带有缓和曲线的圆曲线坐标计算

X=Xhy+2伊Rsin（A/2）伊cos（T0依A0依A/2） Y=Yhy+2伊Rsin（A/2）伊sin（T0依A0依A/2） Xhy、Yhy 为 HY 点处的大地坐标 盂计算左边任意点坐标 X 左=X+D 左 cos（T0依A0依A-90） Y 左=Y+D 左 sin（T0依A0依A-90） 榆计算右边任意点坐标 X 右=X+D 右 cos（T0依A0依A依90） Y 右=Y+D 右 sin（T0依A0依A依90）
首先，建立缓和曲线圆曲线坐标计算的假定坐标系，如图 1 所示。
图 1 假定坐标系示意图
建立这一假定坐标系的真正目的是为了寻找圆曲线上任意 一点的法线、弦线与切线，三者之间的相互关系，进而按照直缓 点，即 ZH 到交点，即 JD 的坐标方位角，解算需要放样点位置的 法线、弦线和切线等坐标方位角，最终求得该点的坐标。
缓和曲线的数学公式：
x=l-l5/40R2l05+l9/3456R4l04 y=l3/6Rl0-l7/336R3l03+l11/42240R5l05 式中：x、y 为以缓和曲线起点（ZH）为坐标原点，以缓和曲线 起点切线方向为 x 轴，过缓和曲线起点垂直于切线方向为 y 轴建 立的坐标系，任一曲线长 l 处的点在该直角坐标系的 x、y 坐标 （如图 1）；R 为圆曲线半径，l0 为整条缓和曲线的长度（l0=Khy-K0， Khy 为 HY 点处的桩号）。这样就很容易计算出缓和曲线的直角坐 标了，然而实际工作中还必须把相对坐标 x、y 化成绝对大地坐标 X、Y，而且还必须计算曲线上任意一点的法线方向的某一点的大 地坐标 X、Y（如垂直或斜交公路的桥梁、涵洞的中心线），计算方 法如下：如图 3 设进入直缓点 ZH 前直线段的方位角为 T0，ZH 点 的大地坐标为 X0，Y0。 （1）先计算在缓和曲线坐标系相对坐标 x、y 坐标：
1 数学模型的建立
缓和曲线是公路和铁路经常选用的一种线形型式，它是一条 辐射螺旋线，半径由无穷大变到与它相连接的园曲线半径，是直 线与园曲线中间过渡连接的阶段，它能起到行驶的车辆从直线 进入园曲线的平稳过渡作用，整个曲线有四个特征点：ZH 点、HY 点、YH 点、HZ 点。缓和曲线放样方法经常采用偏角法和直角坐 标法，由于全站仪及 GPS 的普及，目前常用的方法是直角坐标 法，那么如何计算缓和曲线的直角坐标就成了放样工作的关键。
斜交角 C 代替 90。
台能编程的计算器就可解决。可以容易解决设计上未给出的坐
（5）计算圆曲线上的中心点及法线（或斜交）方向上点的坐 标以及施工放样过程中所需的加桩、补桩的坐标。
标：
显然曲线进入圆曲线后切线方位角偏离了 A0 角，即在 HY 点处方位角为 T0依A（0 前进方向右转为依左转为-）。
淤计算圆心角 A，A=（K-Khy）伊180（/ 仪伊R） Khy 为 HY 点处的桩号。 于计算中心桩坐标
图4
参考文献 [1]毛盛林.缓和曲线中桩边桩坐标技术方法探讨[J].四川建筑（建筑防水 与施工技术），2014（02）. [2]何友恩.有缓和曲线的圆曲线中线坐标计算程序的编制[J].福建建材， 2013（06）. [3]吴 英.带复合型缓和曲线的圆曲线边桩坐标计算[J].中南公路工程， 2009（03）. [4]朱良文，陈文贵，胡菊英.非完整缓和曲线点的既有坐标计算方法的讨 论[J].矿山测量，2013（12）. [5]徐卫国，龙振华，于周武.不同缓和曲线坐标计算方法[J].黑龙江工程学 院学报（自然科学版），2013（09）. [6] 朱 峻 宏 . 圆 曲 线 间 缓 和 曲 线 任 意 点 坐 标 计 算 [J]. 科 技 创 新 导 报 ，2012 （04）. [7]田佩俊，陈汉华.矿山测量学.1992.
为 B/2，假设路边点设计高程为 H，通过该模型可快速计算出 O、
O1 点的左边，进而快速进行施工放样。同时，假设填土的坡度为 1：M，则如何实地测定出 On 便成为一个施工的难点。不过，如果 实地地面比较平坦，则测量比较方便，仅需要测量出 O1 的实际高
·264·
图 2 假定坐标系域示意图
不赘述。其中的 m、p 为缓和圆曲线常数。事实上，关于圆曲线部 分的计算，最为关键的是计算出圆曲线上任意点 j 的切线，以及 原点 ZH 到 j 点弦线的夹角 B1。而该夹角的计算公式与其它计算 公式和缓和曲线相同。不过，需要指出的是，如果输入的待放样
点减去直缓点的里程跃曲线长度的 1/2，即大于曲中点（QZ），那么 所有的计算如图 2 中所示。
·263·
综述与交流
建材 与 装饰
2014 年 6 月
程 H1 沿 OO1 方向上的向量取值及 OnO1 即可。但是从实际情况来 看，自然地面是平坦地面的可能性很小，如图所示，应采用逐步
趋近法进行施工放样，步骤为：
图 3 施工放样坡脚与开挖点示意图
（4）计算法线方向上（路中心线左、右桩或左、右边桩）的坐 标：
榆如此反复，直到 Sn=M（H-Hn）为止，得到的点即为 ON 点。
3 结束语
X 左=X+D 左 cos（T0依A-90） Y 左=Y+D 左 sin（T0依A-90） X 右=X+D 右 cos（T0依A+90） Y 右=Y+D 右 sin（T0依A+90） 注：淤D 左、D 右为法线上的左边或右边的点至中心点的距离。 于A 前“依”号前进方向右转为依左转为-。盂如果不是正交那么用
直线的坐标很好计算，有了以上计算方法，我们就很容易计 算出公路或铁路直线上、曲线上任意点的坐标以及其法线方向、 斜交方向线上任意一点的坐标，把它编成一段程序，只要输入桩 号 K 就可计算出中心坐标，再输入左右边的距离 D 就可计算法 线方向上点的坐标，如果是斜交的用斜交角 C 代替 90，就可计算 斜交方向线上点的坐标，计算方法直观、易懂、方便。现场只要一
淤按照上文中所介绍的方法，计算出 O、O1 两点的坐标，从 而实地放样出 O 和 O1；
于实际测量出 O1 的高程 H1，并沿着 OO1 的方向，取一个向 量 S1，从而得到 O2 点的坐标，进而得出该点的实际高程 H2；
盂沿着 OO1 的方向，从向量 O2 上量取一段距离 S2，从而得到 O3 点的位置，并测量该点的实际高程 H3；
径与缓和曲线长度，快速计算出曲线上任意点的中心坐标及其法线（或斜交角）方向上任意点坐标，便于现场施工放样，快
速指导现场施工。
关键词：缓和曲线；圆曲线坐标；测量放样
中图分类号：P226
百度文库
文献标识码：B
文章编号：1673-0038（2014）23-0263-02
随着经济社会发展的转型升级，国家的基础设施建设进入新 时期。在新形势下，市政交通设施，比如公路建设等项目不断增 加。在公路施工中，缓和曲线放样是不可或缺的重要环节，对施 工工期和质量均有影响。笔者结合自身的工作实际和相关的理 论文献，从数学模型的建立和应用等方面分析了带有缓和曲线 的圆曲线坐标计算这一命题。
2014 年 6 月
建材 与 装饰
综述与交流
带有缓和曲线的圆曲线坐标计算
吴洪腾
（福建煤炭工业基本建设有限公司）
摘 要：目前，公路建设进入迅速发展的新时期。在公路建设中，一项重要工作便是施工测量放样。本文通过公路现场
的实际放样，总结出带有缓和曲线的圆曲线坐标计算方法，从已知曲线起点坐标、里程，起点到交点坐标方位角、圆曲线半
以 ZH 点作为原点，以 ZH 到 JD 之间的连线作为 X 轴，建立 一个假定的坐标系。在进行另一半的圆曲线放样时，这一假定坐 标系便如图 2 中所示，不过计算原理、计算方法完全相同。
从假定坐标系域中可知，圆曲线上任意点 j 相对于 X、Y 的 坐标分别为：
X=m+Rsin准i Y=P+R（1-cos准i） 而上述公式的推导过程，通过测量专业工具书可查到，在此
2 相关结论
（1）通过这一数学模型，利用编程器或者计算机能够快速计 算出圆曲线上任意一点、任意左、右边桩在该测量坐标系之下的
坐标、坐标方位角。因此，在施工现场，有助于施工放样的顺利进
行，几乎不受到现场不利条件的限制，不仅能够任意设站，而且
可以一次性设站唱功，同时进行多点放样。特别是位于桥梁上的
曲线，可十分简单测量设桥墩纵模中心线，从而避免了传统施工
方面方法中的各种弊病，通视条件高、设站较多的弊病，大幅提 高了施工作业的效率。
（2）在公路施工过程中，放样坡脚、开挖点如图 3 所示。 如果某一个横断面的总里程为 K，而从路中心到路边的宽度
收稿日期：2014-5-15 作者简介：吴洪腾（1968-），男，工程师，本科，主要从事矿山、公 路、工程测量、工程管理工作。
x=l-l5/40R2l05+l9/3456R4l04 y=l3/6Rl0-l7/336R3l03+l11/42240R5l05 （2）再计算曲线上任意长 l 处的点大地坐标 X、Y： X=X0+xcosT0+ycos（T0依90） Y=Y0+xsinT0+ysin（T0依90）（前进方向右转为+左转为-） （3）计算缓和曲线上任意长 l 处的点切线偏角 A： A=l2伊180/2伊仪伊R伊l（0 l=K-K0，K 为里程桩号）