专题一 数列求和(1)分组求和法

1 5n

5
课本P61 T4(2)
3、通项化归法：先找出复杂数列的通项公式，从通项 的特点选择求和方法。
例3、求数列1,1+2,1+2+22,……,1+2+22+……+2n-1的和。
解：数列的通项an=1+2+22+……+2n=2n-1 S=1+1+2+1+2+22+……+1+2+22+……+2n =（21-1）+（22-1）+（23-1）+……+（2n-1） =21+22+23+……+2n-n= 2n -1 -n
（1)求S20,S21
（2)求Sn
解:(1)S20= -1+3 + (-5)+7 +……+（-37）+39 =20
S21= -1+ 3+ (-5) + 7+(-9) +……+ 39+(-41) =-1+(-2)×10=-21
(2)当n=2k(k∈Z)时， Sn=(1-3)+(5-7)+……+[(2n-3)-(2n-1)]=k×(-2)=-n. 当n=2k-1(k∈Z）时，
所谓特殊数列，指的就是等差数列或等比数列；对 于特殊数列求和，采用公式直接求和即可。
必须记住几个常见数列前n项和 等差数列：
等比数列：
Sn

n(a1 2
an )

na1

n(n
1)d 2
Sn

naa1 (11q nq) 1 q
1
q

1
例1：已知数列{an}①若an=2n+3,求Sn.
2 -1
变式训练、求和：9＋99＋999＋……＋999…99。 n个
解：原式＝(10－1)＋(102－1)＋…＋(10n－1)＝(10＋102＋…＋10n)－n
＝10（10n－1） 10－1
－n＝10(10n－1)－n. 9
4.并项求和：局部重组转化为常见数列,适合正负交 错的数列，即{(-1)n bn}型。
Sn=1+[(-3)+5]+[(-7)+9]+……+[-(2n-3)+(2n-1)] =1+（k-1）×2=n.
所以Sn=
n -n
(n为奇数） (n为偶数）。
求和的思路：
1.转化为等差或等比数列的求和; 2.拆项分组求和法; 3.通项化归法求和:先看通项（怎样的类 型）,或把通项公式先变形化简。
4.并项求和法。
(2 4 6
2n) (1 1 48

1 2n1
)

n(2 2n)

1 4
1
1 2n

2
1 1
2

n(n
1)

1 2

1 2n 1
(2)
an

(xn

1 xn
)2

x2n

1 x2n

2
Sn

(x2

1 x2

2) (x4

1 x4
例4、1-22 + 32-42 + 52-62 +……+(2n-1)2-(2n)2 =？ 分析：
解：Sn=(12-22)+(32-42)+……+［(2n-1)2-（2n)2］ =-3-7-…-(2n-1)=-3-7-11-……-（4n-1） =-2n2-n
练习：已知Sn=-1+3-5+7+…+(-1)n(2n-1),
例2.求下列数列的前n项和
11 1
1
（1）2 4 , 4 8 , 6 16 , , 2n 2n1
2(x

来自百度文库
1 )2 , ( x2 x

1 x2
)2,
, (xn

1 xn
)2
解（1）该数列的通项公式为
an

2n

1 2n1
11 1
1
sn

2
4

4 8

6 16

(2n ) n1 2
1)

2n
4n(x 1)
Sn


(
x2n
1)( x 2 n 2
1)
x2n (x2 1)

2n(x

1)
练习：（1）求Sn a 1 a2 2 an n
解：1 Sn a 1 a2 2 an n
a a2 an 1 2 n
当a=0时，Sn


n n 1
2
课本P61 T4(1)
当a=1时，Sn

n

n n 1
2


1 2
n2

1 2
n
a 1 an
当a 0,1时，Sn 1 a
nn 1
2
2 求Sn 2 351 4 352 2n 35n
2)
(x2n

1 x2n

2)
(x2 x4

x
2n
)

(
1 x2

1 x4


1 x2n
)

2n
当x 1时， 当x 1时，Sn
S n x2

(1
n n 2n
x2n )

1 x2
(1
1 x2n
)
1 x2
1
1 x2
4n
2n

(x2n 1)(x2n2 x2n (x2 1)
解：2 Sn 2 351 4 352 2n 35n
2 4 2n 3 51 52 5n

n(2 2n)
3
1 5
1
1 5n

2
1 1

n(n
1)

3 4
1
②若 an 3 2n ,求Sn.
2.分组求和法：若数列{an}的通项可转化为 an=bn+cn的 形式，且数列{bn}，{cn} 可求出前n项和。 Sn=a1+a2+a3+……+an =（b1+c1）+（b2+c2）+（b3+c3）+……+（bn+cn） =（b1+b2+b3+……+bn）+（c1+c2+c3+……++cn）