第三章 误差的合成与分解
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03第三章第2节 随机误差的合成
用标准差合成有明显的优点，不仅简单方便，而且无 论各单项随机误差的概率分布如何，只要给出各个标 准差，均可计算出总的标准差 当误差传播系数 ai 1 、且各相关系数均可视为0的情形
2 i i 1
q
视各个误差分量的量纲与总误差量的量纲都一致，或 者说各个误差分量已经折算为影响函数误差相同量纲 的分量
q
q
（3-35）
2 a ii i 1
q
（3-36）
各单项误差大多服从正态分布或近似服从正态分布，而且 他们之间常是线性无关或近似线性无关，是较为广泛使用 8 的极限误差合成公式
第二节
随机误差的合成
1 2
课外：望远镜的放大率 D f f 已测得物镜主焦 f1 1 19.8 0.2 cm 目镜的主焦距 f2 2 0.800 0.005 cm 求放大率的标准差？ 解：由误差传递公式
由间接测量的显函数模型求得ai f xi 根据实际经验给出 知道影响测量结果的误差因素 知道每个 ai 和 i
yi ai i 而不
2
第二节
则合成标准差
随机误差的合成
2 ( a ) i i i 1 q
若各个误差互不相关，即相关系数 ij 0
（3-29）
标准差合成
极限误差合成
1
第二节
一、标准差合成
随机误差的合成
合成标准差表达式:
(a )
i 1 i i
q
2
2 ij ai a j i j
1i j
q
（3-28）
q个单项随机误差，标准差 误差传播系数 a1 , a2 ,
误差理论与数据处理第六版
第3章 误差的合成与分解3-1 相对测量时需用54.255mm 的量块组做标准件，量块组由4块量块研合而成，它们的基本尺寸为：140l mm =，140l mm =，212l mm =，3 1.25l mm =，4 1.005l mm =。
经测量，它们的尺寸偏差及其测量极限误差分10.7l m μ∆=-，20.5l m μ∆=+，30.3l m μ∆=-，40.1l m μ∆=+；lim 10.35l m δμ=±，lim 20.25l m δμ=±，lim 30.20l m δμ=±，lim 40.20l m δμ=±。
试求量块组按基本尺寸使用时的修正值及给相对测量带来的测量误差。
【解】量块组的关系为：1234L l l l l =+++，显然本题是一个关于函数系统误差和函数随机误差的计算问题。
已知个组成块的尺寸偏差（属系统误差），则可计算量块组的系统误差。
12340.70.50.30.10.4L l l l l m μ∆=∆+∆+∆+∆=-+-+=-所以，量块组按基本尺寸使用时的修正值E 为：(0.4)0.4E L m μ=-∆=--= 量块组按基本尺寸使用时的测量误差（系统极限误差）为：lim 0.515L m δμ===±3-2 为求长方体体积V ，直接测量其各边长为：161.6a mm =，44.5b mm =，11.2c mm =，已知测量的系统误差为 1.2a mm ∆=，0.8b mm ∆=-，0.5c mm ∆=，测量的极限误差为0.8a mm δ=±，0.5b mm δ=±，0.5c mm δ=±，试求立方体的体积及其体积的极限误差。
【解】立方体体积： V=abc ，若不考虑测得值的系统误差，则计算体积为：0161.644.511.280541.44V abc mm ==⨯⨯=体积V 的系统误差为：31.20.80.5161.644.511.2[]80541.44()2745.744()V V V a b ca b c a b c V a b c abc mm ∂∂∂∆∆∆∂∂∂-∆=∆+∆+∆=++=++=考虑测量系统误差后的立方体体积：3077795.69677795.70()V V V mm =-∆=≈又直接测量值存在极限误差，则间接测量体积存在的极限误差为：lim 33729.1()V mm δ=====±故测量结果为：3lim 77795.703729.1()V V mm δ±=±3-3 长方体的边长分别为1a 、2a 、3a ，测量时：①标准差均为σ；②标准差各为1σ、2σ、3σ。
第三章 误差的合成和分配
3-4
大纲要求
掌握函数误差的定义。 掌握随机误差的合成、系统误差的合成、
系统误差与随机误差的合成方法。 掌握误差分配的方法。 掌握微小误差取舍准则 理解最佳测量方案的确定。
3-5
第一节 函数误差
一、函数(已定）系统误差计算 二、函数随机误差计算 三、误差间的相关关系及相关系数 (correlation coefficient)
上式成立条件： 1、各个测量值的随机误差为正态分布时 2、 lim x i 取相同的置信概率来估算 3、 lim y具有相同的置信概率。 4、相互独立。
3-18
三角形式的函数随机误差公式
1） 正弦函数形式为:
s i n fx 1 ,x 2 , ,x n
函数随机误差公式为： c1o s x f1 2x 2 1 x f2 2x 22 x fn 2x 2n
尺寸轴工件的直
指通过直接测量与被测量有函数 关系的量，通过函数关系求得被测 量值的测量方法。
径，因量程不够， 采用测量弦长与 矢高的方法，间 接得到工件直径
3-2
基本概念
间接测量误差则是各个直接测得值误差的函数，故 称这种误差为函数误差(function error).
研究函数误差的内容，实质上就是研究误差的传递 问题(Propagation of Error)。
3-13
函数标准差计算
y 2( x f1)2 x 2 1 ( x f2)2 x 2 2 ( x fn)2 x 2n 2 1 in j x fi x fjm N 1xiN m xjm
3-12
二、函数随机误差计算
随机误差是用表征其取值分散程度的指
大纲要求
掌握函数误差的定义。 掌握随机误差的合成、系统误差的合成、
系统误差与随机误差的合成方法。 掌握误差分配的方法。 掌握微小误差取舍准则 理解最佳测量方案的确定。
3-5
第一节 函数误差
一、函数(已定）系统误差计算 二、函数随机误差计算 三、误差间的相关关系及相关系数 (correlation coefficient)
上式成立条件： 1、各个测量值的随机误差为正态分布时 2、 lim x i 取相同的置信概率来估算 3、 lim y具有相同的置信概率。 4、相互独立。
3-18
三角形式的函数随机误差公式
1） 正弦函数形式为:
s i n fx 1 ,x 2 , ,x n
函数随机误差公式为： c1o s x f1 2x 2 1 x f2 2x 22 x fn 2x 2n
尺寸轴工件的直
指通过直接测量与被测量有函数 关系的量，通过函数关系求得被测 量值的测量方法。
径，因量程不够， 采用测量弦长与 矢高的方法，间 接得到工件直径
3-2
基本概念
间接测量误差则是各个直接测得值误差的函数，故 称这种误差为函数误差(function error).
研究函数误差的内容，实质上就是研究误差的传递 问题(Propagation of Error)。
3-13
函数标准差计算
y 2( x f1)2 x 2 1 ( x f2)2 x 2 2 ( x fn)2 x 2n 2 1 in j x fi x fjm N 1xiN m xjm
3-12
二、函数随机误差计算
随机误差是用表征其取值分散程度的指
误差理论与数据处理第三章
D D D 1 3 0 0 7 . 4 1 2 9 2 . 6 m m 0
第一节
函数误差
基本概念 一、函数系统误差 二、函数随机误差 1、 函数标准差的计算 2、 相关系数估计
二、函数随机误差
数学模型
函数的一般形式
y f( xx , , . . . , x ) 1 2 n
函数随机误差计算
为求得用各个测量值的标准差表
示的函数y的标准差公式，设对 各个测量值皆进行了N 次等精度 测量，其相应的随机误差为：
对
x1
x2 xn
x , x , , x 11 12 1 N
对
对
x , x , , x 21 22 2 N x , x , , x n 1 n 2 nN
变量中有随机误差，即
y y f ( x x , x , , x x ) 1 1 2x 2 n n
泰勒展开，并取其一阶项作为近似值，可得 f f f y y f ( x , x , . . . , x ) x x x 12 n 1 2 n x x x 1 2 n
ij 0
a a a y
2 2 1x 1 2 2 2x 2
2 2 n x n
ij 1
a a a
y 11 x 2 x 2 nx n
相关系数的确定－直接判断法
0 可判断 i j 的情形
断定xi与xj 两分量之间无相互依赖关系
x j)
2
K ij ij xi xj
或
K ij ij xi xj
则可得
f 2 2 f 2 2 f 2 2 ( ) x1( ) x2 ( ) xn x x x 1 2 n
第三章 误差的合成与分配 (全)
f xi xi
5
对于 cot f ( x1, x2 ,..., xn ) ，角度系统误差为：
sin 2
n
P56-57：例3-1；3-2
i 1
二. 函数随机误差计算
随机误差 取值的分散程度 标准差
函数的随机误差
..., xn 的标准差之间的关系。
取值的分散程度 标准差 函数随机误差计算：就是研究函数y 的标准差与各测量值 x1 , x2 , 以各测量值的随机误差δx1, δx2, …….. Δxn
2
2
f f 2 2 2 2 2 2 ( x x ... x ) ... ( xn1 xn 2 ... xnN ) 21 22 2N x2 xn
2
n
1i j
(
m1
N
f f xim x jm ) xi x j
第一节 函数误差
间接测量：通过直接测量与被测的量之间有一定函数关系的其
它量，按照已知的函数关系式计算出被测量。
间接测量误差是各直接测量值误差的函数，即函数误差。
研究函数误差的实质就是研究误差的传递性的问题。
对于这种有确定关系的误差的计算称为误差合成。
2
一. 函数系统误差的计算 在间接测量中，函数主要为多元初等函数，其表达式为：
10
那么，三角函数的标准差公式？ 假设三角函数的标准差为 ，各测量值的标准差为 x1 , x2 ,... xn ,
可得相应的角度标准差公式。 （1）对于 sin f ( x1, x2 ,..., xn ), 有：
f 2 f 2 f 2 1 xn x1 x2 ... cos x1 x2 xn
5
对于 cot f ( x1, x2 ,..., xn ) ，角度系统误差为：
sin 2
n
P56-57：例3-1；3-2
i 1
二. 函数随机误差计算
随机误差 取值的分散程度 标准差
函数的随机误差
..., xn 的标准差之间的关系。
取值的分散程度 标准差 函数随机误差计算：就是研究函数y 的标准差与各测量值 x1 , x2 , 以各测量值的随机误差δx1, δx2, …….. Δxn
2
2
f f 2 2 2 2 2 2 ( x x ... x ) ... ( xn1 xn 2 ... xnN ) 21 22 2N x2 xn
2
n
1i j
(
m1
N
f f xim x jm ) xi x j
第一节 函数误差
间接测量：通过直接测量与被测的量之间有一定函数关系的其
它量，按照已知的函数关系式计算出被测量。
间接测量误差是各直接测量值误差的函数，即函数误差。
研究函数误差的实质就是研究误差的传递性的问题。
对于这种有确定关系的误差的计算称为误差合成。
2
一. 函数系统误差的计算 在间接测量中，函数主要为多元初等函数，其表达式为：
10
那么，三角函数的标准差公式？ 假设三角函数的标准差为 ，各测量值的标准差为 x1 , x2 ,... xn ,
可得相应的角度标准差公式。 （1）对于 sin f ( x1, x2 ,..., xn ), 有：
f 2 f 2 f 2 1 xn x1 x2 ... cos x1 x2 xn
误差原理第三章误差的传递与合成
误差原理第三章误差的传递与合成误差的传递是指在实验过程中，由于不同的测量步骤和计算过程引入误差，这些误差会通过物理关系或者数学计算传递到最终结果中。
在实验中，每一个测量仪器都有其特定的精确度和不确定度。
当我们进行复杂的测量或计算时，这些误差会相互作用并积累，从而影响到最终结果的精确度。
为了定量描述误差的传递，我们需要引入误差传递公式。
对于其中一个物理量x，假设它是由一系列测量结果a、b、c等通过其中一种物理关系或者数学计算得到的，则误差传递公式可以写为：Δx=√((∂x/∂a)²Δa²+(∂x/∂b)²Δb²+(∂x/∂c)²Δc²+...)其中Δx表示x的不确定度，∂x/∂a、∂x/∂b等表示物理关系或者计算公式对于变量a、b的导数，Δa、Δb等表示变量a、b的不确定度。
这个公式表明了误差是通过导数的平方和来传递的。
最大值法是指将每个测量结果的不确定度取最大值，作为最终结果的不确定度。
这种方法适用于误差独立且不相关的情况。
例如，在实验中测量一些物理量时，我们使用了不同型号的仪器进行多次测量，那么每个测量结果的不确定度可以认为是不相关的，这时可以采用最大值法。
平方和法是指将每个测量结果的不确定度的平方相加并开方，作为最终结果的不确定度。
这种方法适用于误差相互关联的情况。
例如，在实验中测量一些物理量时，多个测量结果的不确定度具有一定的相关性，这时可以采用平方和法。
实际应用中，误差的传递和合成在实验设计和数据处理中起着关键的作用。
在实验设计中，我们可以通过分析物理关系和计算过程，确定哪些因素会对实验结果产生较大的影响，从而优化实验方案以降低不确定度。
在数据处理中，我们可以根据误差的传递公式和合成方法，对实验结果进行误差分析，得到对最终结果的不确定度的估计，以提高实验结果的可靠性和可信度。
总之，误差的传递和合成是误差原理的核心内容，它描述了实验结果的不确定性和误差如何从测量仪器传递到最终的物理量中。
误差理论与数据处理第三章
σy = a12σx 2 +a22σx 2 +L+an2σx 2
1 2 n
σy =
1 ∂f ∂f ∂f 2 2 2 ( )2σx1 +( )2σx2 +L+( )2σxn cosϕ ∂x1 ∂x2 ∂xn
四、实例分析
用弓高弦长法间接测量大工件直径，如图。 车间工人用一把卡尺量得弓高 h =50mm ，弦 长 l =500mm ， 经检验部门检定，已知 ∆ = −0.1 m h m δlimh = ±0.05mm ∆ =1 m l m δliml = ±0.1mm 设 l, h测量误差相互独立，均为正态分布，求D测量结果 解：1）建立大直径测量数学模型 l2 D = +h 4h 2）若不考虑测得值误差，计算直径D0
=0.5或 ξ ρ=0.5或ρ＝-0.5
ρ=0
五、误差见的相关关系和相关系数
(三）相关系数的确定
1、直接判断法
ρij = 0
断定
xi 与 xj 两分量之间没有相互依赖关系的影响
当一个分量依次增大时， 当一个分量依次增大时，引起另一个分量呈正负交替 变化， 变化，反之亦然
xi 与 xj 属于完全不相干的两类体系分量，如人员操作 属于完全不相干的两类体系分量，
l2 5002 +50 =1300mm D = +h = 0 4h 4×50
四、实例分析
3）计算D的系统误差 计算D
∂f l2 ( 2 −1 = −24 ) h=50 = − ∂h l=500 4h
∂f ∂l
h=50 l=500
=
l =5 2h
∂f ∂f ∆D = ∆h+ ∆l = 7.4mm ∂h ∂l 计算D ４）计算D的随机误差
《误差理论与数据处理(第6版)》费业泰_习题及答案
《误差理论与数据处理(第6版)》费业泰_习题及答案习题及参考答案第一章绪论1－5测得某三角块的三个角度之和为18000’02”,试求测量的绝对误差和相对误差解：绝对误差等于：180o0002180o2相对误差等于：222＝0.000003086410.000031%180o18060606480001-8在测量某一长度时，读数值为2.31m，其最大绝对误差为20m，试求其最大相对误差。
o相对误差ma某绝对误差ma某100%测得值2010-6100%2.318.6610-4%1-10检定2.5级（即引用误差为2.5%）的全量程为100V的电压表，发现50V刻度点的示值误差2V为最大误差，问该电压表是否合格？最大引用误差某量程最大示值误差100%测量范围上限2100%2%2.5%100该电压表合格1-12用两种方法分别测量L1=50mm，L2=80mm。
测得值各为50.004mm，80.006mm。
试评定两种方法测量精度的高低。
相对误差50.00450100%0.008%5080.00680L2:80mmI2100%0.0075%80L1:50mmI1I1I2所以L2=80mm方法测量精度高。
1－13多级弹导火箭的射程为10000km时，其射击偏离预定点不超过0.lkm，优秀射手能在距离50m远处准确地射中直径为2cm的靶心，试评述哪一个射击精度高解：射手的相对误差为：多级火箭的射击精度高。
1-14若用两种测量方法测量某零件的长度L1=110mm，其测量误差分别为11m和9m；而用第三种测量方法测量另一零件的长度L2=150mm。
其测量误差为12m，试比较三种测量方法精度的高低。
相对误差11m0.01%110mm9mI20.0082%110mm12mI30.008%150mmI1I3I2I1第三种方法的测量精度最高第二章误差的基本性质与处理2-6测量某电路电流共5次，测得数据（单位为mA）为168.41，168.54，168.59，168.40，168.50。
《误差的合成与分配》课件
《误差的合成与分配》 PPT课件
欢迎来到《误差的合成与分配》PPT课件！本课程将带您深入了解误差的合成 和分配的重要性，以及应用中的实际方法和注意事项。
误差来源与种类介绍
系统误差
了解不同来源的误差会帮助我们更好地评估测量的准确性。
随机误差
研究随机误差的本质和影响，以便能更好地处理和控制。
人为误差
了解人为误差产生的原因与解决方法，提高测量系统的精度。
误差计算
学习如何计算不同类型误差的方法，从而更好地控 制它们。
合成误差的概念
合成误差是在测量过程中多个误差因素共同作用下产生的综合效果。
合成误差的公式和计算方法
通过合成误差的公式和计算方法，我们可以对多个误差因素的影响进行全面 评估。
合成误差实例分析
实验误差
通过实验示例，深入探讨合成误 差的影响和解决方案。
误差的量化方法
了解不同的量化方法有助于我们确定误差的大小和影响。
1 标准差
通过计算一系列测量值的标准差来评估误差的大小。
2 相对误差
以参考值为基准，计算测量值与参考值之间的差异度和可信度。
误差的定义和计算
误差定义
了解误差的定义有助于我们准确理解其在测量中的 作用。
测量误差
了解不同类型测量误差的实例分 析，提高测量准确性。
建造误差
研究建造行业中常见的误差实例， 提高工程质量。
合成误差的不确定度分析
了解合成误差的不确定度有助于更准确地评估测量结果。
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系统误差
了解不同来源的误差会帮助我们更好地评估测量的准确性。
随机误差
研究随机误差的本质和影响，以便能更好地处理和控制。
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通过合成误差的公式和计算方法，我们可以对多个误差因素的影响进行全面 评估。
合成误差实例分析
实验误差
通过实验示例，深入探讨合成误 差的影响和解决方案。
误差的量化方法
了解不同的量化方法有助于我们确定误差的大小和影响。
1 标准差
通过计算一系列测量值的标准差来评估误差的大小。
2 相对误差
以参考值为基准，计算测量值与参考值之间的差异度和可信度。
误差的定义和计算
误差定义
了解误差的定义有助于我们准确理解其在测量中的 作用。
测量误差
了解不同类型测量误差的实例分 析，提高测量准确性。
建造误差
研究建造行业中常见的误差实例， 提高工程质量。
合成误差的不确定度分析
了解合成误差的不确定度有助于更准确地评估测量结果。
第三章误差的合成与处理-精品文档
第3章
误差的合成与分配
太原工业学院
误差理论与数据处理
教学目标
本章阐述了函数误差、误差合成与分 配的基本方法，并讨论了微小误差的取 舍、最佳测量方案的确定等问题 。通过 本章的学习，读者应掌握函数系统误差 和函数随机误差的计算以及误差的合成 和分配。
太原工业学院
误差理论与数据处理
重点和难点
函数系统误差 函数随机误差 函数误差分布的模拟计算 随机误差的合成 未定系统误差和随机误差的合成 误差分配 微小误差取舍准则 最佳测量方案的确定
太原工业学院
1 n f x i c o s i1 x i 1 n f x i s in i1 x i
误差理论与数据处理
第一节 函数误差
【例】 用弓高弦长法间接测量大工
件直径。如图所示，车间工人用一 把卡尺量得弓高 h = 50mm ，弦长 s = 500mm。已知，弓高的系统误 差 h = -0.1mm , 玄长的系统误差 h = -1mm 。试问车间工人测量该 工件直径的系统误差，并求修正后 的测量结果。 【解】
f f f y x x . . x 1 2 . n x x x 1 2 n
f xi 1 , 2 , , n ) 为各个输入量在该测量点 i( 误差传播系数 (x ,x 1, x 2, n)
处的
x i 和 y 的量纲或单位相同，则 f x i 起到误 差放大或缩小的作用
直径的系统误差:
f f D l h7 . 4 m m l h
故修正后的测量结果:
D D D 1 3 0 0 7 . 4 1 2 9 2 . 6 m m 0
太原工业学院 误差理论与数据处理
误差的合成与分配
太原工业学院
误差理论与数据处理
教学目标
本章阐述了函数误差、误差合成与分 配的基本方法，并讨论了微小误差的取 舍、最佳测量方案的确定等问题 。通过 本章的学习，读者应掌握函数系统误差 和函数随机误差的计算以及误差的合成 和分配。
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误差理论与数据处理
重点和难点
函数系统误差 函数随机误差 函数误差分布的模拟计算 随机误差的合成 未定系统误差和随机误差的合成 误差分配 微小误差取舍准则 最佳测量方案的确定
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误差理论与数据处理
第一节 函数误差
【例】 用弓高弦长法间接测量大工
件直径。如图所示，车间工人用一 把卡尺量得弓高 h = 50mm ，弦长 s = 500mm。已知，弓高的系统误 差 h = -0.1mm , 玄长的系统误差 h = -1mm 。试问车间工人测量该 工件直径的系统误差，并求修正后 的测量结果。 【解】
f f f y x x . . x 1 2 . n x x x 1 2 n
f xi 1 , 2 , , n ) 为各个输入量在该测量点 i( 误差传播系数 (x ,x 1, x 2, n)
处的
x i 和 y 的量纲或单位相同，则 f x i 起到误 差放大或缩小的作用
直径的系统误差:
f f D l h7 . 4 m m l h
故修正后的测量结果:
D D D 1 3 0 0 7 . 4 1 2 9 2 . 6 m m 0
太原工业学院 误差理论与数据处理
第三章误差的合成与分配
3
若已知各个直接测量值的系统误差 若已知各个直接测量值的系统误差 可近似得到函数的系统误差为
∆x1 , ∆x 2 , L , ∆x n
∂f ∂f ∂f ∆y = ∆x1 + ∆x 2 + L + ∆x n ∂x1 ∂x 2 ∂x n
∂f (i = 1,2, L , n) 称为第 个直接测量值的误差传递系数。 称为第i个直接测量值的误差传递系数。 个直接测量值的误差传递系数 ∂xi
l2 5002 ∂f = − 2 − 1 = − − 1 = −24 2 ∂h 4h 4 × 50
∂f l 500 = = =5 ∂l 2h 2 × 50
直径的系统误差
∆D =
∂f ∂f ∆l + ∆h = 7.4mm ∂l ∂h
故修正后的测量结果
D = D0 −∆D = 1300 − 7.4 =1292.6mm
2 y
定义K ij =
∑δ x
m =1
N
n ∂f ∂f +2∑ 1≤i < j ∂x i ∂x j
∑ δximδx jm
m =1
N
N
im
δ x jm
N K ij
ρ ij =
σ xiσ xj
则：K ij＝ρ ijσ xiσ xj
则可得： 则可得：
n ∂f 2 2 ∂f 2 2 ∂f 2 2 ∂f ∂f σ = ( ) σ x1 + ( ) σ x2 + L + ( ) σ xn + 2 ∑ ρ ij σ xiσ xj ∂x1 ∂x 2 ∂x n 1≤i < j ∂x i ∂x j 2 y
若已知各个直接测量值的系统误差 若已知各个直接测量值的系统误差 可近似得到函数的系统误差为
∆x1 , ∆x 2 , L , ∆x n
∂f ∂f ∂f ∆y = ∆x1 + ∆x 2 + L + ∆x n ∂x1 ∂x 2 ∂x n
∂f (i = 1,2, L , n) 称为第 个直接测量值的误差传递系数。 称为第i个直接测量值的误差传递系数。 个直接测量值的误差传递系数 ∂xi
l2 5002 ∂f = − 2 − 1 = − − 1 = −24 2 ∂h 4h 4 × 50
∂f l 500 = = =5 ∂l 2h 2 × 50
直径的系统误差
∆D =
∂f ∂f ∆l + ∆h = 7.4mm ∂l ∂h
故修正后的测量结果
D = D0 −∆D = 1300 − 7.4 =1292.6mm
2 y
定义K ij =
∑δ x
m =1
N
n ∂f ∂f +2∑ 1≤i < j ∂x i ∂x j
∑ δximδx jm
m =1
N
N
im
δ x jm
N K ij
ρ ij =
σ xiσ xj
则：K ij＝ρ ijσ xiσ xj
则可得： 则可得：
n ∂f 2 2 ∂f 2 2 ∂f 2 2 ∂f ∂f σ = ( ) σ x1 + ( ) σ x2 + L + ( ) σ xn + 2 ∑ ρ ij σ xiσ xj ∂x1 ∂x 2 ∂x n 1≤i < j ∂x i ∂x j 2 y
第三章误差的合成与分配
系统误差的合成 一、已定系统误差合成 • 定义： – 误差大小和方向均已确切掌握了的系统误差 • 表示符号：Δ • 合成方法：按照代数和法进行合成
Δi 为第i个系误差，ai 为其传递系数
在实际测量中，大部分已定系统误差在测量过程中均已 消除，少数未予消除的也只是少数几项，它们按代数和 法合成后，还可以从测量结果中修正，故最后的测量结 果中不再含有已定系统误差。
函数的误差 误差的合成
各个误差互不相关，相关系数 ij 0
合成标准差
(a )
i 1 i i
q
2
当误差传播系数 ai 1 、且各相关系数均可视为0 合成标准差
i 1
q
2 i
随机误差的合成
一、极限误差合成
合成极限误差：
若 ij 0
第三节未定系统误差 和 随机误差的合成
2
2
2
xi 第i个直接测得量 xi 的标准差
ij第i个测量值和第j个测量值之间的相关系数
f 第i个直接测得量 xi的误差传播系数 xi
若各测量值的随机误差是相互独立的，相关项
f f f 2 2 2 y xn x1 x2 x1 x2 xn
例3：测量某电路的电流I=22.5mA，电压U=12.6V,测量的 标准差分别为 I 0.5mA, u 0.1 V ，求所耗功率P=UI及 其标准差 p 。 解：所耗功率 P=UI=12.6V×22.5×10-3A=0.2835W 因为
P I 22.5 103 A U P U 12.6V I 且U、I完全线性相关，故相关系数 1 ，所以
f ( i 1,2, ,n) 其中： xi
误差理论第三章误差合成与分配
f xn xn
f 其中， i 1, 2, , n 为各个直接测量值的误差传递系数。 xi 1) 当函数形式为线性公式：y a1 x1 a2 x2 an xn
2）当函数为三角函数时： sin f x1 , x2 , 的系统误差为： sin 而角度系统误差为：
5
则函数y的随机误差为： y1
f f x11 x21 x1 x2 f f x12 x22 x1 x2
f xn1 xn f xn 2 xn
y2
f f yN x1N x2 N x1 x2
同理其它三角函数的角度系统误差为： 对 cos f x1 , x2 , 1 , xn , sin
f xn xn
f xn xn
f x1 x1
4
对 tan f x1 , x2 , 对 cot f x1 , x2 ,
Байду номын сангаас
2
§3-1 函数误差
间接测量是通过直接测量与被测的量之间有一定函数关系的其它 量，按照已知的函数关系式计算出被测的量，因此间接测量的量 是直接测量所得到的各个测量值的函数，而间接测量误差则是各 个直接测量值的函数，即函数误差。
一、函数系统误差计算
间接测量时，函数形式为：y =f x1 , x2 , , xn ,
间接测量是通过直接测量与被测的量之间有一定函数关系的其它量按照已知的函数关系式计算出被测的量因此间接测量的量是直接测量所得到的各个测量值的函数而间接测量误差则是各个直接测量值的函数即函数误差
每日一句
二十一世纪是个学习的世纪，在学习 上没有找到快乐就等于下地狱。
误差的合成与分配
由于这些误差值比较小，可用来近似代替微分 量 dx1，dx2， ，dxn，从而可近似得到函数的系 统误差： f f f y x1 x2 xn x1 x2 xn 此式称为函数系统误差公式，
f / xi为各个直接测量值的误差传递函数。
机械工业出版社 “九五”国家级重点教材
将所求得的角度系统误差修正后，则得到被检定内 锥角的实际值为：
0 29o 59'52"23" 29o 59'29"
机械工业出版社 “九五”国家级重点教材
第三章 误差的合成与分解
误差理论与数据处理
二. 函数随机误差计算
随机误差是用表征其取值分散程度的标准差来 评定的，对于函数的随机误差，也是用函数的标准 差来进行评定。 因此，函数随机误差计算，就是研究函数y的 标准差与各测量值的标准差之间的关系。
机械工业出版社
“九五”国家级重点教材
第三章 误差的合成与分解
误差理论与数据处理
函数的一般形式：
y f ( x1 , x2 , xn ) 为了求各个测量值的标准差，设对各个测量 值进行了N次等精度测量，其相应的随机误差为： 对x1 : x11，x12， ，x1 N
对x2 : x21，x22， ，x2 N 对xn : xn1，xn 2， ，xnN
通过修正可消除所求得的直径系统误差△D， 则被测直径的实际尺寸为：
D D0 D 1300mm 7.4mm 1292.6mm
机械工业出版社 “九五”国家级重点教材
第三章 误差的合成与分解
误差理论与数据处理
例2 用双圆球法检定高精度内锥角α，如图所示，已知： D1 45.00m m, D1 0.002m m D2 15.00m m, D2 0.003m m 测得尺寸及系统误差为： l1 93.921m m, l1 0.0011 m m l2 20.961m m, l2 0.0008m m 求检定结果 由图可得出函数关系式为：
《误差理论与数据处理》作业答案
对于位数很多的近似数，当有效位数确定后，其后面多余的数字应予舍去，而保留的有数数字最末一位数字应按下面的舍入规则进行凑整：
1.若舍去部分的数值，大于保留部分末位的半个单位，则末位数加1。
2.若舍去部分的数值，小于保留部分末位的半个单位，则末位数不变。
3.若舍去部分的数值，等于保留部分末位的半个单位，则末位凑成偶数，即当末位为偶数时则末位不变，当末位是奇数时则末位加1。
(3)求圆球的体积的测量不确定度
圆球体积为：
其标准不确定度应为：
确定包含因子。查t分布表t0.01（9）＝3.25，及K＝3.25
最后确定的圆球的体积的测量不确定度为
U＝Kuc＝3.25×0.616＝2.002cm3
4-2
解：
的不确定度分量：
的不确定度分量：
因此，望远镜的放大率D的合成标准不确定度为：
代入数据得
解得
将x、y代入误差方程式
测量数据的标准差为
求解不定乘数
解得
x、y的精度分别为
方法二：
按矩阵形式计算，由误差方程 ，
上式可以表示为：
可得：
式中：
所以：
将x、y代入误差方程式
测量数据的标准差为
，故
x、y的精度分别为
5-3：
解：按矩阵形式计算，误差方程为
可以表示为：
可得：
式中：
所以：
将 代入误差方程式
合成标准不确定度：
自由度为：
取置信概率P=0.99，查t分布表包含因子 ，则展伸不确定度为：
不确定度修约：
3.不确定度报告
漏电电流为 。其展伸不确定度 ，是由合成标准不确定度 及包含因子 确定的，对应的置信概率P=0.99，自由度 。
1.若舍去部分的数值，大于保留部分末位的半个单位，则末位数加1。
2.若舍去部分的数值，小于保留部分末位的半个单位，则末位数不变。
3.若舍去部分的数值，等于保留部分末位的半个单位，则末位凑成偶数，即当末位为偶数时则末位不变，当末位是奇数时则末位加1。
(3)求圆球的体积的测量不确定度
圆球体积为：
其标准不确定度应为：
确定包含因子。查t分布表t0.01（9）＝3.25，及K＝3.25
最后确定的圆球的体积的测量不确定度为
U＝Kuc＝3.25×0.616＝2.002cm3
4-2
解：
的不确定度分量：
的不确定度分量：
因此，望远镜的放大率D的合成标准不确定度为：
代入数据得
解得
将x、y代入误差方程式
测量数据的标准差为
求解不定乘数
解得
x、y的精度分别为
方法二：
按矩阵形式计算，由误差方程 ，
上式可以表示为：
可得：
式中：
所以：
将x、y代入误差方程式
测量数据的标准差为
，故
x、y的精度分别为
5-3：
解：按矩阵形式计算，误差方程为
可以表示为：
可得：
式中：
所以：
将 代入误差方程式
合成标准不确定度：
自由度为：
取置信概率P=0.99，查t分布表包含因子 ，则展伸不确定度为：
不确定度修约：
3.不确定度报告
漏电电流为 。其展伸不确定度 ，是由合成标准不确定度 及包含因子 确定的，对应的置信概率P=0.99，自由度 。
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西华大学物理与化学学院 物理实验中心 谌晓洪
第三章 误差的合成与分配 第一节 函数误差
【例】 用弓高弦长法间接测量大工件直径。如图所示，车间工
人用一把卡尺量得弓高 h = 50mm ，弦长 s = 500mm。已知， 弓高的系统误差 h = -0.1mm , 玄长的系统误差 h = -1mm 。 试求测量该工件直径的标准差，并求修正后的测量结果。 已知： h 0.005mm ， l 0.01mm 【解】
车间工人测量弓高 h 、弦长 l 的系统误差
h 50 50.1 0.1mm
l 500 499 1mm
l2 5002 f 2 1 1 24 2 h 4h 4 50 f l 500 5 l 2h 2 50
sin f x1 , x2 ,..., xn cos f x1 , x2 ,..., xn
西华大学物理与化学学院 物理实验中心 谌晓洪
第三章 误差的合成与分配 第一节 函数误差
【例】 用弓高弦长法间接测量大
工件直径。如图所示，车间工人用 一把卡尺量得弓高 h = 50mm ，弦 长 s = 500mm。已知，弓高的系统 误差 h = -0.1mm , 玄长的系统误 差 h = -1mm 。试问车间工人测量 该工件直径的系统误差，并求修正 后的测量结果。 【解】
cos f x1, x2 ,, xn
f 2 f 2 f 2 x1 x2 x x x xn 1 2 n
2 2 2
函数随机误差公式为： 1 sin
2 2 2
或 令 则
f ai xi
f f f 2 y x12 x 22 xn x1 x2 xn
y a12 x12 a22 x 22 an 2 xn 2
第三章 误差的合成与分配 第一节 函数误差
一、函数系统误差计算
间接测量的数学模型
y f ( x1 , x2 ,..., xn )
x1 , x2 ,, xn 与被测量有函数关系的各个直接测量值 y 间接测量值 求上述函数 y 的全微分，其表达式为：
dy f f f dx1 dx2 dxn x1 x2 xn
第三章 误差的合成与分配 第一节 函数误差
相关系数的确定
1、直接判断法
可判断 ij 0 的情形
断定
xi 与 x j 两分量之间没有相互依赖关系的影响
当一个分量依次增大时，引起另一个分量呈正负交替 变化，反之亦然
xi 与 x j 属于完全不相干的两类体系分量，如人员操作 引起的误差分量与环境湿度引起的误差分量
y a1 x1 a2 x2 ... an xn
y a1x1 a2 x2 ... an xn
当 ai 1 y x1 x2 ... xn 当函数为各测量值之和时，其函数系统误差亦为各个 测量值系统误差之和 2、三角函数形式
1 n f x xi cos i 1 i n 1 f x xi sin i 1 i
第三章 误差的合成与分配
第一节 函数误差
西华大学物理与化学学院 物理实验中心 谌晓洪
第三章 误差的合成与分配 第一节 被测量
函数误差
间接测得的被测量误差也应是直接测得量 及其误差的函数，故称这种间接测量的误差为 函数误差
西华大学物理与化学学院 物理实验中心 谌晓洪
h l D 2
建立间接测量大工件直径的函数模型 l2 D h 4h 不考虑测量值的系统误差，可求出在 h 50mm l 500mm 处的直径测量值 l2
D0 4h h 1300mm
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第三章 误差的合成与分配 第一节 函数误差
计算结果：
n f f f f f 2 2 2 xn 2 x1 x2 x x ij xi xj 1i j x1 x2 i j xn 2 2 2
或 y
2
xi 第i个直接测得量 xi 的标准差 ij 第i个测量值和第j个测量值之间的相关系数
Dij ij xi xj 第i个测量值和第j个测量值之间的协方差
f x 第i个直接测得量 xi 对间接量 y在该测量点 ( x1 , x2 ,, xn ) i
处的误差传播系数
当各个测量值的随机误差都为正态分布时，标准差用 极限误差代替，可得函数的极限误差公式
2 y a12 x21 a22 x22 an 2 xn
xi 第i个直接测得量 xi 的极限误差
西华大学物理与化学学院 物理实验中心 谌晓洪
第三章 误差的合成与分配 第一节 函数误差 三角形式的函数随机误差公式 三角函数标准差计算
函数的一般形式
y f ( x1 , x2 ,..., xn )
变量中只有随机误差 即： y y f ( x1 x1 , x2 x2 ,, xn xn ) 泰勒展开，并取其一阶项作为近似值
可得： y y f ( x1 , x2 ,..., xn ) 得到
1） 正弦函数形式为:
sin f x1, x2 ,, xn
f 2 f 2 f 2 x1 x2 x x x xn 1 2 n
2 2 2
函数随机误差公式为： 1 cos 2） 余弦函数形式为:
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第三章 误差的合成与分配 第一节 函数误差
由 y 的全微分，函数系统误差 y 的计算公式
f f f y x1 x2 ... xn x1 x2 xn
f xi (i 1, 2,, n) 为各个输入量在该测量点 处的误差传播系数 ( x1 , x2 ,, xn )
xi 与 x j 虽相互有影响，但其影响甚微，视为可忽略不 计的弱相关
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第三章 误差的合成与分配 第一节 函数误差
可判断 ij 1 或 ij 1 的情形
断定 xi 与 x j 两分量间近似呈现正的线性关系或负的 线性关系 当一个分量依次增大时，引起另一个分量依次增大或 减小，反之亦然 则各米分量间完全正相关 2、试样观察法和简略计算法 （1） 观察法
差的影响 当相关系数 ij 0 时
y a12 x12 a22 x 22 an 2 xn 2
当相关系数 ij 1 时
y a1 x1 a2 x 2 an xn
函数标准差与各随机误差分量标准差之间具有线性的传 播关系 西华大学物理与化学学院 物理实验中心 谌晓洪
第三章 误差的合成与分配
第3章
误差的合成与分配
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第三章 误差的合成与分配
教学目标
本章阐述了函数误差、误差合成与分配的基 本方法，并讨论了微小误差的取舍、最佳测量 方案的确定等问题 。通过本章的学习，读者 应掌握函数系统误差和函数随机误差的计算以 及误差的合成和分配。
xi 和y 的量纲或单位相同，则 f xi 起到误 差放大或缩小的作用
xi 和 y的量纲或单位不相同，则 f xi 起到 误差单位换算的作用
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第三章 误差的合成与分配 第一节 函数误差
几种简单函数的系统误差
1、线性函数 系统误差公式
4） 余弦函数形式为:
cot f x1, x2 ,, xn
2 2 2
2 2 2 函数随机误差公式为： sin 2 f x1 f x 2 f xn x x x 1 2 n
误差传递系数为:
直径的系统误差:
D
f f l h 7.4mm l h
故修正后的测量结果:
D D0 D 1300 7.4 1292.6mm
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第三章 误差的合成与分配 第一节 函数误差
二、函数随机误差计算
数学模型
第三章 误差的合成与分配 第一节 函数误差
2、 相关系数估计
相关系数对函数误差的影响
函数随机误差公式
n f f f f f 2 2 2 2 y x1 xn 2 x2 x x ij xi xj 1i j x1 x2 i j xn ij 反映了各随机误差分量相互间的线性关联对函数总误 2 2 2
xi 与 x j 属于同一体系的分量，如用1m基准尺测2m尺，
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第三章 误差的合成与分配 第一节 函数误差
相互独立的函数标准差计算
若各测量值的随机误差是相互独立的，相关项 Dij ij 0 2 2 2
y2
f f f 2 x12 x 22 xn x1 x2 xn
f f f x1 x2 xn x1 x2 xn
f f f y x1 x2 xn x1 x2 xn
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第三章 误差的合成与分配 第一节 函数误差
函数标准差计算
y2
n f f f f f 2 2 2 D xn 2 x1 x2 x x ij 1i j x1 x2 i j xn 2 2 2