第八章-空间解析几何与向量代数(同济六版)PPT课件

第八章 空间解析几何与向量代数
向量代数
空间直角坐标系 向量
向量
向量运算：加减法，数量积，向量积
平面与直线
平面——法向量 直线——方向向量 距离，夹角
空间曲线与曲面：曲线与曲面表示法
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§1 向量及其线性运算 §2 数量积，向量积 §3 平面及其方程 §4 空间直线及其方程 §5 曲面及其方程 §6 空间曲线及其方程
ko i
j
r
M
B y
A
记为
( x, y, z)
x
N
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四、利用坐标作向量的线性运算
1. 设 a(ax,ay,az), b(bx,by,bz),λ为实数，则
a b ( a x b x ,a y b y ,a z b z )
a (a x,a y,a z)
2.已知两点 A (x 1,y 1,z1),B (x 2,y2,z2)则
ABOBOA (x 2 ,y 2 ,z2 ) (x 1 ,y 1 ,z1 )
(x 2 x 1 ,y 2 y 1 ,z2 z 1 )
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3. 平行向量对应坐标成比例:
当a0时,
b a
b a
(bx,by,bz)(ax,ay,az)
bx by bz ax ay az
【例2】P8例2
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【例3】已知两点 A (x 1,y 1,z1),B (x 2,y2,z2)及实数λ≠-1
在直线AB上求一点 M , 使 AMM B.
解: 设 M 的坐标为 ( x , y , z) , 如图所示
A
M
A M O M O A
(1)定义：向量 a 与数λ的乘法记为 a , |a| |||a|
0 时 ， a 与 a 同 向 ，
0 时 ， a 与 a 反 向 ，
0时 ， a0
(2)向量与数的乘法满足结合律, 分配律. 见P4 .
(3)
a0
则
若 0， 则 a0； 若 a0， 则 0.
(4)定理1.1：设 a 0 , 则 a //b 1 R ,使 得 b a .
B
M BO BO M
o
由已知 AMM B.
A
O M O A ( O B O M )
B
O M 1 1 (O A O B
M
( x ,y ,z ) 1 1( x 1 x 2 ,y 1 y 2 ,z 1 z 2 )
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由 (x ,y ,z ) 1 1(x 1 x 2 ,y 1 y 2 ,z 1 z 2 )
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§1 向量及其线性运算
第一次课
一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影
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一、向量的概念
1.向量: 既有大小, 又有方向的量称为向量 (又称矢量).
B
ABa
特殊点的坐标 :
(称为点M的坐标)
原点 O(0,0,0) ; 坐标轴上的点 P, Q , R ;
坐标面上的点 A , B , C z
R(0,0, z)
B(0, y,z)
C(x,o,z)
rM
o
y
Q(0, y,0)
x P(x,0,0) A(x,y,0)
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z
o
x
坐标轴 : y0
1. 向量的加减法 (1)加法：平行四边形法则：
b ab a
三角形法则:
(2)三角形法则可推广到多个向量相加 .
ab b
a
(3)加法满足交换律，结合律见P2 .
(4)减法： aba(b)
ab
(5)三角不等式 |a| |b| |a b| |a| |b|
a b
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2. 向量与数的乘法：
y x轴 z 0 y轴 z 0 x0
坐标面 : xoy面 z0
yoz面 x0 zox面y0
z轴 x 0 y0
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2. 向量的坐标表示
i , j , k 分别表示坐标轴x, y, z上的单位向量
(1)设点 M (x, y, z), 则
z C
O M O N N M O A O B O C xiyjzk
A
a
2.向量的大小(模) : | AB||a|
3.零向量: | 0 | 0 方向任意.
4.单位向量: | a | 1 记为 ao, or e
5.平行向量: a / /b 方向相同, 或相反. (零向量与任何向量平行)
6.相等向量: 大小相等, 方向相同.
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二、向量的线性运算
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三、空间直角坐标系
1. 空间直角坐标系(右手系)
• 坐标原点
Ⅲ
• 坐标轴
Ⅳ
• 坐标面
• 卦限(八个) Ⅶ x
(横轴)
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z(竖轴)
Ⅱ
yoz面 oxoy面
Ⅰ
y
(纵轴)
Ⅵ Ⅴ
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在直角坐标系下
点 M 1 1(x, y, z) 1 1向径 r
得定比分点公式:
x x 1x 2,y y 1y 2,z z 1z 2
1
1
1
当λ=1时，点 M 为 AB 的中点 , 于是
得中点公式:
xx 1 x 2,yy 1y 2,zz1z2
2
2来自百度文库
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五、向量的模、方向角、投影
1. 向量的模: 设 O M (x,y,z),则由勾股定理得有
【例】P10例4, 5, 6 2021
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(5)与 a 同向的单位向量为：e ao a .
|a|
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【例1】如果四边形对角线互相平分，则它是
解: 如图 M 为四边形ABCD 对角线的交点, 则
D
C
ABa1b1，
b2
a2
DCa2b2
A
a1
M b1
B
由已知 a1a2,b1b2
所以 ABDC
所以ABCD为平行四边形.
z
O M O P 2O Q 2O R 2 R
M
x2 y2 z2 2. 两点间的距离公式
设A(x1, y1, z1), B (x2, y2, z2), 则
o P
x
Q y
N
A B ( x 2 x 1 ,y 2 y 1 ,z 2 z 1 ) |A B | ( x 2 x 1 ) 2 ( y 2 y 1 ) 2 ( z 2 z 1 ) 2