高中物理竞赛习题集12(电磁感应)

3 3 3 R R B R 2 2 4 8 7 7 7 U ON B R R B R 2 2 4 8 3 7 所以 U MN U MO U ON B R 2 B R 2 8 8
且
U MO B
1 B R 2 2
例题：质量为 m 的物体用细绳缠在一个直流发电机的轴上，如图甲所示。该发电机中 的激励磁场是一个永磁体，内阻为 r0 ，负载电阻为 R，物体以速度 0 匀速下降，把发电机 电机把质量为 m 的物体匀速提高 h，求经历多少时间。 （轴间摩擦不计）
的金属圆盘， 在此磁场中竖直下落， 盘面始终位于竖直平面内并与磁场方向平行， 如图所示， 若要使圆盘在磁场中下落的加速度比没有磁场时减小 1/1000（不计空 气阻力） ，试求所需磁感应强度的数值，假定金属盘的电阻为零，密度
的电荷（设为 Q ） ，因为盘的电阻为零，所以由此 Q 电荷引起两
律，对半径 a 的圆电路可得 a k 2r1I1 r1I1
2
对等边三角形三个边组成的电路，
可得 3 3a k / 4 2r2 I 2 2r2 I 2
2
对由弦 AB 和弧 AB 构成的回路，可得
a
2
3 3a 2 / 4 k / 3 r1I1 r2 I 2

1 1 E Bxc tan ( xc ) Bxc2 tan 2 2 （1） U ac Eac IR E E 总 总 R0 4 4R 3 2 （2） Ebc Eac Eab Bxc tan 8 4E R R U bc Ebc I Ebc ac 2 4R 2 1 Bxc2 tan 8
将数据代入（9）式得 B 10 T 例题：如图所示，有一由匀质细导线弯成的半径为 a 的圆线圈和 一内接等边三角形的电阻丝组成的电路（电路中各段的电阻如图） 。 在圆线圈平面内有垂直纸面向里的均匀磁场，磁感应强度 B 随时间 t 均匀减小，其变化率的大小为一已知常量 k，已知 2r1=3r2，试求图中 AB 两点的电势差。 解：在各段电路上，感应电流的大小和方向如图所示，电流的分 布，已考虑到电路的对称性，根据法拉第电磁感应定律和欧姆定
磁场对电流的作用力 F 的方向向上，大小为 F BId R 2 B 2 d
2 注意到 m R d ，故 a g 1 B / （8）

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2

按题意 a 代入 （ 8） 式得 B 1 1/1000 g， （9）
6
103
9 103 kg / m2 ，其介电常数为 9 1012 C 2 / N m2 。 解：当盘在磁场中下落的速度为 时，盘中的感应电动势为 ＆ B d ，在感应电动势的作用下，圆盘两个表面上将带有等量异号
表面间的电压 U 等于盘中感应电动势的数值，即 （1） U = ＆ Bd 圆盘上的 Q 与 U 的关系跟一个同尺寸的带电电容器的 Q～U 关系相同，此电容器的电容 为 （2） C R2 d 2 圆盘表面所带电荷为 Q CU R B （3） （4）
U a Ub ＆
B SOac S扇Ocd t t
式中 SOac 代表 Oac 的面积，大小为 SOac 而 S扇Ocd 代表扇形 Ocd 的面积，大小为 S扇Ocd 可得 U a U b 2.110 V
5
1 3 3 0.1 0.1 102 m2 2 2 4 1 0.12 102 m2 2 6 12
当作电动机动行，如图乙所示，回路电阻仍是 R r0 不变，电源电动势为 E，无内阻，该
解：由图甲中，设物体 m 在时间 t 内以速度 0 匀速下降距离 y（即 y 0t ） ，则
mgy I12 Rt I12 r0t
图乙中设物体 m 以速度匀速上升 h，则
2 EI 2t I 2 ( R r0 )t mgvt
5 1 8
5 Q1 Q 8
1 2 2 3 3 2
1 Q2 Q 2 3 Q3 Q 2
在所有三种情况中负号表明，在线圈翻转部分里电荷流动方向与当加上磁场时情况相 反。 例题： 两个半径为 R 的相同的金属圆环， 沿着通过两环圆心的直线在同一平面上背向平 动，如图所示，磁感应强度 B 的均匀磁场垂直于两个环面，求当 两圆环速度均为 ，而角 a / 3 时刻，磁场对两个圆环的作用力 的大小和方向，两圆环接触点为 a 和 b，且接触良好，长度等于圆 环周长的金属丝的电阻为 r，环的电感不计。 解：设均匀磁场方向垂直环面向里，要计算圆环所受磁场力的 大小与方向， 需先判定和计算圆环中各部分的感应电流的大小和方 向，由电路对称性，我们可设弧 acb 和弧 adb 的电动势为＆1 、电 流为 i1 ，而相交点 a、b 之间的小圆弧的电动势为＆2 、电流为 i2 ，其流向如图甲所示，等效 电路图如乙所示 。
（2） x 2 R （任意点在磁场外） 有效面积 S 为 OACDO 所围绕的面积
S S OAC S 扇形OCd 先计算β角，在 OCF 中 x 2R R sin sin( )
解得 arctan
x 2R x 1 1 R2 x 2R S 2 RR sin R 2 (1 arctan ) 2 2 2 x B KR 2 x 2aR E s (1 arctan ) t t 2 x
Q I R 2 B t t
在盘下落过程中， 随时间增大，故 Q 也随时间增大，由（ 3 ）式可得盘中电流为
（5） t F 若盘的质量为 m，盘的加速度为 a，则盘的运动方程为 a g （6） t m mg 由（5） （6）两式得 a （7） m R2 B2d
因为重物在做匀速运动时绳子的张力都与重物的重力相等， 因此， 绳对电机要的拉力的 力矩也相等。而电机是匀速转动的，所以电机内的磁力矩也必定相等，题中已知磁场恒定， 因而可知其电流一定相等，即， I1 I 2 所以
t
h v
mgh mgv0 E mgv0 R r0
《R 例题： 假想有一水平方向的匀强磁场， 磁感应强度 B 未知， 有一半径为 R， 厚度为 d d
第十三章
电磁感应
例题： 如图所示， OC 为一绝缘杆， C 端固定一金属细杆 MN。 已知 MC=CN， MN=OC=R， 设有磁感应 MCO 600 ,此结构整体可绕 O 点在纸面内沿顺时针方向以匀角速度 转动。 强度为 B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场存在，则 M、N 两点间的电 势差 U MN 是多少？ 解：连接 OM、ON 构成一个三角形 OMN，在转动过程中，三角形回 路的磁通量不变，故有 U MN U NO UOM 0
B 变化。 t
B ，求 B 以 t
解：内柱内的磁场发生变化，在其周围空间会激发涡旋电场，这个电场使得带电粒子的 运动速率发生变化。 设某一时刻粒子运动的速度为 ，内柱的半径为 r，则 Bq m 即 B
2
r
m qr B m m m qE 1 1 B 1 B a r2 这样有 2 t qr t qr qr m r 2 r 2 r t 2 t

4
。直线上有一
任意点，设该点与 A 点的距离 x，求从 A 沿直线到该点的电动势的大小。 解：产生的涡旋电场的电场线为圆，圆心在 O 点轴线上，沿半径方向任一段距离上均无 电动势。 所求任意点分在磁场内和磁场外两种情形讨论 （1） x
2 R （任意点在磁场内） B 1 kR E s xR sin x t t 2 2 2
例题：在图中，一菱形均匀线圈在均匀恒定磁场 B 中以角速度 绕其对角线匀速转动， 转轴与磁场垂直，已知 acd a dc 间距等于 X c ，则当线圈能至与 B 平行位置时，求（1） U ac 的值， （2）设 b 为 ac 中点， U bc 的值； （ 3） ac 间电势最低点的位置。 解：计算 ac 间感应电动势有二种办法 办法一：取回路 adca ，因为 ad 和 dc 不切割磁感线，所以，该回 路的感应电动势等于 ac 段切割产生的感应电动势。 取图中位置为 t 0 时刻
B 3 103 T / s 的恒定速率 t
例题：如图所示，在半径为 10cm 的圆柱形空间充满了磁感应强度为 B 的均均磁场，方 向垂直纸面向里，磁感应强度以
增大，有一根长为 20cm 的金属导体细棒放在图示位置，其一半 于磁场内部 ，另一半位于磁场外部，求棒的两端 a、b 之间的电 势差。 解：当圆柱形内的磁场均匀增大时，在磁场周围会产生一涡 旋电场 （感生电场） ， 该电场的电场线是一组以圆柱形中心轴 O 为
考虑到流进 B 点的电流之和等于流出 B 点的电流之和，有
I1 I 2 I1 I 2
由含源电路欧姆定律可得 U B U A a k / 3 I1r1
2
由 以 上 各 式 及 题 给 出 的
r2=2r1/3
可 解 得
U A U B 3a k / 32
2
例题：如图所示为两同心圆柱区，内柱内有磁感应强度为 B 的匀强磁场，两柱间有磁 感应强度为 B 的匀强磁场，方向均垂直于纸面。为使质量为 m、电荷量为 q 的带电粒子能 在两柱间的区域内贴着内柱表面做轨迹不变的圆周运动，如果 B 的变化率为 多大的变化率
1 Bxc 2 tan B c( xc tan )sin(t ) (sin t ) 2 2 2 tan BX C E cos(t ) t 2 1 2 此时 t 0 ，得 e Bxc tan 2
也可以先计算整个菱形回路的总感应电动势，然后由对称性知 ac 部分的感应电动势为 其 1/4 办法二：直接利用切割计算。
例题：当加上垂直于线圈平面的磁场时，通过半径为 R 的线圈的电量为 Q，如果将线圈 折成由两个圆组成的 “8” 字形， 并且大小两圆的半径之比为 3： 1 问通过线圈的电量为多少？ （ “8”字平面也垂直于磁场） 解： Q
R
在将线圈折成“8”时，磁通量的变化与三种可能的折叠 方法有关（如图所示） 考虑到穿过翻转的圈套中磁通量必须加上相反的符号，对于三种情况如下关系： （a）线圈“夹”成“8”字形 （b）翻转小圈套 （c）翻转大圈套
要使粒子运动的半径不变，必须使约束粒子做圆周运动的磁场发生相应的变化。 例题：在图中，半径为 R 的圆柱形区域内有匀强磁场，磁场方向垂直于纸面指向纸外。 磁感应强度 B 随时间均匀变化，变化率
B k （k 为一正直常 t
量） 。圆柱形区域外空间中没有磁场，沿图中 AC 弦的方向画了直 线，并向外延长，弦 AC 与半径 OA 的夹角 a
中心的圆， 且与磁场方向垂直， 因此， 该感生电场在任何一个地方皆与圆柱形半径方向垂直， 因此，电场力会推动 ab 导体内自由电荷的移动而做功，在导体 ab 中产生感应电动势，a、b 两端产生感应电压。 设用导线将 Oa、Ob 连成一闭合电路，其中 Ob 与圆交于 d 点，由于 Oa、Ob 皆与感生电 场垂直，因而不产生感应电动势，故回 Oab 的感应电动势大于即等于 ab 导体的感应电动势 大小。 由楞次定律知这个电动势的方向由 a 指向 b，由法拉第电磁感应定律得
（3）在 ac 上取 P 点，和轴的距离为 x，则
1 Eap Bx 2 tan 2
U ap Eap IRap Eap I
R x xc
1 B tan ( xc x x 2 ) 2 x x 1 B tan [ c ( x c )2 ] 2 4 2 xc 1 2 当x 时， U ap 有最大值为 Bxc tan ，所以电势最低点在 ac 的中点。 2 8