函数的基本性质

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函数的基本性质

函数的基本性质其性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性。

函数表⽰每个输⼊值对应唯⼀输出值的⼀种对应关系。

函数f中对应输⼊值x的输出值的标准符号为f(x)。

性质有界性设函数f（x）在区间X上有定义，如果存在M>0，对于⼀切属于区间X上的x，恒有|f（x）|≤M，则称f（x）在区间X上有界，否则称f（x）在区间上⽆界。

单调性设函数f（x）的定义域为D，区间I包含于D。

如果对于区间上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f（x1）<f（x2），则称函数f（x）在区间I上是单调递增的；如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f（x1）>f（x2），则称函数f（x）在区间I上是单调递减的。

单调递增和单调递减的函数统称为单调函数。

奇偶性设为⼀个实变量实值函数，若有f（-x）=-f（x），则f（x）为奇函数。

⼏何上，⼀个奇函数关于原点对称，亦即其图像在绕原点做180度旋转后不会改变。

奇函数的例⼦有x、sin（x）、sinh（x）和erf（x）。

设f（x）为⼀实变量实值函数，若有f（x）=f（-x），则f（x）为偶函数。

⼏何上，⼀个偶函数关于y轴对称，亦即其图在对y轴映射后不会改变。

偶函数的例⼦有|x|、x2、cos（x）和cosh（x）。

偶函数不可能是个双射映射。

连续性在数学中，连续是函数的⼀种属性。

直观上来说，连续的函数就是当输⼊值的变化⾜够⼩的时候，输出的变化也会随之⾜够⼩的函数。

如果输⼊值的某种微⼩的变化会产⽣输出值的⼀个突然的跳跃甚⾄⽆法定义，则这个函数被称为是不连续的函数（或者说具有不连续性）。

函数的基本性质

f(x1) f(x1) f(x2) f(x2) x1 x2o x2 x1 x
例1. 如图是定义在区间[-5, 5]上的函数 y=f(x), 根据图象说出函数的单调区间, 以及在每一单调区间上, 它是增函数还是减函数? y
解: 函数的单调区
间有 [-5, -2), [-2, 1). [1, 3), [3, 5].
例题(补充). 如图是函数 y=f(x) 的图象, 其定义域为[-p, p], x0 为何值时, 有f(x)≥f(x0), 或 f(x)≤f(x0)? 函数的最大值是多少? 最小值是多少? 解: (1) 当 x0 = - p 时, f(x)≥f(x0),
2
-p y
-p 2
1
这时函数取得最小值
o
-1
[解析] 任取 x1、x2，使得－1<x1<x2<1，则 Δx＝x2－x1>0. ax1x2＋1x1－x2 Δy＝f(x2)－f(x1)＝， 2 x2 － 1 x － 1 1 2
∵－1<x1<x2<1，
2 ∴x1x2＋1>0，x2 1－1<0，x2－1<0，
Байду номын сангаас
x1x2＋1x1－x2 ∴ 2 <0， x1－1x2 － 1 2 ∴当 a>0 时，f(x2)－f(x1)<0，故此时函数 f(x)在(－1,1)上是减函数，当 a<0 时，f(x2)－f(x1)>0，故此时 f(x)在(－1,1)上是增函数．综上所述，当 a>0 时，f(x)在(－1,1)上为减函数，当 a<0 时，f(x)在(－1,1)上为增函数．
• 3．函数单调性在图象上的反映：若f(x)是区间A上的单调增函数，则图象在A上的部分从左向右是逐渐________ 的，若上升 f(x)是单调减函数，则图象在相应区间上从左向右是逐渐下降的． ________ 取值作差， • 4．用定义证明单调性的步骤：__________ ，________ 变形，________ 定号，________. 结论 ________

新教材必修第一册第三章3.2函数的基本性质(全套课件)

题型二求函数的单调区间【典例 2】求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝x－1 1； (2)f(x)＝|x2－3x＋2|. [思路导引] (1)先求出函数的定义域，再利用定义求解；(2) 作出函数 y＝x2－3x＋2 的图象，再将 x 轴下方的图象翻折到 x 轴上方，结合图象写出 f(x)的单调区间．
2．函数的单调区间如果函数 y＝f(x)在区间 D 上单调递增或单调递减，
那么就说函数 y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间 D 叫做函数 y＝f(x)的单调区间．
温馨提示：(1)函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，
它是函数的一个局部性质．
(2)函数 f(x)在定义域的某个区间 D 上单调，不一定在定义域上单调．如 f(x)＝x2 等．
[变式] (1)若本例(1)条件改为“函数 f(x)＝x2－2(1－a)x＋2 的单调递增区间为[4，＋∞)”，其他条件不变，如何求解？
(2) 若本例 (2) 中 “ 定义域 ( － ∞ ，＋ ∞)” 改为 “ 定义域 ( － 1,1)”，其他条件不变，如何求解？
[解] (1)∵f(x)＝x2－2(1－a)x＋2＝[x－(1－a)]2＋2－(1－ a)2，
题型三函数单调性的应用【典例 3】 (1)已知函数 f(x)＝x2－2(1－a)x＋2 在[4，＋∞) 上是增函数，求实数 a 的取值范围． (2)已知 y＝f(x)在定义域(－∞，＋∞)上是减函数，且 f(1－ a)<f(2a－1)，求 a 的取值范围． [思路导引] 二次函数的单调性由开口方向及对称轴确定，与函数值有关的不等式问题依据单调性转化为自变量的不等关系．
数 M 满足：
①∀x∈I，都有 f(x)≤M

函数的基本性质

第四讲函数的基本性质.函数的单调性概念（1）增函数和减函数的概念如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性．区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间．（3）函数的单调性等价变形设[]2121,,x x b a x x ≠∈，那么 ①[]1212()()()0x x f x f x --> ⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数；②[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数.2.运算法则：如果函数)(x f 和)(x g 在相同区间上是单调函数,则（1）增函数+增函数是增函数；（2）减函数+减函数是减函数；（3)增函数-减函数是增函数；（4）减函数-增函数是减函数；3.常见函数的单调性：（1）一次函数b kx y +=，当0>k 时，在区间),(+∞-∞上是增函数，当0<k 时，在区间),(+∞-∞上是减函数；（2）反比例函数xky =，当0>k 时，在区间)0,(-∞和区间),0(+∞上是减函数，当0<k 时，在区间)0,(-∞和区间),0(+∞上是增函数（3）二次函数c bx ax y ++=2，当0>a 时，在区间)2,(ab--∞是减函数，在区间),2(+∞-a b 是增函数，当0<a 时，在区间)2,(a b --∞是增函数，在区间),2(+∞-ab是减函数.4.函数单调性判定方法①定义法：取值、作差、变形、定号、下结论 ②运算法则法④图像法，利用图像研究函数的单调性.1.根据函数的单调性的定义，证明函数1)(3+-=x x f 在),(+∞-∞上是减函数。

2.判断函数)0()(>+=p xpx x f 的单调性3.根据函数的单调性的定义，证明函数x x x f -+=1)(2在),(+∞-∞上是减函数。

函数的基本性质

函数的基本性质(函数的单调性、奇偶性、周期性)一、函数单调性 1、可以从三个方面理解（1）图形刻画：对于给定区间上的函数()f x ，函数图象如从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增；函数图象如从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减。

（2）定性刻画：对于给定区间上的函数()f x ，如函数值随自变量的增大而增大，则称函数在该区间上单调递增；如函数值随自变量的增大而减小，则称函数在该区间上单调递减。

（3）定量刻画，即定义。

2、判断增函数、减函数的方法：①定义法：一般地，对于给定区间上的函数()f x ，如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值1x 、2x ，当21x x <时，都有()()21x f x f <〔或都有()()21x f x f >〕，那么就说()f x 在这个区间上是增函数（或减函数）。

与之相等价的定义： ⑴()()02121>--x x x f x f ，〔或都有()()02121<--x x x f x f 〕则说()f x 在这个区间上是增函数（或减函数）。

其几何意义为：增（减）函数图象上的任意两点()()()()2211,,,x f x x f x 连线的斜率都大于（或小于）0。

⑵()()()[]02121>--x f x f x x ，〔或都有()()()[]02121<--x f x f x x 〕则说()f x 在这个区间上是增函数（或减函数）。

②导数法：一般地，对于给定区间上的函数()f x ，如果()0`>x f 那么就说()f x 在这个区间上是增函数；如果()0`<x f 那么就说()f x 在这个区间上是减函数；如果函数()x f y =在某个区间上是增函数（或减函数），就说()f x 在这一区间上具有（严格的）单调性，这一区间叫做()f x 的单调区间。

如函数是增函数则称区间为增区间，如函数为减函数则称区间为减区间。

高中数学—函数的基本性质—完整版课件

• 当 > 时， − < ，则
• − ＝ −

− ＝ − ＝ − ()．
• 综上，对 ∈ (−∞，) ∪ (，＋∞)，
• ∴ ()为奇函数．
都有 − ＝ − ()．
奇偶性判定
• 【解析】 (4) =
−
−
• 定义域为 −，关于原点对称
• ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数．
函数的奇偶性
• 判断函数的奇偶性
• 1、首先分析函数的定义域，在分析时，不要把函数化简，而要根据
原来的结构去求解定义域，如果定义域不关于原点对称，则一定是非
奇非偶函数．
• 2、如果满足定义域对称，则计算(−)，看与()是否有相等或互为
相反数的关系.
−
−−
+
++
−+
• 即
= 恒成立，
• 则2(＋)2＋2＝0对任意的实数恒成立．
• ∴ ＝＝0.
函数的单调性

+
•
(2)∵ =
∈ 是奇函数, 只需研究(, ＋∞)上()的单调区间即可．
•
任取， ∈ (，＋∞)，且 < ，则
应值，故函数取得最值时，一定有相应的x的值．
抽象函数的单调性
• 函数()对任意的、 ∈ ，都有＋＝＋ − ，并且当
> 时，() > .
• (1)求证：()是上的增函数；
• (2)若()＝，解不等式( − − ) < .
抽象函数的单调性
• ∴ ()＝， ∴原不等式可化为( − − ) < ()，
• ∵ ()是上的增函数，

高一数学必修1函数的基本性质

高一数学必修1函数的基本性质1．奇偶性（1）定义：如果对于函数f(某)定义域内的任意某都有f(－某)=－f(某)，则称f(某)为奇函数；如果对于函数f(某)定义域内的任意某都有f(－某)=f(某)，则称f(某)为偶函数。

如果函数f(某)不具有上述性质，则f(某)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f(某)既是奇函数，又是偶函数。

注意：1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；○2由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个某，则－某也○一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。

（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：1首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；○2确定f(－某)与f(某)的关系；○3作出相应结论：○若f(－某)=f(某)或f(－某)－f(某)=0，则f(某)是偶函数；若f(－某)=－f(某)或f(－某)＋f(某)=0，则f(某)是奇函数。

（3）简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称；②设f(某)，g(某)的定义域分别是D1,D2，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶2．单调性（1）定义：一般地，设函数y=f(某)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量某1，某2，当某1<某2时，都有f(某1)<f(某2)（f(某1)>f(某2)），那么就说f(某)在区间D上是增函数（减函数）；注意：1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；○2必须是对于区间D内的任意两个自变量某1，某2；当某1<某2时，总有f(某1)<f(某2)○（2）如果函数y=f(某)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(某)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(某)的单调区间。

函数的基本性质

函数的基本性质⏹1。

函数的奇偶性⏹（1）函数的奇偶性的定义。

⏹（2）函数的奇偶性的判断与证明。

⏹（3）奇、偶函数图象的特征。

⏹2。

函数的单调性⏹（1）函数的单调性的定义。

⏹（2）函数的单调性的判断与证明。

⏹复合函数的单调性⏹（3）求函数的单调区间。

3．函数的周期性(1)定义:设函数的定义域是D，若存在非零常数T，使得对任何x∈D，都有x+T ∈D且f(x+T)=f(x)，则函数f(x)为周期函数，T为f(x)的一个周期。

定理:设函数的定义域是D，a,b为不相等的常数，若对任何x∈D，都有x+a∈D,x+b∈D,且f(x+a)=f(x+b)，则函数f(x)为周期函数，a-b为f(x)的一个周期。

(2)最小正周期:(3)定理:若T是函数f(X)的一个周期,则nT也是函数f(x)的一个周期.(n为非零整数.)4．函数图象的对称性⏹一·中心对称：⏹(1) 奇函数的图象关于原点对称；⏹一般地，如果方程f(x,y)=0满足f(x,y)=f(-x,-y)，则曲线f(x,y)=0关于原点对称（2）函数y=f(x)的图象关于点（a,b）对称的充要条件为：对函数定义域中的任意x均满足2b-y=f(2a-x)(3)函数的图象关于点(a,0)对称的充要条件为: f(x) =- f(2a-x) ⇔f(a+x)=- f(a-x)(4)设函数f(x)对其定义域中的任意值x均满足f(a+x)=-f(b-x),则f(x)的图象关于点((a+b)/2,0)成中心对称.二．轴对称：（1）偶函数的图象关于Y轴对称；一般地，如果方程f(x,y)=0满足f(x,y)=f(-x,y)，则曲线f(x,y)=0关于Y轴对称（2）设a是非零常数，如果对函数定义域中的任意值x均满足f(x)=f(2a-x)⇔f(a+x)=f(a-x)，则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称。

一般地，如果方程f(x,y)=0满足f(x,y)=f(2a-x,y)，则曲线f(x,y)=0关于直线x=a对称设函数f(x)对其定义域中的任意值x均满足f(a+x)=f(b-x),则f(x)的图象关于直线x=(a+b)/2对称．(3)反函数的图象⏹函数y=f(x)的图象与y=f -1(x)的图象关于直线y=x对称；⏹函数y=f(x)的图象与y=-f-1 (-x)的图象关于直线y= - x对称；⏹设函数y=f(x)有反函数y=f– 1(x)，则其图象关于直线y=X对称的充要条件是：f(x)=f– 1(x).5．函数图象的对称性与函数的周期性有着密切的内在联系，我们有下面的结论：⏹命题1：如果函数的图象关于直线x=a和直线x=b(a ≠b)对称，那么函数是以2(a-b)为周期的周期函数。

高考数学-函数的基本性质

函数的基本性质知识梳理1) 函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数y f[g(x)]，令u g(x)，若y f(u)为增，u g(x)为增，则y f [ g(x)]为增；若y f(u)为减，u g(x)为减，则y f[g(x)]为增；若y f(u)为增，u g(x)为减，则y f[g(x)]为减；若 y f （u ）为减， u g （x ）为增，则 y f [ g （x ）]为减．f （x ）（2）打“√”函数 ax (a 0)x的图象与性质yf(x) 分别在( , a]、[ a,）上为增函数，分别在[ a,0) 、(0, a]上为减函数．（3）最大（小）值定义ox①一般地，设函数 yf （x ）的定义域为 I ，如果存在实数M满足：（1 ）对于任意的 x I ，都有 f（x ）M；（2）存在 x 0 I ，使得 f（x0） M．那么，我们称M 是函数f （x ）的最大值，记作 f max（x ） M②一般地，设函数 y f （x ）的定义域为 I ，如果存在实数 m 满足：（1）对于任意的 x I ，都有 f（x ） m（2）存在 x 0 I ，使得 f （x 0）m ．那么，我们称 m是函数f（x ）的最小值，记作fmax （x ） m．2）函数的奇偶性①定义及判定方法②若函数 f （x ）为奇函数，且在x 0处有定义，则f （0） 0．③奇函数在 y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反．④ 在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．3) 函数的周期性定义】若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使 f (x T) f ( x)恒成立则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。

函数的基本性质有

函数是数学中一种重要的概念，它具有一些重要的性质。

常见的函数性质包括：
1.单调性：函数在定义域内单调递增或递减。

2.可导性：函数在定义域内可导。

3.可积性：函数在定义域内可积。

4.可逆性：函数在定义域内可逆。

5.可微性：函数在定义域内可微。

6.可解析性：函数在定义域内可解析。

7.持久性：函数在定义域内持久，即函数的值在定义域内不会突然变化。

8. 函数的值域：函数的值域是函数在定义域内所有可能取到的值的集合。

9. 函数的导函数：函数在定义域内可导，那么它就有导函数，并且导函数是唯一的。

10. 函数的导数：函数的导数描述了函数在某一点处的变化率。

这些性质对于理解和分析函数具有重要的意义。

不同的函数具有不同的性质，因此在研究和使用函数时需要结合具体情况来考虑这些性质。

高中数学必修1函数的基本性质

高中数学必修1函数的基本性质1．奇偶性（1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。

如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。

注意：○1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。

（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：○1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○2 确定f (－x )与f (x )的关系； ○3 作出相应结论：若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数；若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。

（3）简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称；②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇2．单调性（1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)（f (x 1)>f (x 2)），那么就说f (x )在区间D 上是增函数（减函数）；注意：○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f (x 1)<f (x 2) （2）如果函数y =f (x )在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y =f (x )在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y =f (x )的单调区间。

函数的基本性质ppt课件

答案 [－2，＋∞)
►单调性的两个易错点：单调性；单调区间.
（2）函数的单调递增(减)区间有多个时，不能用并集表示，可以用逗号或“和”。
例如函数 f(x)＝x＋1x的单调递增区间为________.
解析由f(x)图象易知递增区间为(－∞，－1]，[1，＋∞). 答案 (－∞，－1]，[1，＋∞)
变式训练：
已知奇函数f (x)的定义域为- 2,2，且在区间 - 2,0上递减，则满足f (1 m) f (1 m2) 0的实数m的取值范围是-1,1
题型五、函数的周期性解题方略
1.有关函数周期性的常用结论 (1)若 f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为 2|a|； (2)若 f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为 2|a|； (3)若 f(x＋a)＝f（1x），则函数的周期为 2|a|； (4)若 f(x＋a)＝－f（1x），则函数的周期为 2|a|.
叫做f(x)的最小正周期.
题型归纳
题型一判断函数的单调性判断函数的单调性或求单调区间的方法 (1)利用已知函数的单调性. (2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义.
(3) 图象法：如果 f(x) 是以图象形式给出的，或者 f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单
域为[a－1，2a]，则a＝________，b＝________.
解析由定义域关于原点对称得 a－1＋2a＝0，解得 a＝13，即
f(x)＝13x2＋bx＋b＋1，又 f(x)为偶函数，由 f(－x)＝f(x)得 b＝0.
答案
1 3
0
（2）若函数 f(x)为奇函数且在原点有意义，则 f(0)＝0
[点评] 解题(1)的关键是会判断复合函数的单调性；解题(2) 的关键是利用奇偶性和单调性的性质画出草图.

函数的基本性质知识点总结

函数的基本性质基础知识：1.奇偶性（1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。

如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。

注意：①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。

（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；②确定f (－x )与f (x )的关系；③作出相应结论：若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数；若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。

（3）简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点成中心对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴成轴对称；②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇2.单调性（1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)（f (x 1)>f (x 2)），那么就说f (x )在区间D 上是增函数（减函数）；注意：①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；②必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f (x 1)<f (x 2)。

函数的基本性质ppt课件

−

1
即函数f（x）＝x＋为奇函数．

函数的基本性质
例1 判断下列函数的奇偶性：
（3）f（x）＝0；
（2）f（x）＝；
解：（1）函数f（x）的定义域为R．
∀x∈R，都有－x∈R，且f（－x）＝0＝-f(x)＝f（x），
函数f（x）既是奇函数，又是偶函数．
1
（2）函数f（x）＝x＋的定义域I为[0，＋∞）．
(1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间
[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)．
(2)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]
上是减(增)函数，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，
最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个．
当 > 0时,(1 ) − (2 )<0，即(1 ) < (2 )
所以函数() = + 在R上单调递增，即函数() = + 是增函数。
当 < 0时,(1 ) − (2 )>0，即(1 ) > (2 )
所以函数() = + 在R上单调递减，即函数() = + 是减函数。
1
（2）f（x）＝x＋

；
解：（1）函数f（x）＝x4的定义域为R．
∀x∈R，都有－x∈R，且f（－x）＝（－x）4＝x4＝f（x），
函数f（x）＝x4为偶函数．
1
（2）函数f（x）＝x＋的定义域I为（－∞，0）∪（0，＋∞）．

1
1
∀x∈I，都有－x∈I，且f（－x）＝－x＋＝－（x＋）＝－f（x），

函数的基本性质

函数的基本性质一．函数的单调性：1. 定义：设D 为函数)(x f 定义域的子集。

对任意的D ,21∈x x 且21x x <时，都有⇔>--⇔>--⇔<0)](()([0)()()()(1212121221）x x x f x f x x x f x f x f x f 函数)(x f y =在D 上是增加的。

对任意的D ,21∈x x 且21x x <时，都有⇔<--⇔<--⇔>0)](()([0)()()()(1212121221）x x x f x f x x x f x f x f x f 函数)(x f y =在D 上是减少的。

2. 图像特点：自左向右看图像是上升的。

（图像在此区间上是增加的）自左向右看图像是下降的。

（图像在此区间上是减少的）3.判断函数单调性的方法：（1）图像法：作出函数图像，由图像直观判断求解，只能用于判断。

（数形结合）解题程序：解析式-----图像-----单调区间（2）性质法：需要先记清基本初等函数的单调性。

高中基本初等函数：一次函数：)0(≠+=k b kx y ，二次函数：)0(2≠++=a c bc ax y 反比例函数：)0(≠=k x k y ，简单幂函数：3,2,21,1,1)(-=∈=αααR x y 指数函数：)10(≠>=a a a y x 且，对数函数：)10(log ≠>=a a x y a 且， “对勾”函数：)0(>+=a x ax y①a x f y +=)(与)(x f y =的单调性相同。

②当0>a 时，函数)(x af y =与)(x f y =的单调性相同；当0<a 时，函数)(x af y =与)(x f y =的单调性相反；③在公共定义域内，增函数)(x f +增函数)(x g 是增函数，减函数)(x f +减函数)(x g 是减函数；增函数)(x f －减函数)(x g 是增函数，减函数)(x f －增函数)(x g是减函数；④两函数积的单调性：当)(x f ，)(x g 在公共区间上都是增（减）函数。

函数的基本性质

ω
(取n = 1),
ω
�
例1 讨论下列函数的奇偶性:
(1)
解
f (x) = x2;
(2) f (x) = x3;
(3) f (x) = x2 + x3.
(1) Q f (x) = (x)2 = x2 = f (x), ∴ f (x) = x2 是偶函数 . (2) Q f (x) = (x)3 = x3 = f (x), ∴ f (x) = x3是奇函数 . (3) Q f (x) = x2 x3, 而f (x) = x + x , f (x) = x x ,
2 3 2 3
当x ≠ 0时 f (x) ≠ f (x), 且f (x) ≠ f (x), ,
所以 (x) = x2 + x3 既不是偶函数也不是奇 f 函数 .
四,周期性
设函数y=f (x)在D内有定义, 如果存在正常数 T,使得对于D内的任何x,恒有 f (x + T)=f (x) 成立,则称函数y=f (x)为周期函数,T 为f (x)的周期. 显然,若T是f(x)的周期,则kT也是f(x)的周期 (k=1,2,3 ),通常我们说的周期就是指最小正周期.
(或f (x1) > f (x2 )),
则称函数y=f(x)在区间I上严格单调增加(或严格单调减少).
严格单调增加的函数的图形是沿x 轴正向上升的;
严格单调减少的函数的图形是沿x 轴正向下降的;
例如,函数 f (x) = x3在 ∞,+∞) 内是严格单调 ( 增加的.
函数 f (x) = x2在 ∞,0]内是严格单调减少的,在 ( 区间[0,+∞) 上是严格单调增加的,而在区间 (∞,+∞)内则不是单调函数.

函数的基本性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性）

函数的基本性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性）函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性）“定义域优先”的思想是研究函数的前提，在求值域、奇偶性、单调性、周期性、换元时易忽略定义域，所以必须先考虑函数的定义域，离开函数的定义域去研究函数的性质没有任何意义。

1. 奇偶性f(-x)与f(x)之间的关系：①f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数；②f(-x)-f(x)=0为偶；f(x)+f(-x)=0为奇；③f(-x)÷f(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)=-1为奇函数. （1）若定义域关于原点对称（2）若定义域不关于原点对称⾮奇⾮偶例如：3x y =在)1,1[-上不是奇函数常⽤性质：1．0)(=x f 是既奇⼜偶函数；2．奇函数若在0=x 处有定义，则必有0)0(=f ； 3．偶函数满⾜)()()(x f x f x f =-=；4．奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y 轴对称；5．0)(=x f 除外的所有函数的奇偶性满⾜：（1）奇函数±奇函数=奇函数偶函数±偶函数=偶函数奇函数±偶函数=⾮奇⾮偶（2）奇函数×奇函数=偶函数偶函数×偶函数=偶函数奇函数×偶函数=奇函数 6．任何函数)(x f 可以写成⼀个奇函数2)()()(x f x f x --=和⼀个偶函数2)()()(x f x f x -+=ψ的和。

2. 单调性定义：函数定义域为A ，区间，若对任意且①总有则称在区间M 上单调递增②总有则称在区间M 上单调递减应⽤：（⼀）常⽤定义法来证明⼀个函数的单调性⼀般步骤：（1）设值（2）作差（3）变形（4）定号（5）结论（⼆）求函数的单调区间定义法、图象法、复合函数法、导数法(以后学) 注：常⽤结论（1）奇函数在对称区间上的单调性相同（2）偶函数在对称区间上的单调性相反（3）复合函数单调性-------同增异减3. 周期性（1）⼀般地对于函数内⼀切值时总有，那么叫做周期函数，T 叫做周期，kT （T 的整数倍）也是它的周期（2）如果周期函数在所有周期中存在⼀个最⼩正数，就把这个最⼩正数叫最⼩正周期。

函数的基本性质

函数的基本性质一、单调性1.如何证明：设定义域上的任意21x x <，判断)()(21x f x f -的正负。

2.变形：[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--是增函数； []1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数. 3.性质 (1)()x f 与()C x f +具有相同的单调性；(2)()x f 与()x af ，当0>a 时，具有相同的单调性，当0<a 时，具有相反的单调性；(3)当()x f 恒不等于零时，()x f 与()x f 1具有相反的单调性； (4)当()x f ，()x g 都是增（减）函数时，()()x g x f +都是增（减）函数；4.复合函数的单调性：同增异减例1：如果函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(],4-∞上是单调递减的，那么实数a 的取值范围是（） CA.5≥a B 、5≤a C 、 3-≤a D 、3-≥a例2：函数32)(2+--=x x x f 的单调递增区间是 . ]1,3[--二、奇偶性的定义注意（1）定义域关于原点对称；（2）奇函数)(x f 在0处有定义，则0)0(=f ；（3）在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性. （4）两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数例3：定义在]2,2[-的偶函数)(x f 在区间]2,0[上是减函数，若)()1(m f m f <-，求实数m 的取值范围 [-1,1/2)例4. 若2()21xx f x a --=-+为奇函数，则实数a ＝ . 1/2 三、函数的三要素：1．定义域（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则）例5.设函数2()lg(1)f x ax ax =++，①若()f x 的定义域是R ，求实数a 的取值范围； )4,0[②若()f x 的值域是R ，求实数a 的取值范围 ),4[+∞例6.函数()()24lg 3x x y x -=-的定义域是 ]4,3()3,0[ 2. 值域⑴配方法――二次函数（一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系） ⑵换元法例7.（1）22sin 3cos 1y x x =--的值域为_____；（2）y=x x x x cos sin cos sin ⋅++的值域为____；⑶分离常数法例8.求函数2sin 11sin y θθ-=+，313xxy =+的值域； 3.解析式例9.若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当),0(+∞∈x 时，)1()(3x x x f +=，那么当)0,(-∞∈x 时，)(x f = .值得注意的是所求解析式的定义域的等价性，即()f x 的定义域应是()g x 的值域。

函数的基本性质(总结版)

函数的基本性质基础知识：1．奇偶性（1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。

如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。

函数的基本性质

§2函数的基本性质【知识精要】一、函数的奇偶性1、定义：如果对于函数)(x f 定义域内的任意x 都有)()(x f x f -=-，则称)(x f 为奇函数；如果对于函数)(x f 定义域内的任意x 都有)()(x f x f =-，则称)(x f 为偶函数.【注意】（1）函数的奇偶性是函数的整体性质，函数的奇偶性要求：对于函数)(x f 定义域内的任意x 都有)()(x f x f -=-（或)()(x f x f =-），即要求“全票通过”；若有例外，则可“一票否决”.判断函数奇偶性首先判断函数定义域是否关于原点对称。

（2）由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要（前提）条件是，对于定义域内的任意一个x ，则x -也一定是定义域内的一个实数（即定义域关于原点对称）.【例1】（1）已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( )A. －13B.13C.12 D ．－12（2）已知函数2x ay +=的图象关于y 轴对称，则实数a 的值是__________；2、简单性质：（1）图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称；（2）若奇函数)(x f 在0=x 处有意义，则必有0)0(=f ；（3）若函数)(x f 既是奇函数，又是偶函数，则解析式为0)(=x f ，由于定义域（可以是任意一个关于原点对称的集合）不确定，这样的函数仍有无穷多. （4）)(x f 是偶函数，则)()(x f x f =．【例2】（1）函数)12lg()(xa x f ++=为奇函数，则实数=a _________；（2）若1()21x f x a =+-是奇函数，则a =_________；（3）设定义在[]2,2-上的偶函数)(x f 在区间[]2,0上单调递减，若)()1(m f m f <-，求实数m 的取值范围．【例3】函数x x y ln cos ⋅=的部分图象大致是下图中的（）A.B. C. D.【例4】设)(x f 是连续的偶函数，且当0>x 时，)(x f 是单调的函数，则满足)43()(++=x x f x f 的所有的x 的和为____________．（5）设)(x f ，)(x g 的定义域分别是21,D D ，φ≠⋂=21D D D ，那么在它们的公共定义域D 上：①奇函数±)(x f 奇函数)(x g 是奇函数；②奇函数⨯)(x f 奇函数)(x g 是偶函数；③偶函数±)(x f 偶函数)(x g 是偶函数；④奇函数⨯)(x f 偶函数)(x g 是奇函数. 二、函数的单调性1、定义：一般地，设函数)(x f y =的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f <（)()(21x f x f >），那么就说)(x f 在区间D 上是增函数（减函数）；如果函数)(x f y =在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数)(x f y =在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做)(x f y =的单调区间.【注意】（1）函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质，因此，函数的单调区间一定是函数定义域的子集，因此求函数单调区间应先确定函数定义域。