30 布里渊区的知识
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������
*简谐近似是晶格动力学处理许多物理问题的出发点!
* 对热膨胀和热传导等问题必须考虑高阶项 --- 特别是3次和4次项的作用 → 这称为非谐项或非谐作用 – V非谐 * 具体处理问题时,把非谐项看成是对起主要作用 的简谐项的微扰!
简正振动模式:在简谐近似下, 由N个原子构成的晶体的晶格振 动, 可变为3N个独立的谐振子的振动. 每个谐振子的振动模式称 为简正振动模式 简正振动模式对应着所有的原子都以该模式的频率做振动, 它是 晶格振动模式中最简单最基本的振动方式. 原子的振动 —格波振动通常是这3N个简正振动模式的线形迭加.
2
a
i
倒格矢的垂直平分面 构成第一布里渊区
a
O
一维晶格点阵
b
-π/a
O
倒格子点阵
π/a
二维晶格点阵的布里渊区 取正格子基矢为 a1 ai 和a2 a j 可求出倒格子基矢为
2 2 b1 i 和b2 j a a
作原点0至其它倒格点连线的中垂线,它们将二维倒 格子平面分割成许多区域
第三章 晶格动力学和 晶体的热学性质
固体的许多性质都可以基于静态模型来理解(即晶体点阵模型), 即认为构成固体的原子在空间做严格的周期性排列,在该框架内, 我们讨论了X 光衍射发生的条件,求出了晶体的结合能,以后还将 在此框架内,建立能带论,计算金属大量的平衡性质。然而它只 是实际原(离)子构形的一种近似,因为原子或离子是不可能严 格的固定在其平衡位置上的,而是在固体温度所控制的能量范围 内在平衡位置附近做微振动。只有深入地了解了晶格振动的规律, 更多的晶体性质才能得到理解。如:固体热容,热膨胀,热传导, 融化,声的传播,电导率,压电现象,某些光学和介电性质,位 移性相变,超导现象,晶体和辐射波的相互作用等等。
3������ 2 ������������ + ������ 0 + ������=1 ������
������������ ������������������
1 ������������ + 2 0
������
������
������ 2 ������ ������������ ������������ + ⋯ ������������������ ������������������
fcc: 布里渊区的高对称点
: (0,0,0) 2 (1,0,0) a 2 1 1 1 R: ( , , ) a 2 2 2 2 3 3 K: ( , ,0 ) a 4 4 X:
1st Brillouin Zone
bcc: 布里渊区的高对称点
: (0,0,0) H: 2 (1,0,0) a 2 1 1 1 P: ( , , ) a 2 2 2 2 1 1 N: ( , ,0 ) a 2 2
Kh 1 K Kh Kh 2
K o
1/2
该方程称作布里渊区的边界方程(界面方程)
Kh
Kh
布里渊区:
第一布里渊区的确定:取法和正点阵中Wigner-Seitz原
胞取法相同。它是倒点阵的原胞。
一维、二维晶体的第一布里渊区
b=2/a
一维晶格点阵的布里渊区 取正格子基矢为 a ai 可求出倒格子基矢为 b
多声子跃迁理论、X光漫散射理论、晶格振动长波唯象方程、二维体系光学
声子模联系在一起。他是“极化激元”概念的最早阐述者。
2000年7月31日,李爱扶,黄昆,李 政道,杨振宁出席在香港召开的第 三届全球华人物理学大会
考虑一个比较真实的周期性晶格模型,提出 这样一个系统的运动不易用个别原子的振动 去描述,而最容易用具有一定波矢、频率和 偏振的行波来表示,称为系统的简正模,每 个波的能量与具有相同频率的谐振子一样是 量子化的。与晶体相联系的波的频率不是单 一频率,而是具有一定的频率分布的,这个 频率分布按照复杂的规律依赖与原子间的相 互作用。
纪初才由Einstein 利用Plank量子假说解释了固体热容为什么会随温度 降低而下降的现象( 1907 年),从而推动了固体原子振动的研究, 1913 年 玻 恩 (Born , 1954 年 Nobel 物 理 学 奖 获 得 者 ) 和 冯 卡 门 ( VonKarman)发表了论晶体点阵振动的论文,首次使用了周期性边界条件, 但他们的研究当时被忽视了,因为同年发表的更为简单的 Debye 热容
布里渊区的高对称点-简单立方
Δ <100> Σ <110> kz
Λ <111>
: (0,0,0)
R
Γ 2π/a Δ Σ Λ X ky
X: R:
a a
(1,0,0) (1,1,1)
M
kx
三维晶格点阵的布里渊区
简单立方格子的第一布里渊区是简单立方格子 面心立方格子的第一布里渊区是截角八面体(十四面体) 体心立方格子的第一布里渊区是棱形十二面体
晶体中所有原子共同参与的振动,以波的形 式在整个晶体中传播,称为格波。
由于波的振幅只在格点的原子上定义,所以叫格波
3.1 简正模和格波
绝热近似: 固体是有大量的原子组成 →复杂的多体问题! 原子与原子 ∵晶体中电子和正原子实的质量相 原子与电子 差很大: 3 5 W原子 10 ~ 10 W电子 电子与电子 ∴正原子实的运动速度<< 电子 快速运动的电子能很快地适应正原子实的位置变化 —正原子实固定在它的瞬间位置
近似认为正原子实不动→绝热近似→正电子实和原子 运动分开 简化为 绝热近似下: 多种粒子的多体问题 多电子问题
一、简正模-简谐近似
• 晶体中包含N个原子,3N个自由度, • 3N个位移矢量ui,表示原子对平衡位置的偏离 • 约化坐标������������ = ������������ ������������ • 系统哈密顿量 ������ = ������ + ������ ������1 , ������2 , … , ������3������ ,(泰勒展开) 1 = 2
������: 动能项,������ : 势能项
一、简正模-简谐近似
• 在平衡位置:������ 0 = 0, ������������/������������������ = 0 • 仅保留二次项(在简谐近似) 1 1 2 ������ = ������������ + ������������������ ������������ ������������ 2 2
③
பைடு நூலகம்
二维正方格子的第一、二、 三布里渊区
O
① ②
简单立方(sc)
第一布里渊区边界是下面六个倒格矢的中点,并与之正交的平面:
±1 2������������ =±
������ 1 ������ ������; ± ������ =± ( ������ 2 2 ������ )������;
������ ±1 ������ =±( 2 3 ������ )������
������ ������������
其中������������������ =
������2 ������ (力常数) ������������������ ������������������
• 系统的拉格朗日函数������ = ������ − ������ ,由共轭动量的定义和正则方程 ������������ ������������ ������������ = = ������������ , ������������ = − ������������������ ������������������ 得到 ������������ ������������ = − =− ������������������ ������������ ������������������
3.0 布里渊区的知识 BZ
布里渊区定义
布里渊区定义:在倒点阵中,以某一格点为坐标原点,做所有倒格矢的 垂直平分面,倒空间被这些平面分成许多包围原点的多面体区域,这些
区域称作布里渊区,其中最靠近原点的平面所围成的区域称作第一布里
渊区,第一布里渊区界面与次远垂直平分面所围成的区域称作第二布里 渊区,依次类推得到二维正方格子的布里渊区图见下页。 由于布里渊区界面是某倒格矢K h的垂直平分面,如果用K 表示从原 点出发、端点落在布里渊区界面上的倒空间矢量,它必然满足方程:
我国科学家黄昆院士在晶格振动理论上做出了重要贡献。 黄昆院士简介: (摘录)
1945-1947年,在英国布列斯托(Bristol)大学物理系学习,获哲学博士
学位;发表《稀固溶体的X光漫散射》论文,理论上预言“黄散射”。 1948-1951年,任英国利物浦大学理论物理系博士后研究员,这期间建立 了“黄方程”,提出了声子极化激元的概念,并与李爱扶(A.Rhys,妻子) 建立了多声子跃迁理论。 1947-1952年,与玻恩教授合著《晶格动力学》一书(英国牛津出版社, 1954年)。(2006年中文版) 黄昆对晶格动力学和声子物理学的发展做出了卓越的贡献。他的名字与
理论(弹性波近似)已经可以很好的说明当时的实验结果了,但后来
更为精确的测量却表明了Debye模型不足,所以1935年Blakman才重新 利用Born和Von-Karman近似讨论晶格振动,发展成现在的晶格动力学 理论。后来黄昆先生在晶格振动研究上成就突出,特别是 1954 年和 Born共同写作的《晶格动力学》一书已成为该领域公认的权威著作。
晶 格 振 动 的 研 究 始 于 固 体 热 容 研 究 , 19 世 纪 初 人 们 就 通 过
Dulong-Petit 定律
E Cv T 3N Ak B , ( E 3N Ak BT ) V 认识到:热容量是原子热运动在宏观上的最直接表现,然而直到20世
*简谐近似是晶格动力学处理许多物理问题的出发点!
* 对热膨胀和热传导等问题必须考虑高阶项 --- 特别是3次和4次项的作用 → 这称为非谐项或非谐作用 – V非谐 * 具体处理问题时,把非谐项看成是对起主要作用 的简谐项的微扰!
简正振动模式:在简谐近似下, 由N个原子构成的晶体的晶格振 动, 可变为3N个独立的谐振子的振动. 每个谐振子的振动模式称 为简正振动模式 简正振动模式对应着所有的原子都以该模式的频率做振动, 它是 晶格振动模式中最简单最基本的振动方式. 原子的振动 —格波振动通常是这3N个简正振动模式的线形迭加.
2
a
i
倒格矢的垂直平分面 构成第一布里渊区
a
O
一维晶格点阵
b
-π/a
O
倒格子点阵
π/a
二维晶格点阵的布里渊区 取正格子基矢为 a1 ai 和a2 a j 可求出倒格子基矢为
2 2 b1 i 和b2 j a a
作原点0至其它倒格点连线的中垂线,它们将二维倒 格子平面分割成许多区域
第三章 晶格动力学和 晶体的热学性质
固体的许多性质都可以基于静态模型来理解(即晶体点阵模型), 即认为构成固体的原子在空间做严格的周期性排列,在该框架内, 我们讨论了X 光衍射发生的条件,求出了晶体的结合能,以后还将 在此框架内,建立能带论,计算金属大量的平衡性质。然而它只 是实际原(离)子构形的一种近似,因为原子或离子是不可能严 格的固定在其平衡位置上的,而是在固体温度所控制的能量范围 内在平衡位置附近做微振动。只有深入地了解了晶格振动的规律, 更多的晶体性质才能得到理解。如:固体热容,热膨胀,热传导, 融化,声的传播,电导率,压电现象,某些光学和介电性质,位 移性相变,超导现象,晶体和辐射波的相互作用等等。
3������ 2 ������������ + ������ 0 + ������=1 ������
������������ ������������������
1 ������������ + 2 0
������
������
������ 2 ������ ������������ ������������ + ⋯ ������������������ ������������������
fcc: 布里渊区的高对称点
: (0,0,0) 2 (1,0,0) a 2 1 1 1 R: ( , , ) a 2 2 2 2 3 3 K: ( , ,0 ) a 4 4 X:
1st Brillouin Zone
bcc: 布里渊区的高对称点
: (0,0,0) H: 2 (1,0,0) a 2 1 1 1 P: ( , , ) a 2 2 2 2 1 1 N: ( , ,0 ) a 2 2
Kh 1 K Kh Kh 2
K o
1/2
该方程称作布里渊区的边界方程(界面方程)
Kh
Kh
布里渊区:
第一布里渊区的确定:取法和正点阵中Wigner-Seitz原
胞取法相同。它是倒点阵的原胞。
一维、二维晶体的第一布里渊区
b=2/a
一维晶格点阵的布里渊区 取正格子基矢为 a ai 可求出倒格子基矢为 b
多声子跃迁理论、X光漫散射理论、晶格振动长波唯象方程、二维体系光学
声子模联系在一起。他是“极化激元”概念的最早阐述者。
2000年7月31日,李爱扶,黄昆,李 政道,杨振宁出席在香港召开的第 三届全球华人物理学大会
考虑一个比较真实的周期性晶格模型,提出 这样一个系统的运动不易用个别原子的振动 去描述,而最容易用具有一定波矢、频率和 偏振的行波来表示,称为系统的简正模,每 个波的能量与具有相同频率的谐振子一样是 量子化的。与晶体相联系的波的频率不是单 一频率,而是具有一定的频率分布的,这个 频率分布按照复杂的规律依赖与原子间的相 互作用。
纪初才由Einstein 利用Plank量子假说解释了固体热容为什么会随温度 降低而下降的现象( 1907 年),从而推动了固体原子振动的研究, 1913 年 玻 恩 (Born , 1954 年 Nobel 物 理 学 奖 获 得 者 ) 和 冯 卡 门 ( VonKarman)发表了论晶体点阵振动的论文,首次使用了周期性边界条件, 但他们的研究当时被忽视了,因为同年发表的更为简单的 Debye 热容
布里渊区的高对称点-简单立方
Δ <100> Σ <110> kz
Λ <111>
: (0,0,0)
R
Γ 2π/a Δ Σ Λ X ky
X: R:
a a
(1,0,0) (1,1,1)
M
kx
三维晶格点阵的布里渊区
简单立方格子的第一布里渊区是简单立方格子 面心立方格子的第一布里渊区是截角八面体(十四面体) 体心立方格子的第一布里渊区是棱形十二面体
晶体中所有原子共同参与的振动,以波的形 式在整个晶体中传播,称为格波。
由于波的振幅只在格点的原子上定义,所以叫格波
3.1 简正模和格波
绝热近似: 固体是有大量的原子组成 →复杂的多体问题! 原子与原子 ∵晶体中电子和正原子实的质量相 原子与电子 差很大: 3 5 W原子 10 ~ 10 W电子 电子与电子 ∴正原子实的运动速度<< 电子 快速运动的电子能很快地适应正原子实的位置变化 —正原子实固定在它的瞬间位置
近似认为正原子实不动→绝热近似→正电子实和原子 运动分开 简化为 绝热近似下: 多种粒子的多体问题 多电子问题
一、简正模-简谐近似
• 晶体中包含N个原子,3N个自由度, • 3N个位移矢量ui,表示原子对平衡位置的偏离 • 约化坐标������������ = ������������ ������������ • 系统哈密顿量 ������ = ������ + ������ ������1 , ������2 , … , ������3������ ,(泰勒展开) 1 = 2
������: 动能项,������ : 势能项
一、简正模-简谐近似
• 在平衡位置:������ 0 = 0, ������������/������������������ = 0 • 仅保留二次项(在简谐近似) 1 1 2 ������ = ������������ + ������������������ ������������ ������������ 2 2
③
பைடு நூலகம்
二维正方格子的第一、二、 三布里渊区
O
① ②
简单立方(sc)
第一布里渊区边界是下面六个倒格矢的中点,并与之正交的平面:
±1 2������������ =±
������ 1 ������ ������; ± ������ =± ( ������ 2 2 ������ )������;
������ ±1 ������ =±( 2 3 ������ )������
������ ������������
其中������������������ =
������2 ������ (力常数) ������������������ ������������������
• 系统的拉格朗日函数������ = ������ − ������ ,由共轭动量的定义和正则方程 ������������ ������������ ������������ = = ������������ , ������������ = − ������������������ ������������������ 得到 ������������ ������������ = − =− ������������������ ������������ ������������������
3.0 布里渊区的知识 BZ
布里渊区定义
布里渊区定义:在倒点阵中,以某一格点为坐标原点,做所有倒格矢的 垂直平分面,倒空间被这些平面分成许多包围原点的多面体区域,这些
区域称作布里渊区,其中最靠近原点的平面所围成的区域称作第一布里
渊区,第一布里渊区界面与次远垂直平分面所围成的区域称作第二布里 渊区,依次类推得到二维正方格子的布里渊区图见下页。 由于布里渊区界面是某倒格矢K h的垂直平分面,如果用K 表示从原 点出发、端点落在布里渊区界面上的倒空间矢量,它必然满足方程:
我国科学家黄昆院士在晶格振动理论上做出了重要贡献。 黄昆院士简介: (摘录)
1945-1947年,在英国布列斯托(Bristol)大学物理系学习,获哲学博士
学位;发表《稀固溶体的X光漫散射》论文,理论上预言“黄散射”。 1948-1951年,任英国利物浦大学理论物理系博士后研究员,这期间建立 了“黄方程”,提出了声子极化激元的概念,并与李爱扶(A.Rhys,妻子) 建立了多声子跃迁理论。 1947-1952年,与玻恩教授合著《晶格动力学》一书(英国牛津出版社, 1954年)。(2006年中文版) 黄昆对晶格动力学和声子物理学的发展做出了卓越的贡献。他的名字与
理论(弹性波近似)已经可以很好的说明当时的实验结果了,但后来
更为精确的测量却表明了Debye模型不足,所以1935年Blakman才重新 利用Born和Von-Karman近似讨论晶格振动,发展成现在的晶格动力学 理论。后来黄昆先生在晶格振动研究上成就突出,特别是 1954 年和 Born共同写作的《晶格动力学》一书已成为该领域公认的权威著作。
晶 格 振 动 的 研 究 始 于 固 体 热 容 研 究 , 19 世 纪 初 人 们 就 通 过
Dulong-Petit 定律
E Cv T 3N Ak B , ( E 3N Ak BT ) V 认识到:热容量是原子热运动在宏观上的最直接表现,然而直到20世