专题20 平面向量的数量积及向量的应用知识点

考点20 平面向量的数量积及向量的应用

一、平面向量的数量积 1．平面向量数量积的概念 （1）数量积的概念

已知两个非零向量,a b ，我们把数量||||cos θa b 叫做向量a 与b 的数量积(或内积)，记作⋅a b ,即

⋅=a b ||||cos θa b ，其中θ是a 与b 的夹角.

【注】零向量与任一向量的数量积为0. （2）投影的概念

设非零向量a 与b 的夹角是θ，则||cos θa (||cos θb )叫做向量a 在b 方向上(b 在a 方向上)的投影. 如图（1）（2）（3）所示，分别是非零向量a 与b 的夹角为锐角、钝角、直角时向量a 在b 方向上的投影的情形，其中1OB =||cos θa ，它的意义是，向量a 在向量b 方向上的投影长是向量1OB 的长度.

（3）数量积的几何意义

由向量投影的定义，我们可以得到⋅a b 的几何意义：数量积⋅a b 等于a 的长度||a 与b 在a 方向上的投影||cos θb 的乘积. 2．平面向量数量积的运算律

已知向量,,a b c 和实数λ,则 ①交换律：⋅=⋅a b b a ；

②数乘结合律：()()λλ⋅=⋅a b a b =()λ⋅a b ； ③分配律：()+⋅⋅+⋅a b c =a c b c

二、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角及性质

设非零向量1122(,),(,)x y x y ==a b ，θ是a 与b 的夹角.

（1）数量积：⋅=a b 1212||||cos x x y y θ=+a b . （2

）模：||=

=a （3）夹角：cos ||||

θ⋅=

=a b

a

b .

（4）垂直与平行：0⊥⇔⋅=⇔a b a b 12120x x y y +=；a ∥b ⇔a ·b =±|a ||b |.

【注】当a 与b 同向时,||||⋅=a b a b ；当a 与b 反向时,⋅=a b ||||-a b . （5）性质：|a ·b |≤|a ||b |(当且仅当a ∥b 时等号成立)

⇔1212||x x y y +≤三、平面向量的应用

1．向量在平面几何中常见的应用

已知1122(,),(,)x y x y ==a b .

（1）证明线段平行、点共线问题及相似问题，常用向量共线的条件：

λ⇔=⇔∥a b a b 1221x y x y -0(0)=≠b

（2）证明线段垂直问题，如证明四边形是正方形、矩形，判断两直线（或线段）是否垂直等，常用向量垂

直的条件：

0⊥⇔⋅=⇔a b a b 1212x x y y +0=（其中,a b 为非零向量）

（3）求夹角问题，若向量a 与b 的夹角为θ，利用夹角公式：

cos θ=

||||

⋅a b

a b

=（其中,a b 为非零向量）

（4）求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：

||=

a

或||||AB AB =

=

,A B 两点的坐标分别为3344(,),(,)x y x y ）

（5）对于有些平面几何问题，如载体是长方形、正方形、直角三角形等，常用向量的坐标法，建立平面直

角坐标系，把向量用坐标表示出来，通过代数运算解决综合问题. 2．向量在物理中常见的应用 （1）向量与力、速度、加速度及位移 （2）向量与功、动量

1．已知向量,a b 的夹角为

错误！未找到引用源。,且错误！未指定书签。,则

错

误！未指定书签。等于 A ．错误！未找到引用源。

B ．错误！未找到引用源。

C ．错误！未找到引用源。

D ．错误！未找到引用源。

2．已知向量a ，b 的夹角为，则2-a b 在a 方向上的投影为 A ．2

B ．4

C ．6

D ．8

3．若向量,a b 满足

||||1==a b ,且1

()2

⋅-=a a b ,则向量错误！未找到引用源。与错误！未找到引用源。的夹角为 A ．错误！未找到引用源。 B ．错误！未找到引用源。

C ．错误！未找到引用源。

D ．错误！未找到引用源。

4．已知向

量a =(1,2)，b =(1,1)，且a 与a ＋λb 的夹角为锐角，则实数λ满足

A ．λ<−错误！未找到引用源。

B ．λ>−错误！未找到引用源。

C ．λ>−

错误！未找到引用源。且λ≠0

D ．λ<−错误！未找到引用源。且λ≠−5

5．如图,在边长为3的正方形错误！未找到引用源。中错误！未找到引用源。与错误！未找到引

用源。交于点错误！未找到引用源。则错误！未找到引用源。 .

6．(2016年高考新课标Ⅲ卷) 已知向量1(2BA =uu r ,1),2BC =uu u

r 则ABC ∠= A ．30° B ．45° C ．60°

D ．120°

7．（2017年高考天津卷）在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =．若2BD DC =，AE AC λ=-

()AB λ∈R ，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为___________．

8．（2017年高考山东卷）已知12,e e 是互相垂直的单位向量，12-e 与12λ+e e 的夹角为60︒，则实数λ的值是___________．

9．（2016年高考新课标Ⅰ卷）设向量a =(m ,1)，b =(1,2)，且|a +b |2=|a |2+|b |2，则m =___________．