第四章 阵列信号处理

θ
x1 (t ) = e
x2 (t ) = e
j ( 2πf c t +α )
φ
d
j [ 2πf c ( t − d cosφ ) +α ] c
两个响应组合成阵列输出
y (t ) = x1 (t ) + ge x2 (t ) = e
jψ
j ( 2πf c t +α )
[1 + ge
j (ψ − 2πf c d cosφ ) c
Δφ = 2π
λ
d sin θ
FIR相邻抽头间的相位差决定于输入正弦波的频 率 ω ，Δφ = ωTd （ Td 为延迟时间），以 sin θ 作变量所得的方向图与FIR的频率响应特性类似。 FIR有关设计方法和分析理论就可以直接移植 到等距线阵。
空间中某处接收信号r不仅取决于时间t，而且还 取决于信源的入射角 φ （波达方向 θ 的余角）
θ ∈ [0, π ]是原点到信源的连线与z轴之 信源俯角 2
r = (sin θ cosψ , sin θ sinψ , cos θ )
原点与第m个阵元接收到的信号的复包络之间的 相位差为
ψ m = e jk rp = e jk R sinθ cos(ψ −γ ) = e jξ cos(ψ −γ
si (t ) = s (t − 1 riT α ) exp[ j (ωt − riT k )] c
通常信号的频带B比载波 ω 小很多，即s(t)变化 相对 ω 缓慢，则延时
1 c
r α <<
T
1 B
则可以认为 s (t − r α ) ≈ s (t ) 即信号包络 在各阵元上差异可忽略——窄带信号。
4.2 等距线阵与均匀圆阵
一、等距线阵 M个阵元等距排成一直线，阵元间距为d，到达波 的方向角定义为与阵列法线的夹角 θ ，称为波 达方向（DOA）。 在三维空间中还可以 θ θ 确定信源方位角 ψ
d
5
4
y
ψ
2
1
x
等距线阵（ULA）的方向向量
aULA (θ ) = [1, e = [1, e
−j 2π − j k d sin θ −j
第四章 阵列信号处理
阵列信号处理是信号处理的一个重要方向
波束形成——主瓣指向所需方向 零点形成——天线零点对准干扰方向 空间谱估计——空间信号波达方向分布估计 应用 信源定位、信号分离和信道估计 移动通信中的阵列信号处理 反向连接自适应或智能天线，同时形成多波束指 向各用户，分集接收
4.1平面波与阵列
,L, e
2π
− j k ( M −1) d sin θ T
]
λ
d sin θ
,L, e
λ
( M −1) d sin θ
]T
若有多个信源(p个),波达方向分别为 θ i (i − 1, L, p) 方向矩阵为
A = [a(θ1 ), a(θ 2 ),L, a(θ p )] = 1 ⎡ ⎢ e − j 2λπ d sin θ1 =⎢ ⎢ L ⎢ − j 2λπ ( M −1) d sin θ1 ⎣e ⎤ π − j 2λ d sin θ p ⎥ L e ⎥ ⎥ L L π − j 2λ ( M −1) d sin θ p ⎥ L e ⎦ L 1
空间中一系列传感器组成阵元，各阵元接收信 号加权组合 改变阵列的权值，可使信号空间波束形状随之 变化。 空域处理与时域FIR滤波器有类似对偶关系 时域离散采样——空域离散采样； 时域滤波、分离和参数估计——空域滤波、分离 和参数估计。
若空间信号载频为
e
j ωt ，
k = ω / c = 2π / λ
0 m 0 m
m)
ξ = k0 R sin θ 均匀圆阵相对于波达方向为 θ 的信号的方向向量 表示为 ⎡ e jξ cos(ψ −γ ) ⎤ ⎢ jξ cos(ψ −γ ) ⎥ ⎢e ⎥ aUCA (θ) = aUCA (ξ ,ψ ) = ⎢ ⎥ M ⎢ jξ cos(ψ −γ ) ⎥ ⎢e ⎥ ⎣ ⎦
二、连续时间信道模型 等距线阵，若由M个阵元组成，s0(t)为远场窄带 信源，到达阵列的DOA为 θ ，天线增益为 α (θ ) 对于全向天线 α (θ ) = α 为常数。 在第一个阵元（参考阵元）处的基带信号为 z(t)，为信源s0(t)的延迟与衰减，与参考位置 相距 Δ 个波长的阵元接收到的信号再被延迟 τ 若 τ 比基带信号z(t)的带宽倒数小得多，则有
为波数（弧度/长度），c为光速， 为电磁波波长 λ 则 k 为波数向量。设载波以平面波形式沿 k 方向 传播，其基准点信号为 s (t )e jωt，则距离基准点 r 处的阵元接收信号
sr (t ) = s (t − r α ) exp[ j (ωt − r k )]
1 c T T
其中 α = k / k 为电波传播方向的单位向量， T 1 T r k c r α 即信号相对于基准点的延迟时间， 为 r 处阵元相对于基准点的电波传播滞后相位
r = y (t , φ ) t ∈ (−∞, ∞), φ ∈ (0, π )
信号输出端所观察到的是接收信号与空间域的相 关后（波束方向的作用）的综合
1 2π
R (φ )
2π
∫ y(t , φ ) R(φ )dφ
0
称为阵列的方向图。
对于只有两个阵元的最简单线阵，计算其方向 图，设一频率为 f c 的平面正弦波场以角度 入射到阵列上，如图，阵元2上信号波前相对于 阵元1波前延迟正弦波传播程差 d cos φ 所花费的时间，两个阵元上的响应分别为
各阵元的接收信号用向量表示
x1 (t ) ⎤ ⎡ e − j 2πΔ1 sin θ ⎤ ⎡ ⎥ ⎢ M ⎥=⎢ x(t ) = ⎢ M ⎢ ⎥α (θ ) z (t ) = a(θ )α (θ ) z (t ) ⎥ ⎢ xM (t )⎥ ⎢e − j 2πΔ M sin θ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
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其中 a(θ ) 为方向向量
x(t ) = [∑ α (θ i ) β i g (t − τ i )] ∗ z (t )
i =1
D
三、阵列信号处理的统计模型 M个阵元的等距线阵，有P个信源，M>P，波达 方向为 θ1 , L , θ P ，以第一个阵元为基准，各信 源在基准点的复包络分别为 s1 (t ),L, sP (t ) 则在第m个阵元上第k次采样值为
]
= e j ( 2πf ct +α ') [1 + g 2 + 2 g cos(ψ − 2πf c d cos φ )]1/ 2 c = e j ( 2πf ct +α ') [1 + g 2 + 2 g cos(ψ − π cos φ )]1/ 2
ge jψ 为加权系数，选取 d = λ = c 其中
a(θ) = [1, e
T − jr2 k
,L, e
T − jrM k T
]
ri = ri − r1 i = 2, L , M
当有多个信源（p个），到达波方向向量可分为 a(θ1 ) ， (θ 2 ) ，…，a(θ p ) 表示，这p个方向向量组 a 成的矩阵 A = [a(θ1 ), L , a(θ p )] 称为阵列的方向矩阵或响应矩阵，表示所有信源 的方向。 改变空间角 θ ，使方向向量 a(θ) 在M维空间内 扫描，形成曲面称为阵列流形，用 A 表示 A = {a(θ ) θ ∈ Θ} Θ = [0, 2π ] 为波达方向 θ 所有 可能取值的集合。 阵列流形 A 即是阵列方向向量的集合。
0 1 M −1
其中 θ = (ξ ,ψ ) 为信源的波达方向。
４.３阵列信号处理的统计模型
一、窄带信号的延迟 一个中心频率为fc的实值带通信号s(t)可以写作
s (t ) = Re[ z (t )e j 2πf ct ]
z(t)为基带信号，是接收信号的复包络。 实信号s(t)延迟时间 τ
sτ (t ) = s (t − τ ) = Re[ z (t − τ )e − j 2πf cτ e j 2πf ct ]
zτ (t ) = z (t )e
− j 2πf cτ
相移 φ 与波达方向角 θ 有以下关系
φ = − j 2πf cτ = − j 2πΔ sin θ
在位置 Δ i 的阵元即第i个阵元的接收信号
xi (t ) = α (θ ) zτ i (t ) = α (θ )e − j 2πΔ i sin θ z (t )
1 T c i
考虑到信号变换到基带，阵列信号的向量
S(t ) = [s1 (t ), s 2 (t ),L , s M (t )] = s (t )[e
T
− jr1T k
,L, e
T − jrM k T
]
其中向量部分称为方向向量，波长与阵列几何尺 寸确定时，该向量只与到达波的空间角向量 θ 有关，记方向向量为 a(θ) ，与基准位置无关。选 第一个阵元为基准点，方向向量为
⎡ e − j 2πΔ1 sin θ ⎤ ⎢ ⎥ a(θ ) = ⎢ M ⎥ ⎢e − j 2πΔ M sin θ ⎥ ⎣ ⎦
在等距线阵中，若相邻阵元间距为 Δ 个波长，以 第１个阵元为基准点，则有 Δ i = (i − 1)Δ
1 ⎤ ⎡ ⎢ e − j 2πΔ sin θ ⎥ ⎥ a(θ ) = ⎢ ⎥ ⎢ M ⎢ − j 2π ( M −1) Δ sin θ ⎥ ⎦ ⎣e
θ
d sin θ
Vandermonde矩阵
阵列结构不允许其方向向量和空间角之间模糊， 等距线阵阵元间距不能大于 λ ，则可以保证 2 方向矩阵中各个列向量线性独立。 二、等距线阵的阵列响应与方向图 在单个信源情况下，阵列输出为各阵元信号的加 权和（不考虑噪声），
y (t ) = ∑ s (t ) w e
若基带信号为z(t)，设g(t)为整个发射接收系统中 除多径传输以外的冲激响应，设有D条等效路 径，每条路径可能有不同数目的散射子路径， 每条路径由参数三元组 (θ i , β i , τ i ) 描述，θ i 为第i条等效路径的入射角，阵列响应增益为 α (θ i ) 为第i条等效路径的路径时延，β i 为第i条等效 路径的路径损失，包括总的衰落和所有的相移。 接收信号模型为
R(φ ) = ∑ g m e
m =1
M
j [ψ m −π ( m −1) cosφ ]
r
z
θ
三、均匀圆阵 M个相同的全向阵元均匀分 布在x-y平面一个半径为R的 圆周上，原点位于阵列圆心，
γ
ψ
y
x
间的夹角，方位角 ψ ∈ [0, 2π ] 是原点到信源的 连线在x-y平面上的投影与x轴之间的夹角。 第m个阵元与x轴的角度 γ m = 2πm / M 该处的位置 向量为 p m = ( R cos γ m , R sin γ m , 0) 若波数为 k0 = 2π / λ 的窄带平面波在方向 − r （仰角和方位角分别为 θ 和 ψ ）上传播， r 为单 位向量，
定义方向图的幅度平方为
2
2
2 fc
R(φ ) = 1 + g 2 + 2 g cos(ψ − π cos φ )
令g=1，即
R(φ ) = 2 + 2 cos(ψ − π cos φ )
2
ψ = π 和 π 时方向图如图所示
2
d 对于有M个阵元， =
λ
2
时，权系数为
( g1e jψ 1 , L , g M e jψ M ) 时，阵列方向图为
图中 为电波传播方向角，相对于x轴的逆时针 方向定义。
波前
r
−k
θ
基准点
x
波数向量为
k = k[cos θ , sin θ ]T
对于点辐射源，距离源点足够远时，在接收局部 区域内可以认为是近似平面波——远场条件。
设在空间有M个阵元组成的阵列，相对于基准点 的位置向量分别为 ri (i = 1,L , M , r1 = 0) 则各阵元上接收信号分别为
m =1
M
π * − j 2λ ( m −1) d sin θ m
y (n) = s (n) W H a(θ ) = s (n) g (θ ) 采样后的向量形式，
W = [ w1 , L , wM ]T 为权矢量， g (θ ) = W H a(θ )
称为阵列的方向向量，或方向系数、波束图。
等距线阵空域的方向响应与FIR频率响应有类似 对偶关系，阵元可视为FIR延迟抽头，则相邻 阵元之间相位差 Δφ 决定波达方向 θ ，
则延迟信号 sτ (t ) 的复包络变成 zτ (t ) = z (t − τ )e
− j 2πf cτ
如果z(t)的带宽足够窄，可以认为z(t)的变化相对 缓慢，即 z (t − τ ) ≈ z (t ) 则有
zτ (t ) ≈ z (t )e
− j 2πf cτ
因此可以得出一个重要结论： 若窄带信号s(t)延迟一个比带宽倒数短得多的时 间 τ ，其作用则相当于使基带信号z(t)产生一 个相移。