空间角及其计算

第52讲 空间角及其计算

1．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，BC 1与平面BDD 1B 1所成的角为(A)

A ．30°

B ．45°

C ．60°

D ．90°

取B 1D 1的中点E ，连接C 1E ，BE ，

因为C 1E ⊥平面BDD 1B 1，所以∠C 1BE 即为所求角θ. 因为sin θ＝2

22＝1

2

，所以θ＝30°，选A.

2．正四棱锥的侧棱长为23，侧棱与底面所成的角为60°，则该棱锥的体积为(B) A ．3 B ．6

C ．9

D ．18

棱锥的底面对角线长为2×23cos 60°＝23，高为23sin 60°＝3，设底面边长为

a ，则2a ＝23，所以a ＝6，

所以底面面积为a 2＝6，

所以其体积V ＝1

3

×6×3＝6，所以选B.

3．已知二面角α-l -β的大小为60°，m ，n 为异面直线，且m ⊥α，n ⊥β，则m ，n 所成

的角为(B)

A ．30°

B ．60°

C ．90°

D ．120°

4．如图，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与平面α、β所成的角分别为π4和π

6

.过A 、B

分别作两平面交线的垂线，垂足为A ′、B ′，若AB ＝12，则A ′B ′＝(B)

A. 4 B ．6 C

．8 D ．9

连接AB ′，设AB ＝a ，可得AB 与平面α所成的角为∠BAB ′＝π

4

，在Rt △BAB ′

中，有AB ′＝2

2

a .

同理可得AB 与平面β所成的角为∠ABA ′＝π

6

，

所以A ′A ＝1

2

a .

因此在Rt △AA ′B ′中，A ′B ′＝

(

22a )2－(12a )2＝12

a ， 因为AB ＝12，所以A ′B ′＝6，故选B.

5．长为2a 的线段AB 在平面α内的射影线段A 1

B 1的长为a ，则直线AB 与平面α所成

的角的大小为 60° .

设直线AB 与平面α所成的角为θ，则cos θ＝a 2a ＝1

2

，则θ＝60°.

6．已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于 36

.

如图，O 为底面正△ABC 的中心，则OP ⊥平面ABC ，∠PCO 即为所求角，

设AB ＝1，

则PC ＝2，OC ＝

33， 所以cos ∠PCO ＝OC PC ＝3

6.

7．(2017·天津卷)如图，在四棱锥P -ABCD 中，AD ⊥平面PDC ，AD ∥BC ，PD ⊥PB ，AD ＝1，BC ＝3，CD ＝4，PD ＝2.

(1)求异面直线AP 与BC (2)求证：PD ⊥平面PBC ；

(3)求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值．

(1)如图，由已知AD ∥BC ，故∠DAP 或其补角即为异面直线AP 与BC 所成的角．

因为AD ⊥平面PDC ，直线PD ⊂平面PDC ， 所以AD ⊥PD .

在Rt △PDA 中，由已知，得AP ＝AD 2＋PD 2＝5，

故cos ∠DAP ＝AD AP ＝5

5

.

所以异面直线AP 与BC 所成角的余弦值为

55

. (2)证明：由(1)知AD ⊥PD .又因为BC ∥AD ，所以PD ⊥BC . 又PD ⊥PB ，PB ∩BC ＝B ，所以PD ⊥平面PBC .

(3)过点D 作DF ∥AB ，交BC 于点F ，连接PF ，则DF 与平面PBC 所成的角等于AB 与平面PBC 所成的角．

因为PD ⊥平面PBC ，所以PF 为DF 在平面PBC 上的射影，所以∠DFP 为直线DF 和平面PBC 所成的角．

由于AD ∥BC ，DF ∥AB ，故BF ＝AD ＝1. 由已知，得CF ＝BC －BF ＝2. 又AD ⊥DC ，所以BC ⊥DC . 在Rt △DCF 中，可得DF ＝

CD 2＋CF 2＝25，

在Rt △DPF 中，可得sin ∠DFP ＝PD DF ＝5

5

.

所以直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值为55

.

8．(2014·新课程卷Ⅱ)直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1

的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成的角的余弦值为(C)

A. 110

B. 25

C. 3010

D. 22

取BC 的中点D ，连接MN ，ND ，AD ，

由于MN 綊1

2

B 1

C 1綊B

D ，因此ND 綊BM ，

则ND 与NA 所成的角即为异面直线BM 与AN 所成的角． 设BC ＝2，则BM ＝ND ＝6，AN ＝5，AD ＝5， 因此，cos ∠AND ＝ND 2＋NA 2－AD 22ND ·NA ＝30

10.

9．已知正四面体A -BCD 的棱长为a .

(1)AC 与平面 BCD 所成角的余弦值为

3

3 ； (2)二面角A -BD -C 的平面角的余弦值为 1

3 .

设A 在底面BCD 上的射影为O ，连接OA ，连接OC 并延长与BD 相交于E ，连

接AE .

(1)因为AO ⊥平面BCD ，所以∠ACO 就是AC 与平面BCD 所成的角． 因为△BCD 是正三角形， 所以O 是△BCD 的中心．

在Rt △AOC 中，OC ＝23×32a ＝3

3a ，

所以cos ∠ACO ＝OC AC ＝3

3.

所以AC 与平面BCD 所成角的余弦值为33

. (2)因为四面体A -BCD 为正四面体， 所以△BCD 和△ABD 都为正三角形， 所以OE ⊥BD 且AE ⊥BD ，

所以∠AEO 为二面角A -BD -C 的平面角，