[学习]东北大学数值分析考试题解析
东北大学数值分析 总复习+习题21页文档

11、获得的成功越大,就越令人高兴 。野心 是使人 勤奋的 原因, 节制使 人枯萎 。 12、不问收获,只问耕耘。如同种树 ,先有 根茎, 再有枝 叶,尔 后花实 ,好好 劳动, 不要想 太多, 那样只 会使人 胆孝懒 惰,因 为不实 践,甚 至不接 触社会 ,难道 你是野 人。(名 言网) 13、不怕,不悔(虽然只有四个字,但 常看常 新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福 。我爱 自己, 我用清 洁与节 制来珍 惜我的 身体, 我用智 慧和知 识充实 我的头 脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。 农夫不 会播下 一粒玉 米,如 果他不 曾希望 它长成 种籽; 单身汉 不会娶 妻,如 果他不 曾希望 有小孩 ;商人 或手艺 人不会 工作, 如果他 不曾希 望因此 而有收 益。-- 马钉路 德。
谢谢!
36、自己的鞋子,自己一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢,但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何,且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔,思而不学则殆。——孔子
东北大学10数值分析B(研)答案

为什么? 解 由于 f ( x, y ) xye y 关于 y 满足 Lipschitz 条件, 2分 5分 的差分公式:
所以,改进 Euler 法收敛。
h y n 1 y n 4 (3k1 k 2 ) k f (x , y ) n n 1 k 2 f ( x n 2h, y n 2hk1 ) y0
1 3 1 3 , x2 2 6 2 6
4分
1 1 1 3 1 3 ) f( )] 积分公式为: f ( x)dx [ f ( 0 2 2 6 2 6
6分
解得: a 1 / 3, b 13 / 18 0.7222 , 拟合曲线为: y
13 2 1 x 18 3
y ( x n 1 ) y ( x n ) y ( x n )h
y n hf n
h2 h3 y ( x n ) y ( x n ) O(h 4 ) 2 6
5分
h 2 f n f n ( fn ) 2 x y
2 fn 2 f n 2 f n f n f h3 2 f n [ 2 2 fn fn ( n ) 2 f h ] O(h 4 ) 2 6 x xy x y y y
。
解
3 2 4.(6 分)设 xk 1 xk axk bxk c, k 0,1,2,... 是求方程根 1 的迭代法,试确定
1/ 3 1/ 3 0 0 1 / 3 ,所以 B 由于 B 13 1/ 2 1/ 4 0
1 1 9 所以, H 3 ( x) ( x 2)( x 2 4 x 1) x 3 3x 2 x 1 2 2 2 9. 分)给定离散数据 (7
2012数值分析试题及答案

aii
(bi
n
aij
x
(k j
)
)
,
j 1
i 1,2,, n
(1) 求此迭代法的迭代矩阵 M ;
(2) 证明:当 A 是严格对角占优矩阵, 0.5 时,此迭代格式收敛.
解:迭代法的矩阵形式为:
x(k1) x(k) D 1 (b Ax (k) ) D 1 (D A)x(k) D 1b
x2 3/5
).
线 …
8.对离散数据 xi yi
1 0 1 2 的拟合曲线 y 5 x 2 的均方差为( 2.5 1.58 ).
2 1 1 3
6
…
…
…
9.设求积公式
2
f (x)dx
1
A0 f (1) A1 f (0) A2 f (1) 是插值型求积公式,则积分系
… 数 A0 3/ 4 , A1 0 , A2 9 / 4 .
2
2
2
2
2
2
R[ f ] 0 f (x)dx 0 p1 (x)dx 0 f (x)dx 0 H 3 (x)dx 0 H 3 (x)dx 0 p1(x)dx
2 f (4) ( x ) (x 1 )2 (x 1 )2 dx f (4) () 2 (x2 1)2 dx
…
四、(10 分)利用复化 Simpson 公式 S2 计算定积分 I
2
cos
xdx
的近似值,并估
0
… 计误差。
… …
解:
I
S2
1 [cos0 6
cos2
东北大学数值分析考试题解析

数值分析提供了许多实用的算法, 这些算法可以解决各种实际问题, 如线性方程组、微分方程、积分 方程等。这些算法在科学计算、 工程仿真、数据分析等领域都有 广泛的应用。
数值分析在解决实际问题时具有 高效、精确和可靠的特点。通过 数值分析,我们可以快速地得到 问题的近似解,并且可以通过误 差分析来控制解的精度。这使得 数值分析成为解决实际问题的重 要工具。
详细描述
数值分析是一门应用广泛的学科,它通过数学方法将实际问题转 化为可计算的数学模型,并寻求高效的数值计算方法来求解这些 问题。数值分析在科学计算、工程、经济、金融等领域中发挥着 重要的作用,为实际问题的解决提供了有效的工具。
数值分析的应用领域
总结词
数值分析的应用领域非常广泛,包括科学计算、工程、经济、金融等。
非线性方程组的求解精度和速 度取决于所选择的方法和初值 条件。
非线性方程组的求解在科学计 算、工程技术和计算机图形学 等领域有广泛应用。
最优化方法
最优化方法是寻找使某个 函数达到最小或最大的参 数值的方法。
最优化方法的效率和精度 取决于所选择的算法和初 始参数值。
常用的最优化方法包括梯 度下降法、牛顿法和拟牛 顿法等。
数值分析在人工智能领域的应用
总结词
数值分析在人工智能领域的应用关键,涉及深度学习、神经 网络等领域。
详细描述
数值分析为人工智能提供了理论基础和算法支持,特别是在 深度学习和神经网络方面。通过数值分析的方法,可以优化 神经网络的参数和结构,提高人工智能的性能和准确性。
数值分析在金融领域的应用
总结词
常见的迭代法有雅可比迭代法 、高斯-赛德尔迭代法等。
牛顿法
牛顿法是一种基于泰勒级数 的迭代方法,用于求解非线 性方程的根。
东北大学09数值分析(研)答案

。 2 − n ,...,2,1 = k � 0 =
i≠ j
k
i
∑ �即
) 4 h(O + ) 2n f
2 n
x∂ 61 y∂ y∂x∂ y∂ x∂ 2 + n fh + n y = + ) nf n + n ( + nf n 2 + n2 ( f 2∂ f 2 ∂ 3 h3 f 2∂ f∂ f∂ 2 h
3 n 2
1+ k
i)
1= i j − i 1= j 1= i ∏ ( ∑ = i y ) x ( i l ∑ = ) x ( nL = ) x ( f = j −x n n n
x
�有性一唯的式项多值插由
i≠ j
j i 1= j j − i 1= j ∏ x− x∏ = = )x ( il jx − x j −x n n
x−
) k(
x 使若� T )4 / 3 ,3 / 2 ,2 / 1( =
)1(
x �得步一代迭
解
�有且而。3�n 取应�故
4
� 4 /1 − 2 /1 − � � � 0 6 0 3 / 1 − � = B 为阵矩代迭 . = 1 B, � 3 / 1 − i b o c a J 于由 5 � � � 2 /1 2 /1 − 0 �
2
解
。线曲合拟的 2 xb + a = y 如形求试 1 0 3 1�
i y
… … … … 密 … … … …
○
。步 2 5 代迭应即。 2 5� k 取�以所
1
4 2
2 1
82.15 ≈
ix
x − )1( x 6 21 / 32 )0 ( nl ÷ nl = 1 B nl ÷ 1 nl > k 5 6 / 3− 01 ) B − 1( ε
东北大学 数值分析 08数值分析(研)答案

y n1 y n
f 1 h 2 f n hfn ( n fn ) 3 3 x y ( 2
2 2 fn 2 fn 2 fn 2 f f n2 ) O(h 4 ) n xy x 2 y 2
问应取 n 为多少?并求此近似值。 2 2 1.由 A0 A1 A2 , A0 A1 x1 A2 0, A0 A1 x12 A2 , 3 5 1 4 3 A0 A1 x1 A2 0, 可得: A0 A2 , A1 , x1 0 ,具有 3 次代数精度。 5 15 2. n 4
五、 (12 分)已知求解常微分方程初值问题:
y f ( x, y) , x [a, b] y ( a)
的差分公式:
h y n 1 y n 3 (k1 k 2 ) k f (x , y ) n n 1 k 2 f ( x n h, y n hk1 ) y0
( A)
5 33 , Cond( A)1 21。 2
6.求区间[0,1]上权函数为 ( x) 1 的二次正交多项式 P2 ( x) 。
P0 ( x) 1, P1 ( x) x
9 x 3 3. x 为何值时,矩阵 A x 8 4 可分解为 GG T ,并求 x 6 时的分解式,其中 3 4 3
由 A 正定可得, 0 x 8 , x 6 时有:
9 6 3 3 3 2 1 A 6 8 4 = 2 2 2 1 3 4 3 1 1 1 1
试求形如 y a bx2 的拟合曲线。 由于 0 ( x) 1,1 ( x) x 2 ,所以 0 (1,1,1,1)T ,1 (1,0,1,4)T , f (2,1,3,2)T
(完整)数值分析试题库与答案解析,推荐文档

模 拟 试 卷(一)一、填空题(每小题3分,共30分)1.有3个不同节点的高斯求积公式的代数精度是 次的.2.设,,则=.,= ______.152210142-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A 342⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭x ∞A1x3.已知y =f (x )的均差(差商),,,01214[,,]3f x x x =12315[,,] 3f x x x =23491[,,]15f x x x =, 那么均差=.0238[,,] 3f x x x =423[,,]f x x x 4.已知n =4时Newton -Cotes 求积公式的系数分别是:则,152,4516,907)4(2)4(1)4(0===C C C = .)4(3C 5.解初始值问题的改进的Euler 方法是阶方法;0(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩6.求解线性代数方程组的高斯—塞德尔迭代公式为,123123123530.13260.722 3.51x x x x x x x x x --=⎧⎪-++=⎨⎪++=⎩若取, 则.(0)(1,1,1)=- x(1)=x 7.求方程根的牛顿迭代格式是 .()x f x =8.是以整数点为节点的Lagrange 插值基函数,则01(), (),, ()n x x x 01, ,, ,n x x x =.()nk jk k x x =∑9.解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是.=Ax b (1)()k k +=+x Bx g 10.设,则的三次牛顿插值多项式为(-1)1,(0)0,(1)1,(2)5f f f f ====()f x ,其误差估计式为 .二、综合题(每题10分,共60分)1.求一次数不超过4次的多项式满足:,,()p x (1)15p =(1)20p '=(1)30p ''=,.(2)57p =(2)72p '=2.构造代数精度最高的形式为的求积公式,并求出10101()()(1)2xf x dx A f A f ≈+⎰其代数精度.3.用Newton 法求方程在区间内的根, 要求.2ln =-x x ) ,2(∞8110--<-kk k x x x 4.用最小二乘法求形如的经验公式拟合以下数据:2y a bx=+i x 19253038iy 19.032.349.073.35.用矩阵的直接三角分解法解方程组.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡71735 30103421101002014321x x x x 6 试用数值积分法建立求解初值问题的如下数值求解公式0(,)(0)y f x y y y '=⎧⎨=⎩,1111(4)3n n n n n hy y f f f +-+-=+++其中.(,),1,,1i i i f f x y i n n n ==-+三、证明题(10分)设对任意的,函数的导数都存在且,对于满足x ()f x ()f x '0()m f x M '<≤≤的任意,迭代格式均收敛于的根.20Mλ<<λ1()k k k x x f x λ+=-()0f x =*x 参考答案一、填空题1.5; 2. 8, 9 ; 3.; 4. ; 5. 二; 911516456. , (0.02,0.22,0.1543)(1)()()123(1)(1)()213(1)(1)(1)312(330.1)/5(220.7)/6(12)*2/7k k k k k k k k k x x x x x x x x x ++++++⎧=++⎪=+-⎨⎪=--⎩7. ; 8. ; 9. ;1()1()k k k k k x f x x x f x +-=-'-j x ()1B ρ<10.32(4)11,()(1)(1)(2)/24(1,2)66x x x f x x x x ξξ+-+--∈-二、综合题1.差商表:11122151515575720204272152230781233234()1520(1)15(1)7(1)(1)(2)5432p x x x x x x x x x x =+-+-+-+--=++++其他方法:设233()1520(1)15(1)7(1)(1)()p x x x x x ax b =+-+-+-+-+令,,求出a 和b.(2)57p =(2)72p '=2.取,令公式准确成立,得:()1,f x x =,, , .0112A A +=011123A A +=013A =116A =时,公式左右;时,公式左, 公式右2()f x x =14=3()f x x =15=524=∴ 公式的代数精度.2=3.此方程在区间内只有一个根,而且在区间(2,4)内。
东北大学数值分析答案

第一周解答:π=0.31415926×10M=1|π-3.141|=0.0005926<1/2 ×10m−n=0.5 ×101−n≤0.5×10−2所以n=3|π-3.142|=0.0004074<1/2 ×10m−n=0.5 ×101−n≤0.5×10−3所以n=4即3.141作为π的近似值具有3位有效数字3.142 有4位解答:√3=1.73205081…=0.173205081…M=1|√3−x|≤0.5×101−n|n=2时0.5×101−n=0.051.73205-x≤0.05x≥1.68205x=1.68205|√3−x|≤0.5×101−n|n=3时0.5×101−n=0.0051.73205-x≤0.005x≥1.72705x=1.72705解答:2256=2128×2128=264×264×2128=232×232×264×2128=216×216×232×264×2128=2×2×22×24×28×216×232×264×2128共计算8次乘法第二周解答:因为在n取一定位数时,1/n过于小导致系统计算为0.因此计算机求和在一定位数以后其余的数字都是0,结果为一常数解答:由于y0=28没有误差,可见误差是由√783引起的,设x=27.982σ=x-√783利用已知的递推算法,y n=y n−1−√783100和实际计算中的递推公式Y n=Y n−1−x/100(Y0=y0)两公式相减,e(Y n)=Y n−y n=Y n−1−y n−1−x−√783100e(Y n)= e(Y n−1)- σ/100此为绝对误差因为σ=x-√783数值恒定不变,因此该递推过程稳定解答:(1)原式=2x2(1−2x)(1−x)(2)e x 在x=0处的泰勒展开式可得: e x =1+x +12!x 2+⋯1n!x 2+R n (x) 所以1−e x x=x+12!x 2+⋯1n!x2x=1+12!x 2+⋯1n!x n−1第三周解答:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡61-12001-101-1131-11-301-101-11101112-2-211-11消元消元回代得解,;3,2,2321===x x x解答:1. 使用条件:当系数矩阵 A 的各阶顺序主子式非零时,顺序高斯消去法可以顺利进行;而一般只要系数矩阵 A 的行列式非零,列主元高斯消去法就可以顺利进行。
东北大学数值分析 总复习+习题

(2)构造迭代格式:
xk1 1 sin xk
由于|(x)|=|
cos x|/<12,故1此迭si代n法x收敛.
k 0,1,2,...
取初值x0=1.5, 计算得x1=1.41333, x2=1.40983,由于|x2-x1|=0.0035<10-2 , 故可取 根的近似值x2=1.40983.
容易验证公式对(x)=x5仍精确成立,故其代数精度为5,是Gauss公式。
六、(12分)设初值问题
y f (x, y)
y(a)
(1)试证单步法
a xb
K1 f (xn , yn ),
K2
f
(xn
2 3
h,
yn
2 3
hK1
)
y
n
1
yn
h 4
(
K
1
3K 2 )
2.了解数值计算中应注意的一些问题.
二、解线性方程组的直接法
1.了解Gauss消元法的基本思想,知道适用范围
顺序Gauss消元法:矩阵A的各阶顺序主子式都不为零.
主元Gauss消元法:矩阵A的行列式不为零.
2.掌握矩阵的直接三角分解法。
会对矩阵进行Doolittle分解(LU)、LDM分解、Crout分解(TM)及Cholesky分解(GGT)。
(3)因为0<</2,所以() 故,此迭代法线性收敛(收敛阶为1).
0
cos / 2 1 sin
三、(14分)设线性方程组
4x1 x2 2x3 1 x1 5x2 x3 2 2x1 x2 6x3 3
东北大学-数值分析-课后习题详细解析

2-6(1).给定方程组
10 2 x y 1
x
y
2
a.用Cramer法则求其精确解. b.用Gauss消元法和列主元
Gauss消元法求解,并比较结果.(用两位浮点计算).
解 a.x=-1/-0.99=1.010101,y=-0.98/-0.99=0.989899
b.用Gauss消元法
7
10 2 x y 1
1.01
1.01
1.01
1
0.66
0.995
0.66
1.17
2
0.67
1.17
0.553333
1.223333
3
0.553333
1.165
0.517778
1.241111
4
0.556667
1.223333
0.505926
1.247037
5
0.517778
1.221667
0.501975
1.249012
解 有效数位分别为: 3位,1位,0位.
1
1-3.为了使101/2的相对误差小于0.01%,试问应取几位有效
数字?
解 因为101/2=3.162…=0.3162…10,若具有n位有效数字,
则其绝对误差限为0.5 101-n ,于是有
r=0.5101-n/3.162…<0.5101-n/3<0.01% 因此只需n=5.即取101/2=3.1623
解 (1)J迭代法和G-S迭代法的迭代格式分别为
x(k 1
x(k 2
1) 1)
3
2
x
(k 2
)
2 1.5x1(k)
计算结果如下:
k
《数值分析》练习题及答案解析

《数值分析》练习题及答案解析第一章 绪论主要考查点:有效数字,相对误差、绝对误差定义及关系;误差分类;误差控制的基本原则;。
1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有( )和( )位有效数字.A .4和3B .3和2C .3和4D .4和4 答案:A2. 设 2.3149541...x *=,取5位有效数字,则所得的近似值x=___________ .答案:2.31503.若近似数2*103400.0-⨯=x 的绝对误差限为5105.0-⨯,那么近似数有几位有效数字 解:2*103400.0-⨯=x ,325*10211021---⨯=⨯≤-x x 故具有3位有效数字。
4 . 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少?解:10314159.0⨯= π,欲使其近似值*π具有4位有效数字,必需!41*1021-⨯≤-ππ,3*310211021--⨯+≤≤⨯-πππ,即14209.314109.3*≤≤π即取( , )之间的任意数,都具有4位有效数字。
第二章 非线性方程求根 主要考查点:二分法N 步后根所在的区间,及给定精度下二分的次数计算;非线性方程一般迭代格式的构造,(局部)收敛性的判断,迭代次数计算; 牛顿迭代格式构造;求收敛阶;1.用二分法求方程012=--x x 的正根,要求误差小于0.05。
(二分法)解:1)(2--=x x x f ,01)0(<-=f ,01)2(>=f ,)(x f 在[0,2]连续,故[0,2]为函数的有根区间。
"(1)计算01)1(<-=f ,故有根区间为[1,2]。
(2)计算041123)23()23(2<-=--=f ,故有根区间为]2,23[。
(3)计算0165147)47()47(2>=--=f ,故有根区间为]47,23[。
(4)计算06411813)813()813(2>=--=f ,故有根区间为]813,23[。
东北大学数值分析3.26

( k 1)
x
(k ) i
i 1 n 1 ( k 1) (bi a ij x j a ij x (jk ) ) j 1 j i a ii
, i 1,2, n, k 0,1,2,
或写成向量形式 x(k+1)=x(k)+D-1(b+Lx(k+1)+(U-D)x(k)) , k=0,1,2,…
det(£ ) =det[(D-L)-1 ((1-)D+U)] =det[(E-D-1L)-1 ]det[(1-)E+D-1U)] =(1-)n 于是 |1-|<1, 或 0<<2
定理3.8 设A是严格对角占优矩阵,则解方程组Ax=b 的SOR方法,当0<1时收敛. 定理3.9 证 于是 (1-)(Dy,y)+(Uy,y)=[(Dy,y)-(Ly,y)]
(3.3)
, k 1,2,3,
或写成: 其中
0 a 21 B a 22 a n1 a nn
x(k+1)=Bx(k)+g
a12 a11 0 a n2 a nn a1n a11 a 2n a 22 0
a11 a12 a1n a 21 a 22 a 2 n (D L) U a n1 a n 2 a nn
若||1, 则矩阵(D-L)-U 是严格对角占优矩阵, 这与
det((D-L)-U)=0矛盾, 所以||<1,于是(G)<1.
由于迭代矩阵的行范数小于1,故此迭代法收敛.
§4 逐次超松弛迭代法---SOR方法
将Jacobi迭代法
(汇总)东北大学-数值分析--考试题解析.ppt

构造函数(t)=(t)-H3(t)-C(x)t(t-1)2(t-2) 于是,存在x,使(4)(x)=0,即(4)(x)-4!C(x)=0
R(x) f (4) ( x ) x(x 1)2 (x 2)
4!
五、(12分)试确定参数A,B,C及,使数值积分公式
2
2
f
(x)dx
Af
( )
Bf
(0)
Cf
( )
有尽可能高的代数精度,并问代数精度是多少?它是否是
Gauss公式?
解 令公式对(x)=1,x,x2,x3,x4都精确成立,则有 4=A+B+C, 0=A-C, 16/3=A2+C2, 0=A3-C3 64/5=A4+C4 ,解得:A=C=1精0品/文9档,B=16/9,=(12/5)1/2 7
令2(x)=cx(x-1)2,可得2(x)=0.5x(x-1)2;
令1(x)=cx(x-1)(x-2),可得1(x)=-x(x-1)(x-2),
于是
H3(x)==-x(3x--21.)5x2(2x+-22.)5-x3+x2(精x品-2文)档+2.5x(x-1)2
–0.5x(x-1)(x-2) 6
由于,R(0)=R(1)=R(2)=R(1)=0, 故可设 R(x)=C(x)x(x-1)2(x-2)
(3)因为0<</2,所以() cos / 2 1 sin 0
故,此迭代法线性收敛(收敛阶为1).
三、(14分)设线性方程组
4x1 x2 2x3 1 x1 5x2 x3 2 2x1 x2 6x3 3
(1)写出Jacobi法和SOR法的迭代格式(分量形式);
(2)讨论这两种迭代法的收敛性.