张卓奎《高等数学(第3版)》第十章无穷级数-本章提要

第10章 无穷级数
一、常数项级数的概念
常数项级数 设给定一个数列12,,,,
n u u u ，表达式
1
n
n u
∞
=∑称为常数项无穷级
数．121n n s u u u u =+++
+称为该级数的（前n 项）部分和．
级数收敛 如果部分和数列{}n s 有极限，即若lim n n s s →∞
=，则称该级数收敛，s 为其和，并记为
1
n
n u
s ∞
==∑，否则，称级数发散．
二、常数项级数性质 （1）如果级数
1n
n u
∞
=∑收敛于s ，则级数
1
n
n ku
∞
=∑（k 为常数）也收敛，且收敛于ks ；
（2）如果级数
1
1
, n n
n n u v
∞
∞
==∑∑分别收敛于s 和σ，a 和b 为任意实数，则
1
()n
n n au
bv ∞
=+∑也
收敛，且收敛于as b σ+；
（3） 在级数中去掉（加上或改变有限项），级数敛散性不变； （4） 收敛级数加括号后仍然收敛，且收敛于原来的和； （5） 级数
1
n
n u
∞
=∑收敛的必要条件是：0lim =∞
→n n u ．
三、常数项级数的审敛法 1.正项级数
收敛充要条件 数列{}n s 有上界 1
n
n u
∞
=∑收敛。

比较审敛法 n n v u ≤（1,2,
n =），当
1
n
n v
∞
=∑收敛时⇒
1
n
n u
∞
=∑收敛；
当
∑∞
=1
n n
u
发散时⇒
∑∞
=1n n
v
也发散。

（极限形式） lim n n n
u
l v →∞=，当0l <<+∞时，
1n
n u
∞
=∑与
∑∞=1
n n
v
同时收敛或发散；
当0l =时，若
1
n
n v
∞
=∑收敛⇒
1
n
n u
∞=∑必收敛；
当l =+∞时，若
1
n
n u
∞
=∑发散⇒
1
n
n v
∞
=∑必发散。

比值审敛法 1
lim
n n n
u u ρ+→∞=，当10<≤ρ时，1n n u ∞
=∑收敛； 当∞<<ρ1时，
1n
n u
∞
=∑发散；
当1=ρ时，判别法失效。

根值判别法
n ρ=，当10<≤ρ时，
1n
n u
∞
=∑收敛；
当∞<<ρ1时，
1
n
n u
∞=∑发散；
当1=ρ时，判别法失效。

2.交错级数
莱布尼茨审敛法 1+≥n n u u （1,2,
n =），且lim 0n n u →∞
=，交错级数
1
1
1n n
n u ∞
-=-∑
（）（0n u >）收敛，其和1s u ≤；其余项n r 满足：1+≤n n u r 。

3. 任意项级数 绝对收敛 如果
∑∞
=1n n
u
收敛，则称
∑∞
=1n n
u
绝对收敛。

绝对收敛的级数必定收敛。

条件收敛 如果1
n
n u
∞
=∑收敛，而
∑∞
=1
n n
u
发散，则称
1
n
n u
∞
=∑条件收敛。

三、 幂级数 幂级数 形如
()00
n
n n a x x ∞
=-∑的函数项级数称为0()x x -的幂级数；
当00x =时，
++++=∑∞
=n n n n
n x a x a x a a x
a 22100称为x 幂级数。

收敛半径计算 幂级数
n n n a x ∞=∑的收敛半径为R ，若ρ=+∞→n
n n a a 1
lim
（或)lim ρ=∞→n n n a ，
则
1/,
00, , 0R ρρρρ<<+∞⎧⎪==+∞⎨⎪+∞=⎩
收敛域 求出收敛区间（-R ，R ），再判断R x ±=时，级数是否收敛． 幂级数性质 在幂级数
n
n n a x
∞
=∑的收敛区间),(R R -内，有
逐项求导公式： 10
1()()n
n n
n n n s x a x
na x ∞
∞
-==''=
=∑∑，
逐项积分公式： 1
0()d d 1
x x
n
n n n n n a s x x a x x x n ∞∞
+====+∑∑
⎰
⎰。

常用的幂级数展开式
)(!!21!e 20
+∞<<-∞+++++==∑∞
=x n x x x n x n
n n x
)()!12()1(!5!3)!12()1(sin 12530
12+∞<<-∞++-+-+-=+-=+∞
=+∑x n x x x x n x x n n
n n n
)()!2()1(!4!21)!2()1(cos 2420
2+∞<<-∞+-+-+-=-=∑∞
=x n x x x n x x n n n n n
)11(111
20
<<-+++++==-∑∞
=x x x x x x n n n
)11(1)1(4321)1()1ln(1
4320
1≤<-++-++-+-=+-=++∞
=+∑x n x x x x x n x x n n n n n
)11(!
)1()1(!2)1(1)1(2<<-++--++-+
+=+x x n n m m m x m m mx x n
m 四、傅里叶级数*
傅里叶级数 设()f x 是周期为2π的周期函数，形如
∑∞
=++1
0)sin cos (2n n n nx b nx a a 的三角级数，其中系数由下式确定
1
()cos d (0,1,2,)n a f x nx x n π
ππ
-
==⎰； 1
()sin d (1,2,)n b f x nx x n π
ππ
-
=
=⎰，
称为)(x f 的傅里叶级数，n a 、n b 称为)(x f 的傅里叶系数。

函数展开成傅里叶级数
收敛定理 设)(x f 是周期为π2的周期函数，如果它满足：在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点，并且至多有有限个极值点，则)(x f 的傅里叶级数收敛，并且
①当x 是)(x f 的连续点时，级数收敛于)(x f ； ②当x 是)(x f 的间断点时，级数收敛于2
)
0()0(++-x f x f 。

奇、偶函数的傅里叶级数
正弦级数 若)(x f 是以π2为周期的奇函数，则其傅里叶级数只有正弦项，即
),1,0(0 ==n a n ，0
2
()sin n b f x nxdx π
π=
⎰
（1,2,
n =）。

余弦级数 若)(x f 是以π2为周期的偶函数，则其傅里叶级数只有余弦项，即
0(1,)n b n ==，0
2
()cos (0,1,)n a f x nxdx n π
π
=
=⎰。

周期为2l 的函数的展开 设周期为l 2的函数)(x f 满足收敛定理的条件，则当x 是
)(x f 的连续点时，有
01()(cos sin )2n n n a n x n x
f x a b l l
ππ∞==++∑，
其中系数
),2,1,0(d cos )(1 ==⎰-n x l x
n x f l a l l n π； ),2,1(d sin )(1 ==
⎰-n x l
x n x f l b l l n π。