第三章 误差的合成与分解

西华大学物理与化学学院 物理实验中心 谌晓洪
第三章 误差的合成与分配 第一节 函数误差
【例】 用弓高弦长法间接测量大工件直径。如图所示，车间工
人用一把卡尺量得弓高 h = 50mm ，弦长 s = 500mm。已知， 弓高的系统误差 h = -0.1mm , 玄长的系统误差 h = -1mm 。 试求测量该工件直径的标准差，并求修正后的测量结果。 已知： h 0.005mm ， l 0.01mm 【解】
车间工人测量弓高 h 、弦长 l 的系统误差
h 50 50.1 0.1mm
l 500 499 1mm
l2 5002 f 2 1 1 24 2 h 4h 4 50 f l 500 5 l 2h 2 50
sin f x1 , x2 ,..., xn cos f x1 , x2 ,..., xn
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第三章 误差的合成与分配 第一节 函数误差
【例】 用弓高弦长法间接测量大
工件直径。如图所示，车间工人用 一把卡尺量得弓高 h = 50mm ，弦 长 s = 500mm。已知，弓高的系统 误差 h = -0.1mm , 玄长的系统误 差 h = -1mm 。试问车间工人测量 该工件直径的系统误差，并求修正 后的测量结果。 【解】
cos f x1, x2 ,, xn
f 2 f 2 f 2 x1 x2 x x x xn 1 2 n
2 2 2
函数随机误差公式为： 1 sin
2 2 2
或 令 则
f ai xi
f f f 2 y x12 x 22 xn x1 x2 xn
y a12 x12 a22 x 22 an 2 xn 2
第三章 误差的合成与分配 第一节 函数误差
一、函数系统误差计算
间接测量的数学模型
y f ( x1 , x2 ,..., xn )
x1 , x2 ,, xn 与被测量有函数关系的各个直接测量值 y 间接测量值 求上述函数 y 的全微分，其表达式为：
dy f f f dx1 dx2 dxn x1 x2 xn
第三章 误差的合成与分配 第一节 函数误差
相关系数的确定
1、直接判断法
可判断 ij 0 的情形
断定
xi 与 x j 两分量之间没有相互依赖关系的影响
当一个分量依次增大时，引起另一个分量呈正负交替 变化，反之亦然
xi 与 x j 属于完全不相干的两类体系分量，如人员操作 引起的误差分量与环境湿度引起的误差分量
y a1 x1 a2 x2 ... an xn
y a1x1 a2 x2 ... an xn
当 ai 1 y x1 x2 ... xn 当函数为各测量值之和时，其函数系统误差亦为各个 测量值系统误差之和 2、三角函数形式
1 n f x xi cos i 1 i n 1 f x xi sin i 1 i
第三章 误差的合成与分配
第一节 函数误差
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第三章 误差的合成与分配 第一节 被测量
函数误差
间接测得的被测量误差也应是直接测得量 及其误差的函数，故称这种间接测量的误差为 函数误差
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h l D 2
建立间接测量大工件直径的函数模型 l2 D h 4h 不考虑测量值的系统误差，可求出在 h 50mm l 500mm 处的直径测量值 l2
D0 4h h 1300mm
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第三章 误差的合成与分配 第一节 函数误差
计算结果：
n f f f f f 2 2 2 xn 2 x1 x2 x x ij xi xj 1i j x1 x2 i j xn 2 2 2
或 y
2
xi 第i个直接测得量 xi 的标准差 ij 第i个测量值和第j个测量值之间的相关系数
Dij ij xi xj 第i个测量值和第j个测量值之间的协方差
f x 第i个直接测得量 xi 对间接量 y在该测量点 ( x1 , x2 ,, xn ) i
处的误差传播系数
当各个测量值的随机误差都为正态分布时，标准差用 极限误差代替，可得函数的极限误差公式
2 y a12 x21 a22 x22 an 2 xn
xi 第i个直接测得量 xi 的极限误差
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第三章 误差的合成与分配 第一节 函数误差 三角形式的函数随机误差公式 三角函数标准差计算
函数的一般形式
y f ( x1 , x2 ,..., xn )
变量中只有随机误差 即： y y f ( x1 x1 , x2 x2 ,, xn xn ) 泰勒展开，并取其一阶项作为近似值
可得： y y f ( x1 , x2 ,..., xn ) 得到
1） 正弦函数形式为:
sin f x1, x2 ,, xn
f 2 f 2 f 2 x1 x2 x x x xn 1 2 n
2 2 2
函数随机误差公式为： 1 cos 2） 余弦函数形式为:
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第三章 误差的合成与分配 第一节 函数误差
由 y 的全微分，函数系统误差 y 的计算公式
f f f y x1 x2 ... xn x1 x2 xn
f xi (i 1, 2,, n) 为各个输入量在该测量点 处的误差传播系数 ( x1 , x2 ,, xn )
xi 与 x j 虽相互有影响，但其影响甚微，视为可忽略不 计的弱相关
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第三章 误差的合成与分配 第一节 函数误差
可判断 ij 1 或 ij 1 的情形
断定 xi 与 x j 两分量间近似呈现正的线性关系或负的 线性关系 当一个分量依次增大时，引起另一个分量依次增大或 减小，反之亦然 则各米分量间完全正相关 2、试样观察法和简略计算法 （1） 观察法
差的影响 当相关系数 ij 0 时
y a12 x12 a22 x 22 an 2 xn 2
当相关系数 ij 1 时
y a1 x1 a2 x 2 an xn
函数标准差与各随机误差分量标准差之间具有线性的传 播关系 西华大学物理与化学学院 物理实验中心 谌晓洪
第三章 误差的合成与分配
第3章
误差的合成与分配
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第三章 误差的合成与分配
教学目标
本章阐述了函数误差、误差合成与分配的基 本方法，并讨论了微小误差的取舍、最佳测量 方案的确定等问题 。通过本章的学习，读者 应掌握函数系统误差和函数随机误差的计算以 及误差的合成和分配。
xi 和y 的量纲或单位相同，则 f xi 起到误 差放大或缩小的作用
xi 和 y的量纲或单位不相同，则 f xi 起到 误差单位换算的作用
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第三章 误差的合成与分配 第一节 函数误差
几种简单函数的系统误差
1、线性函数 系统误差公式
4） 余弦函数形式为:
cot f x1, x2 ,, xn
2 2 2
2 2 2 函数随机误差公式为： sin 2 f x1 f x 2 f xn x x x 1 2 n
误差传递系数为:
直径的系统误差:
D
f f l h 7.4mm l h
故修正后的测量结果:
D D0 D 1300 7.4 1292.6mm
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第三章 误差的合成与分配 第一节 函数误差
二、函数随机误差计算
数学模型
第三章 误差的合成与分配 第一节 函数误差
2、 相关系数估计
相关系数对函数误差的影响
函数随机误差公式
n f f f f f 2 2 2 2 y x1 xn 2 x2 x x ij xi xj 1i j x1 x2 i j xn ij 反映了各随机误差分量相互间的线性关联对函数总误 2 2 2
xi 与 x j 属于同一体系的分量，如用1m基准尺测2m尺，
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第三章 误差的合成与分配 第一节 函数误差
相互独立的函数标准差计算
若各测量值的随机误差是相互独立的，相关项 Dij ij 0 2 2 2
y2
f f f 2 x12 x 22 xn x1 x2 xn
f f f x1 x2 xn x1 x2 xn
f f f y x1 x2 xn x1 x2 xn
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第三章 误差的合成与分配 第一节 函数误差
函数标准差计算
y2
n f f f f f 2 2 2 D xn 2 x1 x2 x x ij 1i j x1 x2 i j xn 2 2 2
D
2
f 2 2 f 2 2 ( ) l ( ) h l h 52 0.012 242 0.0052 169 104 mm
有
D 0.13mm D 0.13mm
修正后的测量结果
D D0 D 1292.6mm
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3） 正切函数形式为:
tan f x1, x2 ,, xn
2 2 2
f 2 f 2 f 2 x1 x2 cos 2 函数随机误差公式为： x x x xn 1 2 n
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第三章 误差的合成与分配
教学重点和难点
• • • • • 函数系统误差 函数随机误差 函数误差分布的模拟计算 随机误差的合成 未定系统误差和随机误差的合 成 • 误差分配 • 微小误差取舍准则 • 最佳测量方案的确定
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