中考数学圆的证明与计算-专题(定稿)

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圆的相关证明与计算(复习讲义)(原卷版)-中考数学重难点题型专题汇总

题型五--圆的相关证明与计算（复习讲义）【考点总结|典例分析】考点01圆的有关概念1．与圆有关的概念和性质（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦．（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧．（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角．（6）弦心距：圆心到弦的距离．考点02垂径定理及其推论1．垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形．2．推论（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．考点03圆心角、弧、弦的关系1．定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立．2．推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．考点04圆周角定理及其推论1．定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．2．推论（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．（2）直径所对的圆周角是直角．考点05与圆有关的位置关系1．点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d．(1)d<r⇔点在⊙O内；(2)d=r⇔点在⊙O上；(3)d>r ⇔点在⊙O 外．判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可．2．直线和圆的位置关系位置关系相离相切相交图形公共点个数0个1个2个数量关系d>r d=r d<r考点06切线的性质与判定1．切线的性质（1）切线与圆只有一个公共点．（2）切线到圆心的距离等于圆的半径．（3）切线垂直于经过切点的半径．利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题．2．切线的判定（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）．（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．考点07三角形与圆1.三角形外接圆外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等．2．三角形的内切圆内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等．1.如图，点,,,,A B C D E 在O 上，,42AB CD AOB =∠=︒，则CED ∠=（）A．48︒B．24︒C．22︒D．21︒2.如图，A，B，C 是半径为1的⊙O 上的三个点，若，∠CAB＝30°，则∠ABC 的度数为（）A．95°B．100°C．105°D．110°3.如图，AB 是⊙O 的直径，AC，BC 是⊙O 的弦，若20A ∠=︒，则B Ð的度数为（）A．70°B．90°C．40°D．60°4.如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，AC =3BC =．点P 为ABC ∆内一点，且满足22PA PC +2AC =．当PB 的长度最小时，ACP ∆的面积是（）A．3B．C．4D．25.如图，已知在⊙O 中， AB BCCD ＝＝，OC 与AD 相交于点E．求证：（1）AD∥BC（2）四边形BCDE 为菱形．6.如图，A，B 是O 上两点，且AB OA =，连接OB 并延长到点C，使BC OB =，连接AC．（1）求证：AC 是O 的切线．（2）点D，E 分别是AC，OA 的中点，DE 所在直线交O 于点F，G，4OA =，求GF 的长．7.如图，Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，以点C 为圆心，CB 为半径作C ，D 为C 上一点，连接AD 、CD ，AB AD =，AC 平分BAD ∠．（1）求证：AD 是C 的切线；（2）延长AD 、BC 相交于点E，若2EDC ABC S S = ，求tan BAC ∠的值．8.如图，在O 中，AB 是直径，弦CD AB ⊥，垂足为H ，E 为 BC上一点，F 为弦DC 延长线上一点，连接FE 并延长交直径AB 的延长线于点G ，连接AE 交CD 于点P ，若FE FP =．（1）求证：FE 是O 的切线；（2）若O 的半径为8，3sin 5F =，求BG 的长．9.如图，ABC 是O 的内接三角形，AC 是O 的直径，点D 是 BC的中点，//DE BC 交AC 的延长线于点E ．（1）求证：直线DE 与O 相切；（2）若O 的直径是10，45A ∠=︒，求CE 的长．10.如图，已知点C 是以AB 为直径的圆上一点，D 是AB 延长线上一点，过点D 作BD 的垂线交AC 的延长线于点E ，连结CD ，且CD ED =．（1）求证：CD 是O 的切线；（2）若tan 2DCE ∠=，1BD =，求O 的半径．11.如图，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，连接AC，CE⊥AB 于点E，D 是直径AB 延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若AD＝8，BE CE=12，求CD的长．12.如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB＝10，AC＝6，连结OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．（1）求证：∠CAD＝∠CBA．（2）求OE的长．13.如图，⊙O的半径OA＝6，过点A作⊙O的切线AP，且AP＝8，连接PO并延长，与⊙O 交于点B、D，过点B作BC∥OA，并与⊙O交于点C，连接AC、CD．（1）求证：DC∥AP；（2）求AC的长．=CD =DB ，连接AD，过点D作14.如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两个点，ACDE⊥AC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若直径AB＝6，求AD的长．15.如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，AD＝BC，AC与BD相交于点F．BE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E．（1）求证：△CBA≌△DAB；（2）若BE＝BF，求证：AC平分∠DAB．16.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过C点的直线互相垂直，垂足为D，AC 平分∠DAB．（1）求证：DC为⊙O的切线．（2）若AD＝3，DC=3，求⊙O的半径．17.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．（1）求证：DE⊥AC；（2）若⊙O的半径为5，BC＝16，求DE的长．。

专题24 圆的有关计算与证明(29题)(原卷版)--2024年中考数学真题分类汇编

专题24圆的有关计算与证明（29题）一、单选题1．（2024·安徽·中考真题）若扇形AOB 的半径为6，120AOB ∠=︒，则 AB 的长为（）A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π2．（2024·贵州·中考真题）如图，在扇形纸扇中，若150AOB ∠=︒，24OA =，则 AB 的长为（）A ．30πB ．25πC ．20πD ．10π3．（2024·云南·中考真题）某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线长为40厘米，底面圆的半径为30厘米，则该圆锥的侧面积为（）A ．700π平方厘米B ．900π平方厘米C ．1200π平方厘米D ．1600π平方厘米4．（2024·四川甘孜·中考真题）如图，正六边形ABCDEF 内接于O ，1OA =，则AB 的长为（）A ．2B 3C ．1D ．125．（2024·广东广州·中考真题）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72︒的扇形，若扇形的半径l 是5，则该圆锥的体积是（）A ．311π8B ．11π8C ．26πD ．26π36．（2024·四川遂宁·中考真题）工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排污管道的横截面是直径为2米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽AB 为1米，请计算出淤泥横截面的面积（）A ．1π6B ．1π6C ．2π3D ．11π64-7．（2024·四川广安·中考真题）如图，在等腰三角形ABC 中，10AB AC ==，70C ∠=︒，以AB 为直径作半圆，与AC ，BC 分别相交于点D ，E ，则 DE的长度为（）A ．π9B ．5π9C ．10π9D ．25π98．（2024·山东威海·中考真题）如图，在扇形AOB 中，90AOB ∠=︒，点C 是AO 的中点．过点C 作CE AO ⊥交 AB 于点E ，过点E 作ED OB ⊥，垂足为点D ．在扇形内随机选取一点P ，则点P 落在阴影部分的概率是（）A ．14B ．13C ．12D ．23二、填空题9．（2024·四川成都·中考真题）如图，在扇形AOB 中，6OA =，120AOB ∠=︒，则 AB 的长为．10．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若圆锥的底面半径是1cm ，它的侧面展开图的圆心角是直角，则该圆锥的高为cm ．11．（2024·吉林·中考真题）某新建学校因场地限制，要合理规划体育场地，小明绘制的铅球场地设计图如图所示，该场地由O 和扇形OBC 组成，,OB OC 分别与O 交于点A ，D ．1m OA =，10m OB =，40AOD ∠=︒，则阴影部分的面积为2m （结果保留π）．12．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）为了促进城乡协调发展，实现共同富裕，某乡镇计划修建公路．如图、 AB 与 CD是公路弯道的外、内边线，它们有共同的圆心O ，所对的圆心角都是72︒，点A ，C ，O 在同一条直线上，公路弯道外侧边线比内侧边线多36米，则公路宽AC 的长是米．（π取3.14，计算结果精确到0.1）13．（2024·江苏盐城·中考真题）已知圆锥的底面圆半径为4，母线长为5，则圆锥的侧面积是．14．（2024·江苏扬州·中考真题）若用半径为10cm 的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为cm ．15．（2024·四川自贡·中考真题）龚扇是自贡“小三绝”之一．为弘扬民族传统文化，某校手工兴趣小组将一个废弃的大纸杯侧面剪开直接当作扇面，制作了一个龚扇模型（如图）．扇形外侧两竹条AB AC ，夹角为120︒．AB 长30cm ，扇面的BD 边长为18cm ，则扇面面积为2cm （结果保留π）．16．（2024·甘肃·中考真题）甘肃临夏砖雕是一种历史悠久的古建筑装饰艺术，是第一批国家级非物质文化遗产．如图1是一块扇面形的临夏砖雕作品，它的部分设计图如图2，其中扇形OBC 和扇形OAD 有相同的圆心O ，且圆心角100O ∠=︒，若120OA =cm ，60OB =cm ，则阴影部分的面积是2cm ．（结果用π表示）17．（2024·黑龙江绥化·中考真题）用一个圆心角为126︒，半径为10cm 的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为cm ．18．（2024·广东深圳·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，2BC =，O 为BC 中点，4OE AB ==，则扇形EOF 的面积为．19．（2024·吉林长春·中考真题）一块含30︒角的直角三角板ABC 按如图所示的方式摆放，边AB 与直线l 重合，12cm AB =．现将该三角板绕点B 顺时针旋转，使点C 的对应点C '落在直线l 上，则点A 经过的路径长至少为cm ．（结果保留π）20．（2024·江苏苏州·中考真题）铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O ， AB 所在圆的圆心C 恰好是ABO 的内心，若23AB ==．（结果保留π）21．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，对折边长为2的正方形纸片ABCD ，OM 为折痕，以点O 为圆心，OM 为半径作弧，分别交AD ，BC 于E ，F 两点，则 EF的长度为（结果保留π）．22．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）若圆锥的底面半径为3，侧面积为36π，则这个圆锥侧面展开图的圆心角是︒．23．（2024·吉林长春·中考真题）如图，AB 是半圆的直径，AC 是一条弦，D 是 AC 的中点，DE AB ⊥于点E ，交AC 于点F ，DB 交AC 于点G ，连结AD ．给出下面四个结论：①ABD DAC ∠=∠；②AF FG =；③当2DG =，3GB =时，142FG =④当 2BD AD =，6AB =时，DFG 3上述结论中，正确结论的序号有．三、解答题24．（2024·广东·中考真题）综合与实践【主题】滤纸与漏斗【素材】如图1所示：①一张直径为10cm 的圆形滤纸；②一只漏斗口直径与母线均为7cm 的圆锥形过滤漏斗．【实践操作】步骤1：取一张滤纸；步骤2：按如图2所示步骤折叠好滤纸；步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形；步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中．【实践探索】(1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明．(2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积．（结果保留π）25．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点坐标分别为()1,1A -，()2,3B -，()5,2C -．(1)画出ABC 关于y 轴对称的111A B C △，并写出点1B 的坐标；(2)画出ABC 绕点A 逆时针旋转90︒后得到的22AB C ，并写出点2B 的坐标；(3)在（2）的条件下，求点B 旋转到点2B 的过程中所经过的路径长（结果保留π）26．（2024·山东·中考真题）如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，60DAB ∠=︒，22AB BC AD ===．以点A 为圆心，以AD 为半径作 DE 交AB 于点E ，以点B 为圆心，以BE 为半径作 EF 所交BC 于点F ，连接FD 交 EF于另一点G ，连接CG ．(1)求证：CG 为 EF所在圆的切线；(2)求图中阴影部分面积．（结果保留π）27．（2024·福建·中考真题）如图，在ABC 中，90,BAC AB AC ∠=︒=，以AB 为直径的O 交BC 于点D ，AE OC ⊥，垂足为,E BE 的延长线交 AD 于点F ．(1)求OEAE的值；(2)求证：AEB BEC △∽△；(3)求证：AD 与EF 互相平分．28．（2024·陕西·中考真题）问题提出（1）如图1，在ABC 中，15AB =，30C ∠=︒，作ABC 的外接圆O ．则 ACB 的长为________；（结果保留π）问题解决（2）如图2所示，道路AB 的一侧是湿地．某生态研究所在湿地上建有观测点D ，E ，C ，线段AD AC ，和BC 为观测步道，其中点A 和点B 为观测步道出入口，已知点E 在AC 上，且AE EC =，60DAB ∠=︒，120ABC ∠=︒，1200m AB =，900m AD BC ==，现要在湿地上修建一个新观测点P ，使60DPC ∠=︒．再在线段AB 上选一个新的步道出入口点F ，并修通三条新步道PF PD PC ，，，使新步道PF 经过观测点E ，并将五边形ABCPD 的面积平分．请问：是否存在满足要求的点P 和点F ?若存在，求此时PF 的长；若不存在，请说明理由．（点A ，B ，C ，P ，D 在同一平面内，道路AB 与观测步道的宽、观测点及出入口的大小均忽略不计，结果保留根号）29．（2024·江苏连云港·中考真题）【问题情境】（1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45°（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的__________倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略；【操作实践】（2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a 、b 、c 、d 之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点P 为端点的四条线段之间的数量关系；【探究应用】（3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将PDC △绕点P 逆时针旋转，他发现旋转过程中DAP ∠存在最大值．若8PE =，5PF =，当DAP ∠最大时，求AD 的长；（4）如图6，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，点D 、E 分别在边AC 和BC 上，连接DE 、AE 、BD ．若5AC CD +=，8BC CE +=，求AE BD +的最小值．。

2019年中考数学专题：与圆有关的计算和证明

图Z4-1
��
【思路分析】 (1)连接OD,先证明 OD∥AE,即可得出 OD⊥DE,所以DE是☉O的切线
解:(1)证明:连接 OD,∵D 是��的中点,∴��= ��,∴∠BOD=∠BAC,∴OD∥AE. ∵DE⊥AC,∴OD⊥DE.∴DE 是☉O 的切线.
题型一圆的切线性质与判定(18年25题 17年25题 16年25题 15年25题 13年25题)
拓展 1 [2017· 枣庄] 如图 Z4-2,在△ABC 中,∠C=90° ,∠BAC 的平分线交 BC 于点 D,点 O 在 AB 上,以点 O 为圆心,OA 为半径的圆恰好经过点 D,分别交 AC,AB 于 E,F. (2)若 BD=2 3,BF=2,求阴影部分的面积(结果保留 π).
��
图Z4-3
考向互动探究
题型一圆的切线性质与判定18年25题 17年25题 16年25题 15年25题 13年25题
= .
��
则阴影部分的面积为 S△ODB-S 扇形 DOF= × 2× 2 ��- π=2 ��- π,故阴影部分的面积为 2 ��- π.
考向互动探究
题型一圆的切线性质与判定18年25题 17年25题 16年25题 15年25题 13年25题
拓展 2 [2018· 武汉] 如图 Z4-3,PA 是☉O 的切线,A 是切点,AC 是直径,AB 是弦, 连接 PB,PC,PC 交 AB 于点 E,且 PA=PB. (1)求证:PB 是☉O 的切线; (2)若∠APC=3∠BPC,求的值.

中考数学---圆的证明与计算题型PPT课件

∴CD＝CN＋ND＝8. 在Rt△OCD 中，设OC＝r，
则OD＝OB－BD＝r－4.
由勾股定理，得OC2＝OD2＋CD2，
即r2＝(r－4)2＋8^2.
解得r＝10. ∴AB＝2r＝20. ∵AB是直径， ∴∠AMB＝90°. 在Rt△ABM 中，cos∠MBA＝BM/ AB ＝4/ 5，AB＝20， ∴BM＝16.
解图1 ∵AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切于点A， ∴∠OAC＝90°. 在△ACO和△ECO中，
∴△ACO≌ △ECO ( SSS )． ∴∠OEC＝∠OAC＝90°. ∴OE⊥，AE，过点F作FG⊥BD于点G.
解图2 ∵AB⊥BD， ∴∠ABD＝∠FGD＝∠FGB＝90°. ∴FG∥AB. ∴∠ABF＝∠BFG. ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB＝∠FGB＝90°. ∴△ABE∽△BFG. ∴AB/ BF ＝BE/ FG .
(1)证明：如解图1所示，连接BD.
解图1 ∵∠ACB＝90°，点B，D在⊙O上， ∴BD是⊙O的直径．又∵ ∠BDE＝∠BCE，∠FDE＝∠DCE， ∴∠BDE＋∠FDE＝∠BCE＋∠DCE，即∠BDF＝∠ACB＝90°. ∴DF⊥BD. 又∵BD是⊙O的直径，
∴DF是⊙O的切线．
(2)解：
解图1 ∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，
∴ PC/ AC＝AC/ OC，即PC/ 6 ＝6/ 4 . 解得PC＝9. OP＝PC＋OC＝13.
在Rt△PCB 中，由勾股定理得，
解图2
∵AC＝BC，OA＝OE， ∴OC为△ABE的中位线． ∴BE＝2OC＝8，OC∥BE
∴△DBE∽△DPO .
∴BD/ PD = BE / PO ,
类型三、切线的判定与性质综合——切割线模型

中考数学题型专题复习题型2圆的证明与计算课件

即(7＋x)2－72＝42－x2，
解得x＝1或－8(舍去)．
∴AC＝8，BD＝
＝
∴S菱形ABFC＝AC·BD＝8 . ∴S半圆＝ ×π×42＝8π.
5．[2018·无锡]如图，四边形ABCD内接于圆
O，AB＝17，CD＝10，∠A＝90°，cosB＝
3 ，求AD的长．
5
解：如图，延长AD，BC交于点E.
题型2 圆的证明与计算
考查类型
与圆的性质有关的证明
与计算
年份 2015
2018
2017
与圆的切线有关的证明
与计算
2016
2014
2013
与扇形有关的计算
2018
考查形式
题型
以圆内接四边形为背景，判断三角形的形状，结合全等三角形探究线段间关系，通过图
形分割探究四边形最大面积
解答
已知圆的切线，根据圆的性质证明两线垂直，并求出线段长度及弧长
∴EA＝
∴AD＝EA－DE＝
类型②与圆的位置关系有关的证明与计算
例2►[2018·黄冈]如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦， OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，过点B的切线交OP于点C. (1)求证：∠CBP＝∠ADB；
(2)若OA＝2，AB＝1，求线段BP的长．
规范解答：(1)证明：如图，连接OB. ∵BC是⊙O的切线． ∴OB⊥BC， ∴∠OBC＝90°，即∠OBD＋∠DBC＝90°. ∵AD为⊙O的直径， ∴∠ABD＝90°， ∴∠DBP＝90°，即∠CBP＋∠DBC＝90°， ∴∠OBD＝∠CBP. ∵OB＝OD， ∴∠OBD＝∠ADB， ∴∠CBP＝∠ADB.…………………………………………(5分)

专题25 圆的有关计算与证明(共20道)(解析版)-2023年中考数学真题分项汇编(全国通用)

专题25圆的有关计算与证明（20道）一、填空题1．（2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，在O 中，直径AB 与弦CD 交于点 ,2E AC BD=．连接AD ，过点B 的切线与AD 的延长线交于点F ．若68AFB ∠=︒，则DEB ∠=°．【答案】66【分析】连接BD ，则有90ADB ∠=︒，然后可得22,68A ABD ∠=︒∠=︒，则44ADE =︒∠，进而问题可求解．【详解】解：连接BD ，如图所示：∵AB 是O 的直径，且BF 是O 的切线，∴90ADB ABF ∠=∠=︒，∵68AFB ∠=︒，∴22A ∠=︒，∴68ABD ∠=︒，∵ 2AC BD=，∴244ADC A ∠=∠=︒，【答案】0.1【分析】由已知求得AB 与而即可得解．【详解】∵2OA OB AOB ==∠，∴22AB =，∵C 是弦AB 的中点，D 在∴延长DC 可得O 在DC 上，∴22CD OD OC =-=-，∴()22222322CD s AB OA-=+=+=，9022360l ππ⨯⨯==，∴30.1l s π-=-≈．故答案为：0.1．【点睛】本题考查扇形的弧长，掌握垂径定理。

弧长公式是关键．二、解答题3．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，ABC 内接于O ，AB 为O 的直径，延长AC 到点G ，使得CG CB =，连接GB ，过点C 作CD GB ∥，交AB 于点F ，交点O 于点D ，过点D 作DE AB ∥．交GB 的延长线于点E ．(1)求证：DE 与O 相切．(2)若4AC =，2BC =，求BE 的长．【答案】(1)见详解(2)523【分析】（1）连接OD ，结合圆周角定理，根据CG CB =，可得45CGB CBG ∠=∠=︒，再根据平行的性质45ACD CGB ∠=∠=︒，即有290AOD ACD ∠=∠=︒，进而可得90ODE AOD ∠=∠=︒，问题随之得证；（2）过C 点作CK AB ⊥于点K ，先证明四边形BEDF 是平行四边形，即有BE DF =，求出2225AB AC BC =+=，即有152OD AO OB AB ====，利用三角形函数有2sin 5AC ABC AB ∠==，同理1cos 5ABC ∠=，即可得4sin 5KC BC ABC =⨯∠=，2cos 5KB BC ABC =⨯∠=，进而有35OK OB KB =-=，再证明CKF DOF ∽，可得55445OF OD FK CK ===，即可得55359935OF OK ==⨯=，在Rt ODF △中，有∵AB 为O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∴90GCB ∠=︒，∵CG CB =，∴45CGB CBG ∠=∠=︒，∵CD GB ∥，∴45ACD CGB ∠=∠=︒，∴290AOD ACD ∠=∠=︒，即∵DE AB ∥，∴90ODE AOD ∠=∠=︒，∴半径OD DE ⊥，∴DE 与O 相切；（2）过C 点作CK AB ⊥∵CD GB ∥，DE AB ∥，∴四边形BEDF 是平行四边形，∴BE DF =，∵4AC =，2BC =，∴222AB AC BC =+=∴152OD AO OB AB ====，∵CK AB ⊥，∴90CKB ACB ∠=︒=∠，∴在Rt ACB △，2sin 5AC ABC AB ∠==，同理1cos 5ABC ∠=，∵在Rt KCB 中，2CB =，∴4sin 5KC BC ABC =⨯∠=，2cos 5KB BC ABC =⨯∠=，∴35OK OB KB =-=，∵CK AB ⊥，OD AB ⊥，∴OD CK ∥，∴CKF DOF ∽，∴55445OF OD FK CK ===，∴59OF OF FK OF OK ==+，∴55359935OF OK ==⨯=，∴在Rt ODF △中，22523DF OD OF =+=，∴523BE DF ==．【点睛】本题是一道综合题，主要考查了圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，三角函数以及勾股定理等知识，掌握切线的判定以及相似三角形的判定与性质，是解答本题的关键．4．（2023·江苏南通·统考中考真题）如图，等腰三角形OAB 的顶角120AOB ∠=︒，O 和底边AB 相切于点C ，并与两腰OA ，OB 分别相交于D ，E 两点，连接CD ，CE ．(1)求证：四边形ODCE 是菱形；(2)若O 的半径为2，求图中阴影部分的面积．【答案】(1)见解析(2)4233S π=-阴影【分析】（1）连接OC ，根据切线的性质可得60AOC BOC ∠=∠=︒，从而可得ODC 和△OD CD CE OE ===，即可解答；（2）连接DE 交OC 于点F ，利用菱形的性质可得利用勾股定理求出DF 的长，从而求出DE ODCE 的面积，进行计算即可解答．【详解】（1）证明：连接OC ，O 和底边AB 相切于点C ，OC AB ∴⊥，OA OB = ，120AOB ∠=︒，1602AOC BOC AOB ∴∠=∠=∠=︒，OD OC = ，OC OE =，ODC ∴ 和OCE △都是等边三角形，OD OC DC \==，OC OE CE ==，OD CD CE OE ∴===，∴四边形ODCE 是菱形；（2）解：连接DE 交OC 于点F ，四边形ODCE 是菱形，112OF OC ∴==，2DE DF =，90OFD ∠=︒，在Rt ODF 中，2OD =，2222213DF OD OF ∴=-=-=，223DE DF ∴==，∴图中阴影部分的面积=扇形ODE 的面积-菱形ODCE 的面积2120213602OC DE π⨯=-⋅4122332π=-⨯⨯4233π=-，∴图中阴影部分的面积为4233π-．【点睛】本题考查了切线的性质，扇形面积的计算，等腰三角形的性质，菱形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．5．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，四边形ABCD 内接于O ，AB 为O 的直径，过点D 作DF BC ⊥，交BC 的延长线于点F ，交BA 的延长线于点E ，连接BD ．若180EAD BDF ∠+∠=︒．(1)求证：EF 为O 的切线．∵EAD BDF ∠+∠=∴BDF BAD ∠=∠，∵AB 为O 的直径，∴90ADB ∠=︒，BFD ∠∴BDF DBF ∠+∠=∴DBF ABD ∠=∠，∵OB OD =，∴DBF ABD ∠=∠=∴OD BF ∥，∴90ODE F ∠=∠=又OD 为O 的半径，∴EF 为O 的切线；（2）连接AC ，则：∵AB 为O 的直径，∴90ACB F ∠=︒=∠，∴AC EF ，∴E BAC BDC ∠=∠=∠，在Rt BFE △中，10BE =，2sin sin 3E BDC =∠=，∴220sin 1033BF BE E =⋅=⨯=，设O 的半径为r ，则：,10OD OB r OE BE OB r ===-=-，∵OD BF ∥，∴ODE BFE ∽，∴OD OE BF BE =，即：1020103r r -=，∴4r =；∴O 的半径为4．【点睛】本题考查圆与三角形的综合应用，重点考查了切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定和性质．题目的综合性较强，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．6．（2023·辽宁阜新·统考中考真题）如图，AB 是O 的直径，点C ，D 是O 上AB 异侧的两点，DE CB ⊥，交CB 的延长线于点E ，且BD 平分ABE ∠．(1)求证：DE 是O 的切线．(2)若60ABC ∠=︒，4AB =，求图中阴影部分的面积．【答案】(1)见解析(2)233π-【分析】（1）连接OD ，根据OB OD =，得出OBD ODB ∠=∠．根据BD 平分ABE ∠，得出OBD EBD ∠=∠，则EBD ODB ∠=∠．根据DE CB ⊥得出90EBD EDB ∠+∠=︒，进而得出90ODB EDB ∠+∠=︒，即可求证；（3）连接OC ，过点O 作OF BC ⊥于点F ，通过证明OBC △为等边三角形，得出60BOC ∠=︒，【点睛】本题主要考查了切线的判定，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，求扇形面积，解题的关键是掌握经过半径外端切垂直于半径的直线是圆的切线；扇形面积公式7．（2023·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）已知ABC 内接于O ，AB 为O 的直径，N 为 AC 的中点，连接ON 交AC 于点H ．(1)如图①，求证2BC OH =；(2)如图②，点D 在O 上，连接DB ，DO ，DC ，DC 交OH 于点E ，若DB DC =，求证OD AC ∥；(3)如图③，在（2）的条件下，点F 在BD 上，过点F 作FG DO ⊥，交DO 于点G ．DG CH =，过点F 作FR DE ⊥，垂足为R ，连接EF ，EA ，32EF DF =::，点T 在BC 的延长线上，连接AT ，过点T 作TM DC ⊥，交DC 的延长线于点M ，若42FR CM AT ==，，求AB 的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)213【分析】（1）连接OC ，根据N 为 AC 的中点，易证AH HC =，再根据中位线定理得出结论；（2）连接OC ，先证DOB DOC ≌V V 得BDO CDO ∠=∠，再根据OB OD =得DBO BDO ∠=∠，根据ACD ABD ∠=∠即可得出结论；（3）连接AD ，先证DOB DOC ≌V V ，再证四边形ADFE 是矩形，过A 作AS DE ⊥垂足为S ，先证出FR AS =，再能够证出CAS TCM ≌V V 从而CT AC =，得到等腰直角ACT ，利用三角函数求出AC ，再根据EDF BAC ∠=∠求出BC ，最后用勾股定理求出答案即可．【详解】（1）证明：如图，连接OC ，设2BDC α∠=，BD DC = ，DO DO =DOB DOC \≌V V ，12BDO CDO \Ð=Ð=OB OD = ，DBO \ÐACD ABD a Ð=Ð=Q DO AC \∥；（3）解：连接AD ，FG OD ^Q ，90DGF ∴∠=︒，90CHE ∠=︒ ，DGF CHE \Ð=Ð，FDG ECH Ð=ÐQ ，DG CH =，DGF CHE \≌V V ，DF CE ∴=，AH CH = ，OH AC \^，CE AE DF \==，EAC ECA a Ð=Ð=Q ，2AED EAC ECA a Ð=Ð+Ð=，BDC AED ∴∠=∠，DF AE ∴∥，∴四边形ADFE 是平行四边形，AB 是O 的直径，90ADB ∴∠=︒，∴四边形ADFE 是矩形，90EFD ∴∠=︒，3tan 2EF EDF FD \Ð==，过点A 作AS DE ⊥垂足为S ，sin AS AES AE\Ð=，FR DC ^Q ，sin FR FDR FD\Ð=，FD AE ∥ ，FDR AES \Ð=Ð，sin sin FDR AES \Ð=Ð，FR AS \=，AB 是O 的直径，(1)若图1中两个大圆的直径相等，则璧与环的“肉”的面积之比为；(2)利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题（保留作图痕迹，不写作法）．①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图，试判断该件玉器的比例关系是否符合“肉好若一”？②图3表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好”，请画出内孔．【答案】(1)32:27(2)①符合，图见详解；②图见详解【分析】（1）根据圆环面积可进行求解；（2）①先确定该圆环的圆心，然后利用圆规确定其比例关系即可；②先确定好圆的圆心，然后根据平行线所截线段成比例可进行作图．【详解】（1）解：由图1可知：璧的“肉”的面积为()22318ππ⨯-=；环的“肉”的面积为()223 1.5 6.75ππ⨯-=，∴它们的面积之比为8:6.7532:27ππ=；故答案为32:27；（2）解：①在该圆环任意画两条相交的线，且交点在外圆的圆上，且与外圆的交点分别为A 、B 、C ，则分别以A 、B 为圆心，大于12AB 长为半径画弧，交于两点，连接这两点，同理可画出线段AC 的垂直平分线，线段,AB AC 的垂直平分线的交点即为圆心O ，过圆心O 画一条直径，以O 为圆心，内圆半径为半径画弧，看是否满足“肉好若一”的比例关系即可由作图可知满足比例关系为1:2:1的关系；②按照①中作出圆的圆心O ，过圆心画一条直径AB ，过点A 作一条射线，然后以A 为圆心，适当长为半径画弧，把射线三等分，交点分别为C 、D 、E ，连接BE ，然后分别过点C 、D 作BE 的平行线，交AB 于点F 、【点睛】本题主要考查圆的基本性质及平行线所截线段成比例，熟练掌握圆的基本性质及平行线所截线段成比例是解题的关键．9．（2023·辽宁·统考中考真题）的延长线上，且AFE ABC ∠=∠(1)求证：EF 与O (2)若1sin BF AFE =∠，【答案】(1)见解析(2)245BC =∵ =BEBE ，∴EOB ∠∵2CAB EAB ∠=∠，∴CAB EOB ∠=∠，∵AB 是O 的直径，∴90C ∠=︒，∵AFE ABC ∠=∠，∴OFE ABC ∽△△，∴90OEF C ∠=∠=︒，∵OE 为O 半径，∴EF 与O 相切；（2）解：设O 半径为x ，则1=+OF x ，∵AFE ABC ∠=∠，4sin 5AFE ∠=，∴4sin 5ABC ∠=，在Rt OEF △中，90OEF ∠=︒，4sin 5AFE ∠=，∴45OE OF =，即415x x =+，解得4x =，经检验，4x =是所列方程的解，∴O 半径为4，则8AB =，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，4sin 5ABC ∠=，8AB =，∴32sin 5A AB C AB C ∠==⋅，∴22245BC AB AC =-=．【点睛】本题考查了圆的切线的判定、圆周角定理、解直角三角形以及相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆的相关知识和相似三角形的判定和性质是解题的关键．10．（2023·贵州·统考中考真题）如图，已知O 是等边三角形ABC 的外接圆，连接CO 并延长交AB 于点D ，交O 于点E ，连接EA ，EB ．(1)写出图中一个度数为30︒的角：_______，图中与ACD 全等的三角形是_______；(2)求证：AED CEB ∽△△；(3)连接OA ，OB ，判断四边形OAEB 的形状，并说明理由．【答案】(1)1∠、2∠、3∠、4∠；BCD△(2)证明见详解(3)四边形OAEB 是菱形【分析】（1）根据外接圆得到CO 是ACB ∠的角平分线，即可得到30︒的角，根据垂径定理得到90ADC BDC ∠=∠=︒，即可得到答案；（2）根据（1）得到3=2∠∠，根据垂径定理得到5660∠=∠=︒，即可得到证明；（3）连接OA ，OB ，结合5660∠=∠=︒得到OAE △，OBE △是等边三角形，从而得到OA OB AE EB r ====，即可得到证明；【详解】（1）解：∵O 是等边三角形ABC 的外接圆，∴CO 是ACB ∠的角平分线，60ACB ABC CAB ∠=∠=∠=︒，∴1230∠=∠=︒，∵CE 是O 的直径，∴90CAE CBE ∠=∠=︒，∴3430∠=∠=︒，∴30︒的角有：1∠、2∠、3∠、4∠，∵CO 是ACB ∠的角平分线，∴90ADC BDC ∠=∠=︒，56903060∠=∠=︒-︒=︒，在ACD 与BCD △中，∵1290CD CD ADC BDC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∴ACD BCD ≌，故答案为：1∠、2∠、3∠、4∠，BCD △；（2）证明：∵56∠=∠，3=230∠∠=︒，∴AED CEB ∽△△；（3）解：连接OA ，OB ，∵OA OE OB r ===，5660∠=∠=︒，∴OAE △，OBE △是等边三角形，∴OA OB AE EB r ====，∴四边形OAEB 是菱形．【点睛】本题考查垂径定理，菱形判定，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握垂径定理，从而得到相应角的等量关系．11．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）如图，AB 为O 的直径，E 为O 上一点，点C 为»EB 的中点，过点C 作CD AE ⊥，交AE 的延长线于点D ，延长DC 交AB 的延长线于点F ．(1)求证：CD 是O 的切线；(2)若1DE =，2DC =，求O 的半径长．【答案】(1)证明见解析(2)52【分析】（1）连接OC ，根据弦、弧、圆周角的关系可证DAC CAF ∠=∠，根据圆的性质得OAC OCA ∠=∠，∵点C 为»EB的中点，∴ ECCB =，∴DAC CAF ∠=∠，∵OA OC =，∴OAC OCA∠=∠∵CD AD ⊥，∴90D Ð=°，∵1DE =，2DC =，∴2222215CE CD DE =+=+=，∵D 是 BC的中点，∴ ECCB =，∴EC CB ==5，∵AB 为O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∵180DEC AEC ∠+∠=︒，180ABC AEC ∠+∠=︒，∴DEC ABC ∠=∠，∴DEC CBA ∽ ，∴DE CE BC AB=，∴155AB =，∴5AB =，1522AO AB ==∴O 的半径长为52．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．12．（2023·吉林长春·统考中考真题）【感知】如图①，点A 、B 、P 均在O 上，90AOB ∠=︒，则锐角APB ∠的大小为__________度．【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，O 是等边三角形ABC 的外接圆，点P 在 AC 上（点P 不与点A 、C 重合），连结PA 、PB 、PC ．求证：PB PA PC =+．小明发现，延长PA 至点E ，使AE PC =，连结BE ，通过证明PBC EBA ≌△△，可推得PBE 是等边三角形，进而得证．BA BC ∴=，(SAS)PBC EBA ∴ ≌，∴PB EB =，PBC EBA ∠=∠，60EBA ABP PBC ABP ABC ∴∠+∠=∠+∠=∠=︒，PBE ∴ 是等边三角形，PB PE ∴=，PB PE PA AE PA PC ∴==+=+，即PB PA PC =+；应用：延长PA 至点E ，使AE PC =，连结BE ，四边形ABCP 是O 的内接四边形，180BAP BCP ∴∠+∠=︒．180BAP BAE ∠+∠=︒ ，BCP BAE ∴∠=∠．AB CB = ，(SAS)PBC EBA ∴ ≌，∴PB EB =，PBC EBA ∠=∠，90EBA ABP PBC ABP ABC ∴∠+∠=∠+∠=∠=︒，PBE ∴ 是等腰直角三角形，222PB BE PE ∴+=，222PB PE ∴=，即2PE PB =，PE PA AE PA PC =+=+ ，2PA PC PB ∴+=，22PB PA = ，2224PA PC PA PA ∴+=⨯=，3PC PA ∴=，222233PB PA PC PA ∴==，故答案为：223．【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，邻补角，全等三角形的判定和性质，等边三角形、等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形；解题的关键是做辅助线构造PBC EBA ≌，进行转换求解．13．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）如图，ABC 内接于O ，AB 是O 的直径， BCBD =，DE AC ⊥于点E ，DE 交BF 于点F ，交AB 于点G ，2BOD F ∠=∠，连接BD ．(1)求证：BF 是O 的切线；(2)判断DGB 的形状，并说明理由；(3)当2BD =时，求FG 的长．【答案】(1)见解析(2)DGB 是等腰三角形，理由见解析(3)4FG =【分析】（1）连接CO ，根据圆周角定理得出2BOD BOC BAC ∠=∠=∠，根据已知得出F BAC ∠=∠，根据DE AC ⊥得出90AEG ∠=︒，进而根据对等角相等，以及三角形内角和定理可得90FBG AEG ∠=∠=︒，即可得证；（2）根据题意得出 AD AC=，则ABD ABC ∠=∠，证明EF BC ∥，得出AGE ABC ∠=∠，等量代换得出FGB ABD ∠=∠，即可得出结论；（3）根据FGB ABD ∠=∠，AB BF ⊥，设FGB ABD α∠=∠=，则90DBF F α∠=∠=︒-，等边对等角得出DB DF =，则224FG DG DB ===．【详解】（1）证明：如图所示，连接CO ，∵ BCBD =，∴2BOD BOC BAC ∠=∠=∠，∵2BOD F ∠=∠，∴F BAC ∠=∠，∵DE AC ⊥，∴90AEG ∠=︒，∵AGE FGB∠=∠∴90FBG AEG ∠=∠=︒，即AB BF ⊥，又AB 是O 的直径，∴BF 是O 的切线；（2）∵ BCBD =，AB 是O 的直径，∴ AD AC =，BC AC ⊥，∴ABD ABC ∠=∠，∵DE AC ⊥，BC AC ⊥，∵EF BC ∥，∴AGE ABC ∠=∠，又AGE FGB ∠=∠，∴FGB ABD ∠=∠，∴DGB 是等腰三角形，（3）∵FGB ABD ∠=∠，AB BF ⊥，设FGB ABD α∠=∠=，则90DBF F α∠=∠=︒-，(1)求证：DE 是O 的切线；(2)若30C ∠=︒，23CD =，求 BD的长．【答案】(1)见解析(2)43π∵OB OD =，∴B ODB ∠=∠,∵AB AC =，∴B C ∠=∠,∴OD AC ∥,∴ODE DEC ∠=∠。

中考数学第二部分专题综合强化专题三圆的相关证明与计算实用课件

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(3)利用相似三角形求解：圆的综合题中往往会涉及切线的性质与圆周角定理推论的结合，因此利用等角之间的等量代换找出与要求线段相关的两个三角形相似是解题关键，另外对圆周角定理的灵活运用也非常重要；
(4)运用等面积公式，也可求解点到直线距离类题．
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例1 (2018·泰州)如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的平分线交 ⊙O于点D，DE⊥BC于点E.
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(2)若AE＝1，ED＝3，求⊙O的半径．
思路点拨设⊙O的半径为R，则OE＝R＋1，在Rt△ODE中，利用勾股定理列出方程，求
解即可．【解答】设⊙O的半径为R，则OD＝R，OE＝R＋1， ∵CD是⊙O的切线，∴∠EDO＝90°， ∴ED2＋OD2＝OE2，∴32＋R2＝(R＋1)2，解得R＝4，∴⊙O的半径为4.
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类型3 与圆有关的弦切角问题
例3 如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O交AC于点E，过点E作EF⊥AB于
点F，延长EF交CB的延长线于点G，且∠ABG＝2∠C．
(1)求证：EF是⊙O的切线；
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思路点拨
连接 EO ，由 ∠ EOG ＝ 2∠C ， ∠ ABG ＝ 2∠C 知 ∠ EOG ＝ ∠ ABG ，从而得 AB∥EO，根据EF⊥AB得EF⊥OE，即可得证．
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(2)直线与圆没有已知的公共点时，通常过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长等于圆的半径，可简述为：“无切点，作垂直，证半径”．证明垂线段的长等于半径常用的方法是利用三角形全等或者利用角平分线上的点到角两边的距离相等．
2．圆中求角度或证明角相等的几种思路 (1)利用切线的性质，构造直角三角形，由两锐角和等于90°进行角度转化求解； (2)利用圆周角定理及其推论，通常圆中相等的角代换可得角的大小； (3)利用圆周角定理的推论、勾股定理等得到一组平行线，通常圆中相等的角代换可得角的大小．

第40讲与圆有关的计算与证明题课件(共74张ppt) 2024年中考数学总复习专题突破.ppt

复习讲义
（2）若 = 5 ， cos ∠ =
4
，求的长.
5
∘
解： ∵ ∠ = 90∘ ， ∴ ∠ + ∠ = 90 .
由（1）知， = 2 = 10 ， ∠ = 90∘ ，
∴ ∠ + ∠ = 90∘ .
图3
∴ ∠ = ∠.
4
.
5
∴ cos = cos ∠ =
复习讲义
（2）若 = 10 ， = 12 ， = 2 ，求 ⊙ 的半径．
思路点拨由（1）知 ⊥ ，因此可在 Rt △
中利用勾股定理列方程求解.
解： ∵ = ， ⊥ ， ∴ = =
1

2
= 6.
图1
∴ = 2 − 2 = 102 − 62 = 8.
∴ = 6 .
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第40讲与圆有关的计算与证明题
复习讲义
2.（2022·鄂尔多斯）如图3，以为直径的
⊙ 与 △ 的边相切于点，且与边
交于点，点为的中点，连接，，
.
（1）求证：是 ⊙ 的切线.
1.（2022·衡阳）如图2，为 ⊙ 的直径，过圆上一
点作 ⊙ 的切线交的延长线于点，过点
作 // 交于点，连接．
（1）直线与 ⊙ 相切吗？请说明理由.
图2
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第40讲与圆有关的计算与证明题
复习讲义
解：直线与 ⊙ 相切.
，的点，连接，，点在的延长线
上，且 ∠ = ∠ ，点在的延长线上，

中考数学专题训练圆的证明与计算(含答案)

圆的证明与计算1.如图，已知八ABC内接于AO, P是圆外一点，PA为40的切线, = PB,连接0P ,线段AB与线段0P相交于点D.(1)求证：PB为40的切线；- 4⑵ 若PA=4P0, z\0的半径为10,求线段PD的长.5(1)证明：△△△△△0Az\0Bz\ZSPA/SPBA0AA0BA0PA0PA△ 3APz\8BP(SSS) △A210APA210BPA/SPAA210AAAAA210APA90 △A210BPA90 △A0BA210AAAA/SPBA210AAAA_ _ 4_ _ ............(2)解：APA/VP0A210AAAA 10A PA第1题图第1题解图△ △ Rt AOP A Z1OA A A J P O22\21|P O^ A10A人人八人50人A/POA V A3AO OD△ cos AOP/^O P A A O AAODA6A人_ _____ 32APD APOAODA-y.32.AAAAABCA/iAB^CA/lDABCAAAAADADCA/lAAB/SDAAAzOA AEA21OAAAAADE.A 1AAAACA/1OAAAAA2AA C OSA32^C A 24 A A A AE A A.第2题图(1)证明：AABAACAAD ADC △Az^CAz^BAz^DACA^CA△RAC△2△AAZEA21BA△RAC△任△Z^EA/IOAAAAA21ADEA90 △△任△21EAD"0° △A/DACA21EADA90 △△任AC490° △AOAA21OAAAAAACAODAAAA(2)解：AAAAADA DF 丛C△任△第2题解图DAADCCA…1… 人△CF A2ACA12ACF 3ARtzCDFAAA G(C/\C D A5A△DC A 20 △AAD A 20 △ARtzCDFAAAAAAA DF ,CD2-CF216 △A21ADEA21DFCA90 AEA21CAA21ADEA21DFCA噬噜△AE 20A— A20 AA Z^EA25A20 16A21OAA/AEA 25.3.如图，在AABC中，AB=BC,以AB为直径作AO,交BC于点D,交AC 于点E,过点E作AO的切线EF,交BC于点F.(1)求证：EFABC;(2)若 CD=2, tan C=2,求 AO 的半径.第3题图(1)证明：如解图，连接BE, OE.第3题解图AAB为AO的直径，△MEB=90 .AAB=BC,△点E是AC的中点，△点O是AB的中点，AOEABC,△EF是AO的切线，△EF4E.△EFABC;(2)解：如解图，连接AD,八AB为AO的直径，△ AADB=90 ,△CD=2, tan C=AD 2CDAAD=4.设 AB=x,贝U BD=x-2.在 RtAABD 中, 由勾股定理得AB2=AD2+BD2,即 x2=42+ (x— 2) 2, 解得x=5,即AB=5,△ 8的半径为5 .24.AAAAZOWZ1ABAAAAABCAAADA21BCAAAAAE.A 1AAA/SDACA21DCEA..................1人人人人A2A ABA 2A siD △不△ AAE4/X.第4题图(1)证明：Z^DA/IOAAAA△PAB A90 .Z^BA/IOAAAAA21ACBA90 .A/DACA21CABA90 2ICABA/^ABCA 90 △A/DACA/^BC.AOCAOBAA.BCBCOCOCBAAAZDCEAz^OCBAA21DACA21DCEA(2)解：AABA2 △AAOA1.△sinD A ODAODA3ZDC A2 △ARtzDAOAA△△△△△AD △ OD2AOA2A2 2 △A21DACA21DCEA21DA/1DAA21DECA21DCAA A DC A DE A DA A DC 人2人DEA2 ,2 A2△RE △ ,2 △AAEAAD ADE △ 2.5.AAABA21OAAZDAA/DAAAAAADACDAOAA21ABA21EAA/OA1AAACEACBAA2AAAFABFAA/ABFAAAA人人-人人人 DE人5人人…人人人A3A/CDA 15ABE4 1OZ A E A13AAZ O AA A-(:第5题图(1)证明：△△△△△OB4A第5题解图BBCAOJAAAAAOBABCA AzOBCA 90 △A21OBAA21CBEA90 △AOAAOBAA21OABA21OBAAA21OAB+ACBEA 90 △A21CDAOAAA21OABA21DEAA90 △AA/CEBA21DEAAA21CBEA21CEBAACEACBA(2)解：△△△△△/△ADA ADO ACD AOAA AAF AOF △Az^OAAOFAA21AOFAAAAAAA/AOF=60O△」_1 _____ ____ _A21ABFA2^AOFA30 △(3)解：△△△△△C\CG》B△工△△CD AOAAA21ADEA21CGEA900△AA/AEDA21CEGAA21ADEA21CGEA人DE人EG人5人A AE A CE A13AACEABCAACEA13A人 (26)△DE -旌.-------- 24△ △•■△△△△△△" ..AE DE△石△486.AAAA/lABCDAAAzO^BA/lOAAAADADCAAAABAACDAAA EA/®FAECA21ECAAAAA/W\AZBD.△ 1 △△△ ABFC△2DAAA2AAE/^OAA cosADEAA3AAA 2AAAA/BCA6AzBFAA.第6题图(1)证明：Z^BA/IOAAAAA21BDAA90 .ABF /SECAA21BFCA90 △AAAABCDA/1OAAAAAAAA21BCFA21BADAA21BFCA21BDAA(2)解：△△△△△OD3C4A21BFCA21BDAABF BC△BD'^A B'AODA/lOAAAzADACDA AODAAAACAZ^BA/IOAAAA△ AACB=90 △AODABCA △任OD△心X OE ODA BE A BC AZ^E^OA21OEA2OB/SBEA3OBAOD OE 2△■占M—— -ABC BE 3ABC Z^ODA3瑞瑞舄△:△△ 21ADB A 90 △A21ADEA21BDFA90 △A21BDFA21DBFA90 △A21ADEA21DBFAR第6题解图/SRt/SBDFAA cosDBF 混率△ cos ADE2^A4(3)解：ABCz^ODABCA6AAODA4A /^EA4ZBEA12 △ △任OD△心CA 人DE人OD人A CE A BC A…人3 人ACEA2DEA △ △/EDA△八EBC△任△小£△A21AEDA21CEBA 人AE人DE人A C E A BE AADE CEAAE BEAADE 3D E A4X 12 △ /SDEA4V2( AAAA )△ACDA2V2A/^DA2V2AA21BFCA21BDAA 人CF 人AD 人A CF A2_J A△BC△母△造△ 8 △… 3 2ACF A^AARtzBCFAAAAAAAAAABFA . BC2A CF2Z^3~214.7.AAABAA OAAA/ICD^BAAAzHAAAAC△△知作EG3C交CD的延长线于点 G,连接AE交CD于点F,且EG=FG,连接CE.(1)求证：z\ECF△&CE;(2)求证：EG是AO的切线；(3)延长AB交GE的延长线于点 M ,若tan工=3 ,AH=3,4求EM的值.第7题图(1)证明：3cAEG,△8=3CG,「AB是AO的直径，ABACD,△A D = A C ,△3EF=AACD,△8=MEF,△任CF=4ECG,△任CF△&CE;(2)证明：如解图，连接OE,第7题解图△GF=GE,△&FE=^GEF=AAFH,△OA=OE,△3AE=4OEA,△AAFH+^FAH=90 ,△&EF+AAEO=90 ,△&EO=90 ,AGEAOE,VOEMAO的半径，△EG是AO的切线；(3)解：如解图，连接OC,设AO的半径为r.在 Rt「AHC 中，一一AH 3tan zACH=tan 应=空=± , HC 4AAH=3,AHC=4.在 Rt^HOC 中，△OC=r, OH=r—3, HC=4, △ (r —3) 2+42=r2,解得r= 25 ,6△GM AAC,△ 3AH=2\M,△ 3EM=AAHC=90 △ AAHC/XNEO,AH HCEM OE ，即高8.如图，AB 为AO 的直径，C 、G 是AO 上两点，过点 C 的直线CD^BG 交BG 的延长线于点D,交BA 的延长线于点E,连接BC,交OD 于点F, 且BC 平分4ABD.(1)求证：CD 是AO 的切线；⑵若OF 2,求4E 的度数； FD 3⑶连接AD,在(2)的条件下，若CD=2V3,求AD 的长.H第8题图(1)证明：如解图，连接OC,△ EM 25 8△OC=OB, BC 平分 AABD, △3CB=z\OBC, AOBC=ADBC,AzX)BC=AOCB,AOC ABD,Az^BDC=AECO,△CD ABD,△ z!BDC=90 ,△任CO=90 ,△OC 是AO 的半径，△CD 是AO 的切线；(2)解：由(1)知，OC^BD, △8CF=4DBF, △COFMBDF,A21OCFA21DBF, △.史FD△器AOC ABD, △任OC △任BD,△如 FD3,设 OE=2a,则 EB=3a,△OB=a,△OC=a,△3CE=90 , OC=1OE, 2△任=30 ;(3)解：△任=30 , ABDE=90 ,△任BD=60 ,VBC 平分 ADBE,/. AOBC=ADBC=1 EBD=30 , 2△CD=2 .3 ,ABC=4 3, BD=6,△空2 , DB 3△OC=4,如解图，过点D作DM3B于点M ,△RMB=90 ,ABD=6, ADBM=60 ,ABM=3, DM=3 3 ,△OC=4,△AB=8,AAM=AB—BM=5,△ RMA=90 , DM=3J3,AAD= VDM 2 AM 2 2V13 .9.如图，在3BC中，八ACB=90°,。

中考数学专题复习圆的证明和计算课件

并说明理由；
（2）当BD=6，AB=10时，求⊙O的半径．
2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线交AC于点D，点O是AB上一点，⊙O过B、D两点，且分别交AB、BC于点E、F. (1)求证：AC是⊙O的切线； (2)已知AB＝10，BC＝6，求⊙O的半径r.
四、达标测评查漏补缺
第三步，将已知条件和发散的结论，待求的结论三三结合。抓住让它们穿针引线的那几个关键线头，其实这个难题就这样依次被你的重要线头给连接起来了。
第四步：干净利索的写出解题思路与步骤，就完美得分。
二、典例分析规律总结
类型三：与相似三角形（三角函数）有关
（2017宣城）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．（1）求证：CD是⊙O的切线；
解决与圆的有关计算题的两大宝剑：解直角三角形，相似三角形
二、典例分析规律总结
（2016 云南模拟）如图,AB是⊙O 的直径,点P在BA的延长线上,弦 CD⊥AB 于点E, ∠POC=∠PCE . (1)求证:PC是⊙O 的切线.
(2)若 OE：EA=1：2 , PA= 6 , 求⊙O的半径.
典例分析规律总结
一、粗看图形：看图形，找平行线，垂线，中点，相似三角形，等腰三角形和直角三角形二、带问题速审题：三个条件：一是见直径定构直角三角形： AB是⊙O 的直径，二是弦 CD⊥AB 于点E ，三是：圆中三类角的数量关系定构切线， ∠POC=∠PCE 。三、抓常见几何模型：平行线构相似形，共边共角构相似型（一般和特殊的双垂图），垂径定理。四、整理思路并书写解题步骤。
求证：直线AC是⊙O的切线．
类型二：与三角函数（勾股定理）有关
3. (2017·丽水)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径

北京中考专题圆的有关计算及证明(解析版)

北京中考专题07 圆的有关计算及证明一．选择题（共9小题）1．（2020•丰台区一模）在⊙O中按如下步骤作图：（1）作⊙O的直径AD；（2）以点D为圆心，DO长为半径画弧，交⊙O于B，C两点；（3）连接DB，DC，AB，AC，BC．根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中错误的是（）A．∠ABD＝90°B．∠BAD＝∠CBD C．AD⊥BC D．AC＝2CD̂=CD̂，根据垂径定理即可判断A、B、C正确，再【分析】根据作图过程可知：AD是⊙O的直径，BD根据DC＝OD，可得AD＝2CD，进而可判断D选项．【解答】解：根据作图过程可知：AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，∴A选项正确；∵BD＝CD，̂=CD̂，∴BD∴∠BAD＝∠CBD，∴B选项正确；根据垂径定理，得AD⊥BC，∴C选项正确；∵DC＝OD，∴AD＝2CD，∴D选项错误．故选：D．2．（2020•海淀区一模）如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连结BC，若OC=12OA，则∠C等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°【分析】连接OB，构造直角△ABO，结合已知条件推知直角△ABO的直角边OB等于斜边OA的一半，则∠A＝30°．【解答】解：如图，连接OB．∵AB与⊙O相切于点B，∴∠ABO＝90°．∵OB＝OC，OC=12 OA，∴∠C＝∠OBC，OB=12OA，∴∠A＝30°，∴∠AOB＝60°，则∠C+∠OBC＝60°，∴∠C＝30°．故选：B．3．（2020•平谷区一模）已知锐角∠AOB如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作弧DE，交射线OB于点F，连接CF；（2）以点F为圆心，CF长为半径作弧，交弧DE于点G；（3）连接FG，CG．作射线OG．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．∠BOG＝∠AOB B．若CG＝OC，则∠AOB＝30°C．OF垂直平分CG D．CG＝2FG【分析】依据作图即可得出△OCF≌△OGF（SSS），即可得到对应角相等；再根据等边三角形的性质，即可得到∠AOB＝30°；依据OC＝OE，FC＝FG，即可得出OF垂直平分CG，CG＝2MG＜2FG．【解答】解：由作图可得，OC＝OE，FC＝FG，OF＝OF，∴△OCF≌△OGF（SSS），∴∠BOG＝∠AOB，故A选项正确；若CG＝OC＝OG，则△OCG是等边三角形，∴∠COG＝60°，∴∠AOB=12∠COG＝30°，故B选项正确；∵OC＝OE，FC＝FG，∴OF垂直平分CG，故C选项正确；∴CG＝2MG＜2FG，故D选项错误；故选：D．4．（2020•石景山区一模）如图，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，弦AD 的延长线与弦BC 的延长线相交于点E ．用①AB 是⊙O 的直径，②CB ＝CE ，③AB ＝AE 中的两个作为题设，余下的一个作为结论组成一个命题，则组成真命题的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【分析】根据题意和图形，可以写出其中的两个为题设，一个为结论时的命题是否为真命题，然后写出理由即可．【解答】解：当①②为题设时，③为结论，这个命题是真命题，理由：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°， ∴∠ACB ＝∠ACE ＝90°，在△ACB 和△ACE 中， {AC =AC∠ACB =∠ACE BC =EC， ∴△ACB ≌△ACE （SAS ）， ∴AB ＝AC ；当①③为题设，②为结论时，这个命题是真命题，理由：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°， ∴∠ACB ＝∠ACE ＝90°，在Rt △ACB 和Rt △ACE 中， {AB =AE AC =AC， ∴Rt △ACB ≌Rt △ACE （HL ）， ∴CB ＝CE ；当②③为题设，①为结论时，这个命题是真命题，理由：在△ACB 和△ACE 中，{AB =AE AC =AC CB =CE， ∴△ACB ≌△ACE （SSS ）， ∴∠ACB ＝∠ACE ，又∵∠ACB +∠ACE ＝180°， ∴∠ACB ＝∠ACE ＝90°， ∴AB 是⊙O 的直径；故选：D ．5．（2020•西城区一模）如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的两点．若∠CAB ＝65°，则∠ADC 的度数为（）A ．65°B ．35°C ．32.5°D ．25°【分析】首先利用直径所对的圆周角是直角确定∠ACB ＝90°，然后根据∠CAB ＝65°求得∠ABC 的度数，利用同弧所对的圆周角相等确定答案即可．【解答】解：∵AB 是直径， ∴∠ACB ＝90°， ∵∠CAB ＝65°，∴∠ABC ＝90°﹣∠CAB ＝25°， ∴∠ADC ＝∠ABC ＝25°，故选：D ．6．（2020•延庆区一模）如图，在⊙O 中，点C 在优弧AB ̂上，将弧BC ̂沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ．若⊙O 的半径为√5，AB ＝4，则BC 的长是（）A ．2√3B ．3√2C ．5√32D ．√652【分析】连接OD 、AC 、DC 、OB 、OC ，作CE ⊥AB 于E ，OF ⊥CE 于F ，如图，利用垂径定理得到OD ⊥AB ，则AD ＝BD =12AB ＝2，于是根据勾股定理可计算出OD ＝1，再利用折叠的性质可判断弧AC 和弧CD 所在的圆为等圆，则根据圆周角定理得到AĈ=CD ̂，所以AC ＝DC ，利用等腰三角形的性质得AE ＝DE ＝1，接着证明四边形ODEF 为正方形得到OF ＝EF ＝1，然后计算出CF 后得到CE ＝BE ＝3，于是得到BC ＝3√2．【解答】解：连接OD 、AC 、DC 、OB 、OC ，作CE ⊥AB 于E ，OF ⊥CE 于F ，如图， ∵D 为AB 的中点， ∴OD ⊥AB ，∴AD ＝BD =12AB ＝2，在Rt △OBD 中，OD =√(√5)2−22=1， ∵将弧BĈ沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ． ∴弧AC 和弧CD 所在的圆为等圆， ∴AC ̂=CD ̂， ∴AC ＝DC ， ∴AE ＝DE ＝1，易得四边形ODEF 为正方形， ∴OF ＝EF ＝1，在Rt △OCF 中，CF =√(√5)2−12=2， ∴CE ＝CF +EF ＝2+1＝3，而BE ＝BD +DE ＝2+1＝3， ∴BC ＝3√2．故选：B．7．（2020•朝阳区一模）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，CD＝4，tan C=12，则AB的长为（）A．2.5B．4C．5D．10【分析】首先根据垂径定理和CD的长求得CE和DE的长，然后根据同弧所对的圆周角相等确定∠B＝∠C，根据正切的定义求得AE和BE的长即可求得答案．【解答】解：∵AB⊥CD，CD＝4，∴CE＝DE＝2，∵∠B＝∠C，tan C=1 2，∴tan B=1 2，∴AE＝1，BE＝4，∴AB＝AE+BE＝1+4＝5，故选：C．8．（2020•朝阳区一模）如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1，l2于B，C两点，以点C为圆心，CB长为半径画弧，与前弧交于点D（不与点B重合），连接AC，AD，BC，CD，其中AD交l2于点E．若∠ECA＝40°，则下列结论错误的是（）A．∠ABC＝70°B．∠BAD＝80°C．CE＝CD D．CE＝AE 【分析】根据平行线的性质得出∠CAB＝40°，进而利用圆的概念判断即可．【解答】解：∵直线l1∥l2，∴∠ECA＝∠CAB＝40°，∵以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1，l2于B，C两点，∴BA＝AC＝AD，∴∠ABC=180°−40°2=70°，故A正确；∵以点C为圆心，CB长为半径画弧，与前弧交于点D（不与点B重合），∴CB＝CD，∴∠CAB＝∠DAC＝40°，∴∠BAD＝40°+40°＝80°，故B正确；∵∠ECA＝40°，∠DAC＝40°，∴CE＝AE，故D正确；故选：C．9．（2020•大兴区一模）如图，A、B、C三点在⊙O上，且∠AOB＝80°，则∠ACB等于（）A．100°B．80°C．50°D．40°【分析】由圆周角定理知，∠ACB=12∠AOB＝40°．【解答】解：∵∠AOB＝80°∴∠ACB=12∠AOB＝40°．故选：D．二．填空题（共6小题）10．（2020•北京一模）已知⊙O．如图，（1）作⊙O的直径AB；（2）以点A为圆心，AO长为半径画弧，交⊙O于C，D两点；（3）连接CD交AB于点E，连接AC，BC．根据以上作图过程及所作图形，有下面三个推断：①CE＝DE；②BE＝3AE；③BC＝2CE．所有正确推断的序号是．̂=AD̂，再根据垂径定理即可判断；【分析】①连接OC，根据作图过程可得AC②根据作图过程可得AC＝OA＝OC，即△AOC是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可判断；③可以根据直角三角形30度角所对直角边等于斜边的一半，也可以根据三角形相似对应边成比例得结论．【解答】解：如图，连接OC，①∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵以点A为圆心，AO长为半径画弧，交⊙O于C，D两点，̂=AD̂，∴AC根据垂径定理，得AB⊥CE，CE＝DE，所以①正确；②∵AC＝OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∵AB⊥CE，∴AE＝OE，∴BE＝BO+OE＝3AE，∴②正确； ③方法一：∵∠CAO ＝60°，∠ACB ＝90°，∠CBE ＝30°， ∴BC ＝2CE ．所以③正确．方法二：由△ACE ∽△CBE ，∴AC ：AE ＝BC ：CE ＝2：1， ∴BC ＝2CE ，所以③正确．11．（2020•东城区一模）如图，半径为√3的⊙O 与边长为8的等边三角形ABC 的两边AB 、BC 都相切，连接OC ，则tan ∠OCB ＝．【分析】根据切线长定理得出∠OBC ＝∠OBA =12∠ABC ＝30°，解直角三角形求得BD ，即可求得CD ，然后解直角三角形OCD 即可求得tan ∠OCB 的值．【解答】解：连接OB ，作OD ⊥BC 于D ， ∵⊙O 与等边三角形ABC 的两边AB 、BC 都相切， ∴∠OBC ＝∠OBA =12∠ABC ＝30°， ∴tan ∠OBC =ODBD ， ∴BD =ODtan30°=√333=3，∴CD ＝BC ﹣BD ＝8﹣3＝5， ∴tan ∠OCB =ODCD =√35．故答案为√35．12．（2020•石景山区一模）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中卷九中记载了一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意思是：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，BE＝1寸，CD＝1尺，那么直径AB的长为多少寸？（注：1尺＝10寸）根据题意，该圆的直径为寸．【分析】连接OC，由直径AB与弦CD垂直，根据垂径定理得到E为CD的中点，由CD的长求出DE 的长，设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得出方程，解方程求出半径，即可得出直径AB的长．【解答】解：连接OC，∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，∴E为CD的中点，又∵CD＝10寸，∴CE＝DE=12CD＝5寸，设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得：OE2+CE2＝OC2，即（x﹣1）2+52＝x2，解得：x＝13，∴AB＝26寸，即直径AB的长为26寸，故答案为：26．13．（2020•延庆区一模）把光盘、含60°角的三角板和直尺如图摆放，AB＝2，则光盘的直径是．【分析】设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，由切线长定理得出AB＝CB＝2，∠OBA＝60°，根据OA＝AB tan∠OBA可得答案．【解答】解：设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，如图所示：由切线长定理知AB＝CB＝2，OA平分∠ABC，∴∠OBA＝60°，在Rt△ABO中，OA＝AB tan∠OBA＝2√3，∴光盘的直径为4√3，故答案为：4√3．14．（2020•房山区一模）如图，AC是⊙O的弦，AC＝6，点B是⊙O上的一个动点，且∠ABC＝60°，若点M、N分别是AC、BC的中点，则MN的最大值是．【分析】作直径AD，如图，先判断NM为△CAB的中位线得到MN=12AB，再根据圆周角定理得到∠ACD＝90°，利用含30度的直角三角形三边的关系得到AD＝4√3，由于AB＝AD时，AB的值最大，从而得到MN的最大值．【解答】解：作直径AD，如图，∵点M、N分别是AC、BC的中点，∴NM为△CAB的中位线，∴MN=12AB，∵AD为直径，∴∠ACD＝90°，∵∠ADC＝∠ABC＝60°∴CD=√33AC＝2√3，AD＝2CD＝4√3，当AB＝AD时，AB的值最大，∴AB最大值为4√3，MN的最大值为2√3．故答案为2√3．15．（2020•密云区一模）如图，AB为⊙O直径，点C为⊙O上一点，点D为AĈ的中点，且OD与AC相交于点E，若⊙O的半径为4，∠CAB＝30°，则弦AC的长度为．【分析】利用垂径定理得到OD⊥AC，AE＝CE，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求出AE，从而得到AC的长．【解答】解：∵点D为AĈ的中点，∴OD⊥AC，∴AE＝CE，在Rt△OAE中，∵∠OAE＝30°，∴OE=12OA＝2，AE=√3OE＝2√3，∴AC＝2AE＝4√3．故答案为4√3．三．解答题（共14小题）16．（2020•北京一模）如图，AB为⊙O的直径，AC为弦，点D为BĈ中点，过点D作DE⊥直线AC，垂足为E，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若EF＝4，sin∠F=35，求⊙O的半径．【分析】（1）如图，连接BC，OD，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，求得OD⊥BC，得到OD⊥EF，于是得到结论；（2）解直角三角形得到AE＝3，AF＝5，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：如图，连接BC，OD，∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°，又∵EF ⊥AE ， ∴BC ∥EF ， ∵点D 为BC ̂中点， ∴OD ⊥BC ， ∴OD ⊥EF ，又∵OD 是⊙O 的半径， ∴EF 是⊙O 的切线；（2）解：在Rt △AEF 中，∠AEF ＝90°，EF ＝4，sin ∠F =35， ∴AE ＝3，AF ＝5， ∵OD ∥AE ， ∴△ODF ∽△AEF ， ∴OD AE=OF AF，设⊙O 的半径为r ，则OD ＝r ，OF ＝AF ﹣AO ＝5﹣r ， ∴r3=5−r 5，解得r =158， ∴⊙O 的半径为158．17．（2020•海淀区一模）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 为BC 边的中点，以AD 为直径作⊙O ，分别与AB ，AC 交于点E ，F ，过点E 作EG ⊥BC 于G ．（1）求证：EG 是⊙O 的切线；（2）若AF ＝6，⊙O 的半径为5，求BE 的长．【分析】（1）先判断出EF是⊙O的直径，进而判断出OE∥BC，即可得出结论；（2）先根据勾股定理求出AE，再判断出BE＝AE，即可得出结论．【解答】（1）证明：如图，连接EF，∵∠BAC＝90°，∴EF是⊙O的直径，∴OA＝OE，∴∠BAD＝∠AEO，∵点D是Rt△ABC的斜边BC的中点，∴AD＝BD，∴∠B＝∠BAD，∴∠AEO＝∠B，∴OE∥BC，∵EG⊥BC，∴OE⊥EG，∵点E在⊙O上，∴EG是⊙O的切线；（2）∵⊙O的半径为5，∴EF＝2OE＝10，在Rt△AEF中，AF＝6，根据勾股定理得，AE=2−AF2=8，由（1）知OE∥BC，∵OA＝OD，∴BE＝AE＝8．18．（2020•平谷区一模）如图，等边△ABC，作它的外接圆⊙O，连接AO并延长交⊙O于点D，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交AC的延长线于点F．（1）依题意补全图形并证明：DF与⊙O相切；（2）若AB＝6，求CF的长．【分析】（1）根据题意补全图形即可；（2）连接DC，根据等边三角形的性质和直径所对圆周角是直径即可求出CF的长．【解答】解：（1）如图，依题意补全图形．证明：∵等边△ABC，∴AB＝AC，̂=AĈ，∴AB∵AD过圆心O，由垂径定理，∠AEC＝90°，∵DF∥BC，∴∠ADF＝90°，∴DF与⊙O相切．（2）解：连接DC，∵等边△ABC，∴AB＝AC＝BC＝6，∠BAC＝60°，∵AD⊥BC，∴∠DAC＝30°，∵AD是直径，∴∠ACD＝90°，∴DC=2√3，∵∠DCF＝90°，∠F＝60°，∴CF＝2．19．（2020•顺义区一模）如图，在▱ABCD中，∠B＝45°，点C恰好在以AB为直径的⊙O上．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）连接BD，若AB＝8，求BD的长．【分析】（1）连接OC，欲证明CD是⊙O的切线，只要证明CD⊥OC即可．（2）连接AC，BD交于点E．求出BE，再根据BD＝2BE可得结论．【解答】（1）证明：连接OC．∵OB＝OC，∠B＝45°，∴∠BCO＝∠B＝45°．∴∠BOC＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC．∴∠OCD＝∠BOC＝90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线．（2）解：连接AC，BD交于点E．∵AB是直径，AB＝8，∴∠ACB＝90°．∴BC=AC=4√2，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CE=12AC=2√2，∴BE=2+CE2=√40=2√10，∴BD=2BE=4√10．20．（2020•东城区一模）如图，直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，与⊙O相交于点P，OA＝5．C是直线l 上一点，连接CP并延长，交⊙O于点B，且AB＝AC．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若tan∠ACB=12，求线段BP的长．【分析】（1）连接OB，由等腰三角形的性质可得∠ACB＝∠ABC，∠OBP＝∠OPB＝∠CP A，由余角的性质可求∠ABO＝90°，可得结论；（2）过点O作OD⊥BP于D，设AP＝x，AC＝2x，由勾股定理可求AP＝2，AC＝4，由勾股定理可求CP的长，通过证明△ACP∽△DOP，可求PD的长，由等腰三角形的性质可求BP的长．【解答】证明：（1）连接OB，则OP＝OB，∴∠OBP＝∠OPB＝∠CP A，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∵OA⊥l，∴∠OAC＝90°，∴∠ACB+∠CP A＝90°，∴∠ABP+∠OBP＝90°，∴∠ABO＝90°，∴OB⊥AB，∴AB是⊙O的切线；（2）如图，过点O作OD⊥BP于D，∵tan ∠ACB =AP AC =12， ∴设AP ＝x ，AC ＝2x ， ∴AB ＝2x ，OP ＝OB ＝5﹣x ， ∵AO 2＝OB 2+AB 2， ∴25＝（5﹣x ）2+4x 2， ∴x ＝2， ∴AP ＝2，AC ＝4 ∴OB ＝OP ＝3， ∴CP =√AC 2+AP2=√16+4=2√5，∵∠CAP ＝∠ODP ＝90°，∠APC ＝∠OPD ， ∴△ACP ∽△DOP ， ∴PD PA=OP CP=OD CA，∴PD =OP⋅PA CP=35√5， ∵OB ＝OP ，OD ⊥BP ， ∴BP ＝2PD =6√55． 21．（2020•石景山区一模）如图，AB 是⊙O 的直径，直线PQ 与⊙O 相切于点C ，以OB ，BC 为边作▱OBCD ，连接AD 并延长交⊙O 于点E ，交直线PQ 于点F ．（1）求证：AF ⊥CF ；（2）连接OC ，BD 交于点H ，若tan ∠OCB ＝3，⊙O 的半径是5，求BD 的长．【分析】（1）连接OC，如图，根据平行四边形的性质得到DC∥OB，DC＝OB，推出四边形OCDA是平行四边形，得到AF∥OC，根据切线的性质得到∠OCQ＝90°，于是得到结论；（2）过点B作BN⊥OC于点N，如图，根据平行四边形的性质得到BD＝2BH，CH=12CO=52．tan∠NCB=BNCN=3，设CN＝x，BN＝3x，求得ON＝5﹣x．根据勾股定理即可得到结论．【解答】（1）证明：连接OC，如图，∵四边形OBCD是平行四边形，∴DC∥OB，DC＝OB，∵AO＝OB，∴DC∥AO，DC＝AO，∴四边形OCDA是平行四边形，∴AF∥OC，∵直线PQ与⊙O相切于点C，OC是半径，∴∠OCQ＝90°，∴∠AFC＝∠OCQ＝90°，即AF⊥CF；（2）解：过点B作BN⊥OC于点N，如图，∵四边形OBCD是平行四边形，∴BD＝2BH，CH=12CO=52．在Rt△BNC中，tan∠NCB=BNCN=3，设CN＝x，BN＝3x，∴ON＝5﹣x．在Rt△ONB中，（5﹣x）2+（3x）2＝52，解得x1＝0（舍），x2＝1．∴BN＝3x＝3，HN=52−x=32．在Rt△HNB中，由勾股定理可得BH=3√5 2．∴BD=2BH=3√5．22．（2020•西城区一模）如图，四边形OABC中，∠OAB＝90°，OA＝OC，BA＝BC．以O为圆心，以OA为半径作⊙O．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）连接BO并延长交⊙O于点D，延长AO交⊙O于点E，与BC的延长线交于点F，若AD̂=AĈ，①补全图形；②求证：OF＝OB．【分析】（1）连接AC，根据等腰三角形的性质得到∠OAC＝∠OCA，∠BAC＝∠BCA，得到∠OCB＝∠OAB＝90°，根据切线的判定定理证明；（2）①根据题意画出图形；②根据切线长定理得到BA＝BC，得到BD是AC的垂直平分线，根据垂径定理、圆心角和弧的关系定理得到∠AOC＝120°，根据等腰三角形的判定定理证明结论．【解答】（1）证明：如图1，连接AC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵BA＝BC，∴∠BAC＝∠BCA，∴∠OAC+∠BCA＝∠OCA+∠BCA，即∠OCB＝∠OAB＝90°，∴OC⊥BC，∴BC是⊙O的切线；（2）①解：补全图形如图2；②证明：∵∠OAB＝90°，∴BA是⊙O的切线，又BC是⊙O的切线，∴BA＝BC，∵BA＝BC，OA＝OC，∴BD是AC的垂直平分线，̂=CD̂，∴AD̂=AĈ，∵AD̂=CD̂=AĈ，∴AD∴∠AOC＝120°，∴∠AOB＝∠COB＝∠COE＝60°，∴∠OBF＝∠F＝30°，∴OF＝OB．23．（2020•通州区一模）已知：△ABC为等边三角形．（1）求作：△ABC的外接圆⊙O．（不写作法，保留作图痕迹）（2）射线AO交BC于点D，交⊙O于点E，过E作⊙O的切线EF，与AB的延长线交于点F．①根据题意，将（1）中图形补全；②求证：EF∥BC；③若DE＝2，求EF的长．【分析】（1）直接利用外接圆的作法作出三角形任意两边的垂直平分线，进而得出外接圆圆心，进而得出答案；（2）①按题意画出图形即可；②连接OB，OC，证明AE⊥BC．可得出AE⊥EF，则结论得证；③得出∠BOD＝60°，设OD＝x，则OB＝OE＝2+x，得出cos∠BOD=ODOB=x2+x=12，求出x＝2，得出tan∠BAD=EFAE=EF8=√33，则可求出EF的值．【解答】解：（1）如图所示：⊙O即为所求．（2）①如图2，补全图形：②证明：连接OB，OC，∵OB＝OC，∴点O在线段BC的垂直平分线上，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上，∴AO垂直平分BC，∴AE⊥BC．∵直线EF为⊙O的切线，∴AE⊥EF，∴EF∥BC；③解：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AB＝AC，AE⊥BC，∴∠BAD=12∠BAC，∴∠BAD＝30°，∴∠BOD＝60°，∵DE＝2，设OD＝x，∴OB＝OE＝2+x，在Rt△OBD中，∵OD⊥BC，∠BOD＝60°，∴cos∠BOD=ODOB=x2+x=12，∴x＝2，∴OD＝2，OB＝4，∴AE＝8，在△AEF中，∵AE⊥EF，∠BAD＝30°，∴tan∠BAD=EFAE=EF8=√33，∴EF=8√3 3．24．（2020•延庆区一模）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，点D是弧BC的中点，连接AC，BD，过点D作AC的垂线EF，交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F．（1）依题意补全图形；（2）判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）若AB＝5，BD＝3，求线段BF的长．【分析】（1）依据几何语言进行画图即可；（2）连接OD．求得∠FDO＝90°，即可得到直线EF是⊙O的切线；（3）连接AD．依据△ABD∽ADE，即可得到AE＝3.2．设BF＝x，则OF＝2.5+x，AF＝5+x．再根据△ODF∽△AEF，即可得到BF=45 7．【解答】解：（1）如图所示：（2）相切，理由如下：如图，连接OD．∵点D是弧BC的中点，∴∠BOD＝∠F AE．∴OD∥AE．∴∠FDO＝∠E．∵AE⊥EF，∴∠E＝90°．∴∠FDO＝90°．∴直线EF是⊙O的切线．（3）如图，连接AD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．∵AB＝5，BD＝3，∴AD＝4．∵∠E ＝∠ADB ＝90°，∠BAD ＝∠DAE ， ∴△ABD ∽ADE ， ∴AE AD=AD AB，∴AE ＝3.2．设BF ＝x ，则OF ＝2.5+x ，AF ＝5+x ． ∵OD ∥AE ， ∴△ODF ∽△AEF ， ∴OD OF=AE AF，∴2.52.5+x=3.25+x，解得x =457． ∴BF =457． 25．（2020•门头沟区一模）如图，∠APB ，点C 在射线PB 上，PC 为⊙O 的直径，在∠APB 内部且到∠APB 两边距离都相等的所有的点组成图形M ，图形M 交⊙O 于D ，过点D 作直线DE ⊥P A ，分别交射线P A ，PB 于E ，F ．（1）根据题意补全图形；（2）求证：DE 是⊙O 的切线；（3）如果PC ＝2CF ，且DF =√3，求PE 的长．【分析】（1）根据要求画出图形即可．（2）欲证明DE 是⊙O 的切线，只要证明DE ⊥OD 即可．（3）首先证明OF ＝2OD ，推出∠OFD ＝30°，解直角三角形求出OD ，OF ，PF 即可解决问题．【解答】（1）解：图形如图所示：（2）证明：连接OD．∵OD＝OP，∴∠ODP＝∠OPD，∴PD平分∠APB，∴∠APD＝∠POD，∴∠APD＝∠ODP，∴OD∥P A，∵DE⊥P A，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线．（3）解：∵PC＝2CF，∴可以假设CF＝x，则PC＝2x，OD=12OF，∵∠ODF＝90°，∴∠OFD＝30°，∵DF=√3，∴OD＝DF•tan30°＝1，∴OF＝2OD＝2，PF＝3，在Rt△PEF中，∵∠PEF＝90°，∠PFE＝30°，∴PE=12PF=32．26．（2020•朝阳区一模）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5．在同一平面内，△ABC内部一点O 到AB，AC，BC的距离都等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G．（1）直接写出a的值；（2）连接BO并延长，交AC于点M，过点M作MN⊥BC于点N．①求证：∠BMA＝∠BMN；②求直线MN与图形G的公共点个数．【分析】（1）根据题意可得三角形ABC是直角三角形，再根据切线长定理即可求出a的值；（2）①根据题意可得点O是三角形ABC的内心，再根据三角形内角和即可得结论；②作OE⊥MN于点E，根据角平分线的性质可得OD＝OE，所以得OE为圆O的半径，进而可得MN为圆O的切线，即可得出结论．【解答】解：（1）如图，∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，∴33+42＝52，∴∠A＝90°，∴△ABC是直角三角形，由题意可知：图形G是以O为圆心，a为半径的圆，AB，AC，BC与圆O相切，设切点分别为F，D，Q，连接OF，OD，OQ，∴OF⊥AB，OD⊥AC，OQ⊥BC，∴四边形AFOD为正方形，∴AF＝AD＝OF＝OD＝a，根据切线长定理可知：BF＝BQ＝3﹣a，CD＝CQ＝4﹣a，∴3﹣a+4﹣a＝5，解得a＝1；（2）①由题意可知：点O是△ABC的内心，∴∠ABM＝∠CBM，∵MA⊥AB，MB⊥BC，∴∠A＝∠BNM＝90°，∴∠BMA＝∠BMN；②如图，作OE⊥MN于点E，∵∠BMA＝∠BMN，∵OD⊥AC，∴OD＝OE，∴OE为圆O的半径，∴MN为圆O的切线，∴直线MN与图形G的公共点个数为1．27．（2020•密云区一模）如图，AB为⊙O的直径，点C、点D为⊙O上异于A、B的两点，连接CD，过点C作CE⊥DB，交DB的延长线于点E，连接AC、AD．（1）若∠ABD＝2∠BDC，求证：CE是⊙O的切线．（2）若⊙O的半径为√5，tan∠BDC=12，求AC的长．【分析】（1）连接OC，可证明OC∥DE，由于CE⊥DB，∠CED＝90°，所以∠OCE＝90°，OC⊥CE，根据切线的判定即可求出答案．（2）连接BC，由于∠BDC＝∠BAC，所以tan∠BAC＝tan∠BDC=12，设BC＝x，AC＝2x，所以AB=√5x，列出方程即可求出x的值．【解答】解：（1）连接OC，∵OC ＝OA ，∴∠OCA ＝∠OAC ，∴∠COB ＝2∠OAC ，∵∠BDC ＝∠OAC ，∠ABD ＝2∠BDC ，∴∠COB ＝∠ABD ，∴OC ∥DE ，∵CE ⊥DB ，∠CED ＝90°，∴∠OCE ＝90°，OC ⊥CE ，∴CE 是⊙O 的切线．（2）连接BC ，∵∠BDC ＝∠BAC ，∴tan ∠BAC ＝tan ∠BDC =12，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠BCA ＝90°，∴BC AC =12，设BC ＝x ，AC ＝2x ，∴AB =√5x ，∵⊙O 的半径为√5，∴√5x ＝2√5，∴x ＝2，∴AC ＝2x ＝4．28．（2020•大兴区一模）已知：如图，在△ABC 中，∠B ＝∠C ．以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，过点D作DE ⊥AC 于点E ．（1）求证：DE 与⊙O 相切；（2）延长DE交BA的延长线于点F，若AB＝8，sin B=√55，求线段F A的长．【分析】（1）要想证DE是⊙O的切线，只要连接OD，求证∠ODE＝90°即可；（2）连接AD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，根据三角函数的定义得到AD＝AB•sin B=8√55，求得∠B＝∠ADE，得到sin B＝sin∠ADE=AEAD=√55，求得AE=√55AD=√55×8√55=85，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）连接OD，则OD＝OB，∴∠B＝∠ODB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC．∴∠ODE＝∠DEC＝90°，∴DE是⊙O的切线；（2）连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵AB＝8，sin B=√5 5，∴AD＝AB•sin B=8√5 5，∵∠ODB+∠ADO＝∠ADO+∠ADE＝90°，∴∠BDO＝∠ADE，∴∠B＝∠ADE，∴sin B＝sin∠ADE=AEAD=√55，∴AE=√55AD=√55×8√55=85，∵OD∥AE，∴△F AE∽△FOD，∴FAFO =AEOD，∵AB＝8，∴OD＝AO＝4，∴FAFA+4= 2 5∴F A=8 3．29．（2020•丰台区一模）在Rt ABC∆中，90A∠=︒，22.5B∠=︒，点P为线段BC上一动点，当点P运动到某一位置时，它到点A，B的距离都等于a，到点P的距离等于a的所有点组成的图形为W，点D为线段BC 延长线上一点，且点D到点A的距离也等于a．（1）求直线DA与图形W的公共点的个数；（2）过点A作AE BD⊥交图形W于点E，EP的延长线交AB于点F，当2a=时，求线段EF的长．【分析】（1）连接AP，根据圆周角定理得到45APD∠=︒，求得DA AP a==，得到45D APD∠=∠=︒，推出D A PA⊥，于是得到结论；（2）根据等腰三角形的性质得到22.5BAP B∠=∠=︒，求得67.5PAC PCA∠=∠=︒，推出点C在P上，根据垂径定理得到AC CE=，求得90APE∠=︒，于是得到结论．【解答】解：（1）直线DA与图形W的公共点的个数为1个；点P到点A，B的距离都等于a，∴点P为AB的中垂线与BC的交点，到点P的距离等于a的所有点组成图形W，∴图形W是以点P为圆心，a为半径的圆，根据题意补全图形如图所示，连接AP，∠=︒，22.5B∴∠=︒，45APD点D到点A的距离也等于a，∴==，DA AP aD APD∴∠=∠=︒，45∴∠=︒，PAD90∴⊥，DA PA∴为P的切线，DA∴直线DA与图形W的公共点的个数为1个；（2）AP BP=，∴∠=∠=︒，BAP B22.5BAC∠=︒，90∴∠=∠=︒，PAC PCA67.5∴==，PA PC a∴点C在P上，⊥交图形W于点E，AE BD=，∴AE CE∴=，AC CEDPE APD∴∠=∠=︒，45APE∴∠=︒，90===，2EP AP a∴=，45AE∠=︒，E⊥，∠=︒，AE BDB22.567.5BAE ∴∠=︒，67.5AFE BAE ∴∠=∠=︒．EF AE ∴==。

中考数学点对点-涉及圆的证明与计算问题(解析版)

专题27 涉及圆的证明与计算问题专题知识点概述圆的证明与计算是中考必考点，也是中考的难点之一。

纵观全国各地中考数学试卷，能够看出，圆的证明与计算这个专题内容有三种题型：选择题、填空题和解答题。

一、与圆有关的概念1．圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。

定点称为圆心，定长称为半径。

圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。

2．圆心角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。

圆心角的度数等于它所对弧的度数。

3.圆周角：顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角叫做圆周角。

4. 外接圆和外心：经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。

外接圆的圆心，叫做三角形的外心。

外心是三角形三条边垂直平分线的交点。

外心到三角形三个顶点的距离相等。

5．若四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆。

6.和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。

内心是三角形三个角的角平分线的交点。

内心到三角形三边的距离相等。

二、与圆有关的规律1.圆的性质：（1）圆具有旋转不变性；（2）圆具有轴对称性；（3）圆具有中心对称性。

2.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

3．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．4．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。

在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也相等。

5.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．6．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．7．圆内接四边形的特征①圆内接四边形的对角互补；②圆内接四边形任意一个外角等于它的内对角。

中考数学精英复习课件：专题五圆中的证明与计算

∴AB＝CA－BC＝3，ABDD＝362＝ 22，设 BD＝ 2k，AD＝2k，在 Rt△ADB 中，2k2＋4k2＝9，
∴k＝ 26， ∴AD＝ 6.
5.(导学号 78324084)(2017·广安)如图，已知 AB 是⊙O 的直径，弦 CD 与直径 AB 相交于点 F，点 E 在⊙O 外，做直线 AE，且∠EAC＝∠D. (1)求证：直线 AE 是⊙O 的切线． (2)若∠BAC＝30°，BC＝4，cos∠BAD＝34，CF＝130，求 BF 的长．
∴∠DOM＝2∠FAO＝60°.
在 Rt△DOM 中，sin∠DOM＝DOMD，
即 DM＝3 3.
又∵∠C＝∠AOF＝90°，AC＝AO＝6，AF＝AF，
∴Rt△AFC≌Rt△AFO(HL)，
∴S△CAF＝SOAF，
∴S
阴
影
部
分＝
S
△
ACF
＋
S
△
FOD
＝
S
△
AOF＋
S△
FOD
＝
S△
AOD
＝
1 2
AO·DM
解：(1)在 Rt△FBO 中， ∵∠ABC＝30°，∠FOB＝90°，FO＝2 3， ∴FB＝4 3，OB＝6， ∴AB＝2BO＝12. 又∵∠C＝90°，∠ABC＝30°， ∴AC＝12AB＝6.
(2)连接 BD，过点 D 作 DM⊥AB 于 M.
∵FO 为 AB 的中垂线，
∴FA＝FB，
∴∠FAO＝∠FBO＝30°，
∴cos∠E＝cos∠CBG＝BBGC＝2254.
满分技法：(1)证明切线的常用方法：①有“点”，连半径，证垂直，②无“点”，作垂直证半径；(2)利用切线的性质求线段长度的策略：一般连接过切点的半径构造直角三角形，利用三角函数、勾股定理解决问题，有时会利用图中的角得相似三角形，由相似求线段的长度.