勒让德多项式

例1:将 x 2 在[-1,1]内展成勒让德多项式的级数形式
x 2 Cn Pn (x) n0
Cn
2n 1 2
1 1
x
2
Pn
(
x)dx
1 1
xk
Pn
( x)dx
0
n2
4 1
C2 2
1 x2 1 (3x2 -1)dx 5
1 2
4
1 3x4 x2
1
dx
5 6 2 2 45 3 3
第6章勒让德多项式
例2:将Pl(x) 在[-1,1]内展成勒让德多项式的级数形式
解：方法一
l 1
(l 1) / 2
Pl(x) CnPn (x) CnPn (x)
Cl2n1Pl2n1 ( x)
n0
n0
n0
2l 4n 1
Cl2n1
2
1
1 Pl(x)Pl2n1(x)dx
2l 4n 1 2
1 0
xd
d 2n1 dx 2 n 1
(x2
1)2n
4n 22n
1 2n
!
x
d 2 n 1 dx 2 n 1
(x2
1)2n|10源自1 0d 2 n1 dx 2 n 1
(x2
1)2n
dx
4n 22n
1 2n
!
d 1 2n1 0 dx2n1
(x2
1)2n dx
4n 22n
1 2n
!
d2n2 dx 2 n 2
0
0
0
/ 2 sin 2n1 d 2n / 2 sin 2n1 d
0
2n 1 0
1 P2n (x)dx 1
(2n)! 22n1 n! 2
2n 2n 1
/ 2 sin 2n1 d
0
(2n)!
22n1 n! 2
2n 2n 2 4 2 2n 1 2n 1 53
/2
s in d
2n 1 2
n0
1 0
xPn
(x)dx
2n 1 2n1 n!
1 dn 0 x dxn
(x2 1)n dx
2n 1 2n1 n!
1 0
xd
d n 1 dx n 1
(x2
1)n
2n 1 2n1 n!
1 0
d n 1 dx n 1
(x2
1)n
dx
2n 1 2n1 n!
1
d
0
dn2 dx n 2
(x2 1)n
(x2
1) 2 n
|10
4n 1 d2n2 22n 2n ! dx2n2
(x2
1) 2 n
|x0
4n 1 d2n2 22n 2n ! dx2n2
2n
C2kn x2k
(1)2nk
|x0
k 0
4n
22n
1 2n
!
C n1 2n
(1)2
nn1
(2n
2)!
4n 1
22n 2n!
(n
2n!
1)!(n
1)!
(1)n
1
(2n
2)!
(1)n1
4n 1(2n 2)!
22n (n 1)!(n 1)!
数学物理方程与特殊函数
第6章勒让德多项式
例4:将
x f (x) 0
x 0 在[-1,1]内展成勒让德多项式的级数形式
x0
f (x) Cn Pn (x)
Cn
2n 1 2
1
1 f (x)Pn (x)dx
u Cn r n Pn (cos ) n0
cos2
1 3
P0 (cos )
2 3
P2 (cos )
数学物理方程与特殊函数
第6章勒让德多项式
例7：在电场强度为E0的均匀电场中放一个接地导体球，直径为a， 求球外电场
解：均匀电场产生的电势
u1 E0 z u0 E0r cos u0
球面上的感应电荷产生的电势
P2
(x)
1 2
(3x 2
1)
P3 (x)
1 2
(5 x 3
3x)
数学物理方程与特殊函数
第6章勒让德多项式
性质1 正交性
先证明：
1 1
x
k
Pn
(
1
1 Pm (x)Pn (x)dx x)dx 0 k n
0, 2
2n
1
,
mn mn
1 xk
1
1 dn 2n n! dxn
(x2
1)n dx
1
1 Pl2n1(x)dPl (x)
2l
4n 2
1
Pl
2n1
(
x)Pl
(
x)
|11
1 1
Pl
(
x)
Pl2n1
(
x)dx
2l
4n 2
1
2 Pl 2 n 1 (1) Pl
(1)
0
2l
4n
1
方法二
Cn
2n 1 2
1
1 Pl(x)Pn (x)dx
2n 1 2
1
1 Pn (x)dPl (x)
2n 2
n Pn1 (0) (n 1) Pn1 (0) P1 (0) 0
P2n1 (0) 0
Pn1 (1)
2n 1 (n 1)
Pn
(1)
(n
n 1)
Pn1 (1)
P0 (1) 1 P1(1) 1
Pn (1) 1
性质3奇偶性
Pn (x) (1)n Pn (x)
数学物理方程与特殊函数
第6章勒让德多项式
d
d
1
sin2
d2
d 2
n(n 1)
1
sin
d
d
sin
d
d
1
d2
d 2
n(n
1) sin2
1
sin
d
d
sin
d
d
n(n
1) sin2
m2
1 d2u m2
d 2
d2
d 2
cot
d
d
[n(n
1)
m2
sin2
]
0
x cos
y d sin d
d
dx
(1
x2
)
(x2
1)n dx
1n (2n)! 22n n!2
1 (x2
1
1)n dx
x cos
x2 1 n (1)n sin2n
1 P2n (x)dx 1
(2n)! 22n n! 2
sin 2n1 d
0
(2n)! 22n1 n!
2
/ 2 sin 2n1 d
0
数学物理方程与特殊函数
0
2 (2n)!
2n n!
2n n! 2n n!2n 1 2n 1 53
2 (2n)!
2n 1!
2 2n 1
数学物理方程与特殊函数
第6章勒让德多项式
性质2 递推公式
(n 1)Pn1 (x) (2n 1)xPn (x) nPn1 (x) 0
Pn1 (x) Pn1 (x) 2n 1Pn (x)
数学物理方程与特殊函数
第6章勒让德多项式
三 勒让德多项式
y APn (x) BQn (x)
Pn
(x)
M m0
(1)m
2n
2n 2m!
m!(n m)!(n
2m)!
xn2m
Pn
1 2n n!
dn dx n
(x2
1)n
当n为偶数时M
n 2
当n为奇数时 M
n 1 2
P0 (x) 1
P1(x) x
第6章勒让德多项式
1 P2n (x)dx 1
(2n)! 22n1 n!
2
/ 2 sin 2n1 d
0
/ 2 sin 2n1 d / 2 sin 2n dcos 2n / 2 cos2 sin 2n1 d
0
0
0
2n /2 1- sin 2 sin 2n1 d 2n /2 sin2n1 d 2n /2 sin2n1 d
1
Pn
(
x)Pl
(
x)
|11
1 1
Pl
(
x)
Pn(
x)dx
n l 2k 1 k 0,1L l 1
Cl2k1
2l
4k 2
1
2 2Pl2k1(1)Pl (1) 0
2l 4k 1
数学物理方程与特殊函数
第6章勒让德多项式
例3：将 x 在[-1,1]内展成勒让德多项式的级数形式
x Cn Pn (x)
y2
a1[ x
(n
1)(n 3!
2)
x3
(n
1)(n
3)(n 5!
2)(n
4)
x5
L
]
y y1 y2
通解 y C1 y1(x) C2 y2 (x)
y1为偶函数y2为奇函数 n为正偶数或负奇数y1为多项式，n为负偶数或正奇数y2为多项 式。 n为非整数y1， y2均为无穷级数，在 x 1内其收敛半径 为1。 y APn (x) BQn (x)
n0
Cn
2n 1 2
1 1
x Pn (x)dx
C0
1 2
1
1 x P0 (x)dx
1 2
1 x dx 1
1
2
C2n1 0
C2n
4n 1 2
1 1
x
P2n
(x)dx
4n
1
1 0
xP2n
( x)dx
4n 1
22n 2n!
1 d2n 0 x dx2n
(x2 1)2n dx
4n 1 22n 2n !
1 r2 dR n(n 1) R dr dr
n为实数或复数
1
sin
d
d
sin
d
d
1
sin2
d2
d 2
n(n 1)
r2 d2R 2r dR n(n 1)R 0
dr 2
dr
R(r) A1r n A2r (n1)
数学物理方程与特殊函数
第6章勒让德多项式
1
sin
d
d
sin
)
思考
如何将 x 在[-a,b]内展成勒让德多项式的级数形式 ？
数学物理方程与特殊函数
第6章勒让德多项式
例6 求定 解问题
1
r
2
r 2 r
u r
1
r 2 sin
u(1, ) cos2 ,
s in
u
0,
0 r 1,0 0
解： u(r, ) R(r)( )
2rR r 2R 1 cos sinR 0 s in
2n 1 dn2 2n1 n! dxn2
(x2 1)n
|x0
n为奇数时 n为偶数时
Cn 0
Cn
2n 1 2n1 n!
Cnn
/
21
(n
2)!(1)
n
/
21
2n 1(n 2)!
2n1(n / 2 1)!(n / 2 1)!
C1
3 2
1
0 xP1(x)dx
3 2
1 x2dx 1
0
2
C0
1 2
1
r
2
r
r
2
u2 r
1
r2 sin
sin
u2
0,
0 r a,0
u2 (a, ) E0r cos u0,
0
u2 (r, )
r 2R
R(r)( )
2rR
ctg
2rR r 2 R n(n 1)
1
s in
r 2R R
2rR
ctg
n(n
1)
ctg n(n 1) 0
r 2 R 2rR n(n 1)R 0
n Pn (cos )
un Cn r n Pn (cos )
u(1, ) Cn Pn (cos ) cos2 n0
u 1 r 2 (cos2 1)
3
3
Rn Cn r n Dn r n1 Cnr n
1 2n n!
1 1
x
k
d
d n1 dxn1
(x2
1)n
1 2n n!
x
k
d n 1 dxn1
(x2
1
1)n
k
1
d 1 n1 1 dxn1
(x2
1)n xk1dx
k 2n n!
1 1
xk 1
d n 1 dx n 1
(x2
1)n
dx
M
(1)k
k! 2n n!
d 1 nk 1 dxnk
第6章勒让德多项式
二 勒让德方程求解
(1 x2 ) y 2xy n(n 1) y 0
n次的勒让德方程
令：y xc (a0 a1x a2 x 2 ak x k ) ak xck
k 0
c 1
y1
a0[1
n(n 1) 2!
x2
n(n
2)(n 1)(n 4!
3)
x4
L
]
c 1 c0
1 0
xP0 (x)dx
1 2
1
xdx
1
0
4
数学物理方程与特殊函数
第6章勒让德多项式
例5:将 x 2在[-2,2]内展成勒让德多项式的级数形式
在[-1,1]内
t2
1 3
P0 (t)
2 3
P2 (t)
t x/2
x2
4t 2
4 3
P0 (t)
8 3 P2 (t)
4 3
P0
(
x 2
)
8 3
P2
(
x 2
数学物理方程与特殊函数
第6章勒让德多项式
第六章 勒让德多项式
一 勒让德方程引出
1 r2
r 2 r
u r
1
r 2 sin
s in
u
1
r 2 sin 2
2u
2
0
u(r,,) R(r)( )()
1 R
dr
r
2
dR dr
＋
1 sin
d
d
sin
d
d
1
sin2
d2
d 2
0
y
2xy
n(n
1)
m2
sin 2
y
0
(1
x2
)
y
2xy
n(n
1)
1
m2 x2
y
0
() B1 cos m B2 sin m
d2
d 2
cos
d dx
sin 2
d2 dx2
连带的勒让德方程
(1 x2 ) y 2xy n(n 1) y 0
n次的勒让德方程
数学物理方程与特殊函数
(x2 1)n dx
(1)k
k! dnk 1 2n n! dxnk1
(x2
1)n
|11
0
1