声学覆盖层的有限元计算基本理论

1 Alberich吸声覆盖层的有限元数值计算模型
图1吸声覆盖层的单元结构
1 Alberich吸声覆盖层的有限元数值计算模型
• 1)周期性结构处理 • 谐振腔型吸声覆盖层在x和y方向都无限延伸， • z方向有空腔的存在而不均匀， • 问题是三维的。 • 空腔沿x和y方向周期性或双周期性分布， • 在作有限元分析时只取出其中的一个单元。
n n / d1 k sin cos ; m m / d 2 k sin sin ;
k
2 nm
k .
2 2 n 2 m
2 nm 2 nm
• 入射和透射波中包含有正常的传播波 (k 0) • 又包含有z方向指数衰减的非传播波 (k 0) 。 • 高阶波是非传播波，可有限截断。
• 此关系式在斜入射情况下特别有用。
j 2 d1k sin cos -j 2 d2 k sin sin
e
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• 周期性结构的吸声覆盖层的反射系数和透射系数表示为
p ( x, y, z) pi ( x,y, z)
m, n
全反射
• 当 c2 c1 透射波的方向偏向界面 • 临界入射角 1 c1
sin 2 sin c2 c1
cr sin
• 当入射角
cr sin 2 1 是虚数
z2 n z1n Rp z2 n z1n
c2
• 声压反射系数的绝对值是1。全反射
z2 n
脉动球源
• 球状声源，作对称的周期的膨胀和收缩运动
Vr
• 体积变化速度，强度
r r0
V0 exp( i t )
2 Q 4 r 0 V0
P 1 1 Vr 1 exp ikr 0 cr ikr
辐射的声场
V0 0 cr0 P exp ik r r0 1 r 1 i Q 0 ikr0 exp ik r r0 4 1 ikr0 r 1 V0 r0 1 ikr Vr exp ik r r0 1 1 r 1 Qik 1 ikr 0 ikr exp ik r r0 4 1 ikr r
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• 3）边界条件的处理 • 单元四周和上下两面的边界条件的处理是一个关键问题。 • 四周的边界条件取周期性条件， • 在垂直入射情况下简化为平衡条件 • 与水接触的面的边界条件是压力连续 • 和振速（或压力的法向导数）连续。
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• 1)周期性结构处理 • 周期性用经典的Bloch关系式描述。 • 设x,y方向的周期分别为2d1和2d2， • 设入射声压p， • 与z轴的夹角为Ɵ，
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• 在xoy平面上的投影与x轴的夹角 。 • Bloch关系式指出，简谐平面波
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• 2）包括流体耦合的吸声覆盖层单元的有限元处理 • 对吸声覆盖层作有限元分析时必须包括一部分水单元。 设节点的压力和位移的向量是p和U， • 单元的控制方程形式上可以写成
K M 2c 2 2R
s 2 s


U F 2 2 s L M p c φ
R

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K M 2c 2 2R
s 2 s


U F 2 2 s p c φ L M
第8章带圆柱空腔吸声覆盖层的有限元 计算基本理论及有限元数值计算模型
数值法与解析法的比较
在吸声覆盖层声学机理的理论研究中， 解析法
较好地计算出覆盖层的吸声系数或隔声量（需要基体材料 的实测参数）， 分析覆盖层的吸声或隔声机理，
但是要完全用解析法去解决复杂结构问题，则是一件非常 困难的事情。
随着数值计算技术的发展
2
1 Alberich吸声覆盖层的有限元数值计算模型
• 计算中包含的水单元究竟要多大值得研究. • Easwaran和Munjal的工作说明， • 水介质负荷主要在谐振频率附近起作用, • 偏离谐振频率后影响很小, • 甚至可以不考虑水的作用。 • 这一点符合流固耦合的一般原理。 • 问题是在计算之初并不知道谐振频率, • 合理大小的水单元必须包括在内.
ikr0 exp(i t ) Fr S 0 P r r V0 0 cS0 0 1 ikr0
Fr Z rV0
辐射阻抗
• 辐射阻抗
Z r Rr iX r
• 辐射阻
Fr Vr
r r0
k 2 r02 Rr 0 cS 0 1 k 2 r02
• 辐射抗
R

• 式中[Ks］和［Ms]是结构的刚度和质量矩阵； • [L］和[MP]是水单元的压缩性和质量矩阵; • [R]是反映结构和水耦合的耦合矩阵; • [F]是作用力的节点值, • [φ]是流体域边界上的压力法向梯度的节点值. • 水单元也可以用等效弹性单元来描述,取Lame常数。
c , 0
z2 cos 2
凋落波
• 全反射的折射波
k i
t x
P t A t exp x exp i k y y t
p A exp x cos k y y t
vx
A
2
exp x sin k y y t
kr0 X r 0 cS 0 1 k 2 r02
辐射对声源振动的影响
• 声源振动系统
F ZmV0
K Z m Rm i m
• 考虑辐射对声源的作用
F Zm Zr V0
Xr
• 同振质量
mr

平均发射功率
1 Rr V0 2
2
• 低频小球 ，辐射功率与频率平方成正比，辐射很弱
0
• 辐射的声强
P V0 0 r Q 0 f 1 I 2 2 2 2 2 2 0cr 2cr 1 kr0 8cr 1 kr0
2 2 2 4 0 2 2
• 总功率
2 V0 0 r Q 0 f 2 W 2 2 c 1 kr0 2c 1 kr0
2 2 4 0 2
• 低频近似 ，波长比声源的尺度大
Q 0 f I 8cr 2
2
2
Q 0ck 32 2 r 2
2
2
W
Q 0 f
2
2பைடு நூலகம்
2c
• 高频近似 ，波长比声源的尺度小
Q 0 c I 32 2 r 2 r02
2
Q 0 c W 8 r02
2
声场对声源的作用
• 声源表面受到的反作用
pi ( x , y , z ) pi e
-jk (x sin cos y sin sin z cos )
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• 简谐平面波作用下， • 任何一个空间函数F（压力、位移等）都满足周期性关系式
F (x 2d1 , y 2d2 ,z) = F (x, y, z) e
kR kR kI kI
• 两种情况 • 普通的平面波
i 2kR kI
2
2 c0
2
c
2 0
kR k I 0
kR kR
kI 0

2
2 c0
• 非均匀波 k R和 kI 垂直 ，凋落波
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• 2）包括流体耦合的吸声覆盖层单元的有限元处理 • 单元的有限元建模通常利用现有的各种有限元商用软件。 • 吸声覆盖层的一边是水， • 另一边是钢板（单层或双层）。 • 吸声覆盖层的本体材料密度与水接近，水的耦合作用是 重要的。
有限元法可以比较好地解决非规则结构的声学性能计算问 题，
也可以研究声固耦合振动模态和振型，
对吸声覆盖层的主要吸声机理有直观的认识。 要设计出具有良好综合性能的吸声覆盖层， 必须两者结合，以理论研究成果指导方向， 用有限元法来具体设计。
吸声覆盖层的特殊结构和特殊的应用环境， 商用软件如ANSYS是不能直接用来计算的。 基于Mead关于简谐波在周期性多耦合线性系统中的传播理 论 与Bloch周期性结构理论， 是水中周期分布空腔结构体的有限元计算基本理论。
• 3）边界条件的处理 • 在有限元计算中其它技巧。 • 利用1/4对称性大大缩短计算时间、 • 减少存储容量； • 网格的划分可以按1/4横波波长作为准则等。
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• Alberich吸声覆盖层有限元数值计算结 果 • （1）计算结果与实验结果符合良好 • 用硅橡胶制作的Alberich吸声覆盖层的 压力传输系数。 • 覆盖层厚度4cm，空腔高2cm， • 直径1.5cm，间距5cm。 • 材料的杨氏模量的实部 E0=1.8×106N/m2损耗因子ηE=0.15 • 泊松比v=0.49976，密度ρ=1000kg/m3。
功能强大的商用软件的出现，
20世纪90年代开始，国外开始运用有限元法 （TheFiniteElementMethod,FEM）分析 具有双周期结构的Alberich声学覆盖层的 平面波散射、反射特性， 开发出声学覆盖层设计的有限元软件。
在21世纪初， 国内谭红波用有限元法对声学覆盖层的声特性进行了分析。 王曼对声学覆盖层用有限元方法进行了更深入的研究。
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20世纪90年代初， 法国人Hennion和Decarpig 印度人Easwaran和Munjal 发表了两篇关于Alberich吸声覆盖层的有限元数值计算模 型的论文， 提出了在用有限元方法计算共振腔吸声覆盖层时需要解决 的几个共性问题， 适用于任意形状空腔的谐振腔型吸声覆盖层。
R
e

P jknm z j n x j m y nm
e
e
e
,
p ( x, y, z)

m, n
T

P jknm z j n x j m y nm
e
e
,
P P • 式中 Rnm 和 Tnm 分别是待确定的反射和透射系数；
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vy
ky A
2
exp x cos k y y t
• 平均能量密度
A exp 2 y 2 A k exp 2 y 2 ky 2 2 2 4 2 c 2 2
2 2 2 2 y
• 平均能速度
vE
P

ˆ y

ky
• 能速度等于相速度，介于两种介质的声速之间
非均匀波
• 模式的波矢必须是实的 • 凋落波的波矢是复的 • 复波矢的平面波
P A exp ik r
k kR ikI
kk

2
2 c0
kR ikI kR ikI kR kR kI kI
Rr 0 cS0 kr0

2
X r 0 S0 r0
• 同振质量等于小球体积的介质的质量的3倍 • 高频大球 • 辐射抗和同振质量近似为零
Rr 0cS0
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• 计算中包含的水单元究竟要多大值得研究. • Easwaran和Munjal的工作说明， • 水介质负荷主要在谐振频率附近起作用, • 偏离谐振频率后影响很小, • 甚至可以不考虑水的作用。 • 这一点符合流固耦合的一般原理。 • 问题是在计算之初并不知道谐振频率, • 合理大小的水单元必须包括在内.