江苏省2015年专转本高等数学真题

江苏省2015年普通高校“专转本”选拔考试

高等数学 试题卷

注意事项：

1、考生务必将密封线内的各项目及第2页右下角的座位号填写清楚．

2、考生须用钢笔或圆珠笔将答案直接答在试卷上，答在草稿纸上无效．

3、本试卷共8页，五大题24小题，满分150分，考试时间120分钟．

一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）

1、当0x →时，函数sin ()1x

f x e

=-是函数 ()g x x =的 ( )

A. 高阶无穷小

B. 低阶无穷小

C. 同阶无穷小

D. 等价无穷小 2、函数(1) (1)x

y x x =-<的微分dy 为 ( ) A. (1) [ln(1)]1x

x x x dx x --+- B. (1) [ln(1)]1x x x x dx x

---- C. 1

(1)

x x x dx -- D. 1(1)x x x dx ---

3、0x =是函数1

11, 0()11, 0

x x

e x

f x e x ⎧+⎪≠⎪

=⎨-⎪⎪=⎩的 ( )

A. 无穷间断点

B. 跳跃间断点

C.可去间断点

D. 连续点 4、设()F x 是函数()f x 的一个原函数，则(32)f x dx -=⎰ ( )

A. 1(32)2F x C -

-+ B. 1

(32)2

F x C -+ C. 2(32)F x C --+ D. 2(32)F x C -+ 5、下列级数条件收敛的是 ( )

A. 2

1

(1)n n n n ∞

=--∑ B.

1

1

(1)21

n

n n n ∞

=+--∑ C. 1

!

(1)n

n n n n ∞

=-∑

D.

2

1

1

(1)n

n n n ∞

=+-∑ 6、二次积分

1

1

ln (,)e

y

dy f x y dx =⎰

⎰

( )

A. 1

1

ln (,)e

x

dx f x y dy ⎰

⎰

B. 1

(,)x e

dx f x y dy ⎰

⎰　1

0

C.

(,)x

e dx

f x y dy ⎰

⎰

　1

0

D. 1

(,)x

e dx

f x y dy ⎰

⎰

　1

0

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 7设()lim(1)n

n x

f x n

→∞

=-，则(ln 2)f =_________．

8、曲线3

3

21

1

x t t y t ⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩在点（0，2）处的切线方程为____________．

9、设向量b 与向量(1,2,1)a =--平行，且12a b ⋅=，则b =________． 10、设1()21

f x x =

+，则()

()n f x =_________． 11、微分方程2

xy y x '-=满足初始条件1

2x y

==的特解为___ __．

12

、幂级数

1

1)n

n n x ∞

=-的收敛域为____________． 三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，共64分） 13、求极限02

arcsin lim

222

x

x

x t tdt

e x x →---⎰

．

14、设2sin , 0()0, 0

x x

x f x x x -⎧≠⎪

=⎨⎪=⎩，求()f x '．

15、求通过直线

112

215

x y z +-+==与平面32100x y z ++-=的交点，且与直线 230

240

x y z x y z -++=⎧⎨

+--=⎩平行的直线方程．

16、求不定积分3

⎰

．

17、计算定积分22

2

()sin x x xdx π

π

-

+⎰

．

18、设(,()),x

z f x y

ϕ=，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数ϕ具有连续导数，求y x z ∂∂∂2．

19、计算二重积分

D

xydxdy ⎰⎰，其中D 为由曲线y =

y x =及直线2y =所围

成的平面闭区域．

20、已知2312x x x

y C e C e xe =++是二阶常系数非齐次线性微分方程()y py qy f x '''++=的

通解，试求该微分方程．

四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）

21、设D 是由曲线2

y x =与直线(0)y ax a =>所围成的平面图形，已知D 分别绕两坐标轴旋转一周所形成的旋转体的体积相等，试求： （1）常数a 的值；

（2）平面图形D 的面积.

22、设函数2

()(1)ax b f x x +=

+在点1x =处取得极值1

4

-，试求： （1）常数,a b 的值；

（2）曲线()y f x =的凹凸区间与拐点； （3）曲线)(x f y =的渐近线．

五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）

23、证明：当10<．

24、设(,)z z x y =是由方程2

2

()y z xf y z +=-所确定的函数，其中f 为可导函数， 证明：z z x

z y x y

∂∂+=∂∂．