第一章方向导数及梯度

散度的定义
在场空间 F(r ) 中任意点M 处作一个闭合曲
面，所围的体积为 V ，则定义场矢量 F(r ) 在M
点处的散度为：
divF
r
lim
V 0
s
F r
dSV
散度的物理意义
矢量场的散度表征了矢量场的通量源的分布特性；
矢量场的散度是一个标量； 矢量场的散度是空间坐标的函数；
矢量场的散度值表征空间中通量源的密度。
x
y
z
求：矢量 D R 在R0处的散度。 R3
提示：
x
x x R3
1 R3
3x x2
R5
r 场点位置矢量 r 场点位置矢量
场点
rR
0
r
R R
源点
例
原点处点电荷q产生的电位移矢量 D q eˆ q r
试求电位移矢量D的散度。
4r 2 r
，
4r 3
解：
D
q
4
x r3
eˆ x
y r3
u u
u
u
解： cos cos cos
l x
y
z
u 2x , u 2 y , u (x2 y2 )
x
z y
z z
cos
z2 1
1
l 方向的方向余弦为
12 22 22 3
cos
2
2
12 22 22 3
cos
2
2
12 22 22 3
数量场在l方向的方向导数为
u u cos u cos u cos
标量场在不同方向上的变化率 一般说来是不同的
方向导数物理意义：
u
0 l M0
，标量场 u 在 M 0 处沿 l 方向增加率；
u
0 l M0
，标量场 u在 M 0处沿 l 方向减小率；
u 0 l M0
，标量场 u在 M 0 处沿 l 方向为等值面方向（无改变）
z
方向导数的计算
l
方向角
直角坐标系下，标量函数的方向导数为：
a.直角坐标系中
divA Ax Ay Az x y z
§1.4 矢量的通量和散度
• 引入哈密顿算符 （矢性微分算符）
直角坐标内，
e e e x x y y z z
则有: div
A
A
§1.4 矢量的通量和散度
b.圆柱坐标
A
1
(A
)
1
( A
)
A z
z
c.球坐标
A
1 r2
r
解：点M的坐标是x0=1, y0=0, z0=1， 则该点 的数量场值为φ=(x0+y0)2-z0=0。
其等值面方程为 (x y)2 z 0
或
z (x y)2
2. 方向导数(directional derivative)
方向导数 u lim u P u P0
l P0
l 0
l
如果上式的极限存在，则称它为 函数在点P0处沿l方向的方向导数
2u 2u
2u 2u
[( )e ( )e ( )e ]
yz zy x zx xz y xy yx z
0
梯度的运算
由梯度的定义及标量场方向导数的概念可推知
在直角坐标系下： u u eˆ u eˆ u eˆ
x x y y z z
在柱面坐标系中：
(e e 1
r r r
ez
s
F e
s
n
dS
s
F
cosr dS
通过闭合面S的通量的物理意义：
若 0，穿出多于穿入，闭合面内有发出矢量线的正源 若 0，穿出少于穿入，闭合面内有汇集矢量线的负源 若 0，穿出等于穿入，闭合面内无源，或正源负源代数和为0
> 0 (有正源)
< 0 (有负源)
= 0 (无源)
3.矢量场的散度 Divergence of a vector field:
eˆ
z
z
grad u u
grad
u=
eˆx
x
eˆy
y
eˆz
z
u
u
z
梯度的性质
geˆrad u G u eˆ u eˆ u 方 x x y y z z 向
l
方向导数等于梯度在该方向上
角o
y
的投影即
u l
u eˆl
x
u u cos u cos u cos
l x
y
z
标量场中每一点处的梯度，垂直于过该点 的等值面，且指向函数增大的方向。也就 是说，梯度就是该等值面的法向矢量。
证：
gradr
r
r x
eˆx
r y
eˆy
r z
eˆz
r x2 y2 z2
x
x
x x
x2 y2 z2 r
r x2 y2 z2
y
y
y y
x2 y2 z2 r
所以
r x2 y2 z2
z
z
z x
x2 y2 z2 r
gradr
r
x eˆ rx
y r
eˆ
y
z eˆ rz
1 (xeˆ rx
yeˆ
y
zeˆ )
z
r r
ˆ er
例题 求r在M(1，0，1)处沿 l eˆx 2eˆy 2eˆz 方向的方向导数。
解： r在M点沿l方向的方向导数为
r l
M
r • eˆl
r的梯度为
grad r r 1 (xeˆ yeˆ zeˆ )
rx
y
z
点M处的坐标为x=1, y=0, z=1, r x2 y2 z2 2
如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。
从数学上看，场是定义在空间区域上的函数。
静态标量场和矢量场可分别表示为：u(x, y, z)、 F(x, y, z)
时变标量场和矢量场可分别表示为：u(x, y,z,t)、 F(x, y, z,t)
1 . 标量场的等值面
等值面: 标量场为同一数值的点在空间形成 的曲面。
(r2 Ar )
1
r sin
(sinA)
1 (A )
rsin
4. 散度定理(divergence theorem)
高斯散度定理
V AdV SAdS
矢量场散度的体积分等于矢量场在包围该体积的 闭合面上的法向分量沿闭合面的面积分
z
y x
散度定理的证明
V AdV SAdS
从散度定义有： Ar lim s Ar dS lim d
环流的概念
矢量场对于闭合曲线C的环流定义为该矢量对闭合 曲线C的线积分，记为：
C F ( x, y , z ) dl
如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为 无旋场，又称为保守场。
等值面方程：u( x, y, z) C
等值面的特点：
标量场的等值线(面)
• 常数C取一系列不同的值，就得到一系列不 同的等值面，形成等值面族；
• 标量场的等值面充满场所在的整个空间； • 因此标量场的等值面互不相交。
例题 求数量场 φ =(x+y)2-z 通过点M(1, 0, 1)的等值面 方程。
V 0 V
V 0 V dV
则在一定体积V内的总的通量为： V Ar dV sAr dS
得证！
矢量函数的面积分与体积分的互换。
该公式表明了区域V 中场 A 与边界S上的 场 A 之间的关系。
例题：
已知： R eˆ (x x' ) eˆ ( y ，y') eˆ (z z')
(1)
(R) R eˆ RR
( 2 ) ( 1 ) R eˆR
R
R3
R2
( 3 ) f (R) ' f (R)
说明：
e e e x x y y z z
' e e e
x ' x y ' y z ' z
R R
1.4 矢量场的通量 散度
1.矢量线(vector line)
梯度的旋度恒等于零 u 0 如果一个矢量场满足 F =0，即是一个无旋场，则该 矢量场可以用一个标量函数的梯度来表示，即 F = u
Fra Baidu bibliotek
梯度的重要性质
u 0
标量场梯度的旋度恒等于零。
证明：左边=
( eˆ x x
eˆ y y
z
eˆ ) (eˆ
z
x
u x
eˆ
y
u y
eˆz
u ) z
2u 2u
z
)
u
u r
e
r
1 r
u
e
u z
ez
在球面坐标系中：
(er
r
e
1
r
e
(
r
1
sin
)
)
u
u r
er
1 r
u
e
1 u
r sin
e
例题 设标量函数r是动点M(x, y, z)的矢量r xeˆx yeˆy zeˆz
r 的模， 即 r x2 y2 z2 ，证明： grad r= r eˆr
l x
y
z
1 2x 2 2y 2 x2 y2 3 z 3 z 3 z2
在点M处沿l方向u的方向导1数1 2 1 2 2 2 3 3 34 3
l M
3. 梯度（gradient）
梯度就是变化率最大方向上的方向导数 。
grad u
G
eˆx
u x
eˆ y
u y
eˆz
u z
eˆx
x
eˆ
y
y
eˆ y
z r3
eˆ z
Dx
qx
4 r3
,
Dy
qy
4 r3
,
Dz
qz
4 r3
D x x
q
4
r2 3x2 r5
Dy q r 2 3y2
y 4 r5
Dz q r 2 3z2
z 4 r5
divD D Dx Dx Dx
q
3r2 3(x2 y2 z2 ) 0
x y z 4
r5
例题 球面S上任意点的位置矢量为 r xeˆx yeˆy zeˆz ，求 Sr • dS
讨论：在矢量场中，
若 divF(r ) 0，则该矢量场称为有源场，为源密度
若divF (r ) 0处处成立，则该矢量场称为无源场
V1
当divA >0，称为源点
( divF (r ) 0 正源)
(source point)---表示 矢量场在该点处有散
发通 量之正
当d源iv；A<0，称之为汇
u u dx u dy u dz
o
y
l x dl y dl z dl
x
dx cos, dy cos , dz cos
dl
dl
dl
在直角坐标系中
u u cos u cos u cos
l x
y
z
例题 求数量场 u x2 y2 在点M(1, 1, 2)处 z
沿 l eˆx 2eˆy 2eˆz 方向的方向导数。
1 . 3 标量场的梯度（Gradient of a Scalar Field
标量场和矢量场
确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应， 称在该区域上定义了一个场。 如果物理量是标量，称该场为标量场。
例如：温度场、电位场、高度场等。
如果物理量是矢量，称该场为矢量场。 例如 ：流速场、重力场、电场、磁场等。
dr eˆxdx eˆydy eˆzdz
dr
r r dr
A 与 dr共线
A// dr
力线方程
例
求矢量场 A =xy2eˆx +x2yeˆy +zy2eˆz 的矢量线方程。
解： 矢量线应满足的微分方程为
dx dy dz xy 2 x2 y y2 z
xdyx2 xd2yy
从而有
dx xy 2
dz y2z
解之即得矢量方程
z c1x
x2 y2 c2
c1和c2是积分常数。
2. 通量(flux)
若矢量场 F (r )分布于空间中， 在空间中存在任意曲面S，则定义：
Fs (r ) dS
为矢量 F (r ) 沿曲面 S 的通量。 若S 为闭合曲面
矢量场的通量
As (r)dS
物理意义：表示穿入和穿出闭合面S的通量的代数和。
讨论：
面元矢量 dS 定义：面积很小的有向曲面。
en
dS
dS ：面元面积，为微分量其值可认为无限小
en ：面元法线方向，垂直于面元平面。
称矢量 dS eˆndS 为面元矢量
面元法向 en 的确定方法： 对非闭合曲面：由曲面边线绕向按右手螺旋法则确定； 对闭合曲面：闭合面外法线方向
F dS
解： 根据散度定理知
r而 的散度为
所以
Sr • dS V ( •
r )dV
r x y z 3 x y z
r • dS ( • r )dV 3dV 3 4r 3 4r 3
S
V
V
3
1.5 矢量场的环流与旋度
1 . 矢量场的环流与旋涡源
不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通量 源的矢量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任何 闭合曲面的通量为零。但在场所定义的空间中闭合路径的积分 不为零。
所以r在M点处的梯度为
gradr r
1 eˆx 2
1 2
eˆz
而
所以
eˆl l l
1 3
eˆx
2 3
eˆ y
2 3
eˆz
r 1 1 0 2 1 2 1 l M 2 3 2 3 2 3 2
例题: 若 R r r ' eˆx x x eˆy y y eˆz z z
证明：
所谓矢量线，乃是这样一些曲线，在曲线上的每一 点处， 场的矢量都位于该点处的切线上。
如：静电场的电力线、磁场的磁 力线、流速场中的流线等
矢量线的疏密表征矢量场的大小 矢量线上每点的切向代表 该处矢量场的方向
矢量线的方程为 A dr 0在直角坐标系中，其表达式为
A eˆx Ax eˆy Ay eˆz Az
点(sink point)---表示
矢量场在该点处有吸
V2
divF (r ) 0负源)
收通量之负源；
当div A =0，表示矢量
场在该点处无源 。
V3
( divF (r ) 0无源）
散度的计算
z
S6
S3
S2
S4 ∆z
O
S5 S1
∆x
y
∆y x
§1.4 矢量的通量和散度
• 散度与所取体积元 的形状无关，与所取 坐标无关