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赵树源线性代数线性代数第1讲
a a a 1 j1 2 j2 3 j3 j1j2j3为三级排列, 当j1j2j3取遍了3级排列时, 即得到三阶行列式的所有项(不包含符号), 共为3!=6项.
24
(2) 每一项的符号是, 当这一项中元素的 行标按自然数顺序排列后, 如果对应的列 标构成的排列是偶排列则取正号, 是奇排 列则取负号. 如在上述二阶行列式中, 当 N(j1j2)为偶数时取正号, 为奇数时取负号; 在上述三阶行列式中, 当N(j1j2j3)为偶数 时取正号, 为奇数时取负号.
13
例如, 排列23154中, 2在1前面, 3在1前面, 5在4 前面, 共有3个逆序, 即
N(23154)=3, 所以23154为奇排列. 排列12…n的逆序数是零, 是偶排列. 例如, 由1,2,3这3个数码组成的3个数码组成的 3级排列共有3!=6种. 其排列情况可列成表.
14
表1-1
排列 123 132 213 231 312 321
22
(1) 二阶行列式表示所有不同的行不同的 列的两个元素乘积的代数和. 两个元素的 乘积可以表示为
a a 1 j1 2 j2 j1j2为2级排列, 当j1j2取遍了2级排列(12, 21) 时, 即得到二阶行列式的所有项(不包含符 号), 共为2!=2项.
23
三阶行列式表示所有位于不同的行不同 的列的3个元素乘积的代数和. 3个元素 的乘积可以表示为
6
画线法记忆
a11
a12
a13
a21
a22
a23
a31
a32
a33
+ +
+
7
例1. 1 23 4 0 5 1 0 6 + 2 5 (1) + 3 4 0 1 0 6 1 5 0 2 4 6 3 0 (1) 10 48 58
24
(2) 每一项的符号是, 当这一项中元素的 行标按自然数顺序排列后, 如果对应的列 标构成的排列是偶排列则取正号, 是奇排 列则取负号. 如在上述二阶行列式中, 当 N(j1j2)为偶数时取正号, 为奇数时取负号; 在上述三阶行列式中, 当N(j1j2j3)为偶数 时取正号, 为奇数时取负号.
13
例如, 排列23154中, 2在1前面, 3在1前面, 5在4 前面, 共有3个逆序, 即
N(23154)=3, 所以23154为奇排列. 排列12…n的逆序数是零, 是偶排列. 例如, 由1,2,3这3个数码组成的3个数码组成的 3级排列共有3!=6种. 其排列情况可列成表.
14
表1-1
排列 123 132 213 231 312 321
22
(1) 二阶行列式表示所有不同的行不同的 列的两个元素乘积的代数和. 两个元素的 乘积可以表示为
a a 1 j1 2 j2 j1j2为2级排列, 当j1j2取遍了2级排列(12, 21) 时, 即得到二阶行列式的所有项(不包含符 号), 共为2!=2项.
23
三阶行列式表示所有位于不同的行不同 的列的3个元素乘积的代数和. 3个元素 的乘积可以表示为
6
画线法记忆
a11
a12
a13
a21
a22
a23
a31
a32
a33
+ +
+
7
例1. 1 23 4 0 5 1 0 6 + 2 5 (1) + 3 4 0 1 0 6 1 5 0 2 4 6 3 0 (1) 10 48 58
人民大2024赵树嫄《线性代数(第六版)》PPT第四章 特征值问题和矩阵的对角化
第四章
1
本章介绍矩阵的特征值、特征向量以及矩阵对 角化的问题。
2
第一节 矩阵的特征值与特征向量
(一) 矩阵的特征值 定义 设 A 是一个 n 阶方阵，如果存在一个数 ， 以及一个非零 n 维列向量 ，使得
A
则称 为矩阵 A 的特征值，而 称为矩阵 A 的属于 特征值 的特征向量。
说明： 1、特征值问题是针对方阵而言的； 2、特征向量必须是非零向量； 3、特征向量既依赖于矩阵A，又依赖于特征值λ。
的特征向量。
证 (2) A 0 A( A ) A(0 ) 0 ( A ) 0(0 ) ,
即 A2 20 ，
重复这个过程, 可得 A3 30 , , Am 0m .
27
性质2 设 0 是矩阵 A 的特征值， 是相应的特征向量，则
(1) k0 是kA 的特征值（k 是任意常数）；
26
性质2 设 0 是矩阵 A 的特征值， 是相应的特征向量，则
(1) k0 是kA 的特征值（k 是任意常数）；
(2) m0 是 Am 的特征值（m 是正整数）；
(3) 当 A 可逆时,0 0 ,且01 是A1 的特征值.
且 仍然是矩阵kA 、Am 、A1 的相应于特征值k0 、m0 、
1 0
2 1 1 解 | E A | 0 2 0
4 1 3
( 2)2( 1) 0 ,
所以A的特征值为 1 2(二重根), 2 1 .
21
2 1 1 | E A | 0 2 0 , 1 2(二重根), 2 1 .
4 1 3
4
对
1
2 ，2 E
A
0
1 0
1 4 0 0
3
特征值与特征向量的计算方法：
1
本章介绍矩阵的特征值、特征向量以及矩阵对 角化的问题。
2
第一节 矩阵的特征值与特征向量
(一) 矩阵的特征值 定义 设 A 是一个 n 阶方阵，如果存在一个数 ， 以及一个非零 n 维列向量 ，使得
A
则称 为矩阵 A 的特征值，而 称为矩阵 A 的属于 特征值 的特征向量。
说明： 1、特征值问题是针对方阵而言的； 2、特征向量必须是非零向量； 3、特征向量既依赖于矩阵A，又依赖于特征值λ。
的特征向量。
证 (2) A 0 A( A ) A(0 ) 0 ( A ) 0(0 ) ,
即 A2 20 ，
重复这个过程, 可得 A3 30 , , Am 0m .
27
性质2 设 0 是矩阵 A 的特征值， 是相应的特征向量，则
(1) k0 是kA 的特征值（k 是任意常数）；
26
性质2 设 0 是矩阵 A 的特征值， 是相应的特征向量，则
(1) k0 是kA 的特征值（k 是任意常数）；
(2) m0 是 Am 的特征值（m 是正整数）；
(3) 当 A 可逆时,0 0 ,且01 是A1 的特征值.
且 仍然是矩阵kA 、Am 、A1 的相应于特征值k0 、m0 、
1 0
2 1 1 解 | E A | 0 2 0
4 1 3
( 2)2( 1) 0 ,
所以A的特征值为 1 2(二重根), 2 1 .
21
2 1 1 | E A | 0 2 0 , 1 2(二重根), 2 1 .
4 1 3
4
对
1
2 ，2 E
A
0
1 0
1 4 0 0
3
特征值与特征向量的计算方法：
线性代数3-3(第四版)赵树嫄
设1(1 2) 2(1/2 2) 有122 由此可得 1220 即1 2线性相关
《线性代数》 (第四版)教学课件
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(二)关于线性组合与线性相关的定理
定理37 向量组1 2 s(s2)线性相关的充分必要条件是 其 中至少有一个向量是其余s1个向量的线性组合 定理38 如果向量组1 2 s 线性相关 而1 2 s线性无 关 则向量可由向量组1 2 s线性表示且表示法唯一 举例 任何一个向量 (a1 a2 an) 都可由初始单位向量组 1(1 0 0) 2(0 1 0) n(0 0 1)唯一地线性表 示 即 a11a22 ann
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例5 证明 如果向量组 线性无关 则向量组 亦线性无关 证 设有一组数k1 k2 k3使 k1()k2()k3()0 成立 整理得 (k1k3)(k1k2)(k2k3)0 因为向量组 线性无关 故
k k3 0 1 0 k1 k2 k2 k3 0 该方程组的系数行列式D20
提示
1 0 1 D 1 1 0 20 0 1 1
所以该方程组只有零解k1k2k30 从而 线性无关
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定理39 设有两个向量组 1 2 s (A) 及 1 2 t (B) 向量组(B)可由向量组(A)线性表示 如果st 则向量组(B)线性 相关
举例 定理又可以叙述为 如果向量组(B)可由向量组(A)线性表 示 且向量组(B)线性无关 则ts
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3-2_向量与向量组的线性组合(赵树嫄)
例1 零向量是任何一组同维向量的线性组合. 0 0 1 0 2 0 s
例2 向量组 1 , 2 , n中的任一向量 j (1 j n)
都是此向量组 1 , 2 , n的线性组合 . j 0 1 0 2 1 j 0n
a1 a2 (a1 , a2 ,, an ) a n
T
定义2 若干个同维数的列向量(或同维数的行向量) 所组成的集合叫做向量组． 例如 矩阵A (a ij )mn 有n个m维列向量 aj an a1 a 2 a11 a12 a1 j a1n a 21 a 22 a 2 j a 2 n A a a a a mj mn m1 m 2 向量组
= (a1, a2, , an)
− = (− a1, − a2, , − an)
向量的运算
注1: 不同维数的零 向量是不相等的.
设 = ( a1, a2, , an), = ( b1, b2, , bn),
(1) 向量的相等 = ai = b i (2) 向量的加法 (i =1, 2, , n)
向量与的和:
+ = ( a1+ b1 , a2+ b2, , an +bn) − = ( a1 − b1 , a2 − b2, , an −bn)
(3) 数乘向量
数与向量 的乘积:
= (a1, a2, , an)
n维向量空间 定义2 所有n维实向量的集合记为Rn, 称Rn为实n 维向量空间,它是指在Rn中定义了加法及数乘这两 种运算,并且这两种运算满足以下8条规律： (1) + = + (5) (k+l) = k +l (2) +( + ) = ( + )+ (6) k( + ) = k +k (3) +0 = (7) (kl) =k (l) (4) +( ) = 0 (8) 1 =
例2 向量组 1 , 2 , n中的任一向量 j (1 j n)
都是此向量组 1 , 2 , n的线性组合 . j 0 1 0 2 1 j 0n
a1 a2 (a1 , a2 ,, an ) a n
T
定义2 若干个同维数的列向量(或同维数的行向量) 所组成的集合叫做向量组． 例如 矩阵A (a ij )mn 有n个m维列向量 aj an a1 a 2 a11 a12 a1 j a1n a 21 a 22 a 2 j a 2 n A a a a a mj mn m1 m 2 向量组
= (a1, a2, , an)
− = (− a1, − a2, , − an)
向量的运算
注1: 不同维数的零 向量是不相等的.
设 = ( a1, a2, , an), = ( b1, b2, , bn),
(1) 向量的相等 = ai = b i (2) 向量的加法 (i =1, 2, , n)
向量与的和:
+ = ( a1+ b1 , a2+ b2, , an +bn) − = ( a1 − b1 , a2 − b2, , an −bn)
(3) 数乘向量
数与向量 的乘积:
= (a1, a2, , an)
n维向量空间 定义2 所有n维实向量的集合记为Rn, 称Rn为实n 维向量空间,它是指在Rn中定义了加法及数乘这两 种运算,并且这两种运算满足以下8条规律： (1) + = + (5) (k+l) = k +l (2) +( + ) = ( + )+ (6) k( + ) = k +k (3) +0 = (7) (kl) =k (l) (4) +( ) = 0 (8) 1 =
赵树嫄-《线性代数(第五版)》第一章 行列式
(二) n 阶行列式
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
(1) 三阶行列式共有 3! = 6 项． (2) 每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积． (3) 每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个
a12a31b2 a11a22b3 a12a21b3 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
10
x3
b1a21a32 a11a22a33
a22a31b1 a11a32b2 a12a23a31 a13a21a32
a12a31b2 a11a22b3 a11a23a32 a12a21a33
(a12a31 a11a32 ) x2
(a13a31 a11a33 ) x3
a31b1 a11b3
(a22 )
(a22a31 a21a32 ) x2 (a23a31 a21a33 ) x3 a31b2 a21b3 a12
x3
b1a21a32 a22a31b1 a11a32b2 a11a22a33 a12a23a31 a13a a21 32
1 1 1
0 1 1
1 2 1
1 2 2
D2 2 1 3 10, D3 2 1 1 5,
1 0 1
1 1 0
故方程组的解为
x1
D1 D
1,
x2
D2 D
2,
x3
线性代数(赵树嫄)第1章行列式
1
0 1 5 1 1 3 4 7 1
§1.2 n阶行列式 引例 n元线性方程组（方程个数＝未知量个数）
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2n xn b2 .......... ......... an1 x1 an2 x2 ann xn bn
N (n(n 1)L 21) (n 1) (n 2) 1
定理1.2． n个数码共有n!个排列，其中奇偶排列各占 n! 一半, 各为 . 2 (二) n阶行列式的定义
即
定义1.2 用n2个元素aij (i , j 1,2, , n)排成的数表
a11 a21 a n1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann
aij中i称为行标, j称为列标, aij
竖排称为列 , 其中横排称为行，
(i , j )元
表示该元素处在第 i行第j列, 处在行列的交叉处 , 有时也记为
a11 a 21 a 31
a12 a 22 a 32
a 23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 a 33
6 2 8
主对角线及其主对角线方向上的三个元素的乘 副对角线及其副对角线方向上的三个元 积 带正号， 素的乘积 带负号， 所得六项的代数和就是三阶行列 式的展开式．
例5
a, b R, a , b 满足什么条件时有
a b 0 b a 0 0 1 0 1
解
a b 0 2 a b a 0 b2 1 0 1
线性代数人大(赵树
例4 证明上三角行列式
a11 0 D 0 a12 a1n a22 a2 n a11a22 ann 0
证： 由定义
和式中,只有当
D ( 1) ( j1 j2 jn ) a1 j1 a2 j2 anjn
ann
jn n, jn1 n 1,, j2 2, j1 1时，
x1 3 x2 5 例1 解二元线性方程组 4 x1 3 x2 5
解: 方程组未知量的系数所构成的二阶行列式
D
1 3 4 3
3 ( 3) 4 15 0
1 5 4 5
方程组有惟一解.又
D1
5 3 5 3
30 , D2
15
分析：
a11 a 21 a 31 a12 a 22 a 32 a13 a 23 a11a 22a 33 a12a 23a 31 a13a 21a 32 a 33 a13a 22a 31 a12a 21a 33 a11a 23a 32
( 1)
( j1 j2 j3 )
于是方程组的解为
D3 15 D1 55 D2 20 x1 11，x2 4, x3 3. D 5 D 线性代数 5 D 5 9
思考与练习（三阶行列式） 1 1 1
1.解方程 1 2 1 x
x 1 6 2 x1 x 2 3 x 3 5 2.解线性方程组 3 x1 x 2 5 x 3 5 4x x x 9 2 3 1
于是方程组的解为
D1 30 D2 15 x1 2，x2 1. D 15 D 15 线性代数
6
(2)三阶行列式
主对角线法
赵树嫄微积分极限与连续PPT课件
有 | an
1|
1, 100
给定 1 , 1000
只要
n
1000时,有
|
an
1
|
1, 1000
给定 1 , 10000
只要
n
10000时,
有
|
an
1
|
1, 10000
任意给定 0,
取
N
1
,
只要
n N 时,
恒有| an 1| 成立.
第7页/共135页
定义 如果对于任意给定的正数 ε (不论它多么小),
至 多 只 有 有 限 个( N个) 落 在 其 外。
第9页/共135页
用数列极限的定义证明极限。
例1 证 明 l i m[1 (1)n1 ] 1.
n
n
证
| an
1|
|1
(1)n1 n
1|
1 n
，
任给
0,
欲பைடு நூலகம்| an 1 | ,
只要1 ,
n
或n 1,
取
N
1
,
则当n N 时,
就 有| 1 (1)n1 1 | ， 即 得 证
定理2 收敛的数列必定有界。
注1 有界性是数列收敛的必要条件，不是充分条件。
有界数列不一定收敛. 注2 无界数列必定发散。
例如：xn (1)n.
例如：xn 2n.
第12页/共135页
性质3 收敛数列的保号性
定理3 设 ln im an a,且a 0 (a 0),那么存在 正整数N 0,当n N时,都有an 0 (an 0).
第一节 数列的极限
(一) 数列概念 割圆术
我国古代数学家刘徽在《九章算术注》利用圆内接正多边形计算圆 面积的方法--割圆术，就是极限思想在几何上的应用。
求导法则经济数学赵树嫄
例5. 求 y x2 a2 的导数.
解 设 y u u x2 a2
y (
u )u
(x2
a2)
2
1 u
2x
x x2 a2
y (
x2
a2
)
1
(x2
a2
)
1 2
1
(x2
a2 )
1
(x2
a2
1
)2
2
2x
x
2
2024年10月12日星期六
蚌埠学院 高等x数2 学 a2
12
推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.
h0
h
h0
h
hlim0u(
x
h) h
u(
x)
v(
x
h)
u(
x)
v(
x
h) h
v(
x)
u(x)v(x) u(x)v(x)
故结论成立.
推论: 1) (C u ) C u ( C为常数 )
2) (uvw) uvw uvw uvw
3)
( loga
x )
ln ln
x a
1 x ln
a
2024年10月12日星期六
3
x2 1 x2
(
x
2)
的导数.
y 1 ln(x2 1) 1 ln(x 2)
2
3
y x 1 x2 1 3(x 2)
2024年10月12日星期六
蚌埠学院 高等数学
23
内容小结
求导公式及求导法则 (见 P94)
注意: 1) (uv) uv,
u v
u v
2) 搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.
线性代数公式定理大全2016
线性代数公式大全第一章 行列式1．逆序数 1.1 定义n 个互不相等的正整数任意一种排列为：12n i i i ⋅⋅⋅，规定由小到大为标准次序，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有一个逆序数，该排列全部逆序数的总合用()12n i i i τ⋅⋅⋅表示，()12n i i i τ⋅⋅⋅等于它所有数字中后面小于前面数字的个数之和。
1.2 性质一个排列中任意两个元素对换，排列改变奇偶性，即 ()211ττ=-。
证明如下：设排列为111l m n a a ab b bc c ，作m 次相邻对换后，变成111l m n a a abb b c c ，再作1m +次相邻对换后，变成111l m n a a bb b ac c ，共经过21m +次相邻对换，而对不同大小的两元素每次相邻对换逆序数要么增加1 ，要么减少1 ，相当于()211ττ=-，也就是排列必改变改变奇偶性，21m +次相邻对换后()()2121111m τττ+=-=-，故原命题成立。
2．n 阶行列式的5大性质性质1：转置（行与列顺次互换）其值不变。
性质2：互换任意两行（列）其值变号。
性质3：任意某行（列）可提出公因子到行列式符号外。
性质4：任意行列式可按某行（列）分解为两个行列式之和。
性质5：把行列式某行（列）λ倍后再加到另一行（列），其值不变。
行列式的五大性质全部可通过其定义证明；而以后对行列式的运算主要是利用这五个性质。
对性质4的重要拓展： 设n 阶同型矩阵，()()(); ij ij ij ij A a B b A B a b ==⇒+=+，而行列式只是就某一列分解，所以，A B +应当是2n个行列式之和，即A B A B+≠+。
韦达定理的一般形式为： 一、行列式定义 1．定义其中逆序数 ()121n j j j j τ=后面的1j 小的数的个数 2j +后面比2j 小的数的个数+1n j -+后面比1n j -小的数的个数.2．三角形行列式二、行列式性质和展开定理1．会熟练运用行列式性质，进行行列式计算. 2．展开定理 三、重要公式 设A 是n 阶方阵，则 1．T A A =2．11A A --= 3．1*n A A-=4．n kA k A =5．AB A B =，其中B 也是n 阶方阵6．设B 为m 阶方阵，则 7．范德蒙行列式 四．有关结论 1．对于,n n n n A B ⨯⨯(1)00A A ⇒==⇐ (2) A B A B⇒==⇐2.A 为n 阶可逆矩阵A E A E ⇔→⇔→行变列变（A 与E 等价）0AX ⇔=只有惟一零解AX b ⇔=有惟一解（克莱姆法则） A ⇔的行（列）向量组线性无关 A ⇔的n 个特征值0,1,2,,i i n λ≠=⇔A 可写成若干个初等矩阵的乘积 ⇔A A T 是正定矩阵⇔A 是n R 中某两组基之间的过渡矩阵3.A 为n 阶不可逆矩阵0=A 0AX ⇔=有非零解 ⇔n A r <)( ⇔0是A 的特征值 ⇔A A -=4.若A 为n 阶矩阵，)2,1(n i i =λ为A 的n 个特征值，则∏==ni i A 1λ5.若B A ~，则B A =行列式的基本计算方法：1. 应用行列式的性质化简行列式（例如化为三角形行列式就是一个常用方法）。
线性代数赵树
2 m
例6 已知三阶方阵A的特征值为 1， 1， 2。设B A 5 A，
3
试求 | B | 。
2018/10/15 线性代数 18
性质3 设A (a ij )是n阶方阵，如果 (1) | a ij | 1， ( i 1,2, , n)
j 1 n
或
(2) | aij | 1， ( j 1,2,, n)
证明：用数学归纳法证 明.
(1)m 1, 特征向量是非零向量, 所以当然单个非零向量 是线性无关的.
( 2)设A的m 1个互不相同的特征值 1 , 2 ,, m 1对应的 特征向量 1 , 2 , m 1线性无关.
下面只要证明 m个互不相同的特征值对 应的特征向量 线性无关.
证明： (1) 是方阵A的特征值， 非零向量 , 使得A ,
而A A( A ) A( ) A
2 2
2是矩阵A2的特征值。
2018/10/15 线性代数 15
(2)由A 可得，k A k ，即 (kI A) (k )
它有非零解的充要条件 为：
|I A| 0 a11 a12
（3） a1n
a 21 即： a n1
a 22
an 2
a2n
0
a nn
上式是个以 为未知量的一元 n次方程， 称为矩阵A的特征方程。 其左端 | I A | 是的n次多项式，记为 f ( ), 称为方阵A的特征多项式。
0 1 得基础解系： 2 1 , 3 0 1 4
所以k2 2 k3 3 (k2 , k3不全为零)是对应于 特征值2 3 2的全部特征向量。
例6 已知三阶方阵A的特征值为 1， 1， 2。设B A 5 A，
3
试求 | B | 。
2018/10/15 线性代数 18
性质3 设A (a ij )是n阶方阵，如果 (1) | a ij | 1， ( i 1,2, , n)
j 1 n
或
(2) | aij | 1， ( j 1,2,, n)
证明：用数学归纳法证 明.
(1)m 1, 特征向量是非零向量, 所以当然单个非零向量 是线性无关的.
( 2)设A的m 1个互不相同的特征值 1 , 2 ,, m 1对应的 特征向量 1 , 2 , m 1线性无关.
下面只要证明 m个互不相同的特征值对 应的特征向量 线性无关.
证明： (1) 是方阵A的特征值， 非零向量 , 使得A ,
而A A( A ) A( ) A
2 2
2是矩阵A2的特征值。
2018/10/15 线性代数 15
(2)由A 可得，k A k ，即 (kI A) (k )
它有非零解的充要条件 为：
|I A| 0 a11 a12
（3） a1n
a 21 即： a n1
a 22
an 2
a2n
0
a nn
上式是个以 为未知量的一元 n次方程， 称为矩阵A的特征方程。 其左端 | I A | 是的n次多项式，记为 f ( ), 称为方阵A的特征多项式。
0 1 得基础解系： 2 1 , 3 0 1 4
所以k2 2 k3 3 (k2 , k3不全为零)是对应于 特征值2 3 2的全部特征向量。
线性代数(赵树嫄)第一章 行列式
2a12 10a13 a22 a32 5a23 5a33
a11 a12 a1 a2 a n1 a n 2
a1n an bn ann
a1n bn ann
a1n a11 a12 an b1 b2 ann an1 an 2
推论：如果行列式的某一行（列）的每个元素都可 以写成 m 个数的和，则此行列式可以写成 m 个行 列式的和。 性质5： 行列式的某一行(列)的所有元素都乘以数 k 加到另一行(列)的相应元素上，行列式的值不变，即 a11 a12 a1n a11 a12 a1n r kr i j a i 1 a i 2 ain a i 1 ka j 1 a i 2 ka j 2 a in ka jn a n1 a n 2 a nn a n1 an 2 a nn 推理： 行列式的某一行(列) 的元素直接加到另一行 (列)的相应元素上，行列式的值不变。
对于二、三阶行列式，或者 0 元素很多 的高阶行列式，可以直接利用行列式定 义来计算。
例1
a11 a21 a n1 0 a22 an 2
下三角形行列式
0 0 a11a22 ann ann
上三角形行列式
a11 0 0 a12 a22 0 a1n a2 n a11a22 ann ann
为三阶行列式， 记为：
a21 a22 a23 a31 a32 a33
即：
a11 a12 a13 a21 a22 a23 =a11a22a33 +a12a23a31+a13a21a32 a31 a32 a33
-a11a23a32 -a12a21a33 -a13a22a31
第五版 线性代数(赵树嫄)第一章 行列式
a11 a12 a13
D a21 a22 a23 a11a22a33a12a23a31a13a21a32 a31 a32 a33 a11a23a32a12a21a33a13a22a31
《线性代数》(第五版)教学课件
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三阶行列式
(二)三阶行列式
a11 a12 a13
任意一个排列经过一个对换后奇偶性改变
定理12 n个数码(n1)共有n!个n级排列 其中奇偶排列各占一半
举例 对排列21354施以对换(1 4)后得到排列24351 N(21354)2 而N(24351)5 可见对换后奇偶性改变
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(一)排列与逆序 (二)n阶行列式的定义
《线性代数》(第五版)教学课件
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(一)排列与逆序
n级排列
由n个不同数码1 2 n组成的有序数组i1 i2 in 称为一 个n级排列
定义11(逆序数)
在一个n级排列i1 i2 in中 如果有较大的数it排在较小的 数is前面(isit) 则称it与is构成一个逆序 一个n级排列中逆序的 总数 称为它的逆序数 记为N(i1 i2 in)
a10 例 5 D 1 a 0 0 的充分必要条件是什么?
411
a10 解 D 1 a 0 a2 1
411
当且仅当a210 即|a|1时 D0 因此可得D0的充分必 要条件是|a|1
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§12 n阶行列式
a22 a32
a23 a33
a24 a34
a41 a42 a43 a44
D a21 a22 a23 a11a22a33a12a23a31a13a21a32 a31 a32 a33 a11a23a32a12a21a33a13a22a31
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三阶行列式
(二)三阶行列式
a11 a12 a13
任意一个排列经过一个对换后奇偶性改变
定理12 n个数码(n1)共有n!个n级排列 其中奇偶排列各占一半
举例 对排列21354施以对换(1 4)后得到排列24351 N(21354)2 而N(24351)5 可见对换后奇偶性改变
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(一)排列与逆序 (二)n阶行列式的定义
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(一)排列与逆序
n级排列
由n个不同数码1 2 n组成的有序数组i1 i2 in 称为一 个n级排列
定义11(逆序数)
在一个n级排列i1 i2 in中 如果有较大的数it排在较小的 数is前面(isit) 则称it与is构成一个逆序 一个n级排列中逆序的 总数 称为它的逆序数 记为N(i1 i2 in)
a10 例 5 D 1 a 0 0 的充分必要条件是什么?
411
a10 解 D 1 a 0 a2 1
411
当且仅当a210 即|a|1时 D0 因此可得D0的充分必 要条件是|a|1
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§12 n阶行列式
a22 a32
a23 a33
a24 a34
a41 a42 a43 a44
微分经济数学赵树嫄
211024年3月8日星期五 例2. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立:
(1)
d(
1 2
x2
C)
xdx
(2)
d(
1
sin
t
C
)
cos
t
d
t
说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.
注意: 数学中的反问题往往出现多值性.例如
22 (4 ) sin ( 2 )
42
( 2 )2 4
sin( 2k )
估计一下,每只球需
用铜多少克.
解:已知球体体积为
镀铜体积为 V 在
时体积的增量
R 1
4 R2R R 1
R 0.01
R 0.01
0.13 (cm3)
因此每只球需用铜约为
8.9 0.13 1.16 ( g )
2024年3月8日星期五
16
第17页/共28页
四、微分在估计误差中的应用
某量的精确值为 A ,
又如, y arctan x ,
dy
1
1 x2
dx
基本初等函数的微分公式 (见 P115表)
2024年3月8日星期五
8
第9页/共28页
二、 微分运算法则 设 u(x) , v(x) 均可微 ,则
du dv
(C 为常数)
vdu udv
5. 复合函数的微分
分别可微 ,
则复合函数
的微分为
f (u) (x) dx du
y dy 0
y
dy 0 y 0
o
x0 x0 x
x
2024年3月8日星期五
21
第22页/共28页
2.
赵树嫄微积分第四版第四章-中值定理与导数的应用
24
练习 证明当x 0时, x ln(1 x) x. 1 x
证 设 f (t) ln(1 t),
f (t)在[0, x]上满足拉格朗日定理的条件 ,
f ( x) f (0) f ( )(x 0), (0 x)
f (0) 0, f ( x) 1 , 由上式得 1 x
ln(1 x) x ,
(2) 若 M m. f (a) f (b),
所以最大值和最小值不可能同时在端点取得。
设 M f (a), 则 M f (b),
(a,b)，使 f ( ) M. 由费马引理, 条件有一个不满足，则定理的结 论就可能不成立。
y
y
y
B
A
B
A
B
A
f ( x) 是二次多项式，只能有两个零点，分别在区间(1, 2) 及 (2, 3) 内。
思考： f ( x) 的零点呢？
11
例4 证明：可导函数 f ( x) 的两个零点之间必有 f ( x) f ( x) 的零点. 证 对 g( x) ex f ( x) 使用罗尔定理,
g( x) ex[ f ( x) f ( x)]，
C2
该点处的切线平
A
行 于 弦 AB.
O a
hbx
证明 作辅助函数 F(x) f (x) f (a) f (b) f (a) (x a)， ba
F(x) 在 [a, b]上连续，在 (a, b)内可导，
F(a) F(b) 0， 由罗尔定理， (a, b) ,使
F ( ) f ( ) f (b) f (a) 0 ，
ba
即
f ( ) f (b) f (a) .
ba
17
例7 f (x) ln x ,在[1,e] 上满足拉格朗日定理的条件,
练习 证明当x 0时, x ln(1 x) x. 1 x
证 设 f (t) ln(1 t),
f (t)在[0, x]上满足拉格朗日定理的条件 ,
f ( x) f (0) f ( )(x 0), (0 x)
f (0) 0, f ( x) 1 , 由上式得 1 x
ln(1 x) x ,
(2) 若 M m. f (a) f (b),
所以最大值和最小值不可能同时在端点取得。
设 M f (a), 则 M f (b),
(a,b)，使 f ( ) M. 由费马引理, 条件有一个不满足，则定理的结 论就可能不成立。
y
y
y
B
A
B
A
B
A
f ( x) 是二次多项式，只能有两个零点，分别在区间(1, 2) 及 (2, 3) 内。
思考： f ( x) 的零点呢？
11
例4 证明：可导函数 f ( x) 的两个零点之间必有 f ( x) f ( x) 的零点. 证 对 g( x) ex f ( x) 使用罗尔定理,
g( x) ex[ f ( x) f ( x)]，
C2
该点处的切线平
A
行 于 弦 AB.
O a
hbx
证明 作辅助函数 F(x) f (x) f (a) f (b) f (a) (x a)， ba
F(x) 在 [a, b]上连续，在 (a, b)内可导，
F(a) F(b) 0， 由罗尔定理， (a, b) ,使
F ( ) f ( ) f (b) f (a) 0 ，
ba
即
f ( ) f (b) f (a) .
ba
17
例7 f (x) ln x ,在[1,e] 上满足拉格朗日定理的条件,
线性代数(赵树嫄)第二章课件
a11 a21
a12 a22
a13 a23
•
b11 b21 b31
b12 b22 b32
a11b11 a21b11
a12b21 a22b21
Байду номын сангаас
a13b31 a23b31
a11b12 a21b12
a12b22 a22b22
a13b32 a23b32
一般地，
定 义5 设A (aij )ms 是m s矩 阵, B (bij )sn 是s n矩 阵,那 么 规 定 矩 阵A与B的 乘 法AB是 一 个m n矩 阵C (cij )mn , 其 中
7
9, B 5
5 1
2 9
4 7 ,
2 4 6 8
3 2 1 6
且A 2 X B,求 矩 阵X。
解：X 1 (B A)
2
1 2
4 4 1
6 4 2
4 2 7
4 2 2
2 3 2 2 2 2 1 1
1 / 2 1 7 / 2 1
三、矩阵与矩阵相乘
例子，设有两个线性变换
注 : 只有同型矩阵才可以相加.
矩阵加法满足下列运算规律：
性质1 设A、B、C是同型矩阵，则
(1)交换律：A+B=B+A； (2)结合律：(A+B)+C=A+(B+C)； (3)A+O=A，其中O是与A同型的零矩阵。 矩阵的减法：
A B A (B) (aij bij )mn
显然有 A-A=O
2、熟练掌握矩阵的线性运算、乘法运算、 转置运算以及它们的运算规律。
3、知道矩阵的分块方法。 4、理解逆矩阵的概念及其存在的充分必要 条件。掌握求逆阵的方法。 5、熟练掌握矩阵的初等变换。