空间直线、平面的平行

答案：C 解析：过 a 与 P 作一平面 β，平面 α 与平面 β 的交线为 b，因为 a∥α，所以 a∥b，在同一个平面内，过点作已知直线的平行线有且 只有一条，故 C 正确．
2．[多选题][必修二·P139 练习 T3 改编]下列命题中错误的是( ) A．如果直线 a∥b，那么 a 平行于经过 b 的任何平面 B．如果直线 a 和平面 α 满足 a∥α，那么 a 与 α 内的任何直线 平行 C．如果直线 a，b 和平面 α 满足 a∥α，b∥α，那么 a∥b D．如果直线 a，b 和平面 α 满足 a∥b，a∥α，b⊄α，那么 b∥α
证明： 方法一
∵四边形 ABCD 为矩形，∴AB∥CD， ∵AB⊄平面 CDE，CD⊂平面 CDE，∴AB∥平面 CDE； 又∵AF∥ED，AF⊄平面 CDE，ED⊂平面 CDE，∴AF∥平面 CDE； ∵AF∩AB＝A，AB⊂平面 ABF，AF⊂平面 ABF， ∴平面 ABF∥平面 CDE， 又 BF⊂平面 ABF，∵BF∥平面 CDE.
类题通法 在应用线面平行的判定定理进行转化时，一定注意定理成立的 条件，通常应严格按照定理成立的条件规范书写步骤，如：把线面 平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面和已知平面 相交，这时才有直线与交线平行.
【跟踪训练 1】 如图，在几何体 ABCDE 中，四边形 ABCD 是矩形，AB⊥平面 BEC，BE⊥EC，AB＝BE＝EC＝2，G，F 分别是线段 BE，DC 的中 点．
第4节 空间直线、平面的平行
【教材回扣】
1．线面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
判 平面外一条直线与 此平面内 的
定 一条直线平行，则该直线与此平
定 面平行(简记为“线线平行⇒线 理 面平行”) 性 一条直线与一个平面平行，则过
质 这条直线的任一平面与此平面 定 的 交线 与该直线平行(简记为
理 “线面平行⇒线线平行”)
符号语言
l∥a a⊂α
⇒l∥α
l⊄α
ll∥ ⊂αβ⇒l∥b α∩β＝b
2.面面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
判 定 定 理
一个平面内的两条 相交直线 与另 一个平面平行，则这两个平面平行 (简记为“线面平行⇒面面平行”)
性 质 如果两个平行平面同时和第三个平 定 面 相交 ，那么它们的 交线 平行 理
解析：过 E 作 EG∥FD，交 AP 于 G，连接 CG，连接 AC 交 BD 于 O，连接 FO.
∵EG∥FD，EG⊄平面 BDF，FD⊂平面 BDF， ∴EG∥平面 BDF， 又 EG∩CE＝E，CE∥平面 BDF，EG，CE⊂平面 CGE， ∴平面 CGE∥平面 BDF，又 CG⊂平面 CGE，∴CG∥平面 BDF， 又平面 BDF∩平面 PAC＝FO，CG⊂平面 PAC，∴FO∥CG. 又 O 为 AC 的中点， ∴F 为 AG 的中点，且 AF＝1， ∴AF＝FG＝1， ∵PA＝3，∴FG＝GP＝1， ∴E 为 PD 的中点，PE:ED＝1:1.
3．[多选题]设 m，n 是两条不同的直线，α，β 是两个不同的平 面，则下列命题中不正确的是( )
A．若 α⊥β，m⊥α，则 m⊂β B．若 m∥α，n⊂α，则 m∥n C．若 α∩β＝m，n∥α，n∥β，则 m∥n D．若 m⊥n，m⊥α，n∥β，则 α⊥β 答案：ABD 解析：对于 A，满足条件的 m，β 间的位置关系也可能是 m∥β， 所以不正确；对于 B，满足条件的 m，n 间的位置关系也可能是异面， 所以不正确；对于 C，设直线 l 为平面 β 内异于 m 的一条直线，且 l∥n， 由 n∥α，l⊄α，可得 l∥α，又 α∩β＝m，则 l∥m，所以 m∥n，所以 正确；对于 D，α 与 β 可能平行也可能相交，所以不正确．综上可知， 故选 ABD.
类题通法 证明线面平行有两种常用方法：一是线面平行的判定定理；二 是先利用面面平行的判定定理证明面面平行，再根据面面平行的性 质证明线面平行.
微点 2 直线与平面平行的性质 [例 2] 如图，四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 3 的 菱形，∠ABC＝60°.PA⊥平面 ABCD，且 PA＝3.F 在棱 PA 上，且 AF ＝1，E 在棱 PD 上．若 CE∥平面 BDF，求 PE:ED 的值．
答案：ABC 解析：A 中，a 可能在经过 b 的平面内，故 A 错误；B 中，a 还 可以与平面 α 内的直线异面，故 B 错误；C 中，a 可以与直线 b 平行、 异面、相交，故 C 错误；D 中，过直线 a 作平面 β，设 α∩β＝c，∵a∥α， ∴a∥c，又∵a∥b，∴b∥c，又 b⊄α，且 c⊂α，∴b∥α，故 D 正确．
符号语言
a∥β b∥β a∩b＝P
⇒α∥β
a⊂α
b⊂α
α∥β α∩γ＝a
⇒a∥b
β∩γ＝b
【教材提炼】
一、教材改编 1．[必修二·P143 习题 8.5 T1 改编]如果直线 a∥α，P∈α，那么过 点 P 且平行于直线 a 的直线( ) A．只有一条，不在平面 α 内 B．有无数条，不一定在 α 内 C．只有一条，且在平面 α 内 D．有无数条，一定在 α 内
二、易错易混 3．若平面 α∥平面 β，直线 a∥平面 α，点 B∈β，则在平面 β 内且过 B 点的所有直线中( ) A．不一定存在与 a 平行的直线 B．只有两条与 a 平行的直线 C．存在无数条与 a 平行的直线 D．存在唯一与 a 平行的直线
答案：A 解析：当直线 a 在平面 β 内且过 B 点时，不存在与 a 平行的直 线，故选 A.
答案：D 解析：A 项，α，β 可能相交，故错误；B 项，直线 m，n 的位置 关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；C 项，若 m⊂α，α∩β ＝n，m∥n，则 m∥β，故错误；D 项，假设 m，n 垂直于同一平面， 则必有 m∥n，所以原命题正确，故 D 项正确．
2．已知 a，b，c 为三条不同的直线，α，β，γ 为三个不同的平 面，则下列说法正确的是( )
题型三 平面与平面平行的判定与性质[师生共研] [例 3] 如图所示，在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，E，F，G，H 分 别是 AB，AC，A1B1，A1C1 的中点，求证： (1)B，C，H，G 四点共面； (2)平面 EFA1∥平面 BCHG.
证明：
(1)∵G，H 分别是 A1B1，A1C1 的中点， ∴GH 是△A1B1C1 的中位线，∴GH∥B1C1. 又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G 四点共面． (2)∵E，F 分别是 AB，AC 的中点，∴EF∥BC. ∵EF⊄平面 BCHG，BC⊂平面 BCHG，∴EF∥平面 BCHG. 又 G，E 分别为 A1B1，AB 的中点，A1B1∥AB 且 A1B1＝AB， ∴A1G∥EB，且 A1G＝EB， ∴四边形 A1EBG 是平行四边形，∴A1E∥GB. 又∵A1E⊄平面 BCHG，GB⊂平面 BCHG， ∴A1E∥平面 BCHG. 又∵A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面 EFA1， ∴平面 EFA1∥平面 BCHG.
答案：A 解析：B 选项中，AB∥MQ，且 AB⊄平面 MNQ，MQ⊂平面 MNQ， 则 AB∥平面 MNQ；C 选项中，AB∥MQ，且 AB⊄平面 MNQ，MQ⊂ 平面 MNQ，则 AB∥平面 MNQ；D 选项中，AB∥NQ，且 AB⊄平面 MNQ，NQ⊂平面 MNQ，则 AB∥平面 MNQ，故选 A.
[变式探究] 在本例中，若将条件“E，F，G，H 分别是 AB，AC，A1B1，A1C1 的中点”变为“点 D，D1 分别是 AC，A1C1 上的点，且平面 BC1D∥ 平面 AB1D1”，试求DADC的值．
解析：连接 A1B，AB1，交于点 O，连接 OD1. 由平面 BC1D∥平面 AB1D1， 且平面 A1BC1∩平面 BC1D＝BC1， 平面 A1BC1∩平面 AB1D1＝D1O，
4．设 α，β，γ 为三个不同的平面，a，b 为直线，给出下列条件： ①a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；②α∥γ，β∥γ；③α⊥γ，β⊥γ；④a⊥α， b⊥β，a∥b. 其中能推出 α∥β 的条件是________．(填上所有正确的序号)
答案：②④ 解析：在条件①或条件③中，α∥β 或 α 与 β 相交；由 α∥γ，β∥γ ⇒α∥β，条件②满足；在④中，a⊥α，a∥b⇒b⊥α，又 b⊥β，从而 α∥β，④满足．
求证：GF∥平面 ADE.
证明：方法一 如图，取 AE 的中点 H，连接 HG，HD，
又 G 是 BE 的中点， 所以 GH∥AB，且 GH＝12AB. 又 F 是 CD 的中点，所以 DF＝12CD. 因为四边形 ABCD 是矩形， 所以 AB∥CD，且 AB＝CD， 所以 GH∥DF，且 GH＝DF， 从而四边形 HGFD 是平行四边形， 所以 GF∥DH. 又 DH⊂平面 ADE，GF⊄平面 ADE， 所以 GF∥平面 ADE.
三、走进高考 5．[2019·全国Ⅱ卷]设 α，β 为两个平面，则 α∥β 的充要条件是 () A．α 内有无数条直线与 β 平行 B．α 内有两条相交直线与 β 平行 C．α、β 平行于同一条直线 D．α、β 垂直于同一平面
答案：B 解析：A、C、D 选项中 α 与 β 可能相交．
6．[2017·全国Ⅱ卷]如图，在下列四个正方体中，A，B 为正方 体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中， 直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是( )
题型一 直线、平面平行的判断[自主练透]
1．已知 m，n 是两条不同直线，α，β 是两个不同平面，则下列 命题正确的是( )
A．若 α，β 垂直于同一平面，则 α 与 β 平行 B．若 m，n 平行于同一平面，则 m 与 n 平行 C．若 α，β 不平行，则在 α 内不存在与 β 平行的直线 D．若 m，n 不平行，则 m 与 n 不可能垂直于同一平面
类题通法 辨析空间直线、平面间的位置关系时，通常考虑：①联想特殊 的几何体， 如正方体中的特殊线与特殊面的位置关系来直观判断； ②利用直线、平面间的平行与垂直的定义、性质定理与判定定理进 行判断.
Hale Waihona Puke Baidu
题型二 直线与平面平行的判定及性质[微点探究] 微点 1 直线与平面平行的判定
[例 1] 如图，四边形 ABCD 为矩形，ED⊥平面 ABCD，AF∥ED， AB＝4，BC＝3，DE＝3AF＝6.求证：BF∥平面 CDE.
A．若 a∥b，b⊂α，则 a∥α B．若 a⊂α，b⊂β，a∥b，则 α∥β C．若 α∥β，a∥α，则 a∥β D．若 α∩β＝a，β∩γ＝b，α∩γ＝c，a∥b，则 b∥c
答案：D
解析：若 a∥b，b⊂α，则 a∥α 或 a⊂α，故 A 不正确；若 a⊂α， b⊂β，a∥b，则 α∥β 或 α 与 β 相交，故 B 不正确；若 α∥β，a∥α， 则 a∥β 或 a⊂β，故 C 不正确；如图，由 a∥b 可得 b∥α，易证 b∥c， 故 D 正确．
方法二
如图，取 AB 的中点 M，连接 MG，MF. 又 G 是 BE 的中点，可知 GM∥AE. 又 AE⊂平面 ADE，GM⊄平面 ADE， 所以 GM∥平面 ADE. 在矩形 ABCD 中，由 M，F 分别是 AB，CD 的中点得 MF∥AD. 又 AD⊂平面 ADE，MF⊄平面 ADE. 所以 MF∥平面 ADE. 又因为 GM∩MF＝M，GM⊂平面 GMF，MF⊂平面 GMF， 所以平面 GMF∥平面 ADE， 因为 GF⊂平面 GMF，所以 GF∥平面 ADE.
方法二
如图，在 DE 上取点 N，使 DN＝2，连接 NC，NF， ∵AF∥DN，且 AF＝DN，四边形 ADNF 为平行四边形， ∴AD∥FN，且 AD＝FN， 又四边形 ABCD 为矩形，AD∥BC 且 AD＝BC，∴FN∥BC，且 FN＝BC， ∴四边形 BCNF 为平行四边形， ∴BF∥NC， ∵BF⊄平面 CDE，NC⊂平面 CDE， ∴BF∥平面 CDE.