，主矩和简化中心的位置有关。
个附加力偶的矩等于原来的力F对新作用点O的
矩。
F′
B
F″ B
F＝
F＝
F′ MB
A
A
A
力线平移定理的逆步骤，亦可把一个力和一 个力偶合成一个力。
说明： ①力的平移定理揭示了力与力偶的关系：力
力+力偶
②力平移的条件是附加一个力偶m，且m与d有关，m=F•d
③力的平移定理是力系简化的理论基础。
4.1.2 平面任意力系向一点简化·主矢与主矩
4.1.2.2 平面固定端约束
一物体的一端完全固定在另一物体上所构成的约 束称为固定端支座。
A
A
RA A MA
MA YA XA A
4.2 平面任意力系简化结果分析
四种情况：(1) R'＝0，MO≠0 ; (2) R' ≠ 0，MO ＝ 0 ; (3) R' ≠ 0， MO≠0 ; (4) R' ＝0，MO＝0
A
R R C
P3 x
主矩 LA = mA 300N cm
最终结果 合力 大小： R R 250N
方向: =36.9° 在A点左还是右？
位置图示： h L 300 1.2cm R 250
4.3 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
4.3.1 平衡条件
平面任意力系平衡的必要与充分条件是：力系 的主矢和对任一点的主矩都等于零。即
其中平面汇交力系的合力为
ur uur uur
uur uur uur
uur uur
R F1 F2 Fn F1 F2 Fn Fi
平面力偶系的合成结果为
MO
M1
M uur
2
M uur
n
uur
uur
MO (F1) MO (F2 ) MO (Fn ) MO (Fi )
平面汇交力系力，R′ (主矢，作用在简化中心)
FT
sin
l
P
l 2
Qa
0
(3)
FAy FAx
如果再分别取B和C为矩心列平衡方程得
A
FT
EH B
aP
MB(F) 0
Q
P
l 2
Q
(l
a)
FAy
l
0
(4)
MC (F) 0
FAx
tan
l
P
l 2
Qa
0
(5)
有效的方程组合是：1,2,3；1,2,4；1,2,5；1,3,4； 2,4,5 ；3,4,5
l/2
Fy 0 : FAy FCy 0
FAy FCy (2) 2 kN
M A(F) 0 :
11
M
A
M
2
ql
l 3
FCy
l
FCx
l
0
M A 6 kN m
q0 A
M
B
q0
MA
FAx A FAy
FCy C
FCx
求得结果为负说明与假设方向相反，即为顺时针方向。
例13 例13 编号为1、2、3、4的四根杆件组成平面结构，
MA(F) 0
FDa
1 2
q(2a
b)2
0
解之得：
q(2a b)2 FD 2a
q(2a b)2 FAx 2a
FAy q(2a b)
AE
F
B
a
23
D1
C
b
a
a
FAy
q
FAx
AE 2
F 3
B
D1
FD
C
例4
再以铰C为研究对象，受力如图，建立如图坐标。
Fx 0 : F1 F3 cos 45o 0
如果主矢和主矩均不等于零，此时还可进一步 简化为一合力。如图
R′
MO
O
O′
R′ R
O d
R″
O′
O
d
d MO R
R O′
4.2 平面任意力系简化结果分析
从图中可以看出
MO (R) Rd MO
由主矩的定义知：
所以
MO MO (Fi ) MO (R) MO (Fi )
FR
O
O′
d
结论：平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等 于力系中各力对同一点之矩的代数和。这就是平面任 意力系的合力矩定理。
Fy 0 : F2 F3 sin 45o 0
F1 FD
F3
q(2a b)2 2a
F2
q(2a b)2 2a
y
F2 F3
F1
45° x
C
q
AE
F
B
a
23
D1
C
b
a
a
例12 例12 两根铅直梁AB、CD与水平梁BC铰接，B、C、D均为光滑
铰链，A为固定支座，各梁的长度均为l＝2 m，受力情况如图所
F1 F2
y FR′
O
j
MO
Oi
x
Fn y
F1 F1 F2 F2 LL Fn Fn
F1′ M1
M2
O Mn
Fn′
F2′
M1 M O (F1)
M 2 M O (F2 )
x LLL
M n M O (Fn )
4.1.2 平面任意力系向一点简化·主矢与主矩
平面任意力系 向一点简化 平面汇交力系+平面力偶系
2l
l
3
3
q1
q2
l
[例] 图示力系，已知：P1=100N, P2=50N, P3=200N,图中距离
单位cm。
y
求：1、力系主矢及对A点之矩？
Βιβλιοθήκη Baidu2、力系简化最后结果。 P1
解： 1、建立坐标系
A
P2
R
4
B
6 3C
P3 x
2、X=∑Fx=P3 =200N
Y=∑Fy=P1+ P2 =100+50 =150N
FDy D FDx
CF
F'Cx
F'Cy
q0
MD(F) 0:
FCx
l
F
2l 3
0
FCx
2 3
F
4
kN
求得结果为负说明与假设方向相反。
D
2l/3
M
B
CF
l/2
A
(例3) 取1A2B、BC分析
Fx 0 :
FCx
FAx
1 2
ql
0
FAx
FCx
1 2
ql
(4)
1 2
32
1 kN
D
2l/3
M
B
CF
拉杆CB的倾角＝30°，质量不计，载荷Q＝7.5 kN。求图示位
置a＝2 m时拉杆的拉力和铰链A的约束反力。
例3 解：取横梁AB为研究对象。
Fx 0
FAx FT cos 0 (1)
FAy
Fy 0
FAx
A
FT
E
H
B
FAy FT sin P Q 0 (2)
P
a
M A(F) 0