张卓奎《高等数学(第3版)》第十章无穷级数-本章提要

第10章 无穷级数

一、常数项级数的概念

常数项级数 设给定一个数列12,,,,

n u u u ，表达式

1

n

n u

∞

=∑称为常数项无穷级

数．121n n s u u u u =+++

+称为该级数的（前n 项）部分和．

级数收敛 如果部分和数列{}n s 有极限，即若lim n n s s →∞

=，则称该级数收敛，s 为其和，并记为

1

n

n u

s ∞

==∑，否则，称级数发散．

二、常数项级数性质 （1）如果级数

1n

n u

∞

=∑收敛于s ，则级数

1

n

n ku

∞

=∑（k 为常数）也收敛，且收敛于ks ；

（2）如果级数

1

1

, n n

n n u v

∞

∞

==∑∑分别收敛于s 和σ，a 和b 为任意实数，则

1

()n

n n au

bv ∞

=+∑也

收敛，且收敛于as b σ+；

（3） 在级数中去掉（加上或改变有限项），级数敛散性不变； （4） 收敛级数加括号后仍然收敛，且收敛于原来的和； （5） 级数

1

n

n u

∞

=∑收敛的必要条件是：0lim =∞

→n n u ．

三、常数项级数的审敛法 1.正项级数

收敛充要条件 数列{}n s 有上界 1

n

n u

∞

=∑收敛。

比较审敛法 n n v u ≤（1,2,

n =），当

1

n

n v

∞

=∑收敛时⇒

1

n

n u

∞

=∑收敛；

当

∑∞

=1

n n

u

发散时⇒

∑∞

=1n n

v

也发散。

（极限形式） lim n n n

u

l v →∞=，当0l <<+∞时，

1n

n u

∞

=∑与

∑∞=1

n n

v

同时收敛或发散；

当0l =时，若

1

n

n v

∞

=∑收敛⇒

1

n

n u

∞=∑必收敛；

当l =+∞时，若

1

n

n u

∞

=∑发散⇒

1

n

n v

∞

=∑必发散。

比值审敛法 1

lim

n n n

u u ρ+→∞=，当10<≤ρ时，1n n u ∞

=∑收敛； 当∞<<ρ1时，

1n

n u

∞

=∑发散；

当1=ρ时，判别法失效。

根值判别法

n ρ=，当10<≤ρ时，

1n

n u

∞

=∑收敛；

当∞<<ρ1时，

1

n

n u

∞=∑发散；

当1=ρ时，判别法失效。

2.交错级数

莱布尼茨审敛法 1+≥n n u u （1,2,

n =），且lim 0n n u →∞

=，交错级数

1

1

1n n

n u ∞

-=-∑

（）（0n u >）收敛，其和1s u ≤；其余项n r 满足：1+≤n n u r 。 3. 任意项级数 绝对收敛 如果

∑∞

=1n n

u

收敛，则称

∑∞

=1n n

u

绝对收敛。绝对收敛的级数必定收敛。

条件收敛 如果1

n

n u

∞

=∑收敛，而

∑∞

=1

n n

u

发散，则称

1

n

n u

∞

=∑条件收敛。

三、 幂级数 幂级数 形如

()00

n

n n a x x ∞

=-∑的函数项级数称为0()x x -的幂级数；

当00x =时，

++++=∑∞

=n n n n

n x a x a x a a x

a 22100称为x 幂级数。

收敛半径计算 幂级数

n n n a x ∞=∑的收敛半径为R ，若ρ=+∞→n

n n a a 1

lim

（或)lim ρ=∞→n n n a ，

则

1/,

00, , 0R ρρρρ<<+∞⎧⎪==+∞⎨⎪+∞=⎩

收敛域 求出收敛区间（-R ，R ），再判断R x ±=时，级数是否收敛． 幂级数性质 在幂级数

n

n n a x

∞

=∑的收敛区间),(R R -内，有