微分

即函数 f ( x )在点 x0可导, 且A f ( x0 ).
(2) 充分性 函数f ( x )在点x0 可导,
y lim f ( x 0 ), x 0 x
y 即 f ( x0 ) o(1), x
从而 y f ( x0 ) x o(1) ( x),
四 函数的微分
(一) 、微分的定义 (二) 、微分的计算 (三) 、微分在近似计算中的应用
(一) 、微分的定义
1.引例
2.微分的定义
3.可微的条件
4.微分的几何意义
1.引例
实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.
设边长由x0 变到x0 x,
正方形面积 s x0 ,
2
x0
x
( x ) 2
当x在x0处取增量x时, 如果y可写成 y f ( x0 x ) f ( x0 ) A x o( x )(其中A与x无关), 则称 y f ( x )在点 x0可微, A x称为y f ( x )在点 x0的微分, 记作 dy x x0 或 df ( x0 ), 即dy x x0 A x.
x
x 0 x
2 A x0
s ( x0 x) x
2
2 0
2
2 x 0 x ( x ) .
(1) ( 2)
x 0 x
x0
Fra Baidu bibliotek
(1) : x的线性函数, 且为s的主部; ( 2) : x的高阶无穷小 , 当 x 很小时可忽略.
2.微分的定义
定义
设函数 y f ( x )在x0的某一邻域内有定义 ,
结论：无论 x是自变量还是中间变量 , 函数
y f ( x )的微分形式总是 dy f ( x )dx
微分形式的不变性
例5 设 y sin(2 x 1), 求dy. 解 y sin u, u 2 x 1.
dy cos udu cos( 2 x 1)d ( 2 x 1) cos( 2 x 1) 2dx 2 cos( 2 x 1)dx .
(三) 、微分在近似计算中的应用 计算公式
(1)当x很小时, y dy f (x0 )x (2)当x很小时, f (x0 x) f (x0 ) f (x0 )x 取 | x | 1
( 3)当x很小时, f ( x) f (0) f (0)x
例8 正方体的棱长x0 10cm,若棱长增加0.1cm,求正方体 体积增加的近似值 , 精确值.
3.可微的条件
性质3.7 函数 f ( x)在点 x0可微 f ( x)在点 x0处可导, 且 A f ( x0 ). 证 (1) 必要性 f ( x )在点x0可微,
y A x o( x ),
y o( x ) A , x x
y o( x ) 则 lim A lim A. x 0 x x 0 x
(2) d (sin x ) ( )d ( x ).
2
1 1 1 cos tdt cos td(t ) d(sin t ) d ( sin t ); 1 d ( sin t C ) cos tdt . d (sin x 2 ) 2 x cos x 2 dx ( 2) 4 x x cos x 2 , 1 d( x) dx 2 x d (sin x 2 ) (4 x x cos x 2 )d ( x ).
dy
x2 x 0.02
3 x 2 x
x2 x 0.02
0.24.
4.微分的几何意义
PQ tan f ( x) x
y
T N P
o( x )
PQ f ( x )x dy
y NQ , dy PQ NP o( x )
o
y f ( x)
例6 在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使 等式成立.
(1) d ( ) cos tdt;
(2) d (sin x 2 ) ( )d ( x ).
例6 在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使 等式成立.
(1) d ( ) cos tdt;
解 (1) cos tdt d(sin t ),
例9 证当x很小时, e x 1 x
微分形式的不变性
设函数 y f ( x )有导数 f ( x ),
(1) 若x是自变量时, dy f ( x )dx;
( 2) 若x是中间变量时, 即另一变量t的可 dy f ( x)g(t )dt 微函数x g(t ), 则
g(t )dt dx, dy f ( x )dx.
）
M
dy y
x Q

x0
x0 x
x
几何意义:
dy f ( x)x就是在f ( x)在x处切线纵坐标的改变量 .
(二) 、微分的计算
dy f ( x )dx
求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分. 1.基本初等函数的微分公式 0 d(C) ___ cosx dx d(sin x) _____
当y=x时, dy=dx
dy f ( x )dx.
dy f ( x ). dx 即函数的微分 dy与自变量的微分 dx之商等于
该函数的导数 . 导数也叫 " 微商".
例1 求函数 y x 3 当 x 2, x 0.02时的微分. 解 dy ( x 3 )x 3 x 2 x .
2
1 x d( x ) _____dx -sinx dx d(cos x) _____

2 csc x dx d(tan x) _____ sec x____dx d(cot x) _________ -cscxcotx dx d(sec x) __________ secxtanx dx d(csc x) _________
例2 设 y ln( x e ), 求dy. 例3 设 y e13x cos x, 求dy及dy(0).
x2
例4 y f(e ), 求dy
-x
例5 :由x y 2 exy确定y f (x), 求dy
3.复合函数的微分及微分形式不变性
性质3.9 设y f(u), u g(x)可微, 则y f[g(x)]关于x可微, 且df[g(x)] f [g(x)] g(x)dx
微分 dy叫做函数增量 y的线性主部.
y A x o( x) dy o( x)(其中A与x无关)
y与dy的关系
(1) y dy o( x); (dy为y的线性主部) ( 2) 当A 0时, y ~ dy;
( 3) 当 x 很小时, y dy .
x x x a e d(___) a ln adx d(___) e xdx 1 1 1 ln x x dx d(log a x ) _____ x ln adx d(___) dx, d(ln x) ____ 1 1 x d(arcsin x ) ______ 1 x 2 dx d(arccos x) ______ 1 x 2 dx 1 1 2 dx arctanx d(________) dx d ( arc cot x ) ______ 1 x 2 1 x
2. 函数和、差、积、商的微分法则
d(f ( x) g( x)) df ( x) dg( x) d(Cf ( x)) Cdf ( x) d(f ( x)g( x)) g( x)df ( x) f ( x)dg( x) f ( x) g( x)df ( x) f ( x )dg( x) d( ) g( x ) g( x )2
f ( x0 ) x o( x ),
函数 f ( x )在点 x0可微, 且 f ( x0 ) A.
可导 可微.
A f ( x 0 ).
函数 y f ( x )在任意点 x的微分, 称为函数的 微分, 记作 dy或 df ( x ), 即 dy f ( x )x .